Instituto Tecnológico Superior de                 Zacapoaxtla        Departamento de Desarrollo                 AcadémicoM...
M. en C. María del Consuelo Valle Espinosa Media aritmética. Media armónica. Media geométrica. Mediana. Moda.
En tiempos pasados, cuando los azares de los viajes marinos eran másserios que en la actualidad, cuando los barcos golpead...
El propósito de un promedio es representar un grupo devalores individuales de una manera simple y concisa demodo que la me...
!El tipo de medida detendencia central adecuada  depende siempre de los términos del problema en curso, las fórmulas no se...
Media Aritmética de un conjunto de números:Se calcula sumando los elementos del conjunto y dividiendo el total porel númer...
La Media Armónica es el reciproco de la media aritmética de losrecíprocos de los valores que queremos promediar. Ejemplo: ...
La Media Geométrica:Es la media que hay que usar cuando se quiere promediarcantidades que siguen un progresión geométrica ...
Algunos inconvenientes de los promediosUno de ellos es que es que son muy sensible a losvalores extremos de la variable: ...
Consideramos una variable discreta X cuyasobservaciones en una tabla estadística han sidoordenadas de menor a mayor. Llama...
Esto equivale a decir que la mediana divide al histogramaen dos partes de áreas iguales a 1/2 .
Un ejemplo de cálculo de media y medianaObtener la media aritmética y la mediana en la distribuciónsiguiente.Determinar gr...
La media aritmética es:                   xi ni     6500          x                                32 . 75                ...
Propiedades de la medianaEntre las propiedades de la mediana, vamos a destacar lassiguientes:Como medida descriptiva, tie...
ModaLlamaremos moda el valor que aparece máscomúnmente.Es muy fácil de calcular.Puede no ser única.La moda es una base ...
Cuartiles
Para una variable discreta, se define los cuartiles, comoaquellas observaciones, Q25, Q50, Q75 que dejan por debajo desi e...
Ejemplo 1: Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias, calcular sus cuartiles.Primer Cuartil.  ...
Ejemplo2:Calcular los cuartiles en la siguiente distribuciónde una variable continua:
 Intervalo Intervalo intercuártico Desviación media Varianza Desviación estándar
Los estadísticos de tendencia central o posición nosindican donde se sitúa un grupo de puntuaciones. Losde variabilidad o ...
Intervalo              Diferencia entre el mayor y el menor valorNOTA:Esta medida de dispersión está afectada por los valo...
Las medidas; intervalo, intervalo cuártico, desviación media seusan en el trabajo elemental, a causa de su facilidad de cá...
La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej.si las observaciones se miden en metros, la varianza lo h...
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Ejemplo:A continuación se dan los resultados obtenidos conuna muestra de 50 universitarios. La característicaes el tiempo ...
Un diagrama de caja y bigotes consiste enuna caja rectangular, donde los lados más largosmuestran el recorrido intercuartí...
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Ejercicio:Tomando como base de datos el largo de lacabeza de los peces de la familia Scorpaniedae deIsla de Guadalupe, Baj...
Referencias:          Bioestadística: métodos y aplicacionesAutores: Francisca Ríus Díaz, Francisco Javier BarónLópez, Eli...
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2.1 medidas descriptivas

  1. 1. Instituto Tecnológico Superior de Zacapoaxtla Departamento de Desarrollo AcadémicoMaría del Consuelo Valle Espinosa
  2. 2. M. en C. María del Consuelo Valle Espinosa Media aritmética. Media armónica. Media geométrica. Mediana. Moda.
  3. 3. En tiempos pasados, cuando los azares de los viajes marinos eran másserios que en la actualidad, cuando los barcos golpeados por lastormentas tiraban por la borda una parte de su carga, se reconoció queaquellos cuyos bienes se sacrificaban podían reclamar una justaindemnización a expensas de aquellos cuyos bienes llegaban si novedad.El valor de los bienes perdidos se pagan mediante un acuerdo entre todoslos que tenían mercancías en el mismo buque. El daño causado por elmar al cargamento se conocía como HAVARIA. De esta palabra latina sederiva la moderna palabra inglesa AVERAGE (promedio)
  4. 4. El propósito de un promedio es representar un grupo devalores individuales de una manera simple y concisa demodo que la mente pueda hacerse con una rápida visión eltamaño general de los individuos en el grupo sin que ladistraigan las variaciones fortuitas y sin importancia.El promedio ha de actuar como REPRESENTANTE y es una cifra con significado que permite hacer deducciones.Los promedios suelen ser muy desorientadores por eso sehan definido diferentes tipos de promedios con la finalidadde escoger el apropiado para el tipo de datos y supropósito.Los promedios también son conocidos como: «MEDIADAS DE TENDENCIA CENTRAL»Calculan el valor alrededor del cual se acumulan losdiversos valores diferentes.
  5. 5. !El tipo de medida detendencia central adecuada depende siempre de los términos del problema en curso, las fórmulas no se han de aplicar nunca de manera indiscriminada!
  6. 6. Media Aritmética de un conjunto de números:Se calcula sumando los elementos del conjunto y dividiendo el total porel número de individuos del conjunto (los elementos a promediar han deser del mismo tipo).Media Aritmética para un conjunto de números ordenados:Es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por lasfrecuencias de los mismos.Para la tabla de valores siguientes: La media aritmética se calcula como:
  7. 7. La Media Armónica es el reciproco de la media aritmética de losrecíprocos de los valores que queremos promediar. Ejemplo: Un aeroplano vuela alrededor de un cuadrado cuyo lado tiene 100 km de largo; el primer lado lo recorrer a 100 k/h, el segundo 200 km/h, el tercero a 300 km/h y el cuarto a 400 km/h. ¿Cuál es la velocidad media? n 4 4 192 km / h n 1 1 1 1 1 25 i 1 xi 100 200 300 400 1200 La media armónica es adecuada porque los tiempos eran variables con distancias constantes.
  8. 8. La Media Geométrica:Es la media que hay que usar cuando se quiere promediarcantidades que siguen un progresión geométrica oexponencial.Para calcularla se multiplican entre sí todas las cantidadesque se quieren promediar y después se obtiene la raízenésima del producto. Media geométrica n x1 x 2 xn
  9. 9. Algunos inconvenientes de los promediosUno de ellos es que es que son muy sensible a losvalores extremos de la variable: ya que todas lasobservaciones intervienen en sus cálculos. Laaparición de una observación extrema, hará que elpromedio se desplace en esa dirección. Enconsecuencia, no es recomendable usarlos comomedida central en las distribuciones muy asimétricas.Si consideramos una variable discreta, por ejemplo,el número de hijos, el valor de los promedios puede nopertenecer al conjunto de valores de la variable.
  10. 10. Consideramos una variable discreta X cuyasobservaciones en una tabla estadística han sidoordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana,al primer valor de la variable que deja por debajo desí al 50% de las observaciones.En el caso de variables continuas, las clases vienendadas por intervalos, y aquí la fórmula de la medianase complica un poco más (pero no demasiado):Sea (l , l ] el intervalo donde hemos encontrado que i 1 ipor debajo están el 50% de las observaciones.Entonces se obtiene la mediana a partir de lasfrecuencias absolutas acumuladas, medianteinterpolación lineal (teorema de Thales)
  11. 11. Esto equivale a decir que la mediana divide al histogramaen dos partes de áreas iguales a 1/2 .
  12. 12. Un ejemplo de cálculo de media y medianaObtener la media aritmética y la mediana en la distribuciónsiguiente.Determinar gráficamente cuál de las dos medidas de tendenciacentral es más significativa. Solución:
  13. 13. La media aritmética es: xi ni 6500 x 32 . 75 n 200 La mediada es: La primera frecuencia absoluta acumulada que supera el valor n/2 = 100 es Ni = 140. Por ello el intervalo mediano es [10; 20). Así: n/2 Ni 1 100 60 M ed li 1 ai 10 80 10 15 ni
  14. 14. Propiedades de la medianaEntre las propiedades de la mediana, vamos a destacar lassiguientes:Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectadapor las observaciones extremas, ya que no depende de los valoresque toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello esadecuado su uso en distribuciones asimétricas.Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla.A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta essiempre un valor de la variable que estudiamos.
  15. 15. ModaLlamaremos moda el valor que aparece máscomúnmente.Es muy fácil de calcular.Puede no ser única.La moda es una base my pobre para cualquier cálculoposterior de naturaleza aritmética, porque ha excluidodeliberadamente precisión aritmética a fin de presentarel resultado más común.Puede que no sea única.
  16. 16. Cuartiles
  17. 17. Para una variable discreta, se define los cuartiles, comoaquellas observaciones, Q25, Q50, Q75 que dejan por debajo desi el 25%, 50% y 75% de los datos respectivamente, laMediana es el cuartil Q50
  18. 18. Ejemplo 1: Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias, calcular sus cuartiles.Primer Cuartil. Segundo Cuartil.n/4 = 25; Primera Ni > 25 es 39; 2n/4 = 50; Primera Ni >luego 50 es 65; luego Q2 =3 Q1 =2 Tercer Cuartil. 3n/4 = 75; Primera Ni > 75 es 85; luego Q3 =4
  19. 19. Ejemplo2:Calcular los cuartiles en la siguiente distribuciónde una variable continua:
  20. 20.  Intervalo Intervalo intercuártico Desviación media Varianza Desviación estándar
  21. 21. Los estadísticos de tendencia central o posición nosindican donde se sitúa un grupo de puntuaciones. Losde variabilidad o dispersión nos indican si esaspuntuaciones o valores están próximas entre sí o si porel contrario están o muy dispersas. ¿Cómo se puede obtener una medida de la variabilidad alrededor del valor medio?
  22. 22. Intervalo Diferencia entre el mayor y el menor valorNOTA:Esta medida de dispersión está afectada por los valores extremos. Intervalo intercuárticoDiferencia entre el tercer y primer cuartil, es la longitud del intervalo que la mitad central de los datos. Desviación media:El promedio del valor absoluto de la diferencia entre cada uno de loselementos y su media x x Desviación media n
  23. 23. Las medidas; intervalo, intervalo cuártico, desviación media seusan en el trabajo elemental, a causa de su facilidad de cálculoy comprensión pero no se usa en la inferencia estadística. Losgrandes teoremas que le dan sustento matemático a lainferencia están fundamentados en la medidas de dispersiónllamada desviación estándar. Varianza:La varianza, se define como la media de las diferenciascuadráticas de n puntuaciones con respecto a su mediaaritmética. Esta medida es siempre una cantidad positiva, con propiedades interesantes para la realización de inferencia estadística
  24. 24. La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej.si las observaciones se miden en metros, la varianza lo hace enmetros cuadrados.Si queremos que la medida de dispersión sea de la mismadimensionalidad que las observaciones bastaría con tomar su raízcuadrada. Por ello se define la desviación estándar. n x x s n Es sensible a la variación de cada una de las puntuaciones, es decir, si una puntuación cambia, cambia con ella la varianza o la desviación estándar. No es recomendable el uso de ellas, cuando tampoco lo sea el de la media como medida de tendencia central.
  25. 25. El coeficiente de variación de una variable medida en metros esuna cantidad adimensional que no cambia si la medición se realizaen centímetros.Presenta problemas ya que a diferencia de la desviación estándareste coeficiente es variable ante cambios de origen. Por ello esimportante que todos los valores sean positivos y su media dé, portanto, un valor positivo.A mayor valor del coeficiente de variación mayor heterogeneidad delos valores de la variable; y a menor Cv, mayor homogeneidad enlos valores de la variable.Para su mejor interpretación se expresa como porcentaje.
  26. 26. S S Cv Cv 100 x xSu fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de lamedia aritmética, mostrando una mejor interpretaciónporcentual del grado de variabilidad que la desviación típica oestándar.Depende de la desviación estándar y en mayor medidade la media aritmética, dado que cuando ésta es 0 o muypróxima a este valor Cv pierde significado, ya que puededar valores muy grandes, que no necesariamenteimplican dispersión de datos.El coeficiente de variación es típicamente menor que unou ocho. Sin embargo, en ciertas distribuciones puede ser 1o mayor que 1.
  27. 27. Ejemplo:A continuación se dan los resultados obtenidos conuna muestra de 50 universitarios. La característicaes el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo:1. calcular: Media Mediana Moda Varianza Desviación estándar Primer cuartil Segundo cuartil Tercer Cuartil2. Encontrar el dato mayor y el dato menor3. Construir : Tabla de frecuencia Histograma Diagrama de caja y bigotes.
  28. 28. Un diagrama de caja y bigotes consiste enuna caja rectangular, donde los lados más largosmuestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo estádividido por un segmento vertical que indica donde seposiciona la mediana y por lo tanto su relación con loscuartiles primero y tercero(recordemos que el segundocuartil coincide con la mediana).Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tienecomo extremos los valores mínimo y máximo de la variable.Las líneas que sobre salen de la caja se llaman bigotes.Estos bigotes tienen un límite de prolongación, de modoque cualquier dato o caso que no se encuentre dentro deeste rango es marcado e identificado individualmente
  29. 29. 0.11 0.11 Media 0.113988 0.126 Mediana 0.113 Q1 0.10725 0.112 Moda 0.112 Q2 0.113 0.117 Varianza 9.72807E-05 Q3 0.12 0.113 Desviación estándar 0.009863096 M 0.135 0.135 Coeficiente de variación 0.086527497 m 0.094 0.107 Primer cuartil 0.10725 0.122 Segundo cuartil 0.113 0.113 Tercel cuartil 0.12 0.098 Dato mayor 0.135 0.122 Dato menor 0.094 0.105 0.103 0.119 Clase Frecuencia 0.1 0.094 1 0.117 0.09985714 2 0.113 0.10571429 7 0.124 0.11157143 11 0.118 0.11742857 11 0.132 0.12328571 10 0.108 0.12914286 4 0.115 y mayor... 4 0.12 0.107 0.123 0.109 0.117 Histograma 0.111 0.112 11 11 10 0.101 0.112 7 0.111 4 4 0.119 1 2 0.103 0.1 0.108 0.12 0.099 0.102 0.129 0.115 0.121 0.13 0.134 0.118 0.106 0.128 0.0940.1114
  30. 30. Ejercicio:Tomando como base de datos el largo de lacabeza de los peces de la familia Scorpaniedae deIsla de Guadalupe, Baja California, México,1. calcular: Media Mediana Moda Varianza Desviación estándar Primer cuartil Segundo cuartil Tercer Cuartil2. Encontrar el dato mayor y el dato menor3. Construir : Tabla de frecuencia Histograma Diagrama de caja y bigotes.
  31. 31. Referencias: Bioestadística: métodos y aplicacionesAutores: Francisca Ríus Díaz, Francisco Javier BarónLópez, Elisa Sánchez Font y Luis Parras Guijosa.Universidad de Málaga .Sitio en Internet:http://www.bioestadistica.uma.es/libro/ SIGMA EL MUNDO DE LAS MATEMATICAS VOLUMEN III NEWMAN JAMES R., GRIJALBO ISBN 9788425312922

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