1. Leyes de exponentes II
Christiam Huertas R.
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Universidad de Ciencias y Humanidades
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2. Introducci´n
o
El gran sabio griego Pit´goras de Samos y sus disc´
a ıpulos, dec´
ıan
que el n´mero natural y las proporciones entre n´meros naturales
u u
gobernaban todo cuanto exist´ ıa.
Un descubrimiento hecho por los mismos pitag´ricos demostr´ que
o o
esta afirmaci´n era falsa. Descubrieron la existencia de un n´mero
o u
que no era natural y tampoco se pod´ expresar como fracci´n
ıa o
alguna. Todo comenz´ con el llamado Teorema de Pit´goras.
o a
c 2 = 12 + 12 = 2 ⇒ c 2 = 2 ⇒ c =?
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3. Radicaci´n en R
o
Es aquella operacion inversa a la potenciaci´n. Proviene de una
o
potencia con exponente fraccionartio.
 √
 . es el s´
 ımbolo radical
√ 
n es el ´ ındice n ∈ N ∧ n ≥ 2
Notaci´n: n x = r
o
 x es el radicando

r es la ra´ (en´sima)
ız e

Definici´n:
o
√
n
x = r ↔ r n = x ∧ xr ≥ 0
Se lee: ra´ en´sima de x es igual a r si y solo si r elevado a la n es
ız e
x.
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4. Observaciones
Tener en cuenta lo siguiente:
1 En R, la ra´ es unica.
ız ´
√2
√
2 En adelante, x = x y se lee ra´ cuadrada de x.
ız
√
3
3 x se lee ra´ c´bica de x.
ız u
√
4 ∀n ∈ N ∧ n ≥ 2 : n 0 = 0.
5 Regla de signos:
√
Par
√
Par
+=+ − No existe
√
Impar
√
Impar
+=+ −=−
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5. Ejemplos
Se sabe que
√
n
x = r ↔ r n = x ∧ xr ≥ 0
Hallemos algunas ra´ utilizando la definici´n:
ıces o
√
1
3
8 = 2, pues 23 = 8
√
2
4
81 = 3, pues 34 = 81
√
3 3
−8 = − 2, pues (−2)3 = − 8
√
4 49 = 7, pues (7)2 = 49
√
5
5
0 = 0, pues 05 = 0
√
6 −4 = (...), pues (...)2 = − 4
√
→ −4 no existe en R
√
7
4
1 = 1, pues 14 = 1
√
En general: n 1 = 1, n ∈ N ∧ n ≥ 2
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6. Teoremas de la radicaci´n: 1
o
√ √ √
n
n x.y = x. n y
Ejemplos:
√
3
√ √ √
1 10 = 3 2.5 = 3 2. 3 5
√ √ √ √ √
2 50 = 25.2 = 25. 2 = 5. 2
√ √
3
√ √
3 4. 3 16 = 3 4.16 = 3 64 = 4
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7. Teoremas de la radicaci´n: 2
o
√
n
x x
n = √
y n y
Ejemplos:
√
5 5
1 =√
3 3
√
3
√3
3 5 5 5
2 = √ =
3
8 8 2
√4
4 81 81 3
3 = √ =
4
16 16 2
√
3
3 1 1 1
4 = √ =
3
8 8 2
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8. Teoremas de la radicaci´n: 3
o
m
√
n
√
m.n
x= x
Ejemplos:
√
3 4
√ √
1 5 = 3.4 5 = 12 5
5 √3
√ √
2 x = 5.2.3 x = 30 x
√ √
2.2.2.2
√
16
3 3= 3= 3
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9. Teoremas de la radicaci´n: 4
o
√
nk √
n
x mk = xm ; k ∈ N ∧ k ≥ 2
Ejemplos:
√
9
√
3.3
√
3
1 x6 = x 3.2 = x 2
√
4
√4
2 x 12 = x 4.3 = x 3
√
9
√
9.3 3
√
3 3= 3 = 27 27
√4 √
4 Si 2 = n n, halle el valor de n.
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10. Teoremas de la radicaci´n: 5
o
√
n x si n es impar
xn =
|x| si n es par
Ejemplos:
√
5 5
1 2 =2
2 4
(−3)4 = | − 3| = 3
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11. Definici´n de exponente fraccionario
o
1 √
n
xn = x
1 √
3
1 83 = 8=2
1√
2
2 16 = 16 = 4
2
1 √
3 (−8) 3 = 3 − 8 = − 2
En general:
m √
n
√ m
xn = xm = n
x
2 √
3
1 73 = 72
3 √
4
2 5 =
4 53
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12. Radicales sucesivos
m √ √ √ √
x. n y . p z = m x. mn y . mnp z
Ejemplos:
3
√ √ √ √ √
1 2. 5 7 = 3 2. 3.5 7 = 3 2. 15 7
√ √ √ √ √ √ √
2 5. 11. 3 2 = 5. 2.2 11. 2.2.3 2 = 5. 4 11. 12 2
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13. Corolario
De la f´rmula anterior, si las bases x, y y z son iguales, eso
o
determina una forma pr´ctica de reducir.
a
n m
√ nmp
√
x a. x b. p x c = x (am+b)p+c
Ejemplos:
3 √5
√
3.5 1.5+4
√
15
1 2. 24 = 2 = 29
√
3
√
2.2.3
√
12
2 53 . 5. 52 = 5(3.2+1).3+2 = 523
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14. Aplicaci´n 1
o
Simplifique la siguiente expresi´n.
o
2(2)(2)
5
1
2−22 .
16
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15. Aplicaci´n 2
o
Simplifique la siguiente expresi´n.
o
5n + 5−n −2−1
+ 89
n
25n + 1
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16. Aplicaci´n 3
o
Calcule el valor de la siguiente expresi´n.
o
−4−1 −5−1 −3−1
1 1 1
+ − + −
16 32 8
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17. Aplicaci´n 4
o
Simplifique la siguiente expresi´n y de como respuesta el exponente
o
final de x.
5 3 √
x. x 2. x 7. x 2
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