ALGEBRA LINEAL

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 16: Diagonalización
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) Existe una base B de 1P respecto de la cual la matriz asociada a la transformación lineal 1 1:T P P con
regla de correspondencia      2T a bx a b b x    es una matriz diagonal
b) Sean , nxnA B M . Si    det detA B , entonces A y B no son matrices semejantes
c) Sean , nxnA B M . Si A y B son matrices diagonalizables, entonces A B es una matriz diagonalizable
d) Si  es un valor propio de 







10
01
A , entonces   AAA 
21
 
e) Sea A una matriz tal que
T
A A  , entonces todo valor propio de A es real
f) Si nxnA es una matriz diagonalizable, entonces tiene n valores propios distintos
g) Si 1 y 2 son dos valores propios de nxnA M , entonces 1 2  es un valor propio de A
h) Sea A una matriz inversible diagonalizable de tamaño nxn. Entonces
1
A
es una matriz diagonalizable
i) Si A es una matriz de nxn tal que  det 0A  , entonces A no es diagonalizable
Tema 2
Halle los valores y vectores propios de la siguiente matriz:
1 0 1
0 1 1
1 1 2
A
 
 
  
  
Tema 3
Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:
10 2 1
3 5 9
4 4 10
A
  
 
   
   
Tema 4
Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:
0 0 1
4 2 2
2 0 3
A
 
 
  
  
Tema 5
Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:
2 1 1
2 3 2
3 3 4
A
 
 
  
 
 

2. Ramiro J. Saltos
Tema 6
Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:
9 6 8
6 3 2
5 4 4
A
  
 
  
   
Tema 7
Sea 2 2:T P P una transformación lineal definida por:
       2 2
2 4 3 3 3 4T ax bx c a b c x a b c x a b c             
Encuentre, de ser posible, una base B de 2P respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz
diagonal
Tema 8
Sea 2 2 2 2: x xT S S una transformación lineal definida por:
2 8 7 10
7 10 5 5 5
a b a b c a b c
T
b c a b c a b c
        
   
        
Encuentre, de ser posible, una base B de 2 2xS respecto de la cual la matriz asociada a T sea una matriz diagonal
Tema 9
Sea
3 3
:T R R una transformación lineal definida por:
5 10
6 10 4
6 6 7
a a c
T b a b c
c a b c
   
   
     
       
Encuentre, de ser posible, una base B de
3
R respecto de la cual la matriz asociada a T sea una matriz diagonal
Tema 10
Sea 2 2:T P P una transformación lineal definida por:
       2 2
2 4 4 9 4 8T ax bx c a b x a b c x a b c           
Encuentre, de ser posible, una base B de 2P respecto de la cual la matriz asociada a T sea una matriz diagonal
Tema 11
Dada la matriz:
   
   
0
0 1 0
0
Cos Sen
A
Sen Cos
 
 
 
 
  
 
 
Determine:
a) Los valores propios de A
b) Los valores de  pertenecientes al intervalo  0,2 tales que todos los valores propios de A sean iguales

3. Ramiro J. Saltos
Tema 12
Sea A una matriz cuadrada de tamaño 22x que representa a una transformación lineal
22
: RRT  , respecto a
la base canónica de
2
R
a) Si 5)( Atraza y 4)det( A , ¿cuáles son los valores propios de T ?
b) Encuentre, de ser posible, una base de
2
R respecto de la cual la matriz asociada a T sea una matriz
diagonal, si se conoce que 











2
6
1
0
T
Tema 13
Sea el operador lineal 11: PPT  tal que tiene los siguientes vectores propios:
1 1v x   2 1v x 
Determine la regla de correspondencia de T si se conoce que la primera columna de su representación matricial
respecto a la base canónica es  13
Tema 14
Sea el operador lineal
3 3
:T R R tal que tiene los siguientes vectores propios:
1
1
3
4
v
 
 
  
 
 
2
0
1
1
v
 
 
  
 
 
3
1
8
4
v
 
 
  
 
 
Determine la regla de correspondencia de T si se conoce que la primera columna de su representación matricial
respecto a la base canónica es  4 4 0