Este documento fornece uma introdução à análise de séries cronológicas. Discute os objetivos da análise de séries, define séries cronológicas e fornece exemplos. Também descreve comportamentos típicos como séries aleatórias, com tendência e sazonalidade.

1. Material para os estudantes do 2.º ano
ANÁLISE DE SÉRIES
CRONOLÓGICAS
Por: E. Seno 1
FE-UAN - 2006

2. Aspectos gerais
Objectivos:
identificar a natureza do fenómeno que é representado
pela sequência de observações (através da procura de
um padrão de comportamento);
descrever o comportamento das observações através de
um modelo matemático;
prever a evolução futura do fenómeno;
rever as decisões tomadas e estabelecer estratégias.
Por: E. Seno 2
FE-UAN - 2006

3. Aspectos gerais
Definição:
A classe de fenómenos cujo processo observacional
e consequente quantificação numérica gera uma
sequência de dados distribuídos no tempo é
denominada série temporal.
Uma série cronológica (ou temporal) é um
conjunto ordenado de valores de uma variável Yt
observados em intervalos regulares de tempo
(semanas, meses, trimestres, anos, etc.).
Para períodos de tempo sucessivos (iguais) atribui-
se à variável independente t os valores 1,2, …, n ,
constituindo-se assim a variável dependente Yt.
Por: E. Seno 3
FE-UAN - 2006

4. Aspectos gerais
Exemplos de séries cronológicas:
A velocidade máxima do vento em cada dia
Índices de produção Industrial
Taxas de juro
Concentração de fosfatos num determinado curso de
água
Produto Interno Bruto
Vendas trimestrais
Evolução da população
Por: E. Seno 4
FE-UAN - 2006

5. Comportamento típico das séries cronológicas
Série aleatória:
Uma série aleatória (ruído branco) resulta de oscilações
aleatórias em torno de determinado valor (que se
designa por nível), isto é:
Yt = µ + εt t = 1, 2, …, n
Série cronológica aleatória
9
8
7
6
5
4
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Como o seu comportamento é aleatório, não é possível
usar as observações passadas para prever o futuro.
Por: E. Seno 5
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6. Comportamento típico das séries cronológicas
Série com tendência:
Uma série com tendência caracteriza-se por revelar, ao
longo do tempo, um comportamento que pode ser
linear, não linear, crescente, decrescente ou constante.
Este tipo de série pode ser representado por:
Yt = µt + εt t = 1, 2, …, n
em que o nível µ t = µ t −1 + τ t −1 , (onde τ t −1 é a taxa de
crescimento da série no instante t) varia de acordo com
a tendência. Série com tendência
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Por: E. Seno 6
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7. Comportamento típico das séries cronológicas
Série com sazonalidade:
Uma série com sazonalidade revela uma periodicidade
fixa no seu comportamento. Consideremos a série
representada na figura seguinte.
Série com tendência e sazonalidade
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Por: E. Seno 7
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8. Comportamento típico das séries cronológicas
Série com sazonalidade:
Através da observação da evolução dos valores da
variável nos instantes sucessivos, facilmente se verifica
que a série apresenta uma tendência crescente, uma
vez que o nível da série aumenta ao longo do tempo.
Para além disso também ressalta que, de 3 em 3
unidades de tempo, o comportamento de “subidas” e
“descidas” se repete. Isto significa que, para além da
tendência crescente existe também nesta série uma
sazonalidade cujo período tem comprimento 3.
Uma série que apresente tendência e sazonalidade pode
ser representada por:
Yt = µt + φt + εt t = 1, 2, …, n
onde µt representa o nível da série e φt a componente
sazonal da série, no instante t.
Por: E. Seno 8
FE-UAN - 2006

9. Decomposição das séries cronológicas
Componentes de uma série:
A análise dos valores de uma série cronológica, tal e
qual como eles se nos apresentam, pouco nos revela,
uma vez que esses valores incluem os efeitos de
diferentes factores, sejam eles económicos, sociais,
culturais, climáticos ou outros.
Para que possa ser feita uma análise rigorosa de uma
série cronológica, é vantajoso isolar as diferentes
componentes que representam os factores que
influenciam os valores da série.
Por: E. Seno 9
FE-UAN - 2006

10. Decomposição das séries cronológicas
Componentes de uma série:
São quatro as componentes de uma série
cronológica:
Tendência
Sazonalidade (ou componente sazonal)
Ciclicidade (ou componente cíclica)
Componente aleatória
Por: E. Seno 10
FE-UAN - 2006

11. Decomposição das séries cronológicas
Componentes de uma série:
A tendência representa o movimento geral
e de longo prazo da série, reflectindo a
evolução global no sentido do crescimento
(ou decrescimento) do nível da série. Para
identificar esta componente é necessário
retirar à série todas as flutuações.
A sazonalidade representa as flutuações
periódicas da variável. Estas flutuações
com periodicidade fixa (o ciclo sazonal)
provocam variações alteradas das
observações relativamente ao nível da
série.
Por: E. Seno 11
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12. Decomposição das séries cronológicas
Componentes de uma série:
A ciclicidade reflecte movimentos oscilatórios
(sem periodicidade fixa) que afectam a
tendência global da série, sendo apenas
detectáveis para séries longas. Esta
componente aparece muitas vezes associadas
aos ciclos da actividade económica, em que
existe alternância entre períodos de
crescimento com outros de depressão.
A componente aleatória tem um carácter
casual e portanto imprevisível.
Por: E. Seno 12
FE-UAN - 2006

13. Decomposição das séries cronológicas
Métodos de decomposição:
Através do método de decomposição é possível identificar e
isolar cada uma das componentes da série, encontrar
processos adequados para estimar cada uma delas e encontrar
o modelo matemático que melhor traduz a série.
Sendo:
yt o valor observado para o período t,
Tt a tendência no período t,
St a sazonalidade no período t,
Ct a ciclicidade no período t e
εt o ruído (componente aleatória) no período t,
cada valor yt da variável em estudo será uma função das
quatro componentes, isto é:
Yt = f(Tt, St, Ct, εt)
Por: E. Seno 13
FE-UAN - 2006

14. Decomposição das séries cronológicas
Métodos de decomposição:
Considerando que os valores da variável são o
resultado da soma dos valores das quatro
componentes,
Yt = Tt + St + Ct + εt
está-se a utilizar um Modelo aditivo
Por: E. Seno 14
FE-UAN - 2006

15. Decomposição das séries cronológicas
Métodos de decomposição:
Pressupostos:
i. Cada componente é independentemente responsável por
uma parcela do valor observado;
ii. As diferentes componentes não estão correlacionadas;
iii. Cada componente é definida na mesma unidade de medida
dos valores observados.
Os modelos aditivos utilizam-se usualmente quando as
variações periódicas têm uma amplitude que se mantém
aproximadamente constante, mesmo que a tendência
não o seja.
Por: E. Seno 15
FE-UAN - 2006

16. Decomposição das séries cronológicas
Métodos de decomposição:
Considerando que os valores da variável são o
resultado do produto dos valores das quatro
componentes,
Yt = Tt × St × Ct × εt
está-se a utilizar um Modelo multiplicativo
Por: E. Seno 16
FE-UAN - 2006

17. Decomposição das séries cronológicas
Métodos de decomposição:
Pressupostos:
i. Os efeitos das componentes não são independentes entre
si.
ii. As diferentes componentes estão correlacionadas;
iii. Apenas a Tendência é definida na mesma unidade de
medida da série cronológica, as restantes estão
definidas percentualmente em relação à Tendência.
Os modelos multiplicativos utilizam-se quando as
variações periódicas vão crescendo [decrescendo] em
amplitude.
Por: E. Seno 17
FE-UAN - 2006

18. Decomposição das séries cronológicas
Métodos de decomposição:
Existe também a possibilidade de variações entre estes
dois modelos, obtendo-se os chamados Modelos Mistos:
Yt = (Tt + St) × Ct + εt
Yt = Tt × St × Ct + εt
Na escolha do modelo mais adequado a cada caso deve-
se efectuar várias tentativas, com diferentes modelos,
com vista a obter aquele que minimiza a componente
residual, sem prejuízo da respectiva aleatoridade.
Em todo caso, o método aditivo é o mais e simples e
permite adaptar a sequencia de procedimentos ao caso
multiplicativo.
Por: E. Seno 18
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19. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Admitamos que os valores de uma série cronológica são
uma função aditiva das suas quatro componentes, isto
é:
Yt = Tt + St + Ct + εt
Para isolar cada uma das componentes, o primeiro
passo consiste em identificar o padrão da componente
sazonal (ciclo sazonal) através da observação da
sequência dos valores da série, ou de forma a ter uma
ideia mais clara e imediata da evolução do fenómeno,
através da construção de um cronograma (gráfico onde
são apresentados os valores da variável em cada
instante t).
De forma a eliminar, ou pelo menos atenuar, a
aleatoriedade e sazonalidade da série, calculam-se as
médias móveis centradas de comprimento igual ao
período sazonal.
Por: E. Seno 19
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20. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Deste modo, a média móvel centrada fica
essencialmente constituída por tendência e
componente cíclica, isto é:
Mt = Tt + Ct
Anulada a sazonalidade e a aleatoriedade,
restam a tendência e a ciclicidade. Como a
ciclicidade só é detectável em séries longas,
considera-se apenas a tendência.
Desta forma, os valores obtidos através das
médias móveis centradas contêm a
informação acerca da tendência da série.
Por: E. Seno 20
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21. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
O estudo da tendência é feito através do já conhecido
Método dos Mínimos Quadrados. Considerando t como a
variável independente e Mt a variável dependente, a
tendência da série será representada por uma recta do
tipo
Tt = a + b.X
Desprezada a ciclicidade, ao retirar das observações
iniciais os valores das médias móveis centradas (que
contêm a informação acerca da tendência) cria-se uma
série auxiliar na qual está isolada a componente
sazonal.
Por: E. Seno 21
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22. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Dizer que a sazonalidade tem período n, é o mesmo que
dizer que existem n sub-períodos com comportamentos
diferentes. Interessa saber como se comporta a
sazonalidade em cada um destes sub-períodos. Para
cada sub-periodo é calculado um índice de sazonalidade,
Sj , que consiste na média aritmética dos valores
referentes a esse período (que pode ser trimestre, etc.).
Como se trata de um modelo aditivo, é necessário
garantir que a soma dos índices sazonais para todos os
sub-períodos é nula. Se tal não acontecer é necessário
corrigir os índices obtidos, calculando novos índices
através da fórmula:
Sj = Sj − Sj
'
×
∑S j
.
∑S j
Por: E. Seno 22
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23. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes,
as previsões para períodos futuros são elaboradas através
da projecção dessas componentes para os instantes em
causa através da equação:
Yt = Tt + St + Ct + εt
que na prática, ignorada a ciclicidade, toma a forma:
Yt = Tt + St
Exemplo:
Consideremos os valores de uma variável Yt, observados
em 20 momentos distintos:
Por: E. Seno 23
FE-UAN - 2006

24. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
t yt
1 32
2 212
3 495
4 198
5 74
6 290
7 615
8 214
9 103
10 293
11 653
12 320
13 120
14 350
15 795
16 392
17 197
18 443
19 752
20 452
Por: E. Seno 24
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25. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
O cronograma referente aos valores apresentados será:
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Por: E. Seno 25
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26. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Através da observação da sequência dos valores na
tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada
ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo
“sobe” – “sobe” – “desce” – “desce”
o que indica que a sazonalidade tem período 4.
Para anular a sazonalidade é necessário que as médias
móveis calculadas tenham comprimento igual ao período
da sazonalidade.
Vamos então comparar os resultados que se obtêm
calculando médias móveis centradas de comprimento 3 e
4.
Por: E. Seno 26
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27. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Médias móveis de comprimento 3
Quando se pretendem calcular médias móveis de
comprimento impar, usam-se tantos valores quanto os
indicados pelo comprimento da média, considerando o do
meio como centro. Por exemplo, no calculo de médias
centradas de comprimento 3:
y + y2 + y3 32 + 212 + 495
M2 = 1 = = 246,3
3 3
y2 + y3 + y4 212 + 495 + 198
M3 = = = 301,7
3 3
y 18 + y 19 + y 20 443 + 752 + 452
M19 = = = 549,0
3 3
Por: E. Seno 27
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28. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Médias móveis t yt
Mt
Comprimento n=3
de comprimento 1 32
3.
32 + 212 + 495
2 212 = 246,3
3
212 + 495 + 198
3 495 = 301,7
3
4 198
… … …
18 443
443 + 752 + 452
19 752 = 549,0
3
20 452
Por: E. Seno 28
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29. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Médias móveis de comprimento 4
Quando se pretende calcular uma média móvel, de
comprimento par, para que esta possa ser centrada é
necessário usar um número impar de valores, mas
considerando um número de parcelas igual ao comprimento
da média.
Para uma média centrada de comprimento 4, são necessários
5 valores, um ao centro e dois para cada lado. Para garantir
que no cálculo entram apenas 4 parcelas utiliza-se apenas
metade do primeiro e do último valores. Por exemplo:
y1 y 32 74
+ y 2 + y3 + y 4 + 5 + 212 + 495 + 198 +
M3 = 2 2 = 2 2 = 239,5
4 4
Por: E. Seno 29
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30. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Mt
t yt
Médias móveis de Comprimento n=4
comprimento 4 1 32
2 212
32 74
+ 212 + 495 + 198 +
3 495 2 2 = 239,5
3
4 198
5 74
… … …
e desta forma,
16 392
17 197
392 452
+ 197 + 443 + 752 +
18 443 2 2 = 453,5
4
19 752
20 452
Por: E. Seno 30
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31. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Médias móveis centradas
t yt Comprim n=3 Comprim n=4
1 32
2 212 246,3
3 495 301,7 239,5
4 198 255,7 254,5
5 74 187,3 279,25
6 290 326,3 296,25
7 615 373,0 301,875
8 214 310,7 305,875
9 103 203,3 311
10 293 349,7 329
11 653 422,0 344,375
12 320 364,3 353,625
13 120 263,3 378,5
14 350 421,7 405,25
15 795 512,3 423,875
16 392 461,3 445,125
17 197 344,0 451,375
18 443 464,0 453,5
19 752 549,0
20 452
Por: E. Seno 31
FE-UAN - 2006

32. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
900
800
Legenda do gráfico
700
Observações
600
500 Médias móveis de
comprimento 3
400
Médias móveis de
300 comprimento 4
200
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Por: E. Seno 32
FE-UAN - 2006

33. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Observando a representação gráfica dos valores
das médias móveis centradas constata-se que
realmente é o comprimento 4 (que corresponde ao
período da sazonalidade) que permite anular a
sazonalidade, dando origem a uma sequencia de
pontos “ quase em linha recta”.
Por: E. Seno 33
FE-UAN - 2006

34. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Análise da tendência
t Mt Comprimento n=4
1
2
3 239,5
4 254,5
5 279,25
6 296,25
7 301,875
8 305,875
9 311
10 329
11 344,375
12 353,625
13 378,5
14 405,25
15 423,875
16 445,125
17 451,375
18 453,5
19
20
Por: E. Seno 34
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35. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como
variável dependente e t como variável independente,
obtém-se a recta Tt = 14,666t + 194,32 que traduz a
tendência da série.
500
450
400
350
300
y = 14,666x + 194,32
250
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Por: E. Seno 35
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36. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
t yt Mt Comprimento n=4 Xt=Yt-Mt
Análise da Sazonalidade 1 32
2 212
3 495 239,5 255,5
Para isolar a componente 4 198 254,5 -56,5
sazonal cria-se uma série
5 74 279,25 -205,3
6 290 296,25 -6,3
auxiliar X t = Yt − M t 7 615 301,875 313,1
8 214 305,875 -91,9
9 103 311 -208,0
10 293 329 -36,0
11 653 344,375 308,6
12 320 353,625 -33,6
13 120 378,5 -258,5
14 350 405,25 -55,3
15 795 423,875 371,1
16 392 445,125 -53,1
17 197 451,375 -254,4
18 443 453,5 -10,5
19 752
20 452
Por: E. Seno 36
FE-UAN - 2006

37. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Análise da Sazonalidade
Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 sub-
períodos. Para cada é calculado um índice de
sazonalidade, que consiste na média aritmética dos
valores referentes a esse sub-período.
Como soma dos índices sazonais para todos os sub-
períodos deve ser nula, calcularam-se os índices
sazonais corrigidos, S’j.
Por: E. Seno 37
FE-UAN - 2006

38. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
1º sub-per 2º sub-per 3º sub-per 4º sub-per
255,500 -56,500
-205,250 -6,250 313,125 -91,875
-208,000 -36,000 308,625 -33,625
-258,500 -55,250 371,125 -53,125
-254,375 -10,500 Somas
Sj -231,531 -27,000 312,094 -58,781 -5,219
|Sj| 231,531 27,000 312,094 58,781 629,406
S’j -229,611 -26,776 314,681 -58,294 0
Por: E. Seno 38
FE-UAN - 2006

39. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Uma vez isoladas e estimadas as diversas
componentes, as previsões para períodos
futuros são elaboradas através da projecção
dessas componentes para os instantes em
causa através da equação
y t = Tt + S t
Por: E. Seno 39
FE-UAN - 2006

40. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Previsão
Previsão para o valor da variável no instante 21:
ŷ21 = T21 + S21
Recorrendo à recta de mínimos quadrados calculada
anteriormente:
T21 = 14,6666×21 + 194,32 = 502,29375.
A sazonalidade no instante 21 é dada pelo índice corrigido
referente ao sub-periodo 1:
S21 =S’1 = – 229,611
Assim:
ŷ21 = T21 + S21 = 502,29375 – 229,611 = 272,682.
Por: E. Seno 40
FE-UAN - 2006

41. Decomposição das séries cronológicas
Método aditivo:
Previsão para o valor da variável nos instantes 22 e 23.
ŷ22 = T22 + S22 = 490,183.
ŷ23 = T23 + S23 = 846,306.
Por: E. Seno 41
FE-UAN - 2006

42. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Como foi dito, é possível adaptar a sequencia de
procedimentos do caso aditivo ao caso multiplicativo,
havendo apenas a especificar o seguinte:
Sabemos aqui que os valores da série cronológica são uma
função multiplicativa das suas quatro componentes, isto é:
Yt = Tt × St × Ct × εt
Logo, a média móvel centrada fica essencialmente
constituída por tendência e componente cíclica, isto é:
Mt = T t × C t
A série auxiliar Xt será obtida pelo quociente entre os
valores observados e as médias móveis, isto é:
Xt = yt / Mt
Por: E. Seno 42
FE-UAN - 2006

43. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
A soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos
tem que ser igual ao número de sub-períodos × 100.
Se tal não acontecer, é necessário corrigir os índices
obtidos, calculando novos índices através da fórmula:
K
Sj = Sj ×
'
K
.
∑S
j =1
j
Exemplo:
Consideremos a seguinte distribuição das vendas de gelado
nos últimos quatro anos.
Por: E. Seno 43
FE-UAN - 2006

44. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Anos Trimestre yt
2002 I 1
II 2
III 5
IV 2
2003 I 1
II 3
III 6
IV 3
2004 I 2
II 4
III 8
IV 4
2005 I 3
II 6
III 10
IV 5
Por: E. Seno 44
FE-UAN - 2006

45. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
O cronograma referente aos valores apresentados será:
12
10
8
6
4
2
0
0 5 10 15 20
Por: E. Seno 45
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46. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Através da observação da sequência dos valores na
tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada
ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo
“sobe” – “sobe” – “desce” – “desce”
o que indica que a sazonalidade tem período 4.
Para anular a sazonalidade é necessário que as médias
móveis calculadas tenham comprimento igual ao período
da sazonalidade. Neste caso calculamos médias móveis
centradas de cumprimento 4.
Por: E. Seno 46
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47. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
t yt Mt (n=4)
Médias móveis 1 1
centradas de 2 2
cumprimento 4. 3 5 2,5
4 2 2,625
5 1 2,875
6 3 3,125
7 6 3,375
8 3 3,625
9 2 4
10 4 4,375
11 8 4,625
12 4 5
13 3 5,5
14 6 5,875
15 10
16 5
Por: E. Seno 47
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48. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
12
10
8
Valores
observados
6
4 Médias
móveis
centradas de
cumprimento
2 4
0
0 5 10 15 20
Por: E. Seno 48
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49. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Análise da tendência t Mt (n=4)
3 2,5
4 2,625
5 2,875
6 3,125
7 3,375
8 3,625
9 4
10 4,375
11 4,625
12 5
13 5,5
14 5,875
Por: E. Seno 49
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50. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como
variável dependente e t como variável independente,
obtém-se a recta Tt = 1,320659 + 0,310315t que traduz
a tendência da série.
7
6
5 T t =1,320659 + 0,310315t
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Por: E. Seno 50
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51. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
t yt Mt (n=4) Xt=yt/Mt
Análise da sazonalidade 1 1
2 2
3 5 2,5 2
Para isolar a componente
4 2 2,625 0,7619048
sazonal cria-se uma série 5 1 2,875 0,3478261
auxiliar Xt = Yt / Mt 6 3 3,125 0,96
7 6 3,375 1,7777778
8 3 3,625 0,8275862
9 2 4 0,5
10 4 4,375 0,9142857
11 8 4,625 1,7297297
12 4 5 0,8
13 3 5,5 0,5454545
14 6 5,875 1,0212766
15 10
16 5
Por: E. Seno 51
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52. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Análise da Sazonalidade
Como a sazonalidade tem período 4, existem 4
trimestres. Para cada é calculado um índice de
sazonalidade, que consiste na média aritmética dos
valores referentes a esse trimestre.
Como soma dos índices sazonais para todos os
trimestres deve ser igual a 4, calcularam-se os índices
sazonais corrigidos, S’j.
Por: E. Seno 52
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53. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Anos 1º trim. 2º trim. 3º trim. 4º trim.
2002 2,000 0,762
2003 0,348 0,960 1,778 0,828
2004 0,500 0,914 1,730 0,800
2005 0,545 1,021 Somas
Sj 0,464 0,965 1,836 0,796 4,062
S’j 0,457 0,950 1,808 0,784 4,000
Por: E. Seno 53
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54. Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:
Uma vez isoladas e estimadas as
diversas componentes, as previsões
para períodos futuros são elaboradas
através da projecção dessas
componentes para os instantes em
causa através da equação
Yt = Tt × St
Por: E. Seno 54
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