El documento presenta el famoso problema de los puentes de Königsberg, resuelto por Leonhard Euler en 1736. La ciudad de Königsberg estaba dividida en 4 sectores conectados por 7 puentes. El problema consistía en determinar si era posible recorrer todos los puentes exactamente una vez y regresar al punto de partida. Euler representó el problema como un grafo y demostró que la solución requiere que cada vértice tenga un número par de lados, lo cual no ocurría en este caso. Por lo tanto, concluyó que el recorrido bus

1. Solución al problema de la
quincena pasada:
Para realizar el peso, el rey
coloca 1 moneda del primer
súbdito, 2 monedas del
segundo súbdito, y así
sucesivamente hasta colocar las
10 monedas del décimo
súbdito. De este modo el rey
tiene en su posesión las 55
monedas que deberían pesar
550 gramos. Si
gramo, entonces el ladrón ha
sido el primero, si faltan dos
entonces ha sido el segundo, y
en general, si faltan
ladrón ha sido el
Graccyela Salcedo
Problema de esta
quincena:
Soy un número de dos cifras. La suma de
mis cifras es 8. Si mis cifras se invierten, el
número así formado es 18 unidades mayor
que yo. ¿Qué número soy?
Rubén Quintero
Cine Matemático UCLA
lización de resultados y la elaboración de
demostraciones más rigurosas que las
obtenidas en el periodo marginalista.
Hoy en día con modelos matemáticos es
posible predecir con exactitud cuántas
unidades adicionales vendería si contratases
una página de publicidad en el Informador o el
Impulso o cuánto caerían sus ventas si la
competencia rebajase Bs. 1 el precio del
producto.
Esta forma de ver las matemáticas ha
conseguido que en países como España y
USA el desempleo de los matemáticos tienda
a cero.
Juan Mongez
Leonhard Euler (1707
“Nada ocurre en el
obedecer una regla de máximo o
mínimo”
Solución al problema de la
quincena pasada:
Para realizar el peso, el rey
coloca 1 moneda del primer
súbdito, 2 monedas del
segundo súbdito, y así
sucesivamente hasta colocar las
10 monedas del décimo
súbdito. De este modo el rey
tiene en su posesión las 55
monedas que deberían pesar
550 gramos. Si le falta un
gramo, entonces el ladrón ha
sido el primero, si faltan dos
entonces ha sido el segundo, y
en general, si faltan k gramos el
ladrón ha sido el k-ésimo.
Graccyela Salcedo
Nota de edición
El equipo de Cine
Matemático desea
agradecer al público en
general por su apoyo y
colaboración brindados a
lo largo de este semestre.
El próximo lapso
académico vendremos
con más actividades y
con proyectos de interés
público. Muchos éxitos
para todos y como una
nota curiosa quizás
muchos se pregunten por
qué hablamos de cálculo
tanto para las operaciones
matemáticas como para
las piedras del riñón. Esto
se debe a que la palabra
viene del latín calculus,
que significa piedrecita o
guijarro, y se aplicó el
término a las
matemáticas por el uso de
piedrecitas en la tabla del
ábaco.
En tu bolsillo encontrarás un ligero dispositivo
capaz de multiplicar 358.553.569
menos de lo que tardas en pestañear. Cualquier
teléfono lleva a cabo operaciones con una eficacia
que la mayoría de matemáticos de la historia no
podría ni imaginar, sin ni siquiera ser su función
principal. Pero las matemáticas actuales no
posibles sin precursores como el ábaco o las
calculadoras mecánicas, que a su vez han jugado un
importante papel en la educación. Por eso el
escolar de las Matemáticas
dedicado este año a la ciencia del cálculo: la
computación.
el cual fue declarado por la UNESCO año mundial de
las Matemáticas. En este sentido, Cine Matemático se
complace en felicitar a todos los matemáticos y
estudiantes de nuestra casa de estudios UCLA.
Cabe añadir también que el pasado
marzo se celebró el
fecha se debe al hecho de que los primeros 3 dígitos
de su expansión decimal
formato de fecha estadounidense es 3/14 (14 de
marzo). Esto fue una ocurrencia del físico
norteamericano Larry Shawn en el año 1989.
Autor
Quincenario
Matemático
_________ Miércoles, 21 de mayo de 2014, UCLA. Edición Nº
¡Las Matemáticas
también se celebran!
hard Euler (1707 - 1783)
“Nada ocurre en el universo sin
obedecer una regla de máximo o
mínimo”
En tu bolsillo encontrarás un ligero dispositivo
capaz de multiplicar 358.553.569 por 663.105.092 en
menos de lo que tardas en pestañear. Cualquier
teléfono lleva a cabo operaciones con una eficacia
que la mayoría de matemáticos de la historia no
podría ni imaginar, sin ni siquiera ser su función
principal. Pero las matemáticas actuales no serían
posibles sin precursores como el ábaco o las
calculadoras mecánicas, que a su vez han jugado un
importante papel en la educación. Por eso el día
escolar de las Matemáticas (12 de Mayo) fue
dedicado este año a la ciencia del cálculo: la
computación. Esta fecha fue instituida en el año 2000,
el cual fue declarado por la UNESCO año mundial de
las Matemáticas. En este sentido, Cine Matemático se
ace en felicitar a todos los matemáticos y
estudiantes de nuestra casa de estudios UCLA.
Cabe añadir también que el pasado 14 de
se celebró el día de π. La elección de esta
fecha se debe al hecho de que los primeros 3 dígitos
de su expansión decimal es 3,14…, lo cual escrito en
formato de fecha estadounidense es 3/14 (14 de
marzo). Esto fue una ocurrencia del físico
norteamericano Larry Shawn en el año 1989.
Autor: Graccyela Salcedo
Quincenario Cine
Matemático
de 2014, UCLA. Edición Nº 3 __________
¡Las Matemáticas
también se celebran!

2. Problema de los puentes de
Königsberg
Durante el siglo XVIII, la ciudad
de Königsberg (al este del antiguo
reino de Prusia, hoy día Kaliningrado)
fue dividida en 4 sectores (incluyendo
a la isla de Kneiphof) por el río Pregel.
Estas regiones estaban conectadas
mediante 7 puentes (véase la figura).
Se decía que los habitantes solían
pasar sus caminatas dominicales
tratando de encontrar una manera de
recorrer la ciudad entera de modo
que se pasara exactamente una vez
por cada puente y luego regresar al
punto de partida.
Este problema, de sencillo
planteamiento, resultó tener una
solución matemática. Ello conllevó a
desarrollar lo que posteriormente
conoceríamos como teoría de grafos,
una rama de las Matemáticas cuyas
aplicaciones prácticas se orientan
sobre todo a las ciencias de la
computación. Fue Leonhard Euler
(1707 – 1783) quien le dio solución
en el año de 1736.
Para poder dar una respuesta, se
puede proceder directamente
tratando de conseguir todos los
posibles ciclos que no repita lados. Sin
embargo el proceso sería largo y
tedioso. En este sentido lo que Euler
hizo fue representar los 4 sectores de
la ciudad mediante puntos (vértices) y
a cada puente lo representó por un
lado, de modo que abstrajo el
problema en un multigrafo no dirigido
de 4 vértices (véase la figura).
Notemos que para los vértices a, c y
d hay tres lados incidentes a ellos y
para el vértice b hay 5 lados
incidentes.
Ahora bien, para poder recorrer
un ciclo en el que no se repitan lados,
es necesario dos cosas: (i) siempre
exista un trayecto para cualquier par
de vértices y (ii) que cada vértice
tenga un número par de lados
adyacentes a él, esto es intuitivo, pues
si hacemos el recorrido,
requeriríamos un lado para entrar a
cualquier vértice dado y otro lado
para salir de este, es decir, por lo
menos necesitamos 2 lados. En gene-
Figura superior: Multigrafo del
problema. Figura inferior: Königsberg
con sus 7 puentes y 4 regiones.
ral, si pasamos k veces por un vértice,
necesitaríamos tener, 2k lados
conectados a dicho vértice.
Formalmente, Euler llegó a demostrar
este resultado, estableciendo que:
Sea G es un grafo no dirigido sin vértices
aislados. Entonces se dice que G tiene un
ciclo que no repite lados si y solo si G es
conexo y cada vértice tiene una cantidad
par de lados adyacentes a él.
De hecho, para realizar una
trayectoria que no repita lados, en el
que no necesariamente comencemos
por un punto y terminemos en dicho
punto de partida, podemos demostrar
que se requieren exactamente dos
vértices con una cantidad impar de
lados conectados a él.
Volviendo a nuestro problema,
nos vemos obligados, pues, a
responder negativamente. Para
reflexionar, el lector podrá responder
sin dificultad si es posible dibujar las
figuras anexas sin levantar el lápiz y
sin repetir lados.
Rubén Quintero
Matemáticas en las
empresas
En un principio, en la llamada etapa
marginalista, prácticamente sólo se
empleaba para la economía y las
empresas en general el Cálculo
Diferencial e Integral (los objetos
primarios del Análisis Matemático, tales
como los números reales y las funciones
continuas y diferenciables, sirven para
representar magnitudes económicas
como la demanda, la oferta o la utilidad).
Algunos economistas (Cournot, Walras,
Jevons, Marshall, Edgeworth, Pareto)
vieron que los modelos económicos
puramente cualitativos de épocas
anteriores, si bien eran útiles, se
mostraban insuficientes para resolver los
problemas que comenzaban a plantearse.
Así por ejemplo, se puede establecer una
hipótesis de manera cualitativa sobre la
relación que existe entre la demanda, el
precio y la cantidad de equilibrio (un
aumento de la primera supone un
aumento de las dos últimas magnitudes);
pero para poder analizar cómo variará el
precio y la cantidad en respuesta a una
alteración de la demanda, es necesaria
una consideración cuantitativa, y es ahí
donde el Cálculo Diferencial se presenta
como un instrumento natural.
A partir de la década de 1930 comienzan
a emplearse técnicas matemáticas más
avanzadas, como son Teoría de
Conjuntos, Topología, Análisis Funcional
o Teoría de la Medida. El uso de estos
instrumentos matemáticos hizo que los
esfuerzos se encaminasen hacia la genera-