Presentación que incluye problema resuelto sobre el tema del spin, esta es la sexta de una serie de presentaciones sobre el tema.

1. Facultad de Ciencias
Escuela de Física
Mecánica Cuántica II
Por: Kevin Zelaya

2. Demostrar que:
Donde:
( ) ( )[ ]
2
02. .Bp eA p IeA Bmσ µ σ  = +

+

+
r r rr r r r
2
SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física,
UNAH.
0m Es la
masa del electrón en reposo
Magnetón de Bohr
Densidad de flujo magnético
Bµ
B
r
σ
r
p
r
A
r
e Es la carga del electrón
Un vector que tiene
por componentes a
las matrices de Pauli
Momentum o
cantidad de
movimiento
Potencial magnético vectorial

3. Solución:
SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física,
UNAH. 3
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2
. ...p eA p eA p eAσ σ σ+ + +=
r r rr r r r r r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).y y y z z z y y y z z zx x x x x xp eA p eA p eA p eA p eA p eAσ σ σ σ σ σ   = + + + + + + + + + +   
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 22 2 2
y y y z z z y y y
y x y y x x y z y y z z
z y z z y y z x z z x x x z x x z
x x x x x x
z
p eA p eA p eA p eA p eA
p eA p eA p eA p eA
p eA p eA p eA p eA p eA p eA
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
= + + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + + + +

4. Donde:
Sustituyendo, resulta:
j
j
p i
x
= −
∂
∂
h
y y z
y z z y x
z x x
x x
z y
i
i
i
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
= − =
= − =
= − =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
y y z z
y y y y y x x
y z y y z z z z y y
z x z z x x x x z z
x x
x x x
I p eA I p eA I p eA
p eA p eA p eA p eA
p eA p eA p eA p eA
p eA p eA p eA p eA
σ σ
σ σ
σ σ
= + + + + +
 + + + − + + 
 + + + − + + 
+ + + − + +  
2
2
2
x
y
z
I
I
I
σ
σ
σ
=
=
=
4
SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física,
UNAH.

5. ( ) ( ) ( )
22 2
2 2
2 2
2 2
x x
x x
y y z z
z y x y y y x y x y x y x
x y z y z y z y z z y z y z y z y
y z x z x z x z x x z x z x z
y
x z
x
I p eA I p eA I p eA
i p p ep A eA p e A A p p ep A eA p e A A
i p p ep A eA p e A A p p ep A eA p e A A
i p p ep A eA p e A A p p ep A eA p e A A
σ
σ
σ
= + + + + +
+ + + + − − − −
+ + + + − − − −
+ + + + − − − −
  
  
  
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ]
22 2
y y z z
z x
x
y y x x y z z y x z
x
y z x
I p eA I p eA I p eA
i ep A ep A i ep A ep A i ep A ep Aσ σ σ
= + + + + +
+ − + − + −
( ) ( ) ( )
22 2
y y z z
yx xz z
z
x
y
y
x
x
A AA AA A
x y y
I p eA I p eA I p eA
ie i i ie i i ie i
z x
i
z
σ σ σ
= + + + + +
+ − +
∂ ∂∂ ∂∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− −
∂
++ + +
     
         
h h h h h h
5
SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física,
UNAH.

6. El Rotacional en Coordenadas Cartesianas:
Por tanto:
( ) ( ) ( )
22 2
y y z z
y x xz z
x
x
z
x
y
yA AA AA A
y z z x x y
I p eA I p eA I p eA
e e eσ σ σ
= + + + + +
    
+ + +    
 
∂ ∂∂ ∂∂
  
∂
− − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
h h h
ˆ ˆ ˆz y yx x z
V VV VV V
xV x y z
x z z x x x
    
 ÷ ÷  ÷
     
∂ ∂∂ ∂∂ ∂
∇ = − + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r
( ) ( ) [ ] ( )
2 2
.. p eA p eA xAI e σσ  = +

+ + ∇

rr r rr r
h
r
6
SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física,
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7. La solución anterior la podemos dejar en términos del
Magnetón de Bohr y el Campo B:
2
B
o
xA B
e
m
µ =
∇ =
r
h
( ) ( ) [ ]
2 2
0 0 .2. p eA p eA BI m σσ µ+ +  = +
 
rr r rr r r
7
SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física,
UNAH.
Este resultado es muy útil al trabajar con la ecuación de Dirac.

8. Material consultado
Griffiths, D. (1995). Introduction to Quantum
Mechanics (Primera ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Supriyo Bandyopadhyay, M. C. (2008). Introduction
To Spintronics. Boca Raton, FL: CRC Press.
WIKIPEDIA. (s.f.). WIKIPEDIA. Recuperado el 2011
de 04 de 28, de WIKIPEDIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%ADn
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SPIN. Problemas resueltos. Escuela de física,
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