1. แบบฝึกหัด
จากข้อ 1-4 จงแปลงระบบสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูประบบ
สมการสามเหลี่ยมบน
1. 2 x1 +4 x2 -6 x3 = -4
x1 +5 x2 +3 x3 =10
x1 +3 x2 +2 x3 = 5
วิธีทำา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดำาเนินการตามแถว
ขั้นพื้นฐาน
 2 4 −6 −4 
 
1 5 3 10  ⇒ r2 = r2 − 2 r1
1
1 3 2 5  ⇒ r3 = r3 − 1 2 r1
 
ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2 และ 3
่ ่
 2 4 −6 −4 
 
 0 3 6 12 
 0 1 5 7  ⇒ r3 = r3 − 1 3 r1
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3
่ ่
 2 4 −6 −4 
 
 0 3 6 12 
0 0 3 3 
 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
2 x1 +4 x2 -6 x3 = -4
3 x2 +6 x3 =12
3 x3 = 3

2. 2. x1 + x2 +6 x3 = 7
- x1 +2 x2 +9 x3 = 2
x1 -2 x2 +3 x3 =10
วิธีทำา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดำาเนินการตามแถว
ขั้นพื้นฐาน
1 1 6 7
 
 −1 2 9 2  ⇒ r2 = r2 + 1r1
 1 −2 3 10  ⇒ r3 = r3 − 1r1
 
ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2 และ 3
่ ่
1 1 6 7 
 
0 3 15 9 
0 −3 −3 3  ⇒ r3 = r3 − ( −1)r1
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3
่ ่
1 1 6 7 
 
0 3 15 9 
0 0 12 12 
 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
x1 + x2 + 6 x3 = 7
3 x2 +15 x3 = 9
12 x3 =12
3. 2 x1 -2 x2 +5 x3 = 6
2 x1 +3 x2 + x3 = 13

3. - x1 +4 x2 -4 x3 = 3
วิธีทำา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดำาเนินการตามแถว
ขั้นพื้นฐาน
 2 −2 5 6 
 
 2 3 1 13 ⇒ r2 = r2 − 1r1
 −1 4 −4 3  ⇒ r3 = r3 + 1 2 r1
 
ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2 และ 3
่ ่
 2 −2 5 6
 
0 5 −4 7 
 0 3 −1.5 6  ⇒ r3 = r3 − 3 5 r1
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3
่ ่
 2 −2 5 6 
 
 0 5 −4 7 
 0 0 0.9 1.8
 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
2 x1 -2 x2 +5 x3 = 6
-4 x2 + x3 = 7
0.9 x3 =1.8
4. -5 x1 +2 x2 - x3 = -1
x1 +0 x2 + 3 x3 = 5
3 x1 + x2 + 6 x3 =17

4. วิธีทำา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดำาเนินการตามแถว
ขั้นพื้นฐาน
 2 −2 5 6 
 
 2 3 1 13 ⇒ r2 = r2 − 1r1
 −1 4 −4 3  ⇒ r3 = r3 + 1 2 r1
 
ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2 และ 3
่ ่
−5 2 −1 −1 
 
 0 0.4 2.8 4.8 
 0 2.2 5.4 16.4  ⇒ r3 = r3 − 2.2 0.4 r1
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3
่ ่
−5 2 −1 −1 
 
 0 0.4 2.8 4.8 
0
 0 −10 −10 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
-5 x1 +2 x2 - x3 = -1
0.4 x2 +2.8 x3 =4.8
-10 x3 =-10
5. จงหาสมการพาราโบลา y = 5 − 3x + 2 x 2 ทีผ่านจุด(1,4), (2,7)
่
และ(3,14)
ทีจุด(1,4) ได้สมการเป็น
่ 4 = A+ B+ C
ทีจุด(2,7) ได้สมการเป็น
่ 7 = A+2B+4C
ทีจุด(3,14) ได้สมการเป็น
่ 14 = A+3B+9C

5. วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 1 4 
 
1 2 4 7  ⇒ r2 = r2 − 1r1
1 3 9 14  ⇒ r3 = r3 − 1r1
 
ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร A ในแถวที2 และ 3
่ ่
1 1 1 4 
 
0 1 3 3 
0 2 8 10  ⇒ r3 = r3 − 2r1
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร B ในแถวที3
่ ่
1 1 1 4 
 
0 1 3 3 
0 0 2 4 
 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
A+ B+ C= 4
B+3C= 3
2C= 4
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่
C=4/2=2
B=3-3x2=-3
A=4+3-2=5
∴ สมการพาราโบลาคือ y = 5 − 3 x + 2 x 2
6. จงหาสมการพาราโบลา y = A + Bx + Cx 2 ทีผ่านจุด(1,6), (2,5)
่
และ(3,2)
ทีจุด(1,4) ได้สมการเป็น
่ 6 = A+ B+ C
ทีจุด(2,7) ได้สมการเป็น
่ 5 = A+2B+4C
ทีจุด(3,14) ได้สมการเป็น
่ 2 = A+3B+9C
วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย

6. 1 1 1 6 
 
1 2 4 5  ⇒ r2 = r2 − 1r1
1 3 9 2  ⇒ r3 = r3 − 1r1
 
ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร A ในแถวที2 และ 3
่ ่
1 1 1 6 
 
0 1 3 −1
0 2 8 −4  ⇒ r3 = r3 − 2r1
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร B ในแถวที3
่ ่
1 1 1 6 
 
0 1 3 −1
 0 0 2 −2 
 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
A+ B+ C= 6
B+3C= -1
2C= -2
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่
C=-2/2=-1
B=-1-3x(-1)=2
A=6-2+1=5
∴ สมการพาราโบลาคือ y = 5 + 2 x − x 2
7. จงหาสมการกำาลัง 3 y = A + Bx + Cx 2 + Dx3 ที่ผานจุด(0,0), (1,1)
่
), (2,2) และ(3,2)
ทีจุด(0,0) ได้สมการเป็น
่ 0=A
ทีจุด(1,1) ได้สมการเป็น
่ 1 = A+B+C+D
ทีจุด(2,2) ได้สมการเป็น
่ 2=
A+2B+4C+8D
ทีจุด(3,2) ได้สมการเป็น
่ 2=
A+3B+9C+27D

7. วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 0 0 0 0
 
1 1 1 1 1  r2 = r2 − r1
1 2 4 8 2  r3 = r3 − r1
 
1
 3 9 27 2  r4 = r4 − r1

ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร A ในแถวที2,3 และ 4
่ ่
1 0 0 0 0
 
0 1 1 1 1
0 2 4 8 2  r3 = r3 − 2r2
 
0
 3 9 27 2  r4 = r4 − 3r2

ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร B ในแถวที3 และ 4
่ ่
1 0 0 0 0
 
0 1 1 1 1
0 0 2 6 0
 
0
 0 6 24 −1 r4 = r4 − 3r3

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร C ในแถวที4
่ ่
1 0 0 0 0
 
0 1 1 1 1
0 0 2 6 0
 
0
 0 0 6 −1

ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
A+0B+0C+0D= 0
B+ C+ D= 1
2C+6D= 0
6D=-1
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่
1
D=-1/6=- 6
1 1
C=6x 6 /2= 2
1 1 2
B=1- 2 + 6 = 3
A=0

8. 2 1 1
∴ สมการกำาลัง 3 คือ y= x + x 2 − x3
3 2 6
จากข้อ 8-10 จงหาระบบสมการสามเหลี่ยมบนพร้อมทั้งหา
ผลเฉลย
8. 4 x1 +8 x2 +4 x3 +0 x4 = 8
x1 +5 x2 +4 x3 -3 x4 = -4
x1 +4 x2 +7 x3 +2 x4 =10
x1 +3 x2 +0 x3 -2 x4 = -4
วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
4 8 4 0 8
 
1 5 4 −3 −4  r2 = r2 − 1 4 r1
1 4 7 2 10  r3 = r3 − 1 4 r1
 
1
 3 0 −2 −4  r4 = r4 − 1 4 r1

ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2,3 และ 4
่ ่
4 8 4 0 8
 
0 3 3 −3 −6 
0 2 6 2 8  r3 = r3 − 2 3 r2
 
0
 1 −1 −2 −6  r4 = r4 − 1 3 r2

ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 และ 4
่ ่
4 8 4 0 8
 
0 3 3 −3 −6 
0 0 4 4 12 
 
0
 0 −2 −1 −4  r4 = r4 + 1 2 r3

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร
่ x3 ในแถวที4 ่

9. 4 8 4 0 8
 
0 3 3 −3 −6 
0 0 4 4 12 
 
0
 0 0 1 2 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
4 x1 +8 x2 +4 x3 +0 x4 = 8
3 x2 +3 x3 -3 x4 = -6
4 x3 +4 x4 =12
x4 = 2
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่
x4 = 2
x3 =(12-4x2)/4=1
x2 =(-6-3x1+3x2)/3=-1
x1 =(8-8x(-1)-4x1)/4=3
9. 2 x1 +4 x2 -4 x3 +0 x4 =12
x1 +5 x2 - 5 x3 - 3 x4 =18
2 x1 +3 x2 + x3 +3 x4 = 8
x1 +4 x2 - 2 x3 +2 x4 = 8
วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
2 4 −4 0 12 
 
1 5 −5 −3 18  r2 = r2 − 1 2 r1
2 3 1 3 8  r3 = r3 − r1
 
1
 4 −2 2 8  r4 = r4 − 1 2 r1

ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2,3 และ 4
่ ่

10.  2 4 −4 0 12 
 
 0 3 −3 −3 12 
 0 −1 5 3 −4  r3 = r3 + 1 3 r2
 
 0 2 0 2 2  r4 = r4 − 2 3 r2
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 และ 4
่ ่
2 4 −4 0 12 
 
0 3 −3 −3 12 
0 0 4 2 0
 
0
 0 2 4 −6  r4 = r4 − 1 2 r3

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร
่ x3 ในแถวที4่
2 4 −4 0 12 
 
0 3 −3 −3 12 
0 0 4 2 0
 
0
 0 0 3 −6  
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
2 x1 +4 x2 -4 x3 +0 x4 =12
3 x2 -3 x3 -3 x4 =12
4 x3 +2 x4 = 0
3 x4 =-6
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่
x4 = -2
x3 =(0-2x(-2))/4=1
x2 =(12+3x1+3x(-2))/3=3
x1 =(12-4x3+4x1)/2=2
10. x1 +2 x2 +0 x3 -1 x4 = 9
2 x1 +3 x2 - x3 +0 x4 = 9
0 x1 +4 x2 + 2 x3 -5 x4 =26
5 x1 +5 x2 + 2 x3 -4 x4 =32
วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย

11. 1 2 0 −1 9 
 
2 3 −1 0 9  r2 = r2 − 2r1
0 4 2 −5 26 
 
5
 5 2 −4 32  r4 = r4 − 5r1

ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2 และ 4
่ ่
1 2 0 −1 9 
 
0 −1 −1 2 −9 
0 4 2 −5 26  r3 = r3 + 4r2
 
0 −5 2 1 −13 r4 = r4 − 5r2
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 และ 4
่ ่
 1 2 0 −1 9 
 
0 −1 −1 2 −9 
0 0 −2 3 −10 
 
0 0 7 −9 32  r4 = r4 + 7 2 r3
 
ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x3 ในแถวที4
่ ่
 1 2 0 −1 9 
 
 0 −1 −1 2 −9 
0 0 −2 3 −10 
 
0 0 0 1.5 −3 
 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
x1 +2 x2 +0 x3 - x4 = 9
- x2 - x3 +2 x4 = -9
-2 x3 +3 x4 =-10
1.5 x4 = -3
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่
x4 = -2
x3 =(10+3x(-2))/2=2
x2 =9-2+2x(-2)=3
x1 =9-2x3-2=1

12. 11. จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้
x1 + 2 x2 = 7
2 x1 +3 x2 - x3 = 9
4 x2 + 2 x3 +3 x4 =10
2 x3 - 4 x4 =12
วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 2 0 0 7
 
2 3 −1 0 9  r2 = r2 − 2r1
0 4 2 3 10 
 
0
 0 2 −4 12 

ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2
่ ่
1 2 0 0 7 
 
0 −1 −1 0 −5
0 4 2 3 10  r3 = r3 + 4r2
 
0 0 2 −4 12 
 
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3
่ ่
1 2 0 0 7 
 
0 −1 −1 0 −5 
0 0 −2 3 −10 
 
0 0 2 −4 12  r4 = r4 + r3
 
ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x3 ในแถวที4
่ ่
1 2 0 0 7 
 
 0 −1 −1 0 −5 
0 0 −2 3 −10 
 
0 0 0 −1 2 
 
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่
x1 +2 x2 +0 x3 +0 x4 = 7
- x2 - x3 +0 x4 = -5
-2 x3 +3 x4 =-10
- x4 = 2
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่

13. x4 = -2
x3 =(10+3x(-2))/2=2
x2 =5-2=3
x1 =7-2x3-2=1
12. จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้
x1 + x2 = 5
2 x1 -1 x2 + 5 x3 = -9
3 x2 - 4 x3 +2 x4 =19
2 x3 +6 x4 = 2
วิธีทำา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้
การดำาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 0 0 5
 
 2 −1 5 0 −9  r2 = r2 − 2r1
 0 3 −4 2 19 
 
0 0 2
 6 2 
ขั้นที1 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2
่ ่
1 1 0 0 5 
 
 0 −3 5 0 −19 
 0 3 −4 2 19  r3 = r3 + r2
 
0 0 2
 6 2  
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3
่ ่
1 1 0 0 5 
 
 0 −3 5 0 −19 
0 0 1 2 0 
 
0 0
 2 6 2  r4 = r4 − 2r3

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x3 ในแถวที4
่ ่
1 1 0 0 5 
 
 0 −3 5 0 −19 
0 0 1 2 0 
 
0 0
 0 2 2  
ขั้นที3 เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
่

14. x1 + x2 +0 x3 +0 x4 = 5
-3 x2 +5 x3 +0 x4 = -19
x3 +2 x4 = 0
2 x4 = 2
ขั้นที4 ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
่
x4 = 1
x3 =-2
x2 =(19-10)3=3
x1 =5-3=2
13. บริษัท Rockmore กำาลังตัดสืนใจเลือกซื้อคอมพิวเตอร์
เครื่องใหม่ ระหว่างรุ่น DoGood 174 กับ MightDo 11 โดยพิ
จรณาจากการหาผลเฉลยของระบบสมการ
34x+55y-21=0
55x+89y-34=0
เมื่อ DoGood 174 คำานวณได้เป็น x=-0.11 และ y=0.45 และเมื่อ
ลองแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบจะได้ผลคือ
34(-0.11)+55(0.45)-21=0.01
55(-0.11)+89(0.45)-34=0.00
เมื่อ MightDo 11 คำานวณได้เป็น x=-0.99 และ y=1.01 และเมื่อ
ลองแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบจะได้ผลคือ
34(-0.99)+55(1.01)-21=0.89
55(-0.99)+89(1.01)-34=1.44
คอมพิวเตอร์รุ่นไหนให้ผลเฉลยที่ดีกว่ากัน เพาะอะไร
ในความเป็นจริงถ้าตรวจสอบผลเฉลยโดยการแทนค่ากลับ ผลลับ
ธ์ที่ได้จะต้องเท่ากับ 0 แต่ทั้ง 2 รุนกลับมีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้น
่

15. ทังคู่ โดยรุ่น DoGood 174 มีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นน้อย
้
กว่า MighDo 11 ดังนั้นผลเฉลยจากรุ่น DoGood จึงดีกว่า
เพราะคลาดเคลื่อนน้อยกว่า
จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้ด้วยการกำาจัดตัวแปลของ
เกาซ์เซียนโดย(i)การหาตัวหลักบางส่วน(ii)การหาตัวหลักบาง
ส่วนแบบมาตรา (ใช้เลข 4 หลัก)
(a) 2 x1 - 3 x2 + 100 x3 =1 (b) x1 + 20 x2 -
x3 +0.001 x4 =0
x1 + 10 x2 - 0.001 x3 =0 2 x1 - 5 x2 + 30
x3 - 0.1 x4 =1
3 x1 -100 x2 + 0.01 x3 =0 5 x1 + x2 -100
x3 - 10 x4 =0
2 x1 -100
x2 - x3 + x4 =0
(a/i)
ขั้นที1 จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
่
 2 −3 100 1 
 
1 10 −0.001 0  r1 ↔ r3
 3 −100 0.01 0 
 
ขั้นที2 สลับแถวที1 กับ 3 เพราะหลักที1 ในแถวที3 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที1 ่
 3 −100 0.01 0 
 
1 10 −0.001 0  r2 = r2 − 1 3 r1
 2 −3
 100 1  r3 = r3 − 2 3 r1

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2 และ 3 ด้วยการแทนที่
่ ่

16.  3 −100 0.01 0 
 
0 43.33 0.004 0  r2 ↔ r3
0 63.67 99.99 1 
 
ขั้นที4 สลับแถวที2 กับ 3 เพราะหลักที2 ในแถวที3 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที2 ่
 3 −100 0.01 0 
 
0 63.67 99.99 1 
0 43.33 0.004 0  r3 = r3 − 0.681r1
 
ขั้นที5 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 ด้วยการแทนที่
่ ่
 3 −100 0.01 0 
 
0 63.67 99.99 1 
0
 0 −68.09 −0.681

ขั้นที6 เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลียมบน
่ ่
3 x1 - 100 x2 + 100 x3 = 0
63.67 x2 +99.99 x3 = 1
-68.09 x3 =-0.681
ขั้นที7 ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
่
x3 =0.01
x2 =0
x3 =0
(a/ii)
ขั้นที1 จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
่
 2 −3 100 1 
 
1 10 −0.001 0  r1 ↔ r2
 3 −100 0.01 0 
 
ขั้นที2 สลับแถวที1 กับ 2 เพราะหลักที1 ในแถวที2 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที1 ่
1 10 −0.001 0 
 
 2 −3 100 1  r2 = r2 − 2r1
 3 −100 0.01 0  r3 = r3 − 3r1
 

17. ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2 และ 3 ด้วยการแทนที่
่ ่
1 10 −0.001 0 
 
0 −23 100.0 1  r2 ↔ r3
0 −130 0.013 0 
 
ขั้นที4 สลับแถวที2 กับ 3 เพราะหลักที2 ในแถวที3 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที2 ่
1 10 −0.001 0 
 
0 −130 0.013 0 
0 −23
 100 1  r3 = r3 − 0.1769r2

ขั้นที5 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 ด้วยการแทนที่
่ ่
1 10 −0.001 0 
 
0 −130 0.013 0 
0
 100 1  
ขั้นที6 เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลียมบน
่ ่
x1 + 10 x2 - 0.001 x3 = 0
-130 x2 +0.013 x3 = 0
100 x3 =1
ขั้นที7 ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
่
x3 =0.01
x2 =0
x3 =0
(b/i)
ขั้นที1 จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
่
1 20 −1 0.001 0 
 
 2 −5 30 −0.1 1 
5 1 −100 −10 0  r1 ↔ r3
 
 2 −100 −1
 1 0 
ขั้นที2 สลับแถวที1 กับ 3 เพราะหลักที1 ในแถวที3 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที1 ่

18. 5 1 −100 −10 0 
 
 2 −5 30 −0.1 1  r2 = r2 − 0.4r1
1 20 −1 0.001 0  r3 = r3 − 0.2r1
 
 2 −100 −1
 1 0  r4 = r4 − 0.4r1

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2,3 และ 4 ด้วยการแทนที่
่ ่
5 1 −100 −10 0 
 
0 −5.4 70 3.9 1  r2 ↔ r4
0 19.8 19 2.001 0 
 
0 −100.4 39
 5 0 
ขั้นที4 สลับแถวที2 กับ 4 เพราะหลักที2 ในแถวที4 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที2 ่
5 1 −100 −10 0 
 
0 −100.4 39 5 0
0 19.8 19 2.001 0  r3 = r3 + 0.1972r2
 
0 −5.4
 70 3.9 1  r4 = r4 − 0.0538r2

ขั้นที5 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 และ 4 ด้วยการแทนที่
่ ่
5 1 −100 −10 0 
 
0 −100.4 39 5 0
0 0 26.69 2.987 0  r3 ↔ r4
 
0
 0 67.9 3.631 1 
ขั้นที6 สลับแถวที3 กับ 4 เพราะหลักที3 ในแถวที4 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที3 ่
5 1 −100 −10 0 
 
0 −100.4 39 5 0
0 0 67.9 3.631 1 
 
0
 0 26.69 2.987 0  r4 = r4 − 0.3931r3

ขั้นทึ7 กำาจัดตัวแปร x3 ในแถวที4 ด้วยการแทนที่
่ ่
5 1 −100 −10 0 
 
0 −100.4 39 5 0 
0 0 67.9 3.631 1 
 
0
 0 0 1.56 −0.3931

ขั้นที8 เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลียมบน
่ ่
5 x1 + x2 - 100 x3 - 10 x4 = 0
-100.4 x2 + 39 x3 + 5 x4 = 0
67.9 x3 +3.631 x4 = 1

19. 1.56 x4
=-0.3931
ขั้นที9 ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
่
x4 =-0.252
x3 =0.0028
x2 =-0.0115
x1 =-0.4457
(b/ii)
ขั้นที1 จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
่
1 20 −1 0.001 0 
 
 2 −5 30 −0.1 1  r1 ↔ r2
5 1 −100 −10 0 
 
 2 −100 −1
 1 0 
ขั้นที2 สลับแถวที1 กับ 2 เพราะหลักที1 ในแถวที2 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที1 ่
 2 −5 30 −0.1 1 
 
1 20 −1 0.001 0  r2 = r2 − 0.5r1
5 1 −100 −10 0  r3 = r3 − 2.5r1
 
 2 −100 −1
 1 0  r4 = r4 − r1

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2,3 และ 4 ด้วยการแทนที่
่ ่
 2 −5 30 −0.1 1 
 
 0 22.5 −16 0.051 −0.5
 0 13.5 −175 −9.75 −2.5
 
 0 −95 −31
 1.1 −1  r2 ↔ r4

ขั้นที4 สลับแถวที2 กับ 4 เพราะหลักที2 ในแถวที4 มี
่ ่ ่ ่
ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที2 ่
 2 −5 30 −0.1 1 
 
 0 −95 −31 1.1 −1 
 0 13.5 −175 −9.75 −2.5 r3 = r3 + 0.1421r2
 
 0 22.5 −16 0.051 −0.5 r4 = r4 + 0.2368r2
 
ขั้นที5 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 และ 4 ด้วยการแทนที่
่ ่

20.  2 −5 30 −0.1 1 
 
 0 −95 −31 1.1 −1 
 0 0 −179.4 −9.594 −2.642 
 
 0 0 −23.34 0.3115 −0.7368 r4 = r4 − 0.1301r3
 
ขั้นที6 กำาจัดตัวแปร x3 ในแถวที4 ด้วยการแทนที่
่ ่
 2 −5 30 −0.1 1 
 
 0 −95 −31 1.1 −1 
 0 0 −179.4 −9.594 −2.642 
 
0 0
 0 1.56 0  
ขั้นที7 เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลียมบน
่ ่
2 x1 - 5 x2 + 30 x3 - 0.1 x4 = 1
-95 x2 - 31 x3 + 1.1 x4 =-1
-179.4 x3 -9.594 x4 =-2.642
1.56 x4 = 0
ขั้นที9 ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
่
x4 =0
x3 =0.0147
x2 =0.0057
x1 =0.2938
15 จงหาผลเฉลยของระบบสมการ AX=B ที่เป็นเมตริกซ์
ของฮิลเบอร์ท ซึ่งเป็นเมตริกซ์ที่สภาวะไม่เหมาะสมโดย
กำาหนด A และ B ให้
(a)คำานวนโดยติดเศษศ่วนไว้

21. 1 1
2
1
3
1
4  1 
1 1 1 1  0 
A=  1 
1 , B= 0 
2 3 4 5
3 1
4
1
5 6
 
1 1  
0 
1 1
4 5 6 7
ขั้นที1 ทำาเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
่
1 1
2
1
3
1
4 1
1 
2
1
3
1
4
1
5 0  r2 = r2 − 1 r1
2
13
1
4
1
5
1
6 0  r3 = r3 − 1 r1
3
1 
4

1
5
1
6
1
7 0  r4 = r4 − 1 r1
 4
ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2,3 และ 4 โดยการแทนที่
่ ่
1 1
2
1
3
1
4
1
 
0
1
12
1
12
3
40
− 1
2
0 1
12
4
45
1
12
− 1  r3 = r3 − r2
3
 
0

3
40
1
12
9
112
− 4  r4 = r4 − 10 r2
1

9
ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 และ 4 โดยการแทนที่
่ ่
1 1
2
1
3
1
4
1
 
0
1
12
1
12
3
40
− 1
2
0 0 1
180
1
120
1 
6
 
0 0 5  r4 = r4 − 2 r3
1 9 1 3
 120 700 
ขั้นที4 กำาจัดตัวแปร x3 ในแถวที4 โดยการแทนที่
่ ่
1 1
2
1
3
1
4
1 
 
0
1
12
1
12
3
40
−1 
2
0 0 1
180
1
120
1 
6
 
0
 0 0 1
2800
− 20 
1

ขั้นที5 หาผลเฉลยโดยใช้การแทนค่ากลับ
่
x4 =-140
x3 =240
x2 =-120
x1 =16
(b)คำานวนโดยใช้เลข 4 หลัก

22. 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500  1 
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000  0 
A=  0.3333
 0.2500 0.2000

0.1667  , B= 0 
 
   
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429  0 
ขั้นที1 ทำาเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
่
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0  r2 = r2 − 0.5000r1
 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0  r3 = r3 − 0.3333r1
 
0.2500
 0.2000 0.1667 0.1429 0  r4 = r4 − 0.2500r1

ขั้นที2 กำาจัดตัวแปร x1 ในแถวที2,3 และ 4 โดยการแทนที่
่ ่
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
 0 0.0833 0.0834 0.0750 −0.5000 
 0 0.0834 0.0889 0.0834 −0.3333 r3 = r3 − 1.001r2
 
 0
 0.0750 0.0834 0.0804 −0.2500  r4 = r4 − 0.9004r2

ขั้นที3 กำาจัดตัวแปร x2 ในแถวที3 และ 4 โดยการแทนที่
่ ่
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
 0 0.0833 0.0834 0.0750 −0.5000 
 0 0 0.0054 0.0083 0.1672 
 
 0
 0 0.0083 0.0129 0.2002  r4 = r4 − 1.537r2

ขั้นที4 กำาจัดตัวแปร x3 ในแถวที4 โดยการแทนที่
่ ่
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
 0 0.0833 0.0834 0.0750 −0.5000 
 0 0 0.0054 0.0083 0.1672 
 
 0
 0 0 0.0001 −0.0568
ขั้นที5 หาผลเฉลยโดยใช้การแทนค่ากลับ
่
x4 =-568
x3 =904
x2 =-399.7
x1 =41.55