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Premi`ere S-fiche m´ethode Chapitre 9: Loi binomiale
Table des mati`eres
1 Justifier qu’une variable al´eatoire suit une loi binomiale 1
1.1 M´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Calcul de probabilit´es avec la loi binomiale 2
2.1 m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Exemple avec le calcul de p(X = k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 Calcul de p(X ≤ k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 Calcul de p(X ≥ k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Justifier qu’une variable al´eatoire suit une loi binomiale
1.1 M´ethode
- Identifier l’´epreuve de Bernouilli r´ep´et´ee - Pr´eciser les deux issues possibles S et E et les
probabilit´es correspondantes - V´erifier l’ind´ependance des ´epreuves de Bernouilli r´ep´et´ees - Pr´eciser
la variable al´eatoire si ce n’est pas donn´e dans l’´enonc´e - Conclure : La variable al´eatoire donnant le
nombre de succ`es parmi les n ´epreuves de Bernouilli r´ep´et´ees suit la loi binomiale de param`etres n
et p = p(S) not´ee B(n; p)
Remarques
- Le choix des issues S et E d´epend de la variable al´eatoire choisie
- Ne pas confondre l’´epreuve r´ep´et´ee et ses issues possibles.
Par exemple, si on lance une pi`ece de monnaie, l’´epreuve de Bernouilli correspond au lancer de
la pi`ece et les issues possibles sont pile et face.
- Si le nombre d’´el´ements est tr`es grand et que l’on pr´el`eve successivement et sans remise quelques
´el´ements de ce groupe, on peut assimiler ceci `a des tirages successifs avec remise donc ind´ependants
les uns des autres.
1.2 Exemple
Ì Exemple 1 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Chaque jeu est ind´ependant des pr´ec´edents.
La variable al´eatoire X donne le nombre de personnes ayant gagn´e au jeu.
Justifier que X suit une loi binomiale en pr´ecisant ses param`etres.
Solution:
On consid`ere l’´epreuve de Bernouilli consistant faire jouer une personne avec les issues S :” la
personne va gagner” et E = S :” la personne va perdre”.
On a alors p(S) = 0, 4
Ces ´epreuves de Bernouilli sont ind´ependantes. (Chaque jeu est ind´ependant des pr´ec´edents)
On consid`ere la variable al´eatoire donnant le nombre de gagnants parmi ces 20 personnes.
X suit donc la loi binomiale de param`etres n = 20 et p = 0, 4 not´ee B(20; 0, 4)
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2 Calcul de probabilit´es avec la loi binomiale
2.1 m´ethode
La variable al´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n et p.
-Calcul de p(X = k) :
La probabilit´e d’avoir k succ`es et n − k ´echecs (0 ≤ k ≤ n) parmi les n ´epreuves r´ep´et´ees est :
p(X = k) =
n
k
× pk
× (1 − p)n−k
-Calcul de p(X ≤ k) :
p(X ≤ k) = p(X = 0) + p(X = 1) + .......p(X = k − 1) + p(X = k)
-Calcul de p(X ≥ k) :
p(X ≥ k) = 1 − p(X k) = 1 − p(X ≤ k − 1)
La calculatrice permet de calculer les coefficients binomiaux mais aussi directement p(X = k) ou
p(X ≤ k)
Voir fiche m´ethode Calculatrice et loi binomiale.
2.2 Calculatrice
Voir aussi fiche m´ethode Calculatrice et loi binomiale.
-Calcul des coefficients binomiaux
Optn
puis
Prob
On peut alors saisir nCk pour
n
k
-Calcul de p(X = k) ou p(X ≤ k)
MENU
puis
STAT
DIST
puis
BINM
s´electionner Bpd pour calculer p(X = k) et Bcd pour calculer p(X ≤ k)
2.3 Exemple avec le calcul de p(X = k)
Ì Exemple 2 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Quelle est la probabilit´e d’avoir 5 gagnants ?
On a justifi´e au pr´ealable que X suit la loi binomiale B(20; 0, 4) (voir exemple 1)
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Solution:
On veut 5 gagnants soit X = 5
p(X = 5) =
20
5
× 0, 45
× (1 − 0, 4)15
= 15504 × 0, 45
× 0, 615
≈ 0, 075
La probabilit´e d’avoir 5 gagnants est 0,075 environ
2.4 Calcul de p(X ≤ k)
Ì Exemple 3 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Quelle est la probabilit´e d’avoir 3 gagnants ou moins ?
On a justifi´e au pr´ealable que X suit la loi binomiale B(20; 0, 4) (voir exemple 1)
Solution:
On veut 3 gagnants ou moins soit X ≤ 3.
p(X ≤ 3) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3)
= 0, 620
+
20
1
0, 41
× 0, 619
+
20
2
0, 42
× 0, 618
+
20
3
0, 43
× 0, 617
≈ 0, 016
La probabilit´e d’avoir 3 gagnants ou moins est de 0,0176 environ
Remarques
En utilisant les listes et donc les valeurs de X possibles dans la LIST1 `a savoir, 0, 1, 2 et 3 on
peut utiliser Bpd pour obtenir les probabilit´es p(X = 0), p(X = 1), p(X = 2) et p(X = 3) dans la
liste 2 par exemple.
Avec le menu STAT puis DIST puis Bcd, on a :
(Voir fiche m´ethode calculatrice et loi binomiale)
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2.5 Calcul de p(X ≥ k)
Ì Exemple 4 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Quelle est la probabilit´e d’avoir au moins deux gagnants ?
On a justifi´e au pr´ealable que X suit la loi binomiale B(20; 0, 4) (voir exemple 1)
Solution:
On veut au moins 2 gagnants soit X ≥ 2.
p(X ≥ 2) = 1 − p(X 2) = 1 − p(X ≤ 1) = p(X = 0) + p(X = 1)
or p(X ≤ 1) ≈ 0, 0005
donc p(X ≥ 2) ≈ 0, 9995
La probabilit´e d’avoir au moins 2 gagnants est de 0,9995 environ
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