Cuaderno Matemática 5º Año Cs.

Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación
Deposito Legal
lf 03220035101806X

1
PROLOGO
El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 2do
Año de Media General,
refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de
Matemática.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un
instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de
aprendizaje dentro y fuera del aula.
Los Teques, Septiembre del 2003

2
Agradecimientos:
Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:
Msc. Miguel Carmona, especialista de matemática
Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora metodológica
Marcos Salas, profesor de computación.
Especialmente a:
A mi esposa: por su apoyo.
A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.
A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.
A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”
Liceo San Pedro de Los Altos
U. E. C. “Andrés Bello”

3
CONTENIDO
.- Polinomios, tipos de polinomios................5
.- Grado de un polinomio, completar, ordenar polinomios.............6,7
.- Adición de polinomios, propiedades............8,9,10,11,12
.- Sustracción de polinomios..............11,12
.- Multiplicación de polinomios, propiedades................12,13,14,15,16
.- División de polinomios..........16
.- Regla de Ruffini............17,18,19
.- Teorema del Resto...........19,20
.- Teorema de Descartes.............20,21
.- Factorización de polinomios..............22,23,24,25
.- Inecuaciones lineales en R.................26,27,28,29,30,31
.- Variación ordinaria................32,33,34
.- Combinación ordinaria...................35,36
.- Números combinatorios..........37,38
.- Triángulo de Tartaglia................39,40
.- Binomio de Newton.............41,42
.- Sistema de coordenadas en el espacio................41,42
.- Puntos en el plano...............43,44
.- Vectores..............44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54
.- Distancias entre dos puntos en R3
............54,55,56
.- Ecuación de la recta en el espacio.............56,57,58
.- Ecuación del plano..............59,60
.- Matrices...............60,61,62,63,64.
.- Regla de Sarrus..................65,66,67.
.- Teorema Rouche-Frobenius...............68
.- Teorema de Crammer................69
.- Lugar geométrico, secciones cónicas.............70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,
82,83,84,85,86
.- Estadística...........87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,
105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,
120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,
135,136,137,138.
.- Probabilidad estadística..............139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,
150,151
.- Páginas de resolución de ejercicios.................152,153,154,155,156,157,158,159,
160,161,162
.- Bibliografía............163

4
Polinomios:
Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene
combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.
P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An
A0 = término independiente.
x = variable.
A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio
Tipos de Polinomios:
Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.
Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término
independiente.
Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de
ellos.
Binomio: polinomio que consta de dos términos.
Trinomio: polinomio que consta de tres términos.
Conozcamos
algunos
polinomios

5
Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente
de la variable.
a.- p(x) = 2 + 3x + 5x² segundo grado
b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9 tercer grado
Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la
variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el
término independiente.
Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad
en unidad.
Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.
Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a
mayor.
Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye
en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.
Se pueden ordenar
los polinomios
creciente y
decrecientemente

6
Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3
P(3) = 2(3)² + 3 = p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21
1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3
2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2
3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4
4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3
5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3
6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2
Adición de Polinomios:
Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir
los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).

7
Regla para sumar polinomios:
1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se
completa con ceros.
2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.
Ejemplo: En forma entera:
P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8
Q(x) = 3x² - 4x + 3
5x ³ +7x²-10x +11
Ejemplo: En forma racional:
P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3 operaciones:
Q(x) = 3/2x + 5/4 -3 + 3 = -6+15 = 9
2/2x2
+9/10x+31/12 5 2 10 10
4 + 5 = 16+15 = 31
3 4 12 12

8
Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3
+ 6x2
– 5x +8 ; q(x) = 2x3
– 2x2
+ 4x
t(x) = 5x3
+ 6x2
– 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2
– 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2
+ 5/4x – 7/2 ;
h(x) = 2/5x2
+ 3/4x – 7/4
Hallar la suma de los polinomios:
1.- p(x) + q(x) 2.- p(x) + t(x) 3.- q(x) + t(x)
4.- r(x) + s(x) 5.- r(x) + h(x) 6.- s(x) + h(x)
Propiedades de la Adición de Polinomios:
a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una
ley de composición interna.
b.- La adición de polinomios es conmutativa.
c.- Es asociativa.
d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo.
e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x).
f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

9
Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)
Ejercicios:
a.- p(x) = 2x2
– 3x + 8 ; q(x) = 5x2
+ 6x – 5
b.- p(x) = 3x3
+ 4x2
- 6x + 7 ; q(x) = 3x2
+ 8x – 7
c.- p(x) = 6x2
+ 6x – 10 ; q(x) = 5x2
+ 4x – 6
d.- p(x) = 12x2
– 4x – 8 ; q(x) = 6x2
+ 7x – 6
Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) = p(x) + q(x) + h(x)
Ejercicios:
a.- p(x) = 2x2
+ 3x – 6 ; q(x) = 3x2
+ 4x – 8 ; h(x) = 2x –6
b.- p(x)= 7x2
– 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6
c.- p(x) = 7x2
+ 6x – 4 ; q(x) = 9x2
+ 8x – 6 ; h(x) = 4x –9
d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2
+ 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10

10
Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)
Ejercicios:
a.- p(x) = 5x2
+ 3x – 6 c.- p(x) = 8x2
– 3x + 2
b.- q(x) = 4x2
– 6x + 5 d.- q(x) = 7x2
+ 6x – 12
Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)
a.- p(x) = 5x2
– 3x + 8 c.- p(x) = 3x3
– 8x2
+ 4x – 2
b.- q(x) = 2x2
- 7x + 9 d.- q(x) = -3x3
– 4x2
+ 8x + 9
Sustracción de Polinomios:
Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico,
es
decir –q(x). P(x) – q(x) = p(x) + -q(x) p(x) = minuendo
q(x) = minuendo

11
Ejercicios:
a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 c.- p(x) = 3x2
–5x + 8 ; q(x) = 6x + 8
b.- p(x) = -5x2
– 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8 d.- p(x) = 4x2
– 8x + 9 ; q(x) = 3x2
–7x +6
Multiplicación de Polinomios:
El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la
suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por
todos los de la otra.
Ejemplo: En forma Entera:
Dado p(x) = 2x2
– 5x + 6 ; q(x) = x2
– 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x)
q(x) = x2
- 3x + 5
p(x) =2x2
– 5x + 6
2x4
– 6x3
+ 10x2
- 5x3
+ 15x2
– 25x
6x2
– 18x + 30
2x4
– 11x3
+ 31x2
– 43x + 30

12
Ejemplo: En forma Racional:
p(x) = 2/3x2
+ 4/6x –3/2
q(x) = 2/5x +4/3 operaciones:
4 x3
+ 8 x2
– 6 x 8 + 8 = 312
15 30 10 30 9 270
8 x2
+ 16 x – 12 - 6 + 16 = 52
9 18 6 10 18 180
4 x3
+ 312 x2
+ 52 x -12
15 270 180 6
Ejercicios: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios:
1.- p(x) = 3x2
+ 5x –5 ; q(x) = 4x – 8
2.- p(x) = 4x2
+ 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2
3.- p(x) = 2x3
+ 5x2
– 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7
4.- p(x) = 6x2
+ 8x – 4 ; q(x) = 3x + 7
5.- p(x) = 4x3
+ 6x2
– 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6
6.- p(x) = 3/4x2
+ 6/3x – 5/2 ; q(x) = 4/4x – 6/2
7.- p(x) = 4/6x2
+ 7/3x + 2/5; q(x) = 3/6x – 7/2
8.- p(x) = 5/3x2
+ 1/2x + 3/2 ; q(x) = 2/4x + 8/2

13
Propiedades de la Multiplicación de Polinomios:
a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo
tanto; es una ley de composición interna.
b.- Es conmutativa.
c.- Es asociativa.
d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.
e.- El elemento absorbente es el elemento nulo.
f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.
g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios.
h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los
polinomios factores.
Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades:
1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x)
a.- p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x – 2
b.- p(x) =4x – 6 ; q(x) = 5x + 6
c.- p(x) = 4x2
– 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7
d.- p(x) = 6x2
– 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2

14
2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x) = p(x) . q(x) . h(x)
a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3
b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1
c.- p(x) = 4x2
+ 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1
d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2
– 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4
3.- Distributiva: p(x) . q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)
a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2
b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12
c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1
d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2

15
4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)
a.- p(x) = 5x2
+ 3x – 6 c.- p(x) = 4x2
– 6x + 5
b.- q(x) = 6x – 8 d.- h(x) = 4x3
– 5x2
+ 7x – 2
División de Polinomios:
D(x) = d(x) . c(x) + r(x) D(x) = dividendo
d(x) = divisor
c(x) = cociente
r(x) = residuo
Una operación
de división está
compuesta por:

16
Ejercicios:
a.- Dividir (6x2
+ 7x + 2) : (2x + 3) e.- Dividir (20x + 10x – 5) : (5x + 5)
b.- Dividir (4x3
+ 4x2
– 29x + 21) : (2x – 3) f.- Dividir (10x + 13x – 2) : (5x – 1)
c.- Dividir (3x2
+ 8x + 6) : (3x + 2) g.- Dividir (4x – 2x – x + 1) : (2x –3)
d.- Dividir (x4
– x2
– 2x – 1) : (x – x – 1) h.- Dividir (5/2x2
+ 2/2x – 1/3):(1/2x+3)
Regla de Ruffini:
a) Se descompone el término independiente de la ecuación en sus divisores.
b) Tanteamos con dichos divisores hasta que el residuo de cero.
c) El número de raíces de un polinomio, es igual al mayor exponente de la
incógnita.
Ruffini, Paolo (1765-1822),
físico y matemático italiano.
Nació en Valentano, entonces
perteneciente a los Estados
Pontificios, estudió en la
Universidad de Módena, donde
fue profesor de matemáticas y,
en 1814, rector.

17
Ejemplo: Resolver x3
+ 2x2
– x – 2 = 0
divisores de 2 = (1 , 2) 1 2 -1 -2
1 1 3 2
1 3 2 0
-1 -1 -2
1 2 0 x1=1
-2 -2 x2=-1
1 0 x3=-2
Ejercicios:
a) Resolver x4
-11x2
-18x-8=0
b) Resolver x3
-3x2
-4x+12=0
c) Resolver x3
+ 4x2
+ 5x+2=0
d) Resolver x3
+ x2
-5x+3=0
e) Resolver x3
-3x+2=0
f) Resolver 6x4
+ x3
+ 5x+ x-1=0

18
División de un polinomio p(x) entre un binomio (x  a) :
Ejemplo: Hallar el cociente y residuo por Ruffini de (x4
+ 2x3
+ x) : (x +1)
1 cambia a –1
1 2 0 1 0 cociente: x3
+ x2
- x + 2
-1 -1 -1 1 -2 residuo: -2
1 1 -1 2 -2
Ejercicios:
a) (2x3
+ 3x2
-4x+3) : (x + 2) b) (x2
+ 4x-8) : (x-6)
c) (3x3
+ 2x2
-6x+2) : (x-7) d) (3x2
+ 5x-9) : (x + 3)
e) (6x4
-6x2
-8) : (x + 4) f) (2x3
-8x2
+ 5x-7) : (x + 2)
Teorema del Resto:
El residuo de una división entre un polinomio ordenado en x, y un binomio de la
forma de x  a, es igual al valor numérico del polinomio para x  a.

19
Ejemplo: Calcular el resto de la división ( 4x2
+ 5x-3) : (x + 1)
calculamos el valor numérico para x = -1
p(x) = 4x2
+5x-3 p(-1) = 4(-1)2
+5.1-3
p(-1) = 4-5-3 resto = -4
Ejercicios:
a) (3x2
+ 4x-6) : (x + 3) b) (4x3
-2x2
-6x+1) : (x-6)
c) (2x3
-5x2
-4x+9) : (2x-3) d) (6x2
-7x+2) : (x-4)
Teorema de Descartes:
La condición necesaria y suficiente para que un polinomio entero en x, p(x) sea
divisible por x  a es que se anule para x =  a.
Ejemplo: Averiguar sin hacer la división, si el polinomio p(x) = 2x2
+ 6x-20 es
divisible por x – 2 .
p(x) = 2x2
+6x-20 p(2) = 2 . 22
+ 6 . 2 – 20
p(2) = 8 + 12 – 20
p(2) = 0 si es divisible
Descartes, René (1596-1650),
filósofo, científico y matemático
francés, a veces considerado el
fundador de la filosofía moderna.

20
Ejercicios:
a) (5x2
+ 2x-6) : ( x-2) b) (4x2
-6x+5) : (x-3)
c) (3x2
+ 5x+6) : (x-3) d) (5x2
-7x+2) : (x-4)
e) (2x3
-5x2
+ 4x+5) : (x-1) f) (4x3
-6x2
+ 6x-8) : (x-5)
Cálculo de raíces enteras mediante Ruffini:
Regla:
Se descompone el término independiente en todos sus divisores y después
tanteamos con esos divisores positivos y negativos aplicando Ruffini. Cada vez que
el residuo valga cero es una raíz cuadrada.
Este método se debe aplicar para ecuaciones de grado superior al segundo.

21
Ejemplo: Resolver la ecuación x3
+ 6x2
+ 11x+6 = 0
divisores de 6 = (1,2,3,6)
1 6 11 6
-1 -1 -5 -6 raíces: x1 = -1
1 5 6 0 x2 = -2
-2 -2 -6 x3 = -3
1 3 0
-3 - 3
1 0
Ejercicios:
a) Resolver x3
– 7x – 6 = 0 b) Resolver x4
–5x2
+ 4 = 0
c) Resolver 10x4
– 20x2
+ 10 = 0 d) Resolver x4
– x3
– 7x2
+ x + 6 = 0

22
Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini:
Regla:
a) Aplicamos Ruffini hasta que se pueda.
b) El polinomio dado es igual al último cociente que da como residuo cero por
cada uno de los binomios de la forma x, menos cada una de las raíces
obtenidas.
Ejemplo: Factorizar el polinomio x4
4x3
+ 3x2
– 4x – 4 = 0
divisores de 4 =  (1,2,4)
1 4 3 -4 -4
-1 -1 -3 0 4
1 3 0 -4 0
1 1 4 4 x1 = -1
1 4 4 0 x2 = 1
-2 -2 -4 x3 = -2
1 2 0 x4 = -2
-2 -2
1 0 al factorizar cambiamos de signos las x, y el último
cociente va de primero.
(1). (x +1).(x-1).(x +2).(x + 2)

23
a) Factorizar -x4
+ 8x2
– 16 b) Factorizar x3
+ x2
– x – 1 = 0
c) Factorizar x3
– 8x2
+ 17x – 10 = 0 d) Factorizar x4
-4x3
+ 3x2
+ 4x-4 = 0
e) Factorizar x3
+ 4x2
+ 5x+2 = 0 f) Factorizar x3
+x2
-5x+3 = 0
Raíces fraccionarias aplicando Ruffini:
Ejemplo: Calcular x3
– 3x – 2
x3
+ 4x2
+ 5x+2
factorizamos numerador: 1 0 -3 -2
-1 -1 1 2
1 -1 -2 0
-1 -1 2
1 -2 0
2 2
1 0
raíces: x1 = -1 (x + 1).(x + 1).(x-2)
x2 = -1
x3 = 2

24
factorizamos denominador: 1 4 5 2
-1 -1 -3 -2
1 3 2 0
-1 -1 -2
1 2 0
-2 -2
1 0
raíces: x1 = -1 (x +1).(x + 1).(x + 2)
x2 = -1
x3 = -2 simplificamos: (x +1).(x +1).(x-2) = (x – 2)
(x +1).(x +1).(x +2) (x + 2)
Ejercicios:
a) x3
+ x2
-5x+3 b) x5
-21x3
+16x2
+108x-144
x3
-3x+2 x3
+x2
-x-1
c) x4
+5x3
+8x2
+7x+3 d) -x4
+ 8x2
- 16
x3
+2x2
-x-2 x3
-3x2
-4x+12

25
Inecuaciones Lineales en R:
Propiedades de las desigualdades:
1) a  0 ; mínimo. Raíces reales distintas.
2) a  0 ; mínimo. Raíces dobles.

26
3) a  0; mínimo. Raíces imaginarias conjugadas.
4) a  0. máximo. Raíces reales y distintas.
5) a  0; máximo. Raíces dobles.

27
6) a  0; máximo. Raíces imaginarias
Inecuaciones en una Variable:
Es una desigualdad literal que solamente se cumple para determinar valores de
las variables.
Ejemplo: Resolver 3x + 2  2
3
3.(3x + 2)  2 9x + 6  2 x  2 - 6
9
x  -4
9

28
-1 0 1
-4
9
Ejercicios:
a) 5x – 4  3 – 2 c) 2x + 3x – 5  4 – x
4
b) 4 – 6x – x  4x + 6 d) 3x – 5 – 2  2x - 4
3 2 5
Inecuaciones de segundo grado en una variable:
Ejemplo: Representar gráficamente el trinomio y = x2
– 6x – 7
a = 1 aplica la ecuación de segundo grado
b = -6
c = -7
x = -b  b2
– 4 . a . c
2 . a
x = 6  (-6)2
– 4 .(1).(-7) x = 6  36 + 28
2 . 1 2

29
x = 6 + 64 x1 = 6 + 8 x1= 7
2
2
x2 = 6 – 8 x2 = -1
2
factorizamos y = (x-7).(x +1) se calcula el mínimo: y = 4.a.c – b2
4.a
y = 4 . 1.(-7) – (-6)2
y = -28-36 y = -16
4.1 4
x = - b x = - 6 x = -3
2.a 2
raíces x1 = 7 vértices x = 3
x2 = -1 y = - 16

30
Representación gráfica:
y
x
-1 0 -3 -7
-7
-16
Ejercicios:
a) Representar y = x2
– 6x + 9 b) Representar y = x2
+3x + 2
c) Representar y = x2
– 4x + 3 d) Representar y = x2
+ 5x + 4
e) Representar y = x2
+6x + 5 f) Representar y = x2
– 8x + 7

31
Variación Ordinaria:
Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto.
Fórmula: Vm,n = m . (m – 1) . (m – 2) . (m – 3) .......... (m – n + 1) donde n!
representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por
definición.
Ejemplo: Calcular V10,3 m = 10
n = 3
V 10,3 = 10 . (10-1). 10(10-2) V10,3 = 10 . 9 . 8
V10,3 = 720
Ejercicios:
a) Calcular V7,2 b) Calcular V8,5
c) Calcular V12,4 d) Calcular V11,4
e) Calcular V9,6 f) Calcular V8,2

32
Ecuaciones de Variaciones:
Ejemplo: Resolver la ecuación 5Vx,2 = 30
5x(x – 1) = 30 5x2
– 5x = 30 5x2
- 5x – 30 = 0
Ecuación de 2do
grado x = 5  52
– 4 . 5 . (-30)
2 . 5
x = 5  25 + 600 x = 5 + 625
10 10
x = 5 + 25 x = 30 x1= 3
10 10
x2 = 5 – 25 x2 = -20 x2 = - 2 no es solución
10 10
Ejercicios:
a) Resolver 4Vx , 3 = 25 b) Resolver 6Vx , 4 = 12
c) Resolver 8V x , 2 = 10 d) Resolver 10V x , 6 = 20
e) Resolver 3V x , 3 + 2V x , 2 = 8x f) Resolver 4Vx , 2 +3V x , 3-10Vx,1= 42x

33
Permutaciones Ordinarias:
Una permutación es una variación, cuando m = n, o sea una permutación es una
biyección del conjunto α en el conjunto A.
Fórmula : Pm = Vm , n = m . (m – 1) . (m – 2)..........(m – m + 1)
Ejemplo: Resolver P3,3
m = 3 P3,3 = 3.(3-1).(3-2)
n = 3 P3,3 = 3.2.1
P3,3 = 6
Ejercicios:
a) Resolver P4,2 b) Resolver P6,2 c) Resolver P8,5
d) Resolver P12,4 e) Resolver P9,3 f) Resolver P24,6

34
Combinación Ordinaria:
Dado un conjunto A = { a1 , a2 ......am } se denomina combinación ordinaria de”
n” elementos de A, con n ≤ m, a cualquier subconjunto de A con “n” elementos. Dos
combinaciones se consideran igual si y solo si, están formados por los mismos
elementos.
Fórmula: Cm,n = Vm,n
Pn
Ejemplo: Hallar C8,3
C8,3 = V8,3 = C8,3 = 8.(8-1).(8-2) = C8,3 = 8.7.6
P3 3.(3-1).(3-2) 3.2.1
C8,3 = 336 = C8,3 = 56
6
Ejemplo: Hallar Cx,3 = 2x
Cx,3 = x.(x-1).(x-2) = 2x = Cx,3 = x2
– 2x – x + 2 = 2
3.(3-1).(3-2) 6
Cx,3 = x2
– 3x + 2 = 12 = Cx,3 = x2
– 3x – 10 = 0

35
a = 1 x = 3 ± 32
– 4 . 1 .(-10) = x = 3 ± 9 + 40
b = -3 2 . 1 2
c = -10
x1 = 3 + 7 = x1 = 10 = x1 = 5
2 2
x2 = 3 – 7 = x2 = -4 = x2 = -2
2 2
Ejercicios:
a) C3,2 b) C8,3 c) C12,5 d) C7,3
e) Cx+ 1,2 = 2x f) Cx,4 = 3x g) Cx+ 2,4 = 6 h) Cx-2,6 = 9
Número Combinatorio:
a) Dados dos números naturales m ( ≠ 0) y n, tales que m ≥ n ≥ 0, se denomina
número combinatorio de m base n y se denota por m
n
Estudiemos los
Números
Combinatorios

36
b) Son los números de la forma m , también se les llama coeficientes binómicos
n
“m” es el numerador o base “n” es el orden.
Propiedades de los Números Combinatorios:
a) Todo número combinatorio cuyo orden es el número cero es igual a la unidad.
m = 1 ; m = m ; m = 1
0 1 m
b) Se dice que dos números combinatorios son complementarios cuando tienen el
mismo numerador y los ordenes son tales, que sumados dan el numerador común.
m = m
n m – n
c) La suma de dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes
consecutivos, es otro número combinatorio cuyo numerador es una unidad
mayor y el orden es igual al del sumando que lo tiene mayor.
m + m = m + 1
n n + 1 n + 1
m! + m! = m! + m!
n!(m-n)! (n + 1)! (m-(n + 1)! n!(m-n)! (n + 1)! (m-n-1)!

37
Ejemplo: Resolver 20 = 20
3y+3 9y-7
(3y + 3) + (9y – 7) = 20
3y + 9y = 20 – 3 + 7 12y = 24
y = 24 = y = 2
12
Ejercicios:
a) Resolver 12 = 12 b) Resolver 7 = 7
x2
- 1 x2
+ 5 4y + 2 2y – 1
c) Resolver 16 = 16 d) Resolver 20 = 20
5y – 1 2y + 3 -2y + 6 5y – 1

38
Triángulo de Tártaglia:
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
Tartaglia, sobrenombre
de Niccolò Fontana
(c. 1500-1557),
matemático italiano
nacido en Brescia, uno
de los descubridores de
la solución de la
ecuación de tercer
grado.

39
Ejemplo: Construir un triángulo con los lados, con números iguales a la unidad.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Binomio de Newton:
(a + b) = n a0
b0
n an-1
b n an-2
b2 + ………………
0 1 2
De la formula se deduce lo siguiente:
a) Los coeficientes de los diferentes términos corresponden a los elementos de las
filas del triángulo de Pascal. Así, por ejemplo, los coeficientes de los términos de
(x + y)4
son los elementos de la cuarta fila del triángulo de Pascal.
b) El número de términos es una unidad mayor que el exponente del binomio.
c) Cuando nos movemos de un término al otro de izquierda a derecha, el exponente
de x disminuye en 1, mientras que el de y se incrementa en 1.

40
Ejemplo: Desarrollar el siguiente binomio (x + 1)5
:
(x + 1)5
= 5 x5
10
+ 5 x4
11
+ 5 x3
12
+ 5 x2
13
+ 5 x1
14
+ 5 x0
15
0 1 2 3 4 5
= 5! x5
+ 5! x4
+ 5! x3
+ 5! x2
+ 5! x + 5! x0
0!(5-0)! 1!(5-1)! 2!(5-2)! 3!(5-3)! 4!(5-4)! 5!(5-5)!
Ejercicios:
a) (x – y)3
b) (3x + y)4
c) (1 – x2
)5
d) (2 + 2y)4
e) (4x – 2y)5
f) (2 + 3x)3
Sistema de Coordenadas en el espacio:
Sea E el espacio ordinario y sea R3
= {(a, b, c) / a ,b c;ε R/} donde R es el
conjunto de los números reales.
 : E R3
/ p (a, b, c)
Donde se va a representar a R3
, con tres rectas llamadas r, s, t, donde junto con la
función , lo llamaremos sistema de coordenadas en el espacio, y a las rectas se

41
llamarán ejes de coordenadas. Si las tres rectas son perpendiculares entre sí,
diremos que constituyen un sistema rectangular de coordenadas.
Eje r = eje de las x
Eje s = eje de las y
Eje t = eje de la z
Z
(t)
(s) y
( r ) a
x

42
Puntos en el Espacio:
Ejemplo: Dadas las rectas paralelas A1 y A2 . (A1 // A2) y las paralelas
horizontales B1 y B2 . (B1 // B2) secantes con las primeras. Donde a, b, c, d son
puntos de corte. Representarlo gráficamente.
A1 A2
a b B1
c d B2
ab = paralelo cd y ac paralelo bd

43
Ejercicios:
1) Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a
y b son puntos de corte.
2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras,
donde a y b son puntos de corte.
3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c,
d, e, f son puntos de corte.
Vector Ligado:
Llamamos vector ligado ab al segmento de la recta  de4 origen a y extremo
b.
segmento
a b

44
Un vector ligado está determinado por:
a) Dirección ; b) Sentido ; c) Origen ; d) Módulo.
Cuando el módulo es igual a 1 se llama vector unitario y cuando es igual a cero,
vector nulo.
Componentes de un vector ligado:
El componente de un vector es el punto que tiene como abscisa la diferencia de
las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que
forman el extremo y el origen.
Ejemplo: Calcular a = ( –4,7) ; b = (3,8)
ab = ( a2 – a1 , b2 – b1 ) ab = ( 3 – (-4) , 8 – 7)
ab = ( 7 , 1 )
Ejercicios:
1) a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7) 2) a = ( 5,8) ; b = (-6,9)
3) a = ( -4,-7) ; b = (-5,9) 4) a = ( 12,8) ; b = (-6,-9)

45
Vector Libre:
Se define el vector ab al conjunto formado por todos los vectores equipolentes
ab forman la clase de dicho vector.
Vector Equipolente:
Son los que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo.
Geométricamente son iguales.
Vector Posición:
Llamamos vector posición ab al vector de origen a, ligado al mismo origen
Adición de Vectores:
Se define como la adición de a con b y se anota a + b el vector libre S de
componente igual a la suma de los componentes.
S = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ) ; S = a + b = x1 + x2 , y1 + y2

46
Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,9) ; c = (-4,6) ; d = (-4,8)
e = (-5,-7).
1) a + b 2) a + b + c 3) a + b + d
4) b + c + e 5) a + c + e 6) b + d + e
7) a + d + c 8) b + e 9) b + e + d
Sustracción de Vectores:
Se define la diferencia como la suma de a con el opuesto de b.
Se anota : a - b = a + (-b)

47
Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,9) ; b = (8,5) ; c = (-6,11) ; d = (6,4)
1) a - b 2) a – c 3) a – d 4) b – c
5) b – d 6) c - d 7) c – a 8) d – b
Producto de un vector por un número real:
Dado un vector a = (x , y) un número real K, llamamos producto del número real
por el vector a, a otro vector cuyas componentes del vector por el mismo número
real K . a = (K . x , K . y).
Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 . a ; -2 . a
3 . a = {3 . 3 , 3 . (-1)} = (9,-3)
-2 . a = {-2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)

48
Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,8) ; c = ( 3/2 , 6/5 ) ;
d = (-4/2,-3). Hallar .
1) 3 . a 2) -5 . b 3) 3/6 . c 4) 8 . d
5) –4/5 . b 6)  2 . c 7) –4 . d 8) 7 . a
Combinación Lineal:
Un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b si existen
números reales p y q tales que: u = p . a + q . b
Un vector puede ser combinación lineal de más de dos vectores.
Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (-1,3). Hallar los componentes del
vector 3 . a + 2 . b
3 . a = (3 . 3, 3 . 2) = (9,6)
2 . b = ( 2 . (-1), 2 . 3 ) = (-2,6)
3 . a + 2 . b = {9+(-2),6+6} = U = (7,12)

49
Ejercicios:
1) Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b
2) Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q
3) Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y
4) Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b
Vectores Colineales:
Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son
proporcionales es decir: uno es combinación lineal del otro.
Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5)
expresar a como una combinación lineal de b y c.

50
a = p . b + q . c (3,4) = p(-1,0) + q(-3,5)
(3,4) = (-p-3q,0 +5q) = 3 = -p - 3q despejamos q: 4 = 5q
4 = 0 + 5q q = 4/5
despejamos p: 3 = -p-3q--------- 3 = -p-3(4/5)
3 = -p –12 -------- p = -12 – 3 = p = -27
5 5 5
empleamos una combinación: a = - 27 b + 4 c
5 5
Ejercicios:
1) Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y c = (-2,1)
2) Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y t = (3,5)
3) Expresar h = (-4,3) como combinación lineal de a = (2,3) y b = (-3,-1)
4) Expresar a = (3,7) como combinación lineal de b = (5,4) y c = (-3,5)

51
Vectores Linealmente Dependientes:
Son vectores linealmente dependientes, ya que existe una relación directa entre
dos vectores dados inicialmente, con dos escalares no nulos ambos, por lo tanto, si
en algún caso existe un escalar no nulo, son linealmente dependientes.
Ejemplo: Demostrar que x + y – 3 z , x + 3 y – z , y + z son
dependientes.
Son dependientes si existen escalares 1 , 2 , 3 no todos nulos.
1 (x + y -3 z ) + 2 ( x + 3 y - z ) + 3 ( y + z )
1 x + 1 y - 31 z + 2 x + 32 y - 2 z + 3 y + 3 z = 0
Se asocian los vectores x , y , z , luego se eliminan los vectores x, y, z
1 + 2 = 0
1 + 32 + 3 = 0
-31 - 2 + 3 = 0
Se verifica si son dependientes sustituyendo por varios valores en las ecuaciones
dadas.
1 = - 2 3 = - 1 - 32 2 = 31 - 33

52
Vectores Linealmente Independientes:
Son vectores linealmente independientes, ya que en un sistema de dos ecuaciones
y tres incógnitas, por ejemplo, es determinado, es decir, admite únicamente una
solución y formar una base de R3
.
Ejercicios: Demostrar los vectores linealmente dependientes e independientes:
1) x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y
2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z , x + y - z
3) 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z
4) x - y - z , 2 x + 3 y + 2 z , x + z
Dimensión y base de un espacio vectorial:
Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación
linealmente independiente, en caso contrario no forman una base de R3
.

53
Vectores Ortogonales:
Se dice que dos vectores no nulos x e y son ortogonales si x . y = 0.
Vectores Unitarios:
Un vector x se dice que es unitario si / x / = 1.
Producto escalar o interior de vectores:
Sean x = ( x1, x2, x3) e y = (y1, y2,y3) vectores de R3
. Definimos como producto
escalar de dos vectores x e y , y lo denotamos por x . y al numero
x . y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
Distancia entre dos puntos en R3
:
Sean p y q dos puntos de R3
si p, tiene coordenadas (x1, y1, z1) y q tiene
coordenadas (x2, y2, z2 ) entonces pq = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) y se define la
distancia entre p y q por:
d(p, q) = (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
+ (z2 – z1)2

54
Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de:
y
2 P1(3,2)
1
P3(3,0) x
0 1 2 3
-1 P2(1,-1)
d(P1,P2) = (1-3)2
+ (-1-2)2
= (-2)2
+ (-3)2
= 13
d(P2,P3) = (3-1)2
+ (0+1)2
= 22
+ 12
= 5
d(P3,P1) = (3-3)2
+ (2-0)2
= 02
+ 22
= 2

55
Ejercicios:
1) P1(2,4) P2(2,5) P3(2,5) 2) P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)
3) P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4) P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)
5) P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6) P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)
Ecuación de la recta en el espacio:
Se llama recta que pasa por el punto P0(x0 , y0, z0) y de dirección
a = (a1, a2, a3) y se denota por L a (P0) al conjunto.
L a (P0) = { P  R3
/ OP = OP +  a , con   R }
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas 3x – 2y = 0 y 4x + 3y + 17 = 0 y por el punto (3,4)
3x – 2y = 0 3 3x – 2y = 0 9x – 6y = 0
4x + 3y = -17 2 4x + 3y = -17 8x + 6y = -34
17x = -34

56
x =
-34
/17
x = -2
3x – 2y = 0 3(-2) – 2y = 0 -6 – 2y = 0
y = 6/-3 y = -3
Cálculo de la ecuación: y – y1 = y2 – y1 (x – x1)
x – x1
x1 = -2
x2 = - 3 y – (-3) = 4 – (-3) (x – (-2))
y1 = -3 3 – (-2)
y2 = 4 y + 3 = 4 + 3 (x + 2) y + 3 = 7 (x + 2)
3 + 2 5
5y + 15 = 7x +14
5y – 7x = 14 – 15
5y – 7x – 1 = 0

57
Ejercicios:
a) 2x + y = 4 b) 2x + y = 4
3x + 2y = 1 3x + 2y = -1
c) 2x + 4y = 2 d) 3x – y = 5
x + 2y = 4 2x + y = 10
2) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y pasa por la
intersección de las rectas 2x + y + 2 = 0 y x + 3y + 11 = 0.
2x + y = -2 2x + y = -2
-2 x + 3y = -11 -2x – 6y = 22
-5y = 20
y = 20 = y = -4
-5
2x + y = -2 2x + (-4) = -2 x = -2 + 4
2
x = 2 x = 1 punto: (1 , -4)
2

58
m = 3 y – y1 = m(x – x1) y – (-4) = 3(x – 1)
x1 = 1 y + 4 = 3x - 3
x2 = - 4 3x – y – 7 = 0
Ecuación del plano en el espacio:
El plano que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0) y tiene vector normal n = (a, b, c)
Se denota por π n (P0) y es el conjunto π n (P0) = { P ε R3
: P0P . n = 0 }
a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – zo) = 0
ecuación general: ax + by + cz = d
d = ax0 + by0 + cz0
Ejemplo: Reducir la ecuación 3x + 4y – 6 = 0 a forma normal.
Ax + Bx + C
± A2
+ B2
± A2
+ B2
± A2
+ B2
32
+ 42
= 25 = 5
entonces: 3x + 4y - 6 = 0
5 5 5

59
Ejemplo: Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 6 = 0
p = - C p = - 6
± A2
+ B2
32
+ 42
p = - 6 p = 6/5
25
Adición y Producto de Matrices:
Llamamos matriz rectangular, a un cuadro de números puestos en filas y
columnas.
Menor de un Matriz:
Son las matrices cuadradas que podemos formar con los elementos de la matriz
rectangular desde el orden 1 hasta el máximo orden que permita la matriz.
Las determinantes formadas por un menor más otra fila y otra columna se llaman
determinantes “orlados”.
Característica de una Matriz o Rango:
Es el número que representa el orden máximo del menor no nulo.

60
Cálculo:
1) Se eliminan todas las líneas que sean combinación lineal de otras.
2) Se toma la 1ra
fila como referencia y se estudia la segunda formada
determinantes de segundo orden. Si aparece uno de ellos diferentes de cero se
pasa a estudiar la 3ra
fila, pero si todos los determinantes que se puedan
formar con los elementos de la segunda fila son nulos, esta segunda fila es
combinación lineal y se tacha.
3) Se desarrollan determinantes de 3er
orden “orlando” el 2do
no nulo. Si alguno
de los de 3er
orden resulta diferente de cero se pasa a estudiar la 4ta
fila, pero
si todos los de 3er
orden son nulos, esta fila es combinación lineal y se tacha.
4) La característica será el número que representa el orden máximo del menor
no nulo.
Matriz Fila: es una matriz de orden 1 x n . O sea de la forma M = (a11,a12...an)
Matriz Columna: es una matriz de orden m x 1 . O sea de la forma:
a11
M = a12
an

61
Matriz Cuadrada: son las que tienen el mismo número de filas y columnas. Son
del orden m x n / m = n,0.
Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada, donde aij = 0 para i ≠ j.
1 0 0
M = 0 4 0 matriz diagonal de orden 3.
0 0 -2
Matriz Identidad: es una matriz cuadrada tal que aij = 1 si i = j ; aij = 0
Para i ≠ j.
1 0 0 ....0
0 1 0.....0
I = 0 0 1..... 0
0 0 0 1
Adición de Matrices:
Sean las matrices M, N ε Mmxn tales que:
a1 a2 .....an1 b1 b2…..bn1
M = a2 a4.....an2 N = b2 b4…..bn2
am1 am2 amn bm1 bm2 bmn

62
Se define la suma de cada uno de los números de ambas matrices, respetando
estrictamente el orden de colocación, fila y columna de ambas matrices.
a1 + b1 a2 + b2 ......an1 + bn1
M + N = a2 + b2 a4 + b4.......an2 + bn2
am1 + bm1 am2+bm2 amn + bmn
Ejemplo: Hallar la suma de las matrices.
2 2 2 2 1 2
M = 3 2 1 N = 1 3 2
4 1 3 1 1 2
2+2 2+1 2+2 4 3 4
M + N = 3+1 2+3 1+2 M + N = 4 5 3
4+1 1+1 3+2 5 2 5

63
Ejercicios: Dadas las siguientes matrices:
3 5 -2 -3 6 5 -3 5 7
A = 2 4 0 B = 0 2 9 C = -2 -2 9
2 7 -1 1 3 9 6 3 0
-4 3 8 0 7 4 -8 5 3
D = 7 5 1 E = -1 3 -5 F = 9 0 6
5 4 0 9 0 1 1 2 3
Hallar:
1) A + B 2) A + C 3) A + D 4) A + E
5) A + F 6) B + C 7) B + E 8) B + F
9) C + D 10) C + E 11) C + F 12) D + F

64
Regla de Sarrus:
Regla: se escriben ordenadamente la primera y segunda fila o columna al lado del
determinante dado.
El resultado es igual a la suma algebraica del producto de los elementos de las
diagonales principales menos la suma algebraica del producto de las diagonales
secundarias.
Ejemplo: Calcular el valor de la determinante.
3 5 1
2 6 2
1 3 2
3 5 1 3 5
2 6 2 2 6 = 3 . 6 . 2 + 5 . 2 . 1 + 1 . 2 . 3 – { 1 . 6 . 1 + 2 . 3 . 3 +
1 3 2 1 3 5 . 2 . 2}
= 36 + 10 + 6 – (6 + 18 +20) = 52 – 44 = 8

65
Ejercicios. Calcular el valor de las siguientes determinantes:
1) 2 4 -3 2) -1 2 8 3) -4 5 8
2 1 0 9 4 2 0 3 -3
4 9 1 7 1 4 4 2 1
4) -1 2 7 5) 4 9 0 6) -2 -6 7
2 4 7 2 0 1 9 4 7
6 8 2 2 1 6 6 8 2
Característica de una Matriz:
1 1 -1 2 referencia primera fila: (1 1 -1 2) 1er
orden
2 3 1 -1 estudiamos 2da
fila. 1 1 = 3 – 2 = 1 ≠ 0
3 1 0 3 2 3
2do
orden diferente de cero, pasamos a la 3ra
fila.

66
1 1 -1 se aplica Sarrus: 1 1 -1 1 1
2 3 1 2 3 1 2 3 =
3 1 0 3 1 0 3 1
(1 . 3 . 0 + 1 . 1 . 3 – 1 . 2 . 1) – (-1 . 3 . 3 + 1 . 1 .1 + 1 . 2 .0)=
0 + 3 – 2 – (- 9 + 1 + 0) = 1 + 9 – 1 + 0 = 9 ≠ 0
Como no se puede formar de 4to
orden la característica es 3.
Ejercicios: Hallar la características de las Matrices:
1) 6 0 3 2) 5 -1 8 3) 0 6 3
-3 1 2 8 2 4 -5 2 6
2 5 7 -5 8 2 0 7 1
4) 1 2 7 5) 7 1 -5 6) 9 1 0
2 -4 5 0 2 7 2 5 1
2 6 -1 9 -2 2 0 6 1

67
Teorema Rouche-Frobenius:
La condición necesaria y suficiente para que un sistema formado por “n”
ecuaciones lineales (de primer grado) con “m” incógnitas sea compatible es que la
matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada con los
términos independientes tengan la misma característica.
.- Cuando las características de las matrices son iguales el sistema es compatible.
.- Si las características son iguales y coinciden con el número de incógnitas es
determinado.
.- Si las características son iguales pero menores que el número de incógnitas es
indeterminado.
.- Si las características ampliada es mayor que la de los coeficientes es incompatible.
Teorema de Cramer:
Un determinante es igual a la suma algebraica de los productos de cada uno de
los elementos de una de sus líneas por sus adjuntos respectivos. El adjunto de un
elemento es el menor complementario de dicho elemento afectado del signo más o
menos según la suma de los números que indican la fila y la columna sean par o
impar.

68
Ejemplo: Desarrollar el siguiente determinante por los adjuntos de la primera
columna.
3 1 3 1 2 -1 2 1 3 1
-1 2 -1 2 (3) -1 2 3 + (- 1) - -1 2 3
2 -1 2 3 4 5 2 4 5 2
3 4 5 2 1 3 1 1 3 1
+ (2) 2 -1 2 + (3) - 2 -1 2 =
4 5 2 -1 2 3
3{-3 + 4 –6 – (1 + 18 + 4)} = 3(-62) + (18) + 2(14) – 3(-28) =
-186 +18 + 28 + 84 = - 56
1) 4 2 4 1 2) 1 2 6 0 3) 2 4 8 0
-1 2 6 7 0 -4 6 4 -3 7 1 5
3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1
1 6 -2 8 1 6 -2 8 1 6 -2 8
4) 2 -1 6 7 5) 0 5 1 9 6) -3 9 0 5
0 3 1 4 0 3 1 4 0 3 1 4
1 3 5 3 8 1 2 8 1 9 0 1
-7 2 7 1 -7 2 7 1 -7 2 7 1

69
Lugar Geométrico: Sea f(x , y) una función de dos variables definida en un sistema
de coordenadas XY. Se ha de comprobar que al resolver la ecuación f(x, y) = 0 se
obtiene un conjunto de puntos del plano que definen una curva en el mismo.
El conjunto de los puntos del plano que satisfacen la ecuación f(x, y) = 0, recibe
el nombre de lugar geométrico y a la ecuación f(x, y) = 0 se le denomina ecuación
del lugar geométrico.
Secciones Cónicas: Se llama sección cónica al conjunto de puntos que forman la
intersección de un plano como un cono de revolución de dos mantos.
L
α

70
a.- Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es un punto o una
circunferencia según el plano pase o no pase por el vértice del cono.
L
Circunferencia
b.- Si el plano no es perpendicular al eje, pero corta a todas las generatrices, la
intersección es una elipse. L
Elipse

71
c.- Si el plano es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás generatrices, la
intersección es una parábola.
L
Parábola
d.- Si el plano corta a los dos mantos del cono y no pasa por el vértice, la
intersección es una hipérbola. L
Hipérbola

72
La Circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del
plano que están a una distancia “r” de otro punto dado C . r es el radio de la
circunferencia y el punto C es el centro de la misma.
y
P(x , y)
r
C(h ,k)
X
dcp = (x – h)2
+ (y – k)2
Esta distancia es igual a r:
r = (x – h)2
+ (y – k)2
Elevando al cuadrado obtenemos:
(x – h)2
+ (y – k)2
= r2

73
Ejercicios: Dibuja la gráfica de la ecuación.
a.- (x – 3)2
+ (y – 2)2
= 9
y
r = 3
2 * (3,2)
1
3 x
Las coordenadas del centro son (3,2) y el radio es r =  9 = 3

74
b.- x2
+ (y + 1)2
– 7 = 0 y
r = 7
(0,-1) x

75
La Elipse
La Elipse, en geometría, se define como una curva cerrada formada por un
plano que corta a todos y cada uno de los elementos de un cono circular; es una de
las cónicas. Una circunferencia, formada cuando el plano es perpendicular al eje
del cono, es un caso particular de elipse.
Una elipse se puede también definir como el lugar geométrico de todos los
puntos P, para los que la suma de sus distancias d1
y d2 a dos puntos fijos es
constante.
Los dos puntos fijos que definen la elipse se conocen como focos y aparecen
como F y F’ en la figura 1. Esta propiedad de la elipse se puede utilizar para
dibujarla. Si se colocan dos alfileres en la superficie del dibujo en la posición de
los dos focos, y se ata un hilo a ambos, la punta que mantenga al hilo tenso dibuja
la elipse al moverla.
La elipse es simétrica con respecto a su eje mayor, la línea recta que pasa por
los dos focos y que corta a la curva en los extremos. La elipse es también simétrica
con respecto al eje menor, la recta perpendicular al eje mayor que equidista de los
focos. En la circunferencia, los dos focos son un mismo punto, y los ejes mayor y
menor son iguales.

76
La excentricidad de una elipse, esto es, la relación entre la distancia focal —la
distancia entre los focos— y la longitud del eje mayor, es siempre menor que 1. La
excentricidad de la circunferencia es 0.
La elipse es una de las curvas más importantes de la física. En astronomía, las
órbitas de la Tierra y de los otros planetas alrededor del Sol son elípticas. Se
utiliza bastante en ingeniería, como en el arco de ciertos puentes y en el diseño de
engranajes para determinadas máquinas, como las perforadoras.
a.- Dada la ecuación de la elipse x2
+ y2
= 1 , determina sus vértices, sus focos, la
9 4
longitud de sus ejes y la excentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.
A2
= 9 a = ±3 b2
= 4 b = ±2
Los vértices son A(3,0) ; A’ (-3,0) ; B(0,b) y B’(0,-b)
a2
– c2
= b2
donde c2
= a2
– b2
o sea c2
= 9 – 4 c = ±  5
los focos son F(  5 , 0) y F´ ( -  5 , 0)
La excentricidad es e = c =  5
a 3

77
y
B(0,2)
A(-3,0) F’ F A(3,0) x
B(0,-2)

78
b.- La ecuación de una elipse es: 9y2
+ 25x2
= 225
y2
+ x2
= 1 A(0,5) A´ (0,-5) B(3,0) B´(-3,0)
9 25
y
A(0,5)
B´(-3,0) B(3,0) x
A´(0,-5)

79
La Hipérbola :
La Hipérbola, es una curva plana, una de las cónicas, formada por un plano
que corta las dos hojas de un cono circular recto pero que no pasa por el vértice
del cono. La hipérbola está formada por dos ramas en forma de U que no se
cortan; ambas tienen idéntica forma, con las aberturas en sentidos opuestos. Los
dos lados de cada rama se separan al alejarse.
La hipérbola se define también como el lugar geométrico de todos los puntos
para los que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante. Cada rama contiene uno de los focos en su interior; la línea recta que
une los focos corta a cada una de las ramas en un punto denominado vértice. La
recta que pasa por los dos vértices y los focos se denomina eje mayor. La recta
perpendicular al eje mayor y equidistante de los vértices es el eje menor. Los ejes
se cortan en el centro de la hipérbola. La hipérbola es simétrica con respecto a
ambos ejes y al centro.

80
La hipérbola tiene dos asíntotas que pasan por su centro; una asíntota a una curva
es una línea recta con la propiedad de que la distancia entre ella y la curva tiende
hacia cero cuando la curva se aleja hacia infinito. Una hipérbola es rectangular o
equilátera si las asíntotas son perpendiculares entre sí.
La hipérbola tiene varias propiedades útiles e importantes. En especial, el ángulo
formado en un punto de la hipérbola por las rectas que unen el punto con los focos
es bisecado por la tangente a la hipérbola en dicho punto. En astronomía, algunas
órbitas tienen forma hiperbólica. Por ejemplo, ciertos cometas con suficiente masa
y velocidad para no ser atrapados por el campo gravitatorio solar, se mueven en
órbitas hiperbólicas. Un moderno aparato de ayuda a la navegación llamado loran
utiliza también hipérbolas.
Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ±2 y sus vértices son
V(0,4) y V´(0,-4). La ecuación de la hipérbola es de la forma:
y2
– x2
= 1 b = a b = 4/2 b = 2
a2
b2
2
y2
– x2
= 1 donde: c2
= 16+4 = 20 c = ±  20 c = ±2  5
16 4

81
Focos: F(0, 2  5 ) F´(0, -2  5)
y
Y = 2x
V
a = 4
b = 2 x
V´
y = -2x

82
La Parábola:
La Parábola , es una curva plana, una de las cónicas, formada por la
intersección de un cono con un plano paralelo a una recta de la superficie de éste.
Cada uno de los puntos de la curva equidista de un punto fijo, llamado foco, y de
una recta, conocida como directriz. La parábola es simétrica con respecto a la
recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. La ecuación
matemática de una parábola simétrica con respecto al eje de abscisas y con su
vértice en el origen de coordenadas cartesianas es y
2
= 2 px, en donde p es la
distancia del foco a la directriz.
La parábola es la curva que describe la trayectoria de un proyectil, como una bala
o pelota, en ausencia de fricción con el aire. Debido a la fricción, la curva descrita
por un proyectil sólo se aproxima a una verdadera parábola. Los espejos
parabólicos son reflectores que tienen la forma de una parábola rotada alrededor
de su eje de simetría. Los espejos parabólicos reflejan los rayos luminosos de una
fuente de luz situada en el foco como rayos paralelos entre sí. Estos reflectores se
usan en los faros de los coches y en cualquier otro tipo de proyectores. Los espejos
parabólicos también concentran rayos paralelos de luz en el foco sin producir
aberración esférica. Este tipo de reflector es por tanto de gran utilidad en
telescopios astronómicos. Se utilizan también como antenas en radioastronomía,
radar y televisión por satélite.

83
Ejercicio: Determina la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones
dadas.
a) Vértice en el origen y foco en F(3,0)
b) Vértice en el origen y directriz y – 1 = 0
a) y2
= 4 . 3x y2
= 12x la ecuación de la directriz es y = -3
x 1 2 3
y ±2 √ 3 ± 2 √6 ± 6

84
y
8
7
6 y2
= 12x
5
4
3
2
1
F(3,0)
y =3

85
b.- Calculo de la directriz: y = 1
p = - 1 F(0,-1) x2
= 4py x2
= -4y
y -1 -2 -3 -4
x ±2 ±2 √ 2 ± 2 √ 3 ± 4
y y = 1
x
-1 F(0,-1)
-2
-3
x2
= -4y

86
Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y
analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de
experimentos y la toma de decisiones.
Historia :
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de
estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en
pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de
personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban
ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción
agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios
analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir
las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas
incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos
de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas
tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al
año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba
hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de
datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.
Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en
Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer
estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762
respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey
Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este
censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de
nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en
1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado
Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de
defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad

87
de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés
Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX,
con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de
las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de
reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las
descripciones verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para
describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales,
psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y
analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en
reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa
información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance
de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden
aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones
probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos
estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias
estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un
determinado estudio estadístico.
Métodos estadísticos :
La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos
al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial
cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.
El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información
y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en
obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera
que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las
moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los
objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por
ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.

88
El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del
total de la población no es tarea fácil.
Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar
con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo,
en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el
número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de
nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en
estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del
número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por
tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el
número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se
dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban
resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que
limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles
nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado
que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante
que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos
vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando
este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin
descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es
útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo
del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la
tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada
1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en
el futuro.
Tabulación y presentación de los datos :
Los datos recogidos deben ser organizados, tabulados y presentados para que
su análisis e interpretación sean rápidos y útiles. Por ejemplo, para estudiar e

89
interpretar la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase
con 30 alumnos, primero se ordenan las notas en orden creciente: 3,0; 3,5; 4,3;
5,2; 6,1; 6,5; 6,5; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3;
8,5; 8,8; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Esta secuencia muestra, a primera vista,
que la máxima nota es un 10, y la mínima es un 3; el rango, diferencia entre la
máxima y la mínima es 7.
En un diagrama de frecuencia acumulada, como el de la figura 1, las notas
aparecen en el eje horizontal y el número de alumnos en el eje vertical izquierdo,
con el correspondiente porcentaje a la derecha. Cada punto representa el número
total de estudiantes que han obtenido una calificación menor o igual que el valor
dado. Por ejemplo, el punto A corresponde a 7,2, y según el eje vertical, hay 12
alumnos, o un 40%, con calificaciones menores o iguales que 7,2.
Para analizar las calificaciones obtenidas por 10 clases de 30 alumnos cada
una en cuatro exámenes distintos (un total de 1.200 calificaciones), hay que tener
en cuenta que la cantidad de datos es demasiado grande para representarlos como
en la figura 1. El estadístico tiene que separar los datos en grupos elegidos
previamente denominados intervalos. Por ejemplo, se pueden utilizar 10 intervalos

90
para tabular las 1.200 calificaciones, que se muestran en la columna (a) de la tabla
de distribución de datos adjunta; el número de calificaciones por cada intervalo,
llamado frecuencia del intervalo, se muestra en la columna (c). Los números que
definen el rango de un intervalo se denominan límites. Es conveniente elegir los
límites de manera que los rangos de todos los intervalos sean iguales y que los
puntos medios sean números sencillos. Una calificación de 8,7 se cuenta en el
intervalo entre 8 y 9; una calificación igual a un límite de intervalo, como 9, se
puede asignar a cualquiera de los dos intervalos, aunque se debe hacer de la
misma manera a lo largo de toda la muestra. La frecuencia relativa, columna (d),
es la proporción entre la frecuencia de un intervalo y el número total de datos. La
frecuencia acumulada, columna (e), es el número de estudiantes con calificaciones
iguales o menores que el rango de cada intervalo sucesivo. Así, el número de
estudiantes con calificaciones menores o iguales a 3 se calcula sumando las
frecuencias de la columna (c) de los tres primeros intervalos, dando 53. La
frecuencia acumulada relativa, columna (f), es el cociente entre la frecuencia
acumulada y el número total de notas.
Los datos de una tabla de distribución de frecuencias se pueden representar
gráficamente utilizando un histograma o diagrama de barras (como en la figura 2),
o como un polígono de frecuencias acumuladas (como en la figura 3). El

91
histograma es una serie de rectángulos con bases iguales al rango de los intervalos
y con área proporcional a sus frecuencias. El polígono de la figura 3 se obtiene
conectando los puntos medios de cada intervalo de un histograma de frecuencias
acumuladas con segmentos rectilíneos.
En los periódicos y otros medios de comunicación los datos se representan
gráficamente utilizando símbolos de diferente longitud o tamaño que representan
las distintas frecuencias.
Valores de la tendencia central :
Una vez que los datos han sido reunidos y tabulados, comienza el análisis con el
objeto de calcular un número único, que represente o resuma todos los datos. Dado
que por lo general la frecuencia de los intervalos centrales es mayor que el resto,
este número se suele denominar valor o medida de la tendencia central.
Sean x1, x2, …, xn los datos de un estudio estadístico. El valor utilizado más a
menudo es la media aritmética o promedio aritmético que se escribe x, y que es
igual a la suma de todos los valores dividida por n:

92
El símbolo S, o sumatorio, denota la suma de todos los datos. Si las x se
agrupan en k intervalos, con puntos medios m1, m2, …, mk y frecuencias f1, f2, …,
fk, la media aritmética viene dada por
donde i = 1, 2, …, k.
La mediana y la moda son otros dos valores de la tendencia central. Si las x se
ordenan según sus valores numéricos, si n es impar la mediana es la x que ocupa la
posición central y si n es par la mediana es la media o promedio de las dos x
centrales. La moda es la x que aparece con mayor frecuencia. Si dos o más x
aparecen con igual máxima frecuencia, se dice que el conjunto de las x no tiene
moda, o es bimodal, siendo la moda las dos x que aparecen con más frecuencia, o
es trimodal, con modas las tres x más frecuentes.
Medidas de la dispersión:
Normalmente la estadística también se ocupa de la dispersión de la distribución,
es decir, si los datos aparecen sobre todo alrededor de la media o si están
distribuidos por todo el rango. Una medida de la dispersión es la diferencia entre
dos percentiles, por lo general entre el 25 y el 75. El percentil p es un número tal
que un p por ciento de los datos son menores o iguales que p. En particular, los
percentiles 25 y 75 se denominan cuartiles inferior y superior respectivamente. La
desviación típica es otra medida de la dispersión, pero más útil que los percentiles,
pues está definida en términos aritméticos como se explica a continuación. La
desviación de un elemento del conjunto es su diferencia con respecto a la media;
por ejemplo, en la sucesión x1, x2, …, xn la desviación de x1 es x1 - x, y el
cuadrado de la desviación es (x1 - x)2. La varianza es la media del cuadrado de las
desviaciones. Por último, la desviación típica, representada por la letra griega
sigma (s), es la raíz cuadrada de la varianza, y se calcula de la siguiente manera:

93
Si la desviación típica es pequeña, los datos están agrupados cerca de la media;
si es grande, están muy dispersos.
Correlación :
Cuando dos fenómenos sociales, físicos o biológicos crecen o decrecen de forma
simultánea y proporcional debido a factores externos, se dice que los dos
fenómenos están positivamente correlados. Si uno crece en la misma proporción
que el otro decrece, los dos fenómenos están negativamente correlados. El grado
de correlación se calcula aplicando un coeficiente de correlación a los datos de
ambos fenómenos. El coeficiente de correlación más utilizado es
donde x es la desviación de una variable con respecto a su media, e y es la
desviación de la otra variable con su media; N es el número total de casos en las
series. Una correlación positiva perfecta tiene un coeficiente +1, y para una
correlación negativa perfecta es -1. La ausencia de correlación da como
coeficiente 0. Por ejemplo, el coeficiente 0,89 indica una correlación positiva
grande, -0,76 es una correlación negativa grande y 0,13 es una correlación
positiva pequeña.
Modelos matemáticos :
Un modelo matemático es una representación ideal (en la forma de un sistema,
proposición, fórmula o ecuación) de un fenómeno físico, biológico o social. Así, un
dado teórico perfectamente equilibrado, que se puede lanzar de forma aleatoria, es
un modelo matemático de un dado real. La probabilidad de que en n lanzamientos
de un dado matemático se obtenga k veces un 6 es

94
donde (‚) es la representación de un número combinatorio
El estadístico que utiliza un dado real debe diseñar un experimento, como
lanzar el dado un gran número de veces, para determinar, a partir de los
resultados obtenidos, la posibilidad de que el dado esté perfectamente equilibrado
y de que el lanzamiento sea aleatorio.
Muchos conjuntos de medidas experimentales presentan el mismo tipo de
distribución de frecuencias que se pueden representar con un modelo matemático
único. Por ejemplo, el número de veces que sale un 6 al lanzar un dado n veces, el
peso de N garbanzos tomados al azar de una bolsa o las presiones atmosféricas
medidas por distintos estudiantes sucesivamente en el mismo barómetro. En todos
los casos los valores presentan patrones de frecuencia muy similares. Los
estadísticos adoptan un modelo que es un prototipo o idealización matemática de
todos esos patrones o distribuciones. Una forma de modelo matemático puede ser
una ecuación de la distribución de frecuencias, en la que el número de medidas o
valores se considera infinito:
donde e es la base de los logaritmos neperianos, e y representa la frecuencia del
valor x. La gráfica de esta fórmula (figura 4) es una curva en forma de campana
llamada curva de probabilidad normal o gaussiana:

95
Distribución de Frecuencias Simples:
Cuando se dispone de gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o
categorías y determinar el número de individuos pertenecientes a cada clase, que es
la frecuencia de clase. Una ordenación tabular de los datos en clases, reunidas la
clases y con las frecuencias correspondientes a cada una, se conoce como una
distribución de frecuencias o tabla de frecuencias.
Pesos Frecuencias
X f
46 1
47 4
48 5
49 3
50 2
51 3
52 2
∑ n = 20

96
Frecuencias Acumuladas:
Pesos Frecuencias Frecuencias Acumuladas
X f fa
46 1 1
47 4 5
48 5 10
49 3 13
50 2 15
51 3 18
52 2 20
∑ n = 20
Frecuencia Relativa:
fr = f fr = frecuencia relativa
n f = frecuencia
n = total de datos de la muestra.
Ejemplo: la proporción de alumnos con 50 kg de peso es: fr = 3 = 0,15
20
frecuencia Porcentual:
fp = 2 . 100 = 0,1 . 100 = 10%
20

97
Pesos Frecuencias
X f fa fr fp
46 1 1 0,05 5
47 4 5 0,20 20
48 5 10 0,25 25
49 3 13 0,15 15
50 2 15 0,10 10
51 3 18 0,15 15
52 2 20 0,10 10
∑ n = 20 1 100%
Distribución de Frecuencias para datos agrupados en intervalos:
Regla:
1.- Determinar el mayor y el menor entre los datos registrados y así encintrar el
rango (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).
2.- Dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase del mismo
tamaño. Los intervalos de clase se eligen también de forma que las marcas de clase
o puntos medios coincidan con datos realmente observados. Esto tiende a aminorar
el llamado error de agrupamiento, en los análisis matemáticos posteriores. Sin embargo,
los límites reales de clase no coincidirán con los datos observados.
3.- Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de
clase, es decir, encontrar las frecuencias de clase.
Ejemplo:
5 8 11 12 14 17
6 9 1 13 15 17
6 10 11 13 15 18
7 10 12 14 16 18
8 10 12 14 16 19

98
Rango: es la diferencia entre el valor máximo de la serie y el valor mínimo.,
R = VM – Vm
Entonces: R = 19 – 5 = 14 , nuestro rango es R = 14
Intervalos: se toma atendiendo la postura del investigador, en nuestro caso
tomaremos arbitrariamente m = 5.
Amplitud de Intervalos: C = R C = 14 = 2,8
M 5
Aproximamos para que sea un número entero: C = 3
Vm + (C-1) = 5 + (3-1) = 5+2 = 7 , entonces el primer intervalo es 5 – 7
Calificaciones
X
5 - 7
8 - 10
11 - 13
14 - 16
17- 19
∑
Ahora la tabla nos quedará:
Calificaciones N° de Alumnos fa
X
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
17 - 19 5 30
∑ n = 30

99
Marcas de Clase o Puntos Medios de los Intervalos:
Mc = Li + Ls
2
Mc = 5 + 7 = 6 Mc = 11 + 13 = 12 Mc = 17 + 19 = 18
2 2 2
Calificaciones N° de Alumnos fa Mc
X
5 - 7 4 4 6
8 - 10 6 10 9
11 - 13 8 18 12
14 - 16 7 25 15
18 - 19 5 30 18
∑ n = 30
Limites Reales o Verdaderos: vienen dados por la suma del límite superior de un
intervalo más el límite inferior del intervalo siguiente dividido por dos:
7 + 8 = 7,5 ; 10 + 11 = 10,5 ; 13 + 14 = 13,5 ; 16 + 17 = 16,5
2 2 2 2
Calificaciones N° de Alumnos fa Mc Limites Reales
X
5 - 7 4 4 6 4,5 - 7,5
8 - 10 6 10 9 7,5 - 10,5
11 - 13 8 18 12 10,5 - 13,5
14 - 16 7 25 15 13,5 - 16,5
17- 19 5 30 18 16,5 - 19,5
∑ n = 30

100
Representación Gráfica de Datos:
Existen tres métodos comunes de representar gráficamente una distribución de
frecuencias: el histograma de frecuencias, el polígono de frecuencias y el polígono
de frecuencias acumuladas.
Histograma de Frecuencias:
Son una serie de rectángulos paralelos y pegados, cuya base representa un
intervalo y su altura la magnitud de la frecuencia respectiva.
Pasos para la elaboración de un histograma:
1.- se trazan dos ejes de coordenadas rectangulares: eje de las abscisas (eje X) y el
eje de las ordenadas (eje Y).
2.- Se colocan en el eje X los límites reales de los intervalos y en el eje Y las
magnitudes de cada frecuencia.
3.- Se levantan perpendiculares por los límites reales de cada intervalo, siendo la
altura de estas perpendiculares igual a la frecuencia del intervalo respectivo.
4.- Se unen las dos perpendiculares.
Histograma de frecuencias
0
2
4
6
8
10
5
- 7
8
- 10
11
- 13
14
- 16
17
- 19
Calificaciones
N°Alumnos
N° de Alumnos

101
Polígono de Frecuencias:
El polígono de frecuencias es un conjunto de puntos unidos mediante segmentos
de recta .
Pasos para la elaboración del polígono:
1.- Se trazan dos ejes de coordenadas rectangulares.
2.- Se colocan sobre el eje de las abscisas las marcas de clase y en el eje de las
ordenadas sus respectivas frecuencias.
3.- Para cada marca de clase corresponderá un valor de la frecuencia, señalado en
el sistema de coordenadas rectangulares por un punto.
4.- se unen los puntos mediante segmentos de recta.
5.- Cuando de elabora el polígono de frecuencias se deben dejar en blanco dos
marcas de clase, una por la izquierda y otra por la derecha, con frecuencia cero
para cerrar el polígono.
Polígono de Frecuencias
0
5
10
5 - 7 8 -
10
11 -
13
14 -
16
17 -
19
Calificaciones
N°Alumnos

102
Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojiva:
La ojiva indica las frecuencias acumuladas que corresponden a cada uno de los
intervalos.
Pasos para elaborar la ojiva:
1.- Se trazan dos ejes de coordenadas.
2.- Se colocan sobre las abscisas los límites reales de los intervalos y sobre las
ordenadas las frecuencias acumuladas.
3.- Se ubican los puntos en el plano cartesiano.
4.- Se unen los puntos, partiendo del límite real inferior del primer intervalo.
Ojiva
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15
Ca lifica cione s
Alumnos

103
Otros tipos de Graficas:
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Alumnos
C a l i fi c a c i o n e s
C o lu m n a s

104
C i r c u l a r
0
2
4
6
8
1 - 3 4 - 6 7 - 9 1 0 -
1 2
1 3 -
1 5
C 1
C a l i f i c a c i o n e s
A l u
m n o
s
A r e a s

105
A n illo s
1
3
5
7
8
1 - 3
4 - 6
7 - 9
10 - 12
13 - 15
1 -
3
4 -
6
7 -
9
1 0 -
1 2
1 3 -
1 5
C 1
1
3
5
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A l u m n o s
C ilin d r o s

106
1 -
3
4 -
6
7 -
9
1 0 -
1 2
1 3 -
1 5
C 1
1
3
5
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
A l u m n o s
P i r a m i d a l

107
GUIA DE EJERCICIOS:
Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades
eran las siguientes: 32, 28, 32, 28, 40, 32, 21, 30, 32 y 25 años. Elabore una
distribución de frecuencias simple.
Las edades de un grupo de niños son: 8, 3,5, 4, 6, 8, 3, 4, 7, 7, 5, 6, 3, 4 , 6 ,6,7
y 5 años. Elabore una distribución de frecuencia simple.
Se aplicó una prueba a 12 alumnos y las calificaciones fueron: 12, 10, 14, 17,
12, 9, 10, 16, 17,11, 13 y 15 puntos. Elabore una distribución de frecuencias
simple.
Las contribuciones, en Bs. de 30 alumnos para una campaña de limpieza en la
escuela, fueron las siguientes:
85 90 75 65 90 115 75 100 80 55
110 75 60 80 90 100 100 80 45 90
120 80 60 5 120 110 75 65 85 60
Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 6 intervalos
y luego grafica: histograma, polígono y la ojiva.

108
Los resultados de una evaluación de geografía, aplicada a 30 alumnos fueron:
10 16 8 18 5 17 1 12 16 17
6 5 14 13 19 18 15 11 8 6
10 13 14 12 9 7 15 14 10 17
Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y
luego grafica: histograma, polígono y ojiva.
El peso en kg de un grupo de 40 estudiantes resultó ser:
52 57 55 57 61 59 55 53
56 58 61 63 54 57 52 64
54 50 58 54 51 60 59 54
52 62 64 50 64 60 62 60
55 60 55 60 58 53 55 62
Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y
luego grafique: barras, polígono y ojiva.
La matricula de una escuela durante el período 1997-1998-1999-2000-2001-
2002 fue:
Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Alumnos inscritos 250 340 400 450 580 700
Elabore una gráfica de líneas y una gráfica de barras

109
Dada la siguiente tabla:
Sexo
Rendimiento Masculino Femenino
Excelente 20 10
Bueno 60 50
Regular 40 25
Deficiente 15 12
Elabore una gráfica de barras dobles.
Se realizó una encuesta a 7500 alumnos para conocer la preferencia hacia
ciertos sabores de un determinado refresco del mercado. Los resultados
fueron:
Sabor N° de Alumnos
Uva 1875
Manzana 1125
Pera 3000
Durazno 1500
Elabore una grafica circular o de sectores.

110
Medidas de Tendencia Central:
Las medidas de tendencia central son los números alrededor de los cuales se
encuentra la mayoría de las observaciones de una serie.
La Media Aritmética:
Es el punto de balance de una distribución. Se le denomina simplemente media X .
Media Aritmética Simple:
Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. La media de
un conjunto de números: X1, X2, X3,..........Xn se obtiene mediante la ecuación:
X = X1 + X2 + X3..........+ X = ∑ X
n n
Ejemplo: Calcule la media de las siguientes calificaciones: 18, 16, 18, 16,20, 18, 14,
16, 18, 14
X = 18 + 16 + 18 + 20 + 18 + 14 + 16 + 18 + 14 = 168 = 16,8
10 10
Media Aritmética para una Distribución de Frecuencia Simple:
Cuando el número de datos de la muestra es elevado, el calculo de la media se
simplifica si agrupamos los datos en una distribución de frecuencias simple.
Pasos para calcularla:
1.- Se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia.
2.- Se suman estos productos.
3.- Se divide la suma anterior por el numero total de datos de la muestra, es decir:
X = ∑ f . X
n

111
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden al numero de hijos de un grupo de personas:
2 0 2 4 4 6 6 4 6 7
4 4 7 4 2 0 4 6 7 7
Calcular la media de hijos del grupo, usando una distribución de frecuencias
simple:
N° de Hijos N° de Personas f . X
X f
0 2 0
2 3 6
4 7 28
6 4 24
7 4 28
∑ 20 86
X = ∑ f . X = 86 = 4,3
n 20
Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, el cálculo de la media se hace de
la siguiente manera:
1.- Calculamos las marsas de clase correspondientes a cada intervalo.
2.- Multiplicamos cada marca de clase por su respectiva frecuencia.
3.- Sumamos los resultados obtenidos y lo dividimos por el número total de datos de
la muestra:
X = ∑ f . Mc
n

112
Ejemplo:
La siguiente distribución representa las calificaciones de 30 alumnos en una
evaluación:
Calificaciones N° de alumnos Mc f . Mc
X f
5 - 7 4 6 24
8 - 10 6 9 54
11 - 13 8 12 96
14 - 16 7 15 105
17 - 19 5 18 90
∑ n=30 369
La calificación promedio o media del grupo es:
X = ∑ f . Mc = 369 = 12,3 puntos
n 30
Media Aritmética Ponderada:
Pasos para calcularla:
1.- Multiplicar cada valor por su respectiva ponderación.
2.- Sumar todos los productos y dividirlos por el número total de ponderaciones.
X = w1 . X1 + w2 . X2 +…….………. + wn . Xh = ∑ w . X
W1 + w2 + w3 +…………….wk ∑ w

113
Ejemplo:
La siguiente tabla representa las asignaturas cursadas por un alumno de
Administración de Recursos Humanos en un semestre:
Asignatura Calificación Unidad Crédito
Nómina 7 3
A .R .H 8 2
Registro y Control 5 3
Evaluación y Eficiencia 9 4
Calcular su rendimiento promedio en el semestre.
X = 7 .3 + 8 . 2 + 5 . 3 + 9 . 4 = 21 + 16 + 15 + 36 = 88 = 7,33
12 12 12
El promedio del alumno en el semestre es de 7,33 puntos en una escala del 1 al 9.
La Media Aritmética de Varias Medias:
Cuando tenemos varias medias correspondientes a dos o más muestras y se desea
hallar la media de todas las medias como si se tratara de un solo grupo, se puede
hacer usando la media ponderada.
Ejemplo:
Se aplicó un test a tres grupos de alumnos y los resultados fueron:
X1 = 60 ; X2=50 ; X3=40 ; n1=10 ; n2=60 ; n3=30
Calcular la media aritmética de los grupos combinados.
X = n1 . X1 + n2 . X2 + n3 . X3 = 10 . 60 + 60 . 50 + 30 . 40 =
n1 + n2 + n3 10 + 60 + 30

114
X = 600 + 3000 + 1200 = 4800 = 48 puntos
100 100
La Mediana:
Se define como el valor de la variable que supera la mitad de los datos y a su vez
es superado por la otra mitad de los datos. Por esta razón se le considera como el
valor central, ya que estará situado en el centro de la distribución.
Mediana para Datos no Agrupados:
a.- Cuando el número de datos es impar: ordenando previamente los datos, la
mediana coincide con el término central. 12, 13, 14,15, 17, 18, 19
El término central es Md= 15 puntos.
b.- Cuando el número de datos en par: ordenando previamente los datos, la mediana
será la media aritmética de los términos centrales. 14, 15, 15, 16, 17, 18
La mediana es: Md = 15 + 16 = 15,5 puntos
2
Mediana para Datos Agrupados en Frecuencias Simples:
Pasos:
1.- Se calculan las frecuencias acumuladas.
2.- Se halla la mitad de los datos de la muestra, es decir. n/2.
3.- La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea n/2 o la
inmediata superior.

115
Ejemplo:
La siguiente distribución representa las calificaciones de un grupo de alumnos:
Calificaciones Alumnos fa
X f
13 1 1
14 4 5
15 8 13
16 10 23
17 6 29
18 2 31
19 3 34
20 2 36
∑ n=36
La mediana anterior se calcula:
1.- Calculamos n/2 = 36/2 = 18
2.- Ubicamos la mitad de los datos, es decir 18, en la referencia acumulada igual a
18 o en la inmediata superior, el valor de la variable correspondiente es 16; luego
Md=16 puntos.
El resultado indica que la mitad de los alumnos tiene calificaciones mayores que
16 puntos y la otra mitad menores que 16 puntos.

116
Mediana para Datos Agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, la mediana se calcula a través
de los siguientes pasos:
1.- Se determina la posición de la mediana, es decir n/2.
2.- Se determina el intervalo medianal (intervalo que contiene a la mediana). Que es
aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a n/2 o la inmediata superior.
3.- Se efectúa la diferencia entre el orden de la mediana y la frecuencia acumulada
anterior a la que contiene.
4.- Se calcula la mediana mediante la ecuación:
Md = Lri + n
- fa (anterior) . C
2
f
Md = Mediana
Lri= Límite real inferior del intervalo medianal.
n/2 = Posición de la mediana.
f = frecuencia medianal.
C = Amplitud del intervalo medianal.
Lri = 10 + 11 = 10,5
2

117
Ejemplo:
Calcular la mediana del siguiente grupo de calificaciones:
X f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
19 - 19 5 30
∑ n = 30
Solución:
Calculamos n/2 = 30/2 = 15
El intervalo que contiene a la mediana es aquel cuya frecuencia acumulada sea
igual a 15 o la inmediata superior, en nuestro caso la inmediata superior a 15, es
decir fa=18; luego la mediana está en el intervalo 11 – 13
De donde: Lri = 10,5 ; n/2 = 15 ; fa(anterior)= 10 ; f = 8 ; C = 3
Aplicando la ecuación: Md = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625) . 3
8
10,5 + 1,875 = 12,375
Este resultado significa que 15 alumnos tiene más de 12,375 puntos y los otros 15,
menos de 12,375 puntos.
Calculo de la Mediana en forma Gráfica:
Pasos:
1.- Se grafica un polígono de frecuencias acumuladas u ojiva.
2.- Se determina el orden de la mediana.
3.- Se localiza este punto en el eje vertical, el de las frecuencias acumuladas.

118
4.- Por este punto se traza una paralela al eje de las abscisas hasta tocar la curva de
la ( fa).
5.- se traza una perpendicular al eje horizontal por el punto de corte con la curva.
6.- El corte de la perpendicular con el eje de las abscisas es la mediana.
Ojiva
(fa)
A 30
l 25
u 20
m 15
n 10
o 5
s 0
4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5
Calificaciones
Md = 12,375
La Moda:
Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se simboliza :
Mo.
Moda para Datos Agrupados:
Ejemplo 1: La moda en la serie de calificaciones : 17, 15, 18, 17, 14, 19 es:
Mo = 17, ya que tiene mayor frecuencia (se repite dos veces).
Ejemplo 2: La moda en la serie de calificaciones: 14,17, 11, 10, 19, 12, 15 es:
Mo= no tiene, ya que ninguna calificación se repite.
Ejemplo 3: La moda de las siguientes calificaciones: 20, 15, 20, 15, 18, 17, 15, 20,
18 es: Mo= 20 y 15, ya que ambas presentan mayor frecuencia.

119
Moda para datos Agrupados en Frecuencias Simples:
Pesos Frecuencias
X f
46 1
47 4
48 5
49 3
50 2
51 3
52 2
∑ n=20
La moda de esta distribución es Mo= 48 kg, ya que es el peso con mayor
frecuencia.
Moda para Datos Agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda es la marca de clase con
mayor frecuencia
Calificaciones N° de alumnos Mc
X f
5 - 7 4 6
8 - 10 6 9
11 - 13 8 12
14 - 16 7 15
17 - 19 5 18
∑ n=30
Es Mo= 12 puntos, ya que es la marca de clase con mayor frecuencia.

120
Relación entre las Medidas de Tendencia Central:
Se cumple la relación empírica de Pearson:
Media – Moda = 3.(Media – Mediana).
Moda = 3 Mediana – 2 Media.
Esta relación permite calcular, cualquiera de ellas, conociendo las otras dos.
Cuando tenemos una distribución abierta, la relación anterior nos permite calcular
la media a partir de la mediana y la moda.
Asimetría:
Una distribución es simétrica cuando X = Md = Mo
Ejemplo:
Si un docente aplica una prueba y en los resultados las calificaciones altas es casi
igual a las calificaciones bajas, la distribución está balanceada uniformemente
alrededor del centro de la distribución.
Distribución Simétrica
A
L
U
M
N
O
S
X – Md – Mo
Calificaciones

121
Distribución Asimétrica Positiva
A
L
U
M
N
O
S +
Mo Md X
Calificaciones
Distribución Asimétrica Negativa
A
L
U
M
N
O
S
X Md Mo
Calificaciones

122
Medidas de Posición:
Son valores que permiten dividir un conjunto de datos en partes iguales.
Percentiles:
Se llaman percentiles a los valores que corresponden a determinados porcentajes
de la frecuencia acumulada. Por ejemplo, el percentil veinte P20 es el valor que
corresponde al 20% de las frecuencias acumuladas.
Cuartíles:
Los tres percentíles que dividen el total de los datos en cuatro partes iguales P25,
P50, P75 reciben el nombre de cuartiles y se representan por Q1, Q2, y Q3 .
Deciles:
Los percentiles múltiplos de diez P10, P20, P30, .......,P90 reciben el nombre de
deciles y se representan por D1, D2, D3,..........D9.
De lo anterior podemos deducir:
P25 P50 P75
Q1 D5= Q2 = Md Q3

123
Calculo de las Medidas de Posición para Datos no Agrupados:
Para calcularlas utilizaremos el mismo procedimiento que se usa en el calculo de
la mediana para datos no agrupados, tanto para datos pares como datos impares.
1.- Cuando n es par:
Dx = x . n Qx = x . n Px = x . n
10 4 100
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por ocho
alumnos en una evaluación de Matemática: 18, 16, 19, 18, 13, 20, 10, 17 puntos.
Calcular: D4, Q3 y P25
Ordenamos los datos: 10, 13, 16, 17, 18, 18, 19, 20
D4 = 4 . 8 = 3,2 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P25 = 25 . 8 = 2
10 4 100
2.- Cuando n es impar:
Dx= x . (n + 1) ; Qx= x . (n + 1) ; Px= x . (n + 1)
10 4 100
Ejemplo:
Los siguientes datos representan las edades de un grupo de alumnos: 20, 18, 19,
22, 19 y 23 años.
Calcular: D7, Q3 y P50
Ordenamos los datos: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23
D7 = 7 . 8 = 5,6 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P50= 50 . 8 = 4
10 4 100

124
Calculo de las Medidas de Posición para Datos Agrupados en Intervalos:
Se utiliza el mismo procedimiento para el calculo de la mediana.
P = Lri + P - fa (anterior) . C
f
P = Valor que representa la posición de la medida.
Lri= Límite real inferior del intervalo que contiene la medida buscada.
fa = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida.
C = Amplitud del intervalo que contiene la medida de posición.
Ejemplo:
En la siguiente distribución, calcular: Q1, D5 y P60
X f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
20 - 19 5 30
∑ n = 30
Calculamos Q1:
Hallamos la posición de la media: P = 1 . n = 1 . 30 = 7,5
4 4
Q1 está ubicado en el intervalo 8 – 10
De donde: Lri = 7,5 ; P = 7,5 ; fa(anterior)= 4 ; f = 6 ; C = 3
Aplicando la ecuación: Q1 = 7,5 + 7,5 – 4 . 3 = 7,5 + 1,74 = 9,24 puntos
6

125
Este resultado significa que el 25% de los alumnos, tienen calificaciones menores
que 9,24 puntos.
Calculamos el D5
Primero hallamos la posición de la medida: P = 5 . n = 5 . 30 = 15
10 10
El D5 está en el intervalo 11 – 13
De donde: Lri = 10,5 ; P = 15 ; fa(anterior) = 10 , f =8 , C =3
D5 = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625 . 3) = 10,5 + 1,875 = 12,375
8
Calculamos el P75 = 75 . n = 75 . 30 = 22,5
100 100
El P75 está en el intervalo 14 – 16
De donde: Lri = 13,5 ; P = 22,5 ; fa(anterior) = 18 ; f = 7 , C = 3
P75 = 13,5 + 22,5 – 18 . 3 = 13,5 + (0,642 . 3) = 13,5 + 1,926 = 15,426
7
Medidas de Dispersión:
Las medidas de tendencia central no son suficientes para caracterizar una
distribución. Dos distribuciones pueden tener la misma media y ser muy diferentes.
Para poder caracterizar una distribución se necesita otra medida que indique la
dispersión o variabilidad de los datos.
Ejemplo:
Dos alumnos A y B han obtenido las siguientes calificaciones en un lapso en la
asignatura Matemática:
Alumno A: 12, 18, 16, 4 , 2 , 20, 6, 18. Su media es 12 puntos.
Alumno B: 12, 12, 14, 12, 12, 10, 12, 12. Su media es 12 puntos.

126
La media de los dos alumnos es igual. Sin embargo las calificaciones que han
obtenido son muy distintas, las del alumno B se concentran alrededor de la media y
las del alumno A se separan mucho de la media.
En conclusión, las medidas de dispersión se emplean para determinar el grado de
homogeneidad o heterogeneidad de un conjunto de datos con respecto a una medida
de tendencia central.
Medidas de Variabilidad o Dispersión:
El Rango o Amplitud Total:
Se define como la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de una
distribución. Su ecuación es: R = VM – Vm.
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular y la menos estable, ya que los
cambios en unos cuantos valores de la serie de datos pueden afectar
considerablemente su valor.
La utilidad del rango se presenta cuando:
1.- Se quiere una comparación rápida entre dos distribuciones.
2.- Los datos son muy escasos o demasiado dispersos.
Ejemplo:
En dos grupos A y B con las siguientes calificaciones:
Grupo A: 14, 12, 18, 11, 15
Grupo B: 14, 15, 13, 13, 15
La media de ambos grupos es 14 puntos.
El rango del grupo A es RA = 18 – 11 = 7 puntos.
El rango del grupo B es RB = 15 – 13 = 2 puntos.
Como el rango del primer grupo es mayor que el rango del segundo grupo, se
puede decir que el primer grupo de calificaciones es más viable, es decir, más
heterogéneo.

127
Desviación Semi-intercuartilar:
Se simboliza con Q y se define como la mitad de la distancia entre el Q1 y el Q3, o
sea entre el P25 y el P75. Se calcula con la ecuación: Q = Q3 – Q1
2
Entre el Q3 y Q1 existe siempre el 50% de las observaciones.
Si los datos se concentran en el centro de la distribución los Q1 y Q3 estarán cerca
y el valor de Q será pequeño; cuando los datos están dispersos, Q será grande.
25% Q1 25% Q2 25% Q3 25%
25% 50% 75%
Si Q3 – Q2 = Q2 – Q1 la distribución es simétrica.
Si Q3 – Q2 > Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.
Si Q3 – Q2 < Q2 – Q1 la distribución es asimétrica negativa.
La utilidad de la desviación semi-intercuartilar se presenta cuando:
1.- La medida de tendencia central es la mediana.
2.- Los datos de distribución están muy dispersos.
Ejemplo:
En la siguiente distribución:
x f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
21 - 19 5 30
∑ n = 30

128
Calcule la desviación semi – intercuartil y el tipo de asimetría
Calculamos Q1 y Q3, ya conocemos estos valores anteriormente.
Q = 22,5 – 9,24 = 6,63
2
Q3 – Q2 = 22,5 – 12,375 = 10,125
Q2 – Q1 = 12,375 – 9,24 = 3,135
Como Q3 – Q2 > Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.
La Desviación Típica o Estándar:
Es la medida de dispersión más usada y la mas estable, ya que depende de todos
los datos de la distribución.
Mide la desviación promedio de cada dato respecto a la media aritmética.
Permite la comparación de dos o más distribuciones, cuando están dadas las
mismas unidades de medidas, para determinar cual de ellas presenta mayor o menor
grado de variabilidad absoluta.
La desviación típica representa la dispersión de los datos, de una curva de
frecuencias asimétrica centrada sobre la media, llamada Curva Normal.
Desviación Típica para Datos no Agrupados:
S = ∑ x2
- x2
n

129
Ejemplo:
Calcular la desviación típica para el siguiente grupo de calificaciones: 10, 12, 14,
11, 13
Calificaciones X2
X
10 100
12 144
14 196
11 121
13 169
60 730
Primero calculamos la media: X = 60 = 12
5
S = ∑ x2
- x2
S = 730 - 122
S = 146 – 144
n 5
S = √2 = 1,41
Este resultado significa que en promedio cada calificación se desvía de la media
en 1,41 puntos .
Desviación Típica para Datos Agrupados en una Distribución de Frecuencias
Simple:
S = ∑ f . X2
- X2
n

130
Ejemplo:
Calcular la desviación típica para la siguiente distribución de calificaciones:
Calificaciones Alumnos X2
f . X 2
X f
12 2 144 288
14 3 196 588
16 4 256 102
18 1 324 324
∑ n =10 2224
Primero calculamos la media de la distribución:
X = 148 = 14,8
10
S = 2224 - (14,8)2
S = 222,4 – 219,04 S = 3,36 = 1,83
10
Este resultado significa que , en promedio cada calificación se desvía de la media
en 1,83 puntos.
Desviación Típica para Datos Agrupados en Intervalos:
S = ∑ f . Mc2
- X2
n

131
Ejemplo:
Calcular la desviación típica de la distribución de calificaciones:
Calificaciones N° de Alumnos
X f Mc Mc2
f . Mc2
5 - 7 4 6 36 144
8 - 10 6 9 81 486
11 - 13 8 12 144 1152
14 - 16 7 15 225 1575
22 - 19 5 18 324 1620
∑ n = 30 4977
Primero calculamos la media:
X = 369 = 12,3
30
S = 4977 – (12,3)2
S = 165,9 – 151,29 = 14,61 = 3,822
30
Este resultado significa que, en promedio cada calificación se desvía de la media
en 3,822 puntos.
La Varianza:
La varianza se define como el cuadrado de la desviación típica. Se simboliza con
S 2
.
Ejemplo I:
Media de una distribución:
X = 148 = 14,8
10
S = 2224 - (14,8)2
S = 222,4 – 219,04 S = 3,36 = 1,83
10
La varianza será S = ( 1,83)2
= S 2
=3,35 puntos.

132
Ejemplo :
Una universidad A paga en promedio Bs. 6.300 por hora de clase dictada con
una desviación típica de Bs. 260 y la universidad B paga en promedio Bs. 7.200 con
una desviación típica de Bs. 280.¿ En cual de las universidades el pago de las horas
de clase presenta mayor variabilidad absoluta?
SA
2
= 260 2
= 67.600 y SB
2
= 280 2
= 78.400
La varianza de B es mayor que la de A, por lo tanto en la universidad B hay una
mayor variabilidad en el pago de las horas clase.
Coeficiente de Variación:
Se expresa en porcentaje y es el cociente entre la desviación típica y la media
aritmética de los datos.
Ecuación: C . V = S . 100
X
Se emplea cuando se desea comparar dos o más distribuciones, con el fin de
determinar cual de ellas tiene menor o mayor variabilidad relativa.
Ejemplo:
La estatura media de los varones en Inglaterra es 75 pulgadas con desviación
típica de 2 pulgadas y la media de la estatura en Venezuela es 160 cm y su
desviación típica 10 cm. ¿ Cual país presenta menor variabilidad en las estaturas ?.
Como las medidas son distintas, unas en pulgadas y las otras en centímetros, no
se pueden comparar las varianzas, ni las desviaciones típicas. Por tanto, se aplicará
el coeficiente de variación.
C.V = 2 . 100 = 2,6 % Inglaterra
75
C.V = 10 . 100 = 6,2 % Venezuela
160

133
GUIA DE EJERCICIOS
Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades
eran: 32, 28, 32, 31, 30, 32, 25 y 41 años. Determine: Media de las edades,
mediana, moda, rango, desviación típica y varianza.
Antonio obtuvo las calificaciones:19, 18, 15, 15, 16 y 17 puntos. Determine:
Media de las calificaciones, mediana, moda, rango, desviación típica y
Varianza.
Halle la media aritmética : mediana, moda, rango, desviación típica y
varianza de los siguientes datos: 5, 8, 4, 3, 7, 8, 4, 2, 9, 5, 6, 7.
Calcule: Q3, D9, P50 y P84 de los datos: 200, 140, 230, 155, 180, 205, 140, 165
140, 190, 180, 225, 240, 140, 140, 155, 165, 140, 140, 140
El número de hijos por familia de un grupo de docentes es: 2, 1, 2, 4, 4, 6, 6,
4, 6, 7, 4, 4,7, 4, 2, 1, 4, 6, 7, 7. Elabore una distribución de frecuencias
simple y luego determine : Media de hijos por familia, mediana, moda,
desviación típica y varianza.
Las edades de un grupo de alumnos son: 13, 15, 14, 16, 18, 13, 14, 17, 15, 16,
13, 15, 14, 16, 16, 17 y 15 años. Elabore una distribución de frecuencias simple
y luego determine: la media de las edades, mediana, moda, desviación típica y
varianza.

134
Calcule : Q1, D5, P70, y P50 en la distribución:
X f
36 2
37 1
38 3
39 4
40 5
41 4
42 2
43 3
44 1
Tres secciones A, B y C de una escuela presentaron los siguientes resultados
en una evaluación de matemática:
XA = 11,9 puntos con nA = 24 alumnos.
XA = 14,2 puntos con nB = 30 alumnos
XA = 10,8 puntos con nB= 28 alumnos.
Calcule la media aritmética de los grupos combinados
Calcule la media de las medias en:
___ ___ ___
X1 = 60 X2 = 40 X3 = 50
__ __ __
X4 = 12 X5 = 30 X6 = 60
Un carro a una velocidad de 60 km/h en la primera hora de recorrido,
70km/h en la segunda hora y 80 km/h en la tercera hora. Halle la velocidad
promedio del carro.

135
___
Si una distribución tiene X = 18, Md = 14 y Mo = 12 entonces es
¿simétrica?, ¿asimétrica positiva? o ¿asimétrica negativa?
Dada la distribución de frecuencias:
Peso Alumnos
(Kg.) f
50-52 6
53-55 11
56-58 7
59-61 9
62-64 7
∑ n=40
Calcule: la media de los pesos, Md, Mo, D3, Q1, P60, Q, S, S 2
Dada la distribución:
Bs f
201-230 8
231-260 10
261-290 16
291-320 14
321-350 10
351-380 7
∑ n=65
Calcule: la media aritmética, Md, Mo, D4, P80, Q3, S, S

136
Dada la distribución:
Puntajes Alumnos
f
7-11 2
12-16 7
17-21 12
22-26 7
27-31 2
∑ n=30
Calcule: la media de las calificaciones, Md, Mo, Q1, P60, Q, S, S 2
La antigüedad en el trabajo de un grupo de docentes, se muestra en la distri-
bución:
Antigüedad Docentes
(años) f
1- 5 12
6-10 22
11-15 35
16-20 46
21-25 46
26-30 29
31-35 10
∑ n=200
Calcule: la antigüedad promedio del grupo de docentes, Md, Mo, D8, Q1,
P60, Q, S, S 2

137
Los pesos y estaturas de los alumnos de una clase presentan las siguientes
medidas:
___
X = 68 Kg. con S = 8 kg
___
X = 1,7 m con S = 0,61 m
¿ En cual de los dos variables es más homogénea la clase?
En una prueba final de matemática, la puntuación de un grupo de 150
Estudiantes fue de 78 con desviación típica de 8. En física la media del
grupo fue 73 con desviación de 7,6.¿ En que asignatura hubo mayor
dispersión absoluta?. ¿ En que asignatura hubo mayor dispersión relativa?

138
Probabilidad Estadística:
La Probabilidad, también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama
de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la
posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La
probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento
necesario de la estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo
XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores,
como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes
contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un
intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por
ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la
probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,
ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la
probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos
estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o
acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual
probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos
se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por
ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la
probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian

139
acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de
ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par
de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.
Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles
resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada
aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.
Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad
y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un
3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una
persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso
hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la
persona esté a menos de 10 pasos del origen.
En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente
excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos
sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es
igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son
excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son
independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el
otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los
casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de
que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se
sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.
Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no
ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y
la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente
excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y
no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los

140
sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2,
…, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un
valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 +
p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si
saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado
esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es
lo mismo, un pastel.
El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis
estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo
que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin
hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos
darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la
probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si
la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años
sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de
que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas
y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan
dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia
problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante
relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del
cálculo.

141
1.- Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20
azules y 15 naranjas. Halle la probabilidad de que sea:
a.- Naranja: p(N) = 15 p(N)= 0,20 p(N)= 20%
75
b.- No sea roja o azul: p ( R ) ó p(A)
p R = 10
75
p(A)= 20 p R ó p(A) = 10 + 20 = 30 = 40%
75 75 75
c.- No Azul: p(A) = 20 = 0,26 = 26.6%
75
d.- Blanca : p(B) = 30 = p(B) = 40%
75
e.- Roja, blanca o azul : p ( R ) ó p (B) ó p(A) = 60
75

142
Distribución Binomial:
2.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10
preguntas de un examen verdadero o falso?
x ≥ 6 p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)
P(contestar) = 6 ---------60% p= 0,60 n = 10 n – x = 4
P( no contestar) = 4 ---- 40% q= 0,40
P(x=6) = (10/6) . (0,60)6
. (0,40)4
C10,6 = 10! C 10,6 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! =
6! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
C10,6 = 210 p (x=6) = 210 . (0,046656). (0,0256)
p(x=6) = 0,2508226
p(x=7) = C10,7 . (0,70)7
. (0,30)3
p = 7----0,70 C10,7 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! = 120
q= 3-----0,30 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
P(x=7) = 120. (0,70)7
.(0,30)3

143
P(x=7) = 120 . (0,0823543).(0,027)
P(x=7)= 0,2668279
P(x= 8) = C10,8 . (0,80)8
. (0,20)2
p=8----0,80 C10,8 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! = 45
q=2----0,20 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
P(x=8) = 45 . (0,167772)8
. (0,04)2
P(x=8) =0,3019896
P(x=9)= C10,9 .(0,90)9
. (0,10)1
p=9---0,90 C10,9 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! = 10
q=1---0,10
9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!
P(x=9) = 10 . (0,387420) . (0,10)
P(x=9) = 0,387420

144
P(x=10)= C10,10 . (1)10
. (1)0
C10,10 = V10,10
= 1 p(x=10) = 1 . 1 .1
p10
p(x=10) = 1
p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+p(x=10)= 0,2508226+0,2668279+
0,3019896+0,387420 = p(x ≥ 6) = 2,207
3.- Halle la probabilidad de: a.- 2 ó más caras; b.- menos de 4 caras en un
lanzamiento de 6 monedas.
a.- 2 ó más caras: p(x ≥ 2)
p(x=2)= C12,2 . (0,16)2
. (0,84)10
p=2--- 0,16 C 12,2 = 12! 11! = 66
q=10---0,84
2! 1!
P(x=2)= 66 . (0,0256). (071490)
P(x=2)= 0,29551

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