TEOREMA DE LAGRANGE
EJEMPLOS
1) Una caja rectangular sin tapa se hace con 12𝑚2
de cartón. Calcule el
volumen máximo de est...
2) Calcular el valor mínimo de 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2
+ 𝑦2
+ 3𝑧2
función objeto sujeta
a la ligadura 2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49
Solución...
Llegamos al sistema de ecuaciones
2 = 2𝜆𝑥 + 𝜇 𝑇𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑥 + 𝜇ℎ 𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧)
2 = 2𝜆𝑦 + 𝜇 𝑇𝑦( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑦 + 𝜇ℎ 𝑦(...
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Teorema de lagrange

  1. 1. TEOREMA DE LAGRANGE EJEMPLOS 1) Una caja rectangular sin tapa se hace con 12𝑚2 de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja. Buscamos maximizar: 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 con restricción: 𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12 Ahora aplicamos lo que nos dice el método de los multiplicadores de Lagrange. ∇𝑉 = 𝜆∇𝑔 𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 12 Entonces: 𝑉𝑥 = 𝜆𝑔 𝑥 𝑉𝑦 = 𝜆𝑔 𝑦 𝑉𝑧 = 𝜆𝑔𝑧 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12 Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en: 𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑧 + 𝑦) 𝑥𝑧 = 𝜆(2𝑧 + 𝑥) 𝑥𝑦 = 𝜆(2𝑥 + 2𝑦) 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12 Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo 𝑥𝑦𝑧 por lo tanto la primera la multiplicamos por 𝑥 la segunda por 𝑦 y la tercera por 𝑧, quedaría de la siguiente manera: 𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦) 𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦) 𝑥𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧) Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto: 2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 de la segunda ecuación sabemos que: 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 entonces: 𝑦 = 2𝑧. Si se hace 𝑥 = 𝑦 = 2𝑧 sustituimos en la ecuación: 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12 Y nos quedaría de la siguiente manera: 4𝑧2 + 4𝑧2 + 4𝑧2 =12 Por lo tanto 𝑧 = 1 entonces: 𝑦 = 2 y 𝑥 = 2.
  2. 2. 2) Calcular el valor mínimo de 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑧2 función objeto sujeta a la ligadura 2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49 Solución: Sea 𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49. Entonces, como ∇𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 6𝑧𝑘 y 𝜆∇𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝜆𝑖 − 3𝜆𝑗 − 4𝜆𝑘 Obtenemos el sistema de ecuaciones 4𝑥 = 2𝜆 𝑓𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 2𝑦 = −3𝜆 𝑓𝑦( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 49 Ligadura La solución de este sistema es 𝑥 = 3, 𝑦 = −9 y 𝑧 = −4. Por tanto, el valor optimo de 𝑓 es 𝑓(3,−9, −4) = 2(3)2 + (−9)2 + 3(−4)2 = 147 3) Sea 𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 20 + 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧2 = 3 la temperatura en cada punto de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 11. Calcular las temperaturas extremas sobre la curva intersección de la esfera con el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3. Solución: las dos ligaduras 𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 11 y ℎ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 Teniendo en cuenta que ∇𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑖 + 2𝑗 + 2𝑧𝑘 𝜆∇𝑔( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝜆𝑥𝑖 + 2𝜆𝑦𝑗 + 2𝜆𝑧𝑘 Y 𝜇∇ℎ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜇𝑖 + 𝜇𝑗 + 𝜇𝑘
  3. 3. Llegamos al sistema de ecuaciones 2 = 2𝜆𝑥 + 𝜇 𝑇𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑥 + 𝜇ℎ 𝑥( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 2 = 2𝜆𝑦 + 𝜇 𝑇𝑦( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔 𝑦 + 𝜇ℎ 𝑦( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 2𝑧 = 2𝜆𝑧 + 𝜇 𝑇𝑧( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆𝑔𝑧 + 𝜇ℎ 𝑧( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 11 Ligadura (1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 Ligadura (2) Restando la segunda de la primera, el sistema se convierte en 𝜆( 𝑥 − 𝑦) = 0 2𝑧(1 − 𝜆) − 𝑢 = 0 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 11 Ligadura (1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 Ligadura (2) De la primera deducimos que ha de ser 𝜆 = 0 ó 𝑥 = 𝑦. Si 𝜆 = 0, es facil verificar que los puntos criticos son (3,-1,1) y (-1,3,1). (intente comprobarlo, si bien resulta algo laborioso). Si 𝜆 ≠ 0, entonces 𝑥 = 𝑦, en cuyo caso se puede ver que los puntos criticos ocurren en 𝑥 = 𝑦 = (3 ± 2√3)/3 y 𝑧 = (3 ∓ 2√3)/3. finalmente, para determinnar las soluciones optimas, comparamos las temperaturas en los cuatro puntos criticos: 𝑇(3, −1,1) = 𝑇(−1,3,1) = 25 𝑇 ( 3 − 2√3 3 , 3 − 2√3 3 , 3 + 4√3 3 ) = 91 3 ≈ 30,33 𝑇 ( 3 + 2√3 3 , 3 + 2√3 3 , 3 − 4√3 3 ) = 91 3 ≈ 30,3 Por tanto, la temperatura minima sobre esa curva es 𝑇 = 25 y la maxima 𝑇 = 91 3

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