Este documento explica las operaciones de multiplicación y división de números enteros. Describe las reglas para determinar el signo del producto o cociente, dependiendo de si los factores o dividendos tienen el mismo o diferente signo. También presenta varias propiedades de estas operaciones, como la conmutativa, asociativa, distributiva y la presencia del elemento neutro 1 y del cero. Finalmente, propone algunos ejercicios de aplicación.

1. SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 2º ESO
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3.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
PRODUCTO DE DOS NÚMEROS ENTEROS
· Se pone el signo + si ambos tienen el mismo signo, y el signo – si tienen distinto signo.
· Se multiplican sus valores absolutos.
En la práctica
Regla de los signos
+·+=+
+·–=–
–·+=–
–·–=+
Ejemplos
4·2=8
5· −3=−15
−8· 6=−48
−6 ·−9=54
PRODUCTO DE VARIOS FACTORES
· Signo + si el número de factores negativos es par.
· Signo – si el número de factores negativos es impar.
Ejemplos
+ · + · + · + = + → Par
+ · + · + = + → Impar
– · – · – · – · – · – = + → Par
– · – · – · – · – = – → Impar
+ · – · – · + · + · – · – = + → Par
– · – · – · + · + · – · – = – → Impar
−1· 1·−1·−1 ·1 ·−1· −1·1·−1=1 → Par
−1· 1·1·1·1 ·−1· −1=−1 → Impar
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2. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Operación interna
La multiplicación de dos o más números enteros es otro número entero.
8∈ Z
−3∈ Z
−24∈ Z
8· −3=−24
∀ a , b ∈ Z ; a · b∈ Z
Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
{−5·9=−45}⇒−5·9=9· −5
9·−5=−45
∀ a , b ∈ Z ; a · b=b · a
Asociativa
El orden en que agrupamos los factores no altera el producto.
{−4 ·[22]·−3=−8·−3=24}⇒[−4· 2]·−3=−4 ·[2 ·−3]
[−4·
·−3]=−4 ·−6=24
∀ a , b , c ∈ Z ;  a· b · c=a · b· c 
Elemento neutro
Si multiplicamos cualquier número entero por +1 obtenemos el mismo número.
7 ·1=7
−11· 1=−11
∀ a ∈Z ; ∃ 1 ∈Z / a ·1=a
El cero en la multiplicación de números enteros
Si multiplicamos cualquier número entero por cero obtenemos de producto cero.
12 ·0=0
−3· 0=0
∀ a ∈Z ; a · 0=0
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3. Propiedad distributiva
Permite transformar un producto en suma o resta.
5· [−23]
1 Respetando la jerarquía de las operaciones
5· [−23]=5· −23=5· 1=5
2 Aplicando la propiedad distributiva
5· [−23]=5· −25·3=−1015=−1015=5
10 ·[3−−2]
1 Respetando la jerarquía de las operaciones
10 ·[3−−2]=10 ·32=10·5=50
2 Aplicando la propiedad distributiva
10 ·[3−−2]=10 ·3−10·−2=30 −−20=3020=50
{
∀ a , b , c ∈ Z ; a ·bc =a · ba · c
a ·b−c =a · b−a · c }
Sacar factor común
Operación basada en la propiedad distributiva.
3· −23·5
1 Respetando la jerarquía de las operaciones
3 ·−23·5=−615=−615=9
2 Sacando factor común
3 ·−23·5=3·[−25]=3·−25=3·3=9
{
∀ a , b , c ∈ Z ; a · ba · c=a · bc
a · b−a · c=a · b−c }
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4. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS
· Se pone el signo + si ambos tienen el mismo signo, y el signo – si tienen distinto signo.
· Se dividen sus valores absolutos.
En la práctica
Regla de los signos
+:+=+
+:–=–
–:+=–
–:–=+
Ejemplos
24:8=3
15:−5=−3
−18:6=−3
−27:−9=3
Ejercicio propuesto 11, 12, 13, 14, 15, 16 → Ejercicio resuelto 11, 12, 13, 14, 15, 16
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