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También cuando el número de grados de libertad crece, lacurva «t» se aproxima a la curva Normal Tipificada.
Con todos estos antecedentes estudiados, es tiempo depresentar el siguiente teorema, que permite construir unintervalo de ...
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 La confianza deseada, que controla el valor de t La variabilidad de la muestra, que se mide por s El tamaño de la mues...
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En la figura se observa el muestreo de una población con unamedia de 50 y una desviación estándar de 10. Los 100 dibujosde...
 Supongamos que debe realizarse un estudio para estimar el  peso medio en el momento del nacimiento de niños cuyas  madre...
Consideremos la ecuación: despejando n y sustituyendo q = 1 tenemos:
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Por lo que:¿Cuánto vale s2?Hay varias formas de responder a esta pregunta:Utilizar el estimador de un estudio anterior.E...
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En algunas ocasiones el interés de la inferencia se centra, nosobre la media de la población, sino sobre su varianza.Por c...
Se extrajo una muestraaleatoria de 16 plantas paraestimar la varianza en laconcentración de cobre. Lasplantas fueron quema...
La partición de la curva Chi-cuadrada que se necesita paraconstruir un intervalo de confianza de un 90 % estárepresentada ...
De este modo:
Despejando σ2 en el centro de la desigualdad obtenemos:Sustituyendo el valor de la varianza muestral tenemos: El intervalo...
Referencia:ESTADISTICA PARA BIOLOGIA Y CIENCIAS DE LA SALUD                J.SUSAN MILTON MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ...
5.2 Intervalos de Confianza (segunda parte)
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5.2 Intervalos de Confianza (segunda parte)

  1. 1. Instituto Tecnológico Superior de Zacapoaxtla Departamento de Desarrollo AcadémicoMaría del Consuelo Valle Espinosa
  2. 2. Ahora consideraremos un problemas más realista: Construir un intervalo de confianza para la media poblacional cuando la varianza (o desviación estándar) es desconocida.En este caso es necesario abordar dos aspectos delproblema:1. El valor de la varianza (desviación estándar) no es conocida y debe ser estimada.2. La distribución muestral de la variable obtenida al reemplazar la varianza de la población por la varianza obtenida a partir de los datos de la muestra, no es la distribución normal.
  3. 3. Seleccionemos de la población una muestra aleatoria de tamaño n . Entonces el estimador S2 representado en la figura se le llama varianza muestral. A S se le conoce como desviación estándar muestral.
  4. 4. Cabe aclarar que al haberdividido el estimador entre (n– 1) nos permite hace de élun estimador no sesgado.Pues bien, al reemplazar σ2por S2 se crea una nuevadistribución muestralconocida como “t deStudent” o simplemente unadistribución «t» con (n – 1)grados de libertad.
  5. 5. La variable aleatoria en base a la cual seconstruyen la distribución muestral “T” es:
  6. 6. 1) Hay un número infinito de distribuciones “t”, cada una identificada por un parámetro γ , llamado “grados de libertad” .2) El parámetro γ es siempre positivo y está relacionado con el tamaño de la muestra.3) Cada distribución “T” tiene; una gráfica continua, simétrica, en forma de campana centrada en cero.
  7. 7. Gamma es un parámetro de forma en el sentido de quecuando γ crece, la varianza de la distribución de muestreo“Tγ” decrece. De este modo, cuando más grande el número degrados de libertad, más compacta se vuelve la curva.
  8. 8. También cuando el número de grados de libertad crece, lacurva «t» se aproxima a la curva Normal Tipificada.
  9. 9. Con todos estos antecedentes estudiados, es tiempo depresentar el siguiente teorema, que permite construir unintervalo de confianza de la media de la población con (1 - α)%de confianza, cuando no se conoce la varianza de lapoblación. Sea una muestra aleatoria de tamaño n de una población que se distribuye en forma normal. Entonces un intervalo de confianza de la media poblacional cuando no se conoce la varianza poblacional y con (1 - α) % de confianza viene dado por:
  10. 10. De una muestra de tamaño 16 de una población normal se hanobtenido los siguientes estimadores: _ X 1 . 57 2 S 0 . 66 S . 26Costruir un intervalo de confianza para la media poblacionalcon 95% de confianza
  11. 11. Calculemos los rangos de valores de la función t para 15grados de libertad con un 95% de confianza:
  12. 12. Los límites del intervalo de confianza son:El numero de grados de libertad implicados en la búsqueda deun intervalo de confianza de µ, cuando no se conoce lavarianza poblacional es n -1.Si hay razón para sospechar que la variable bajo estudio tieneuna distribución que este lejos de la normal no se utilizaranprocedimientos estadísticos basados en la distribución T.Mas bien se emplearían algunas técnicas de distribuciónlibre (Estadística no paramétrica).
  13. 13.  La confianza deseada, que controla el valor de t La variabilidad de la muestra, que se mide por s El tamaño de la muestra
  14. 14. En la dirección de Internethttp://onlinestatbook.com/stat_sim/conf_interval/index. htmlse puede encontrar la simulación que nos permiteobservar la variación de la media de la muestra, a partirde la selección aleatoria de 100 muestras, ayuda a ilustrarcómo el ancho del intervalo de confianza depende deltamaño de la muestra y el nivel de confianza.Mientras que la simulación trabaja con 100 muestras, uninvestigador tiene una sola muestra.
  15. 15. En la figura se observa el muestreo de una población con unamedia de 50 y una desviación estándar de 10. Los 100 dibujosde intervalos de confianza fueron generados con muestras detamaño 15.Para cada muestra, los intervalos de confianza del 95% y 99%sobre la media se calculan en base a la media de la muestra yla desviación estándar de la muestra.Los intervalos para las distintas muestras se muestran porlíneas horizontales.Los intervalos de confianza del 95% están dibujados en colornaranja y el intervalo de confianza del 99% en color azul.Los intervalos de confianza al 95% que no contienen la mediade la población, y se muestra en rojo.Los intervalos de confianza al 99% que no contienen la mediade la población, y se muestra en blanco.
  16. 16.  Supongamos que debe realizarse un estudio para estimar el peso medio en el momento del nacimiento de niños cuyas madres son adictas a la cocaína. ¿Cuan grande debe ser una muestra para estimar esta medida con un margen de ½ libra y con una confianza del 95 %?
  17. 17. Consideremos la ecuación: despejando n y sustituyendo q = 1 tenemos:
  18. 18. Para resolver este problema, hay que recordar que paramuestras grandes, los valores de t pueden aproximarsemediante los valores de la función de distribución Normal, por loque su valor que se puede tomar de t es 1.96
  19. 19. Por lo que:¿Cuánto vale s2?Hay varias formas de responder a esta pregunta:Utilizar el estimador de un estudio anterior.Efectuar un pequeño estudio preliminar o piloto yutilizar el valor de s2 hallado para ayudar a planificar elexperimento mayor.
  20. 20. Ahora bien, si se recuerda que la ley de probabilidad normalgarantiza que la variable aleatoria estará el 95 % de las vecesdentro de 2 desviaciones estándar de su media, el rango de lavariable aleatoria es aproximadamente 4 desviaciones estándar.Podemos utilizar el rango dividido por 4 para aproximar s.Para este ejemplo se puede suponer que el peso en el momentodel nacimiento de estos niños probablemente estará entre 2 y 12libras. Por lo tanto, el rango es 10, y s es aproximadamente10/4 = 2.5. El tamaño de muestra requerido
  21. 21. En algunas ocasiones el interés de la inferencia se centra, nosobre la media de la población, sino sobre su varianza.Por consiguiente, es necesario que seamos capaces, nosolamente de encontrar una estimación puntual de la varianzapoblacional, sino también de construir un intervalo deconfianza relativo a este parámetro.Para construir un intervalo de confianza de la varianza de lapoblación se toma como base para el cálculo de probabilidadesla distribución Chi-cuadrado.Los límites para un intervalo de confianza de la varianzapoblacional del (1 - α) % pueden encontrarse considerando lapartición de la curva de la distribución
  22. 22. Se extrajo una muestraaleatoria de 16 plantas paraestimar la varianza en laconcentración de cobre. Lasplantas fueron quemadas, y seanalizaron las cenizas. Seobtuvieron las siguientesobservaciones con respecto a x(concentración de cobre (enpartes por millón) (supóngaseque x está normalmentedistribuida). Para estos datos setiene que: S2 = 377.30.
  23. 23. La partición de la curva Chi-cuadrada que se necesita paraconstruir un intervalo de confianza de un 90 % estárepresentada en la figura, en donde los dos valores en eldominio de la función fueron calculados con el programa NCSS
  24. 24. De este modo:
  25. 25. Despejando σ2 en el centro de la desigualdad obtenemos:Sustituyendo el valor de la varianza muestral tenemos: El intervalo de confianza será:
  26. 26. Referencia:ESTADISTICA PARA BIOLOGIA Y CIENCIAS DE LA SALUD J.SUSAN MILTON MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A., 2007 ISBN 9788448159962

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