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Cramer as_02

  1. 1. Ejemplos de como solucionar un sistema de ecuaciones 2x2 por el método o regla de Cramer. Este método, mediante el uso de determinantes, permite encontrar una solución siempre que esta exista y sea única. Se muestran un par de ejemplos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se explica un método para la solución de sistemas de ecuaciones lineales conocido como la regla de Cramer. Este método nos permite encontrar la solución a sistemas con dos ecuaciones y dos incógnitas mediante el empleo de determinantes, siempre y cuando la solución exista y sea única, también debemos asegurarnos que las ecuaciones sean lineales, tengamos las incógnitas elevadas a la potencia 1, y que las operaciones que se estén realizando entre ellas sean suma y resta. El método de Cramer nos dice que para solucionar este tipo de sistemas la incógnita x es igual al determinante de la incognita x sobre el determinante total del sistema (x =
  2. 2. Δx/Δ). La incógnita “y” es igual al determinante de la incógnita “y” sobre el determinante total del sistema (y= Δy/ Δ). Para encontrar los determinantes es necesario reescribir el sistema de ecuaciones utilizando coeficientes, pero antes de ello debemos ordenar las ecuaciones, es decir, si en la primera ecuación comenzamos con la incógnita x, luego sigue la incógnita “y” y está igualado a un término independiente, la segunda ecuación debe estar de forma análoga. Una vez estén ordenadas las ecuaciones procedemos a escribir los coeficientes de una manera matricial, en el que la primera columna contiene los coeficientes de x, la segunda columna contiene los coeficientes de “y”, y la tercera columna contiene los términos independientes, por lo cual se separa con una línea punteada. El determinante total del sistema es el determinante que formamos con la columna de incógnitas, es decir las dos primeras. Para calcular un determinante 2x2, como el resultante, multiplicamos la diagonal principal y le restamos el producto de la diagonal secundaria. Para encontrar el
  3. 3. determinante de x lo formamos sustituyendo la primer columna por la columna de los términos independientes y dejando intacta la columna de “y”. El determinante sería entonces el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. De igual manera se procede para hallar el determinante de “y”, el cual se forma dejando intacta la columna de x, y cambiando la columna “y” por la columna de los términos independientes. Al final para encontrar el valor de las dos incógnitas, basta sólo con sustituir los valores de cada determinante y el determinaEn este video se realizan dos ejemplos para ilustrar el uso de la regla de Cramer para solucionar sistemas de ecuaciones 2x2.nte total, y así hallamos x y “y”. 3*3Ejemplo de como solucionar un sistema de ecuaciones 3x3 por el método o regla de Cramer. Se muestra un ejemplo de como encontrar la solución a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante la regla de Cramer, la cual mediante el uso de determinantes nos lleva al
  4. 4. resultado para cada una de las incógnitas. Para calcular los determinantes tres por tres que se forman se utiliza la regla de sarrus. Veremos el procedimiento para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método o regla de Cramer. Para ver en qué consiste este método, se propone resolver el siguiente problema: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones: La primera ecuación es: 1)2 x-y+3z=-3, la segunda ecuación es: 2) x+y-z=2 y la tercera ecuación es: Para resolver este sistema de ecuaciones por este método lo primero que debemos hacer es ordenar nuestro sistema de ecuaciones, como vemos en este caso nuestro sistema de ecuaciones se encuentra ordenado, una vez que el sistema este ordenado lo que debemos hacer es expresar nuestro sistema como una matriz aumentada en donde la primera columna estará conformada por los coeficientes que acompañan la x en cada una de las ecuaciones, la segunda columna estará conformada por los coeficientes que acompañan la y en cada una de las
  5. 5. ecuaciones, la tercera columna estará conformada por los coeficientes que acompañan la letra z en cada una de las ecuaciones y donde la cuarta columna contiene los términos independientes de cada uno de las ecuaciones. La regla de Cramer nos dice que si tenemos un sistema de ecuaciones de este tipo podemos hallar a x, y, z con las siguientes relaciones: x=(Δx/Δ) y y=(Δy/Δ), z=(Δz/Δ)en donde Δ es el determinante que se forma con los coeficientes de las x ,las y y las z, Δx es el determinante que surge al reemplazar la columna de coeficientes x por la columna de resultados, Δy es el determinante que surge al reemplazar la columna de los coeficientes de y por la columna de resultados y Δz es el determinante que surge al reemplazar la columna de los coeficientes de z por la columna de resultados.3)-x+2y+2z=-7En el video se ve de manera detallada cómo efectúan los cálculos de los determinantes utilizando la regla de Sarrus y así llegar a que la solución de este sistema de ecuaciones es: x=1, y= -1, z= -2

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