ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
25SISTEMA HELICOIDAL
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•	 Saber identificar una expresión algebráica y su clasi...
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26 PASCUAL SACO OLIVEROS
Observa que las E.A. Racionales Enteras no presentan va-
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27SISTEMA HELICOIDAL
Antes de indicar cómo se denota un Polinomio, vamos a
definir lo q...
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blemas que se dan para obtener el valor numérico en un
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	 Hallar : P(x)
RESOLUCIÓN:
Hacemos un cambio de variable; asignan...
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30 PASCUAL SACO OLIVEROS
1.	 Si P(x)=2x+1
	 Hallar el valor de P(5)
	 Rpta.: .............
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18.	 Si
	 Calcular P(–2, 1)
	 Rpta.: ................................
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	 Problema desarrollado
1.	 Demostrar que:
	 P + 2Q = a+b
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	 A)	 0	 B)	 1	 C)	
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2.	 Reducir:
	
	 A)	­–2	 B...
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35SISTEMA HELICOIDAL
	 Problema desarrollado
1.	 Demostrar que:
	
	 Demostración:
1º	 E...
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36 PASCUAL SACO OLIVEROS
	 Rpta.: ........................................................
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37SISTEMA HELICOIDAL
	 A)	 5a	 B)	 7a	 C)	 5a­–8
	 D)	 8	 E)	 5a+8	
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  1. 1. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 25SISTEMA HELICOIDAL OBJETIVOS • Saber identificar una expresión algebráica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un polinomio y en forma directa calcular su valor numérico cuando en ciertos ejercicios así lo requieran. MOTIVOS: En los primeros temas del curso de ÁLGEBRA mencionamos lo referente a lo que es una EXPRESIÓN Algebraica, ahora las clasificaremos para poder entender lo que es un Polinomio y cómo se denota o representa, para fines de operación entre los polinomios. EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.) Es un conjunto de constantes y variables con exponentes racionales, relacionados en un número finito a través de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos: • • • • • • Laexpresión: ,noesunaexpresión algebraicadadoquelosexponentesdelasvariablesno son números racionales. Clasificación de las expresiones algebraicas Las expresiones algebráicas se van a clasificar según la característica de sus exponentes en las variables. A continuaciónvamosadescribircadatipoquesepresenta en las expresiones algebraicas. I) E.A. Racionales Son aquellas donde sus variables tienen exponentes enteros. Ejemplos: • • • • • Como los números enteros pueden ser positivos o negativos, esto nos lleva a dividir las E.A. racionales en dos tipos: Tipos de E.A. RACIONALES (I–a.) E.A. Racionales Enteras Son aquellas donde las variables tienen exponentes enteros positivos, incluyendo al cero. Ejemplo: • (*) • • •
  2. 2. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 26 PASCUAL SACO OLIVEROS Observa que las E.A. Racionales Enteras no presentan va- riables en el denominador. (I-b) E.A. Racionales Fraccionarias Son aquellas donde las variables tienen exponentes enterosnegativosoalmenosunadelasvariablesesta afectada de exponente negativo. También se dice que las E.A. Racionales Fraccionarias son aquellas que presentan variables en el denomi- nador. Ejemplos: • • • • • • II) E.A. Irracionales Son aquellas donde sus variables tienen exponen- tes fraccionarios o estos llevan radicales. Ejemplos: • • • • • • • Ejemplos de identificación de una E.A. Marcar con un aspa para indicar qué tipo de expresión algebraica corresponde.
  3. 3. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 27SISTEMA HELICOIDAL Antes de indicar cómo se denota un Polinomio, vamos a definir lo que significa. Es una expresión algebraica racional entera que consta de dos o más términos. Ejemplos: • • • Para la notación de un polinomio se emplean las letras mayúsculas, a la vez llevan como subíndice otra letra minúsculas entre paréntesis para indicar la variable en el polinomio. Así tenemos: Nos indica la representación de un polinomico cuya única variable es x. Se lee: P de x. Ejemplos: La notación polinómica podemos extenderla a polino- mios con más de una variable; así tenemos: (*) (*) (*) También se puede emplear otras letras en lugar de «P» para representar un polinomio, sin que esto altera la notación. Es decir: • • • En Es un polinomio“H de x e y” Donde: V.N. Es el valor obtenido como resultado luego de efectuar operaciones en un polinomio al reemplazar los valores dados a sus variables. Ejemplos: Hallar el valor numérico de: Cuando : x=2 RESOLUCIÓN: Nos piden calcular el valor de P(x) cuando x=2, para ello reemplazamos «x por 2», cuando se hace el reemplazo es necesario emplear paréntesis. Reemplazamos x=2 en P(x): Si se tiene: P(1)= 3 Es el V.N. de P al cambiar x por 1 También: P(–2) = 12+2+1 P(–2) = 15 Es el V.N. de P al cambiar x por –2 Para calcular el valor numérico (V.N.) recuerda que hay que asignar a la variable x el valor especificado en el Polinomio. DIVERSOS TIPOS QUE SE PRESENTAN PARA OBTENER EL VALOR NUMÉRICO Acontinuación presentamos los diversos tipos de pro-
  4. 4. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 28 PASCUAL SACO OLIVEROS blemas que se dan para obtener el valor numérico en un polinomio. Cuando se hace el reemplazo por la variable indicada. Ejemplos: 1. Si Hallar : P(–5) RESOLUCIÓN: Hacemos el reemplazo de“x por –5” Reemplazando : x=–5 en P(x): 2. Si : Hallar: RESOLUCIÓN: Reemplazando x por x–1 en Q(x). Aquí: x= x–1 Reemplazando en: 3. Si : Calcular: RESOLUCIÓN: Para calcularesteproblema,hacemoselcálculodeadentro hacia afuera. Es decir: 1º Cálculo : 2º Cálculo: (aqui x =2) 3º Cálculo: Observamos que el V.N. que se obtiene de adentro hacia afuera siempre da 2. Cuando se calcula el valor de la variable antes de su re- emplazo. Ejemplos: 1. Si se tiene Hallar : P(2) RESOLUCIÓN: 1º Calculamos el valor de x (valor de la variable) Como: P(x–­2) = P(2) Igualamos: x–2=2 Despejamos : x=4 2º Procedemos a reemplazar“x por 4” 2. Si: Calcular: RESOLUCIÓN: 1º Igualamos : 3x – 1 = 5 3x = 6 x = 2 2º Reemplazamos en: Cuando se hace un cambio de variable para obtener el polinomio original. Ejemplos: 1. Si
  5. 5. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 29SISTEMA HELICOIDAL Hallar : P(x) RESOLUCIÓN: Hacemos un cambio de variable; asignando x– 3 a x. 1º x–3 x (asignación de izquierda a derecha) Osea : x–3=x x=x+3 2º Reemplazando en P(x–3) : x=x+3 P(x–3) = 5x–2 Luego: P(x) = 5(x+3)–2 2. Se define: P(x+5) = 2x+1 Hallar : P(x) RESOLUCIÓN: Haciendo un cambio de variable: x+5 x (asignación de izq. a derecha) Osea : x+5= x x=x–5 Reemplazando en P(x+5) : x=x–5 P(x+5) = 2x+1 P(x) = 2(x-5) +1 I. Problema desarrollado 1. Si: Demostrar que: H(4)=5 Demostración: 1º Igualamos 3x + 1 = 4 3x = 3 x = 1 2º Reemplazamos en: H(3x+1)= 2x+3 H(4) = 2(1)+3 H(4) = 2+3 H(4) = 5 II. Problema por desarrollar 2. Si: Demostrar que: P(5)=–1
  6. 6. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 30 PASCUAL SACO OLIVEROS 1. Si P(x)=2x+1 Hallar el valor de P(5) Rpta.: ....................................................... 2. Si P(x)=3x–2 Hallar el valor de P(6) Rpta.: ....................................................... 3. Si Hallar el valor de P(–5) Rpta.: ....................................................... 4. Si Hallar el valor de P(–2) Rpta.: ....................................................... 5. Si Hallar el valor de P(x+5) Rpta.: ....................................................... 6. Si Hallar el valor de P(x–2) Rpta.: ....................................................... 7. Si Hallar el valor de: Rpta.: ....................................................... 8. Si Hallar el valor de: Rpta.: ....................................................... 9. Si Calcular: Rpta.: ....................................................... 10. Si Calcular: Rpta.: ....................................................... 11. Si Calcular: Rpta.: ....................................................... 12. Si Calcular: P(x+3) + P(x–2) Rpta.: ....................................................... 13. Si Hallar: P(–2) + P(3) Rpta.: ....................................................... 14. Si Calcular: Rpta.: ....................................................... 15. Si Calcular: Rpta.: ....................................................... 16. Si Calcular: Rpta.: ....................................................... 17. Si Calcular: P(0.5) Rpta.: .......................................................
  7. 7. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 31SISTEMA HELICOIDAL 18. Si Calcular P(–2, 1) Rpta.: ....................................................... 19. Si Calcular : Rpta.: ....................................................... 20. Si Calcular : Rpta.: ....................................................... 1. Si: Calcular : P(–2, 1) A) 5 B) 7 C) 10 D) 11 E) 15 2. Si: P(x)=3+x Calcular P(2) + P(3) A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 3. Resolver: Si Hallar : P(7) A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 4. Si: Calcular : A) 5 B) 10 C) 11 D) 13 E) 15 5. Si: Hallar: P(3) A) –1 B) –2 C) –3 D) 0 E) 1
  8. 8. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 32 PASCUAL SACO OLIVEROS Problema desarrollado 1. Demostrar que: P + 2Q = a+b Si: P = 3a – 5b + 6 Q = –a + 3b – 3 Demostración: 1º Reemplazamos en P+2Q 3a–5b+6+2(–a+3b–3) 2º Reducimos 3a–5b+6–2a+6b–6 a+b Problema por desarrollar 2. Demostrar que: 3M+4N = 10x+y Si: M = 2x+3y–4 N = x–2y+3 Demostrar 1. Reducir los términos: a) b) 2. Reducir: a) P = 5mn–4mn+8mn–4mn b) M = 4ab+2ba–3ab–ba Rpta.: ....................................................... 3. Reducir: Rpta.: ....................................................... 4. Reducir: Rpta.: ....................................................... 5. Reducir: Rpta.: ....................................................... 6. Reducir: Rpta.: ....................................................... 7. Reducir: Rpta.: ....................................................... 8. Reducir: Rpta.: ....................................................... OBJETIVOS • Saber reconocer a los términos semejantes a través de su parte literal y poder reducirlos a uno solo.
  9. 9. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 33SISTEMA HELICOIDAL 9. Reducir: Rpta.: ....................................................... 10. Reducir: Rpta.: ....................................................... 11. Reducir: Rpta.: ....................................................... 12. Reducir: Rpta.: ....................................................... 13. Reducir: Rpta.: ....................................................... 14. Calcular el valor de“n”si los siguientes términos: Rpta.: ....................................................... 15. Calcular el valor de (m+n) si los términos son semejantes de variables“x”e“y”: Rpta.: ....................................................... 16. Reducir: Rpta.: ....................................................... 17. Sumar P+Q si: P = Q = Rpta.: ....................................................... 18. Efectuar M–N si: M = Q = Rpta.: ....................................................... 19. Efectuar 3P+Q si: P = Q = Rpta.: ....................................................... 20. Efectuar 4M–2N si: M = 7a–2b+5ab–4 N = 3b+8a–3+4ab Rpta.: ....................................................... 1. Reducir:
  10. 10. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 34 PASCUAL SACO OLIVEROS A) 0 B) 1 C) D) E) 2. Reducir: A) ­–2 B) –1 C) 0 D) E) 3. Reducir: A) –1 B) 0 C) D) E) x 4. Indicar el valor de n si los términos: Son semejantes A) ­1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Indicar el valor de m si los términos: son semejantes. A) 24 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2
  11. 11. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 35SISTEMA HELICOIDAL Problema desarrollado 1. Demostrar que: Demostración: 1º Eliminar el signo de colección 2º Reducir términos semejantes ; agrupándo términos Problema por desarrollar 2. Demostrar que: 1. Eliminar los signos de colección: a) –(4m+2n+5) b) +(–x+3y–4) c) –(–5a–2b–3) 2. Introducir el signo de colección afectado por un signo negativo: a) b) Rpta.: ....................................................... 3. Reducir: K=–2a+6+(3a–4) Rpta.: ....................................................... 4. Reducir: P=3x+5y+2–(2x+4y–1) Rpta.: ....................................................... 5. Reducir: M=–3a–(2a+6)+6(a–2) Rpta.: ....................................................... 6. Reducir: Q=5x–(3x–7)–3(x+12) OBJETIVOS • Aplicar correctamente los signos de colección ya sea en su eliminación o introducción para agrupar términos. Para reducir términos es importante saber eliminar los signos de colección a través de una regla de signos.
  12. 12. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 36 PASCUAL SACO OLIVEROS Rpta.: ....................................................... 7. Reducir: Rpta.: ....................................................... 8. Reducir: Rpta.: ....................................................... 9. Reducir: Rpta.: ....................................................... 10. Reducir: Rpta.: ....................................................... 11. Reducir: Rpta.: ....................................................... 12. Reducir: Rpta.: ....................................................... 13. Reducir: Rpta.: ....................................................... 14. Reducir: Q=5(m–3m+6)–4(2n–5+m) Rpta.: ....................................................... 15. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 16. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 17. Reducir: Rpta.: ....................................................... 18. Reducir: Rpta.: ....................................................... 19. Reducir: Rpta.: ....................................................... 20. Reducir: Rpta.: ....................................................... 1. Simplificar:
  13. 13. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A 37SISTEMA HELICOIDAL A) 5a B) 7a C) 5a­–8 D) 8 E) 5a+8 2. Reducir: M=5(m–n)–2(n+m)+7n A) ­4m B) 3m C) 2m D) m E) –7m 3. Reducir: P=3(x+2y)–2(y+2x)–4y A) x B) 2y C) x+4y D) –x E) 4y 4. Reducir: A) 1 B) –1 C) 0 D) x E) y 5. Reducir: A) 0 B) –1 C) 1 D) 2a E) b

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