Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi, termasuk definisi relasi dan fungsi, contoh-contoh relasi dan fungsi, grafik fungsi kuadrat, fungsi komposisi, fungsi invers, dan pengertian barisan serta konvergensi barisan dalam 3 kalimat."

1. KALKULUS PROGRAM EKSTENSI
MODUL I
FUNGSI
A. RELASI
Definisi : diberikan himpunan pasangan terurut (x, y) dimana x A & y B maka
himpunaan (x,y) x A&y B dinamakan relasi dari x A ke y B dinotasikan
sebagai xRy
Himpunan A disebut domain (daerah asal)
Himpunan B disebut codomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang mempunyai sifat xRy disebut range atau daerah hasil
(jelajah)
xRy artinya x tidak berelasi dengan y
Contoh 1 :
Diberikan suatu relasi R dari A ke B dengan A = (1,2 & B = a,b,c & R = (1,a),
(1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) maka y suatu relasi 1Ra, 1Rb, 1Rc, 2Ra, 2Rb, dan 2Rc
A B
1 a
2 b
c
Contoh 2 :
Diberikan persamaan y = x2, persamaan ini menghubangkan suatu relasi R antara
bilangan real x dengan bilangan real y
Relasi R adalah R = (x,y) x R & y = x2
= (x,x2) x R
1

2. Dalam hal ini adalah bilangan real R, codomain juga bilangan real R sedangkan range
adalah y y R&y 0
B. FUNGSI
Kejadian khusus dari suatu relasi
Dalam aljabar digunakan istilah pemetaan
Dalam analisa digunakan istilah fungsi
Definisi : fungsi f dari A ke B ditulis f : A B dimaksud suatu aturan perkawanan yang
pada anggota A menentukan dengan tunggal satu kawan (anggota) dalam B.
Contoh :
Diambil A adalah himpunan lima dadu yaitu A = D1, D2, D3, D4, D5 , sedangkan B
adalah himpunan bilangan mata dadu 1 s.d. 6. Jadi B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Apabila kelima
dadu itu kita lemparkan bersama, maka lemparan ini merupakan suatu fungsi f dari A ke
B.
A B
D1 1
D2 2
D3 3
D4 4
D5 5
6
Himpunan 1, 4, 5, 6 yang merupakan bagian dari B disebut range (daerah hasil) dari
fungsi f.
Syarat fungsi :
- domain harus habis
- codomain tidak harus habis
- anggota domain mempunyai kawan tunnggal
2

3. Latihan :
Apakah diagram dibawah ini menunjukkan suatu fungsi ?
A B A B
1 1 a 4
2 3 b 8
3 9 c 16
4 18 d
e
Suatu fungsi f dari A ke B disajikan dengan tanda :, f : A B. Apabila a A, maka
kawannya (tunggal) di dalam B yang disajikan dengan tanda f (a), dan dikatakan bahwa a
dibawa ke f (a), dengan simbol : a f (a).
Adakalanya suatu fungsi f dapat juga disajikan dengan suatu rumus, misalnya domain
dan codomain adalah himpunan bilangan-bilangan riil : f : a f (a) = a2 adalah suatu
fungsi yang mengawankan bilangan riil anggota domain dengan bilangan riil kuadratnya
di dalam codomain
Domain Codomain
-2 0
-1 1
0 2
1 3
2 4
Sehingga diperoleh hasil : -2 anggota domain mempunyai kawan 4 dalam kodomain atau
f (-2) = 4, dst.
f:x y = f (x) = x2
jadi rumus y = x2 menentukan suatu fungsi
3

4. C. GRAFIK KUADRAT
Definisi : grafik fungsi y = f (x) adalah himpunan semua pasangan (x, f (x)) dalam sistem
koordinat dimana x anggota domain f (x)
Contoh :
f (x) = x2 yang didalam f pada interval (0, 2) maka grafiknya adalah
y
x y = x2 4 f (x) = x2
0 0
1 1
/2 /4 3
1 1
2 4 2
. .
. . 1
. .
1 2 3 4 x
Beberapa fungsi dan model grafiknya:
1. Fungsi Linear
B.U : ax + by = c atau y = mx + n, m = gradien grafik fungsi tersebut.
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi y = 2x + 4
Penyelesaian :
Titik potong dengan sumbu x y=0
y = 2x + 4
0 = 2x + 4
x = -2 A (-2, 0)
Titik potong dengan sumbu y x=0
y = 2x + 4 = 2 . 0 + 4 = 4 B (0, 4)
4

5. Gambar : y
4
x -2
2. Fungsi Kuadrat
B.U: Y = ax2 + bx + c
Grafik fungsi kuadrat ini mempunyai :
b
a. Sumbu simetri pada garis x = -
2a
b D
b. Puncak di P (- , ), dengan D = b2 – 4 ac
2a 4a
c. Apabila a > 0 maka grafik fungsi membuka ke atas
d. Apabila a < 0 maka grafik fungsi membuka ke bawah
e. Apabila ditinjau dari harga diskriminan (D), maka
a>0 y = f (x) a>0 y = f (x) a>0 y = f (x)
D>0 D=0 D<0
a<0
a<0 a<0
D>0 D=0 D<0
y = f (x) y = f (x) y = f (x)
Contoh :
1. Grafik fungsi y = x2
5

6. b 0
y Sumbu simetri x = - =- =0
2a 2
b D
Y = x2 Puncak di P (- , ) = (0, 0)
2a 4a
D b 2 4ac 0 0
Sebab = = =0
4a 4a 4
x
2. Grafik fungsi y = x2 –2x – 3
y Titik potong dengan sumbu x y=0
x2 –2x – 3 = 0
(x + 1)(x – 3) = 0
x = -1 A (-1, 0)
x = 3 B (3, 0)
b
Sumbu simetri di x = - =1
2a
b D
Puncak P (- , ) = P (1, -4)
2a 4a
Latihan : 1. y = x2 + 2x + 3
2. y = 2x2 + 8x + 6
3. Fungsi Trigonometri
Dipelajari dalam mata kuliah trigonometri
4. Fungsi Komposisi
Definisi : fungsi komposisi yang dinyatakan oleh f.g didefinisi sebagai
(f.g) (x) = f g (x) dengan domain f.g adalah himpunan semua x sehingga g (x)
anggota domain f
g f
x g (x) f (g(x))
Contoh :
Diberikan fungsi f (x) = x & g (x) = 2x – 3
6

7. Tentukan : a. f (x) apabila f (x) = (f.g) (x)
b. Domain f (x)
Penyelesaian :
a. f (x) = (f.g) (x) = f (g(x)) = 2x 3
b. Domain dari g adalah (- , ) sedangkan domain f adalah (0, ) sehingga
domain dari f adalah himpunan semua bilangan real x 2x – 3 0 atau x
3 3
atau ( , )
2 2
Contoh :
Diberikan fungsi f (x) = x & g (x) = x2 – 1
Tentukan : a. f.g
b. g.f
c. Domain untuk f.g & g.f
Penyelesaian :
a. (f.g) (x) = f (g(x)) = f (x2 –1) = x2 1
b. (g.f) (x) = g (f (x)) = ( x )2 – 1 = x – 1
c. Domain dari f.g adalah himpunan semua bilangan real x x2 – 1 0 atau
(x - 1) (x + 1) 0
+ - +
-1 1
yaitu himpunan (- , ) (1, ) atau sama dengan himpunan semua x
diluar (-1,1)
d. Domain (g.f) adalah himpunan semua x dalam domain f yaitu x x 0
5. Fungsi Tangga (Step Function)
Definisi : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x yaitu x = n, jika n x<
n + 1, dengan n bilangan bulat
Dari definisi di atas maka :
1 =1 -3 = -3
1,2 =1 -4,8 = -5
7

8. 1
=0 dst
3
Contoh :
a. Gambar grafik f (x) = x
b. Gambar grafik f (x) = x - x
6. Fungsi Invers
Definisi : fungsi f disebut fungsi matematika (one to one) apabila untuk setiap x1
x2 maka f (x1) f (x2)
Contoh :
a. Diberikan fungsi f (x) = x3 dengan x R
b. Diberikan fungsi f (x) = x2 dengan x R
Definisi : apabila f adalah fungsi satu-satu maka invers fungsi f yang diberi
simbol f-1, adalah fungsi berharga tunggal yang didefinisikan pada
rangenya f dan memenuhi fungsi komposisi :
F (f-1(x)) = x untuk setiap x pada rangenya f
Contoh :
a. Tentukan fungsi invers dari fungsi f (x) = x3
b. Tentukan fungsi invers dari y = 2x –4
c. Tentukan fungsi invers dari y = sin x pada - x
2 2
d. Tentukan fungsi invers dari f (x) = a logx
8

9. MODUL 2
BARISAN DAN LIMIT FUNGSI
A. BARISAN
Suatu barisan (sequence) dan bilangan-bilangan :
a1, a2, a3, ……
adalah susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli. Tepatnya
barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah bilangan asli 1, 2, 3, …
Perhatikan fungsi f : N R yang dinyatakan oleh rumus f (n) = n2
f
N R
1 1
2 4
3 9
4 16
. .
. .
. .
Maka f (n) akan membentuk sebuah barisan dengan suku-suku :
f (n) = a (n) dan lazim ditulis
= an
2
dimana : a1 = 1 = 1
a2 = 22 = 4
a3 = 32 = 9
a4 = 42 = 16
……………………
Sehingga diperoleh barisan :
a1, a2, a3, a4, …
atau 1, 4, 9, 16, …
Selanjutnya untuk menyingkat barisan tersebut cukup ditulis dengan notasi an atau n2
9

10. Perhatikan contoh barisan berikut :
1 1 2 3 4
(i) an dengan an = 1 - mka barisan itu adalah 0, , , , , …
n 2 3 4 5
1 3 2 5 7 6
(ii) bn dengan bn = 1 + (-1)n maka barisan itu adalah 0, , , , , , …
n 2 3 4 6 7
1 3 2 5 4 7 6
(iii) cn dengan cn = (-1)n maka barisan tersebut adalah 0, , - , , - , , - ,
n 2 3 4 5 6 7
…
(iv) dn dengan dn = 0,999 maka barisan tersebut adalah 0,999, 0,999, 0,999, 0,999,
…
a1 a2a3
-1 0 1
b1 b3b5 b4b2
-1 0 1
c5c3 c1 c4 c2
-1 0 1
d1 d2 d3
-1 0 1
Dari contoh keempat barisan tersebut maka nampak bahwa barisan an dan bn
konvergen (memusat) menuju bilangan 1 artinya bahwa :
a. nilai-nilai barisan itu untuk n b akan saling mendekati 1
b. nilai-nilai untuk n akan saling mendekati
Dengan demikian barisan dn akan konvergen ke 0,999 namun barisan cn tidak
konvergen sebab kedua syarat tidak terpenuhi, suatu baris yang tidak konvergen disebut
divergen
Definisi : baris an disebut konvergen menuju bilangan atau mempunyai limit dan
ditulis :
Limit an =
10

11. n
bila dan hanya bila untuk setiap bilangan > 0, terdapatlah bilangan positif N
sedemikian hingga untuk n > N berlaku an - <
y
0 N x
n N an - <
1
Perhatikan barisan an dengan an = 1 - maka untuk n harga an 1, dan dari
n
gambar nilai an akan semakin berdekatan dan mendekati nilai 1, dengan demikian dapat
didekatkan bahwa :
Barisan an konvergen menuju 1 atau
1
Limit an = Limit (1 - )
n
n n
1
=1- = 1–0
=1
Theorema 1. Misalkan an dan bn adalah suatu barisan yang konvergen dan k suatu
konstan maka
1. Limit k=k
n
2. Limit k an = k Limit an
n
3. Limit (an bn) = Limit an Limit bn
n n n
4. Limit (an.bn) = Limit an . Limit bn
11

12. n n n
a Limita n
5. Limit n = , asal Limit bn 0
bn Limitb n
n n
Contoh :
n
a. Tentukan suku-suku dari an apabila an = , selidiki apakah an konvergen
2n 1
hitunglah Limit an
n
1 2 3 4
b. Diketahui barisan , , , , …. Tentukan rumus umum suku-suku barisan itu dan
2 3 4 5
selidiki konvergensinya
3n 2
c. Tentukan Limit
7n2 1
B. LIMIT FUNGSI
Pengertian limit fungsi adalah merupakan konsep dasar dalam mempelajari
matematika.Untuk itu perhatikan fungsi berikut :
2x2 x 3
f (x) =
x 1
Domain dari f (x) adalah semua real x R kecuali x = 1
Akan diselidiki harga fungsi f (x) untuk mendekati 1, tetapi tidak sama dengan 1, yaitu
nilai f (x) untuk x mendekati 1 dari kanan
x f (x) x f(x)
0 3 2 7
0,25 3,5 1,75 6,5
0,5 4 1,5 6,0
0,75 4,5 1,25 5,5
0,9 4,8 1,1 5,2
0,99 4,98 1,01 5,02
0,999 4,9981 1,001 5,002
0,9999 4,99981 1,0001 5,0002
0,99999 4,99998 1,00001 5,00002
12

13. Dari kedua tabel ini nampak bahwa untuk nilai x semakin dekat dengan 1, maka nilai f
(x) semakin dekat dengan 5.
Perhatikan bahwa apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,0001 yaitu x = 0,9999 dan x
= 1,0001 maka nilai f (x) berbedad dari 5 dengan 0,0002 yaitu f(0,9999) = 4,9998 dan f
(1,0001) = 5, 0002. Demikian pula apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,00001 yaitu
x = 0,99999 dan x = 1,00001 maka nilai f (x) berbeda dari 5 dengan 0,00002 yaitu f
(0,99999) = 4,99998 dan f (5,00002) = 5,00002, dan seterusnya. Kenyataan ini dapatlah
ditarik kesimpulan bahwa kita dapat membuat harga f(x) cukup dekat denagn 5 apabila x
cukup dekat kepada 1. Denagn kata lain harga f(x) - 5 dapat dibuat sekecil mungkin,
dengan membuat harga x - 1 cukup kecil. Pernyataan ini secara metematis dapat
dikatakan sebagai berikut :
Untuk sembarang bilangan positif yang diberikan maka terdapatlah bilangan positif >0
sedemikian hingga 0 < x - a < dan berlaku f(x) -  < . Selanjutnya pengertian ini
diangkat sebagai definisi limit fungsi.
Definisi : bilangan disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati suatu harga a, ditulis :
Limit
f(x) = 
x a
Jika untuk setiap bilangan positif yang diberikan (bagaimanapun kecilnya)
dapat ditemukan bilangan > 0 sedemikian hingga untuk semua harga x
dimana 0 < x - a < berlaku f(x) -  < .
Dengan logika matematika definisi limit dapat ditulis :
Limit
f(x) =  (A > 0)(E > 0)(Ax)
x a
0< x-a < f(x) -  <
13

14. y
L+
L
L-
0 a x
Contoh :
a. Dengan menggunakan definisi dari limit fungsi, perlihatkan bahwa
lim
(x2 + 1) = 2
x 1
lim
b. Buktikan bahwa (x2 + 3x + 1) = 1
x 0
Teorema
Limit Limit
Apabila f(x) = A dan g(x) = B, maka
x a x a
Limit
1. c f(x) = cA c = konstanta
x a
Limit Limit Limit
2. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = A + B
x a x a x a
Limit Limit Limit
3. f(x) . g(x) = f(x) . f(x) = A . B
x a x a x a
Limit Limit A
4. f(x) = f(x) = , asal B 0
x a x a B
Limit
g(x)
x a
Contoh :
Limit
a. (2x + 3) = ….
x 2
14

15. Limit 2
b. (x – 4x + 1) = ….
x 1
Limit x 3
c. = ….
x 4 x 3
Limit x 2
d. = ….
x 2 x 2
Limit x 4
e. 2
= ….
x 4 x x 12
Lim it x 3 27
f. = ….
x 3 x2 9
Limit ( x h) 2 x2
g. = ….
h 0 h
Limit 3 x 3 x
h. Hitunglah = ….
x 0 3x 3 x
Limit f ( x h) f ( x)
i. Diberikan f(x) = x2 – 3x, hitunglah
h 0 h
Limit f ( x h) f ( x)
j. Diberikan f(x) = 5x 1 , hitunglah
h 0 h
Limit 4 x2
k. Hitunglah
x 2 3 x2 5
Limit 3 x x 1
l. Hitunglah
x 2 x( 2 x)
C. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN SUATU FUNGSI
Pada pembicaraan mengenai limit fungsi di atas, kita sama sekali tidak memperhatikan
bagaimana cara pendekatan harga x = a, sehingga harga limit itu ada di x = a.
Walaupun harg ayang didekati aalah sama, mungkin suatu fungsi mempenyai harga limit
yang bebeda-beda dengan cara pendekatan yang berbeda pula.
Untuk hal yang demikian kita mengenal dua macam limit :
1. Limit Kiri
15

16. Limit kiri f(x) untuk y mendekati a (harga a didekati oleh x dari kiri), ditulis :
Lim it Limit
f(x) = f(x)
x a x a
2. Limit Kanan
Limit kanan f(x) untuk x mendekati a (harga a didekati oleh x dari kanan), ditulis :
Lim it Limit
f(x) = f(x)
x a x a
Definisi : bilangan L disebut limit kiri dari fungsi f(x) untuk x mendekati a, apabila untuk
setiap > 0 yang diberikan, terdapatlah > 0, sedemikian hingga untuk semua x di mana
a - < x < a, berlaku f(x) - L <
Tentu saja definisi limit kanan analog
Sebagai contoh diambil fungsi f(x) = x untuk x 2
x+1 untuk x > 2
y
0 2 x
y=x
Limit
Diselidiki f(x)
x 2
Dipandang untuk x mendekati 2 dari kanan, maka :
Limit
f(x)
x 2
dst.
16