IMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptx
Cálculo Diferencial - Curso Completo
1. I
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE XALAPA
CÁLCULO DIFERENCIAL
ANTOLOGÍA
ELABORADA POR:
ANDRÉS GIOVANNI JIMÉNEZ MENDOZA
GRUPO:
1A ELECTROMECÁNICA
XALAPA, VERACRUZ A 11 DE AGOSTO DE 2014
2. II
INDICE
Contenido
UNIDAD 1................................................................................................................ 1
Límites..................................................................................................................... 1
Métodos para calcular límites .............................................................................. 1
Ejemplos .......................................................................................................... 1
Teorema .............................................................................................................. 1
Ejemplos .......................................................................................................... 2
La derivada.............................................................................................................. 2
Aplicaciones......................................................................................................... 2
La derivada como una función............................................................................. 3
Ejemplos .......................................................................................................... 3
Ejercicios propuestos ....................................................................................... 3
Reglas para determinar derivadas....................................................................... 4
Ejemplos .......................................................................................................... 4
Ejercicios propuestos ....................................................................................... 5
Regla de la división.............................................................................................. 5
Ejemplos .......................................................................................................... 5
Ejercicios propuestos ....................................................................................... 6
Regla del producto............................................................................................... 6
Ejemplos .......................................................................................................... 6
Funciones logarítmicas ........................................................................................... 7
Leyes de los logaritmos ....................................................................................... 8
Ejemplos .......................................................................................................... 8
Ejercicios propuestos ....................................................................................... 9
Reglas de derivación de logaritmos..................................................................... 9
Ejemplos .......................................................................................................... 9
Reglas de derivación de exponenciales .............................................................. 9
Ejemplos ........................................................................................................ 10
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 10
3. III
UNIDAD 2.............................................................................................................. 11
Máximos y mínimos locales............................................................................... 11
Definición 1 .................................................................................................... 11
Definición 2 .................................................................................................... 12
Máximos y mínimos absolutos........................................................................... 13
Ejemplos ........................................................................................................ 13
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 14
Valores Críticos ................................................................................................. 14
Ejemplos ........................................................................................................ 14
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 15
Criterio de la primera derivada........................................................................... 16
Ejemplos ........................................................................................................ 16
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 17
Concavidad y criterio de la segunda derivada ................................................... 18
Prueba de concavidad.................................................................................... 18
Criterio de la segunda derivada ..................................................................... 18
Puntos de inflexión......................................................................................... 19
Ejemplos ........................................................................................................ 19
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 22
Unidad 3................................................................................................................ 23
Actividad reguladora.......................................................................................... 23
Derivación implícita............................................................................................ 23
Ejemplos ........................................................................................................ 23
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 25
Ejemplos ........................................................................................................ 26
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 26
Regla de la cadena............................................................................................ 26
Ejemplos ........................................................................................................ 27
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 27
Actividad reguladora.......................................................................................... 27
Funciones logarítmicas y exponenciales generales........................................... 28
4. IV
Definición ....................................................................................................... 28
Leyes de los exponentes................................................................................ 28
Teorema......................................................................................................... 29
Ejemplo .......................................................................................................... 29
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 30
Funciones logarítmicas generales ..................................................................... 30
Derivadas....................................................................................................... 30
Ejemplos ........................................................................................................ 30
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 31
Leyes de crecimiento y decrecimiento............................................................... 31
Teorema......................................................................................................... 33
Unidad 4................................................................................................................ 34
Actividad ............................................................................................................ 34
Funciones trigonométricas................................................................................. 34
Teorema......................................................................................................... 35
Ejemplos ........................................................................................................ 35
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 36
Funciones trigonométricas definidas por medio de una circunferencia unitaria. 36
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 37
Fórmulas trigonométricas para el negativo de un número................................. 38
Derivadas de funciones trigonométricas............................................................ 39
Teorema......................................................................................................... 39
Ejemplo .......................................................................................................... 40
Ejercicios propuestos ..................................................................................... 40
Funciones hiperbólicas ...................................................................................... 41
Teorema......................................................................................................... 41
Definición ....................................................................................................... 41
Identidades..................................................................................................... 42
Derivadas....................................................................................................... 42
Ejemplos ........................................................................................................ 42
5. 1
UNIDAD 1
Límites
Sea a un punto de un intervalo
abierto, sea f una función
definida en todo el intervalo
excepto posiblemente en a y
sea L un número real.
Entonces:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Significa que para todo ∆𝑥 > 0 existe un límite.
Métodos para calcular límites
1) lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
2) lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Ejemplos
∎ lim
𝑥→√2
𝑥 = √𝟐
∎ lim
𝑥→−4
𝑥 = −𝟒
Muchas funciones pueden expresarse como sumas, diferencias, productos y
cocientes de otras funciones. En particular, sea s la suma de dos funciones f y g
de manera que 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) para todo el dominio de s. Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) tienen
límites L y M, respectivamente cuando 𝑥 → 𝑎, es de esperarse que 𝑠(𝑥) tenga
como límite L+M cuando 𝑥 → 𝑎.
Teorema
Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces tenemos que
1) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐿 + 𝑀
2) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝐿𝑀
6. 2
3) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 − 𝑀
4) lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝐿
𝑀
; 𝑠𝑖 𝑀 ≠ 0
5) lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿
Ejemplos
∎ lim
𝑥→2
3𝑥 + 4
5𝑥 + 7
=
lim
𝑥→2
(3𝑥 + 4)
lim
𝑥→2
(5𝑥 + 7)
=
3(2) + 4
5(2) + 7
=
𝟏𝟎
𝟏𝟕
∎ lim
𝑥→−2
(3𝑥3
− 2𝑥 + 7) = lim
𝑥→−2
3𝑥3
− lim
𝑥→−2
2𝑥 + lim
𝑥→−2
7 = 3(−2)3
− 2(−2) + 7
= −24 + 4 + 7 = −𝟏𝟑
La derivada
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al número real a.
En la figura se muestra la gráfica de f y una secante l que pasa por el punto P(a,
f(a)) y Q(x,f(x)). La recta de trazo punteado l’ representa una posible recta
tangente en el punto P.
Sea f una función definida en
un intervalo abierto que
contiene a a. La derivada de
f en a denotada por f’(a) está
dada por:
𝑓′(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Aplicaciones
a) Recta tangente. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto P(a, f(a)) es igual a f’(a).
7. 3
b) Velocidad. Si un punto P se mueve a lo largo de una recta coordenada de
manera que al tiempo t su coordenada es s(t), entonces su velocidad al
tiempo t es s’(a).
La derivada como una función
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Ejemplos
►Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 5𝑥 + 4. Encontrar f’(x), f’(2) y f’(-√2)
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
(3(𝑥 + ℎ)2
− 5(𝑥 + ℎ) + 4) − (3𝑥2
− 5𝑥 + 4)
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑥2
+ 6𝑥ℎ + 3ℎ2
− 5𝑥 − 5ℎ + 4 − 3𝑥2
+ 5𝑥 − 4
ℎ
= lim
ℎ→0
3ℎ2
+ 6𝑥ℎ − 5ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
3ℎ + 6𝑥 − 5 = 𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟓
𝑓′(2) = 6(2) − 5 = 12 − 5 = 𝟕
𝑓′
(−√2) = 6(−√2) − 5 = −𝟔√𝟐 − 𝟓
►Sea 𝑓(𝑥) = 2 + 8𝑥 − 5𝑥3
. Encontrar f’(x).
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
2 + 8(𝑥 + ℎ) − 5(𝑥 + ℎ)3
− 2 − 8𝑥 + 5𝑥3
ℎ
= lim
ℎ→0
2 + 8𝑥 + 8ℎ − 5𝑥3
− 15𝑥2
ℎ − 15𝑥ℎ2
− 5ℎ3
− 2 − 8𝑥 + 5𝑥^3
ℎ
= lim
ℎ→0
−15𝑥2
ℎ + 8ℎ − 15𝑥ℎ2
− 5ℎ3
ℎ
= lim
ℎ→0
8 − 15𝑥2
− 15𝑥ℎ − 5ℎ2
= 𝟖 − 𝟏𝟓𝒙 𝟐
Ejercicios propuestos
Encuentre f’(x), f’(1) y f’(-7) para:
𝑓(𝑥) = 4𝑥3
+ 7𝑥 + 2
11. 7
=
(𝟓𝒙 + 𝟐)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟕)
𝒙 𝟐
−
(𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙)(𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙)
𝒙 𝟒
∎
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3
+ 2
(3𝑥 + 1)2
(𝑥3
− 2)
=
𝑥3
+ 2
(3𝑥 + 1)2
(3𝑥2) + (𝑥3
− 2)
(3𝑥 + 1)2
(3𝑥2
) − (𝑥3
+ 2)(2)(3𝑥 + 1)(3)
(3𝑥 + 1)4
=
3𝑥2
(𝑥3
+ 2)
(3𝑥 + 1)2
+
3𝑥2(𝑥3
− 2)(3𝑥 + 1)2
(3𝑥 + 1)4
−
6(𝑥3
+ 2)(3𝑥 + 1)(𝑥3
− 2)
(3𝑥 + 1)4
=
3𝑥2
(𝑥3
+ 2)
(3𝑥 + 1)2
+
3𝑥2(𝑥3
− 2)
(3𝑥 + 1)2
−
6(𝑥3
+ 2)
(3𝑥 + 1)3
=
3𝑥2(𝑥3
+ 2 + 𝑥3
− 2)
(3𝑥 + 1)2
−
6(𝑥3
+ 2)(𝑥3
− 2)
(3𝑥 + 1)4
=
𝟑𝒙 𝟐
(𝟐𝒙 𝟑
)
(𝟑𝒙 + 𝟏) 𝟐
−
𝟔(𝒙 𝟑
+ 𝟐)(𝒙 𝟑
− 𝟐)
(𝟑𝒙 + 𝟏) 𝟒
Funciones logarítmicas
Los logaritmos o números artificiales son muy importantes en matemáticas ya que
no solamente facilitan realizar
cálculos al sustituir la
multiplicación por la suma y la
división por la resta, la potencia
por productos y las raíces por
división, sino que también son
muy importantes en sismología y
en audiología al permitir el
establecimiento de sistemas de medición en éstas disciplinas.
La función logarítmica de la gráfica se define como 𝑦 = log 𝑎 𝑥 donde a es la base
de la función y una constante positiva.
12. 8
Las funciones logarítmicas más utilizadas al igual que las funciones exponenciales
son las de base 10 y las de base natural:
𝑦 = log10 𝑥; función logarítmica de base 10.
𝑦 = ln 𝑥; función logarítmica en base natural, o base e.
Características:
La gráfica de toda función logarítmica pasa por P(1,0).
El dominio son todos los números reales positivos (0, +∞)
La imagen son todos los números reales.
Leyes de los logaritmos
ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏
ln
𝑎
𝑏
= ln 𝑎 − ln 𝑏
ln 𝑎 𝑛
= 𝑛 ln 𝑎
log 𝑛 𝑛 = 1
log 𝑛 1 = 0
log 𝑛 𝑛 𝑥
= 𝑥
log 𝑥 𝑛 =
log 𝑛
log 𝑥
Ejemplos
∎ ln [(𝑥 + 1)(𝑥
1
2)] = ln(𝑥 + 1) + ln 𝑥
1
2 = 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) +
𝟏
𝟐
𝐥𝐧 𝒙
∎ ln
√ 𝑥 + 1
𝑥2 + 2
= ln √𝑥 + 1 − ln(𝑥2
+ 2) =
𝟏
𝟐
𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒙 𝟐
+ 𝟐)
∎ log 103
= 3
15. 11
UNIDAD 2
Máximos y mínimos locales
Definición 1
Sea f una función definida en un intervalo I y sean 𝑥1 y 𝑥2 dos números que están
en I.
1. 𝑓 es creciente en I si 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.
2. 𝑓 es decreciente en I si 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.
16. 12
3. 𝑓 es constante en I si 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.
Definición 2
Sea f una función definida en un intervalo I y sea c un valor dentro de I.
1. 𝑓(𝑐) es el máximo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) para todo 𝑥 en 𝐼.
17. 13
2. 𝑓(𝑐) es el mínimo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) para todo 𝑥 en 𝐼.
Máximos y mínimos absolutos
Encontrar todos los números críticos de f.
Calcular 𝑓(𝑥) para cada número crítico 𝑐.
Calcular 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏).
El máximo y el mínimo absoluto de f en el intervalo [a,b] son
respectivamente el mayor y el menor de los valores de la función
determinados en los pasos b y c.
Ejemplos
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 12𝑥. Calcular el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓, en el
intervalo [-3,5] y trazar la gráfica de 𝑓.
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 12; 𝑓′(𝑥) = 3(𝑥2
− 4); 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
20. 16
7. 𝐺(𝑥) =
2𝑥 − 3
𝑥2 − 9
8. 𝐹(𝑥) = 𝑥2 3⁄
(𝑥2
− 9)
Criterio de la primera derivada
Sea 𝑓 una función que es continua en un número crítico 𝑐 y derivable en un
intervalo abierto 𝐼 que contiene a 𝑐, excepto posiblemente en 𝑐 mismo.
Si 𝑓′ cambia de positiva a negativa en 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) es un máximo local
de 𝑓.
Si 𝑓′ cambia de negativa a positiva en 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo local
de 𝑓.
Si 𝑓′ es mayor que cero o bien, si 𝑓′ es menor que cero para todo 𝑥 en 𝐼,
excepto para 𝑥 = 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) no es un valor extremo local de 𝑓.
Ejemplos
Calcular los máximos y mínimos locales de la función dada.
𝑓(𝑥) = √ 𝑥
3
(8 − 𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3(8 − 𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑥
1
3(−1) + (8 − 𝑥)(1
3⁄ ) (𝑥−
2
3) = −𝑥
1
3 +
8 − 𝑥
3𝑥
2
3
21. 17
𝑓′(𝑥) =
−3𝑥 + 8 − 𝑥
3𝑥
2
3
=
8 − 4𝑥
3𝑥
2
3
=
4(2 − 𝑥)
3√𝑥23 → 0 =
4(2 − 𝑥)
3√𝑥23 → 0 = 4(2 − 𝑥)
0 = 2 − 𝑥 → 𝒙 = 𝟐 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑪𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐
De acuerdo al análisis del
comportamiento de f’(x) en los
intervalos, y viendo que al pasar por
x=2 la gráfica de f pasa de ser
creciente a decreciente, tenemos
que en x=2 existe un máximo local
de f.
𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝑳𝒐𝒄𝒂𝒍 𝑷(𝟐, 𝟕. 𝟓𝟓𝟗)
x y
-1 -9
0 0
1 7
2 7.559
3 7.211
4 6.349
5 5.129
6 3.634
7 1.912
Ejercicios propuestos
Encuentre los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones.
𝑓(𝑥) = (𝑥5
+ 3)𝑒 𝑥
; [−5,3]
𝑓(𝑥) = (3𝑥3
+ 1) ln 𝑥 ; [0,4)
Intervalo (-∞,2) (2,∞)
k 1 8
f’(k) 4/3 -2
Signo + -
Comportamiento Creciente Decreciente
22. 18
Utilizando el criterio de la primera derivada calcule los máximos y mínimos locales
de f. Describa intervalos en los que la función es creciente y decreciente y trace la
gráfica.
𝑓(𝑥) = 𝑥4
− 8𝑥2
+ 1
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+
3
𝑥
Concavidad y criterio de la segunda derivada
El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable
𝑓. Si 𝑓′(𝑐) existe, entonces la gráfica de 𝑓 tiene una recta tangente 𝑙 con pendiente
𝑓′(𝑐) en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).
Sea 𝑓 una función que es derivable en un número 𝑐.
La gráfica de 𝑓 tiene concavidad hacia arriba en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existe
un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, tal que en (𝑎, 𝑏) la gráfica de 𝑓
está por encima de la recta tangente en 𝑃.
La gráfica de 𝑓 tiene concavidad hacia abajo en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existe
un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, tal que en (𝑎, 𝑏) la gráfica de 𝑓
está por debajo de la recta tangente en 𝑃.
Prueba de concavidad
Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto que contiene a 𝑐 tal que 𝑓′′(𝑐)
existe.
Si 𝑓′′(𝑐) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).
Si 𝑓′′(𝑐) < 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).
Criterio de la segunda derivada
Si 𝑓 es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a 𝑐, tal que
𝑓′(𝑐) = 0.
Si 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓 tiene un máximo local en 𝑐.
Si 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑐.
23. 19
Puntos de inflexión
Un punto 𝑃(𝑘, 𝑓(𝑘)) en la gráfica de una función 𝑓 es un punto de inflexión si 𝑓′′
existe en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑘 y 𝑓′′ cambia de signo en k.
Ejemplos
Encuentre los intervalos en los que la gráfica de f tiene concavidad hacia
arriba y aquellos en los que tiene concavidad hacia abajo.
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
− 5𝑥 − 5
→ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 2𝑥 − 5 → 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 −
2 → 0 = 6𝑥 − 2 → 6𝑥 = 2 → 𝒙 =
𝟏
𝟑
Intervalo (-∞,1/3) (1/3,∞)
K 0 1
24. 20
De acuerdo al análisis del comportamiento de f’’(x) en los intervalos propuestos
antes y después del valor de inflexión, podemos dar respuesta al problema.
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 (−∞, 1
3⁄ )
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 (1
3⁄ , ∞)
Sea la función 𝑓(𝑥) = 12 + 2𝑥2
− 𝑥4
, usar el criterio de la segunda derivada
para calcular los máximos y mínimos locales de 𝑓. Discutir la concavidad,
encontrar los puntos de inflexión y trazar su gráfica.
→ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 4𝑥3
→ 0 = 4𝑥 − 4𝑥3
→ 0 = 4𝑥(1 − 𝑥2) → 0 = 4𝑥(1 − 𝑥)(1 + 𝑥)
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
𝑥 = −1
𝑥 = 0
𝑥 = 1
→ 𝑓′′(𝑥) = 4 − 12𝑥2
→ 0 = 4 − 12𝑥2
→ 0 = 4(1 − 3𝑥2) → 0 = 1 − 3𝑥2
→ 1 = 3𝑥2
3𝑥2
= 1 → 𝑥2
=
1
3
→ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛
𝑥 = 1
√3
⁄
𝑥 = − 1
√3
⁄
Criterio de la segunda derivada
𝑓′′(−1) = 4(1 − 3(−1)2) = 4(1 − 3) = 4(−2) = −8 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑓′′(0) = 4(1 − 3(02)) = 4(1 − 0) = 4(1) = 4 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑓′′(1) = 4(1 − 3(1)2) = 4(1 − 3) = 4(−2) = −8 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜
Obtención de extremos locales
f’(k) -2 4
Signo - +
Concavidad
Hacia
abajo
Hacia
arriba
26. 22
Ejercicios propuestos
Use el criterio de la segunda derivada para calcular los valores extremos de f.
Discuta la concavidad, encuentre las abscisas de los puntos de inflexión y trace la
gráfica de f.
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = √ 𝑥
5
− 1
Use el criterio de la segunda derivada para calcular los valores extremos de f.
Discuta su concavidad, encuentre los puntos de inflexión y trace la gráfica de f.
𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 1)2
𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2+1
27. 23
Unidad 3
Actividad reguladora
Encuentre la primera y la segunda derivada de cada función y grafíquelas.
𝑓(𝑥) = (𝑥3
+ 2)2
ln(𝑥 + 2)2
𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥
(𝑥2
+ 3)(𝑥 + 1)
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥2+3
ln(3𝑥 + 2)
Derivación implícita
Dada una ecuación de la forma 𝑦 = 2𝑥2
− 3 se dice que 𝑦 es una función de 𝑥 ya
que 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
− 3. La ecuación 4𝑥2
− 2𝑦 = 6 define la misma
función 𝑓 pues al despejar 𝑦 se obtiene −2𝑦 = 6 − 4𝑥2
→ 𝑦 = −3 + 2𝑥2
→ 𝑦 =
2𝑥2
− 3
En el caso de 4𝑥2
− 2𝑦 = 6 se expresa que 𝑦 es una función implícita de x o que 𝑓
está definida implícitamente por la ecuación. Sustituyendo 𝑦 por 𝑓(𝑥) en 4𝑥2
−
2𝑦 = 6 se obtiene 4𝑥2
− 2𝑓(𝑥) = 6 → 4𝑥2
− 2(2𝑥2
− 3) = 6 → 4𝑥2
− 4𝑥2
+ 6 = 6 →
6 = 6.
𝑓 está definida implícitamente por una ecuación sí y solo si al sustituir 𝑦 por 𝑓(𝑥)
se llega a una identidad.
Como (𝑥, 𝑓(𝑥)) es un punto en la gráfica de una parte o de toda la gráfica de la
función, la gráfica de la función es implícita.
Ejemplos
¿Cuántas funciones diferentes quedan definidas implícitamente por la
ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
= 1?
𝑦2
= 1 − 𝑥2
𝑦 = ±√1 − 𝑥2
𝑥2
= 1 − 𝑦2
30. 26
Ejemplos
Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica 𝑦4
+ 3𝑦 − 4𝑥3
= 5𝑥 + 1 en el
punto (1,-2)
𝑦4
+ 3𝑦 − 4𝑥3
− 5𝑥 − 1 = 0
4𝑦3
𝑦′
+ 3𝑦′
− 12𝑥2
− 5 = 0
𝑦′(4𝑦3
+ 3) = 12𝑥2
+ 5
𝑦′
=
12𝑥2
+ 5
4𝑦3 + 3
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 =
12𝑥2
+ 5
4𝑦3 + 3
𝑚 =
12(1)2
+ 5
4(−2)3 + 3
=
12 + 5
−32 + 3
=
17
−29
= −
17
29
Ejercicios propuestos
Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto dado.
𝑥𝑦 + 16 = 0; 𝑃(−2,8)
𝑦2
− 4𝑥2
= 5; 𝑃(−1,3)
2𝑥3
+ 𝑥2
𝑦 + 𝑦3
− 1 = 0; 𝑃(2, −3)
1
𝑥
+
3
𝑦
= 1; 𝑃(2,6)
Regla de la cadena
Las reglas de derivación se pueden usar para sumas, restas, productos y
cocientes de expresiones de la forma 𝑥 𝑛
donde n es un entero. Si 𝑦 = 𝑓(𝑢) y
𝑢 = 𝑔(𝑥) y las derivadas
𝑑𝑦
𝑑𝑢
y
𝑑𝑢
𝑑𝑥
existen ambas, entonces la función compuesta
definida por 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) tiene una derivada dada por
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
31. 27
Lo cual es igual a
𝑓′(𝑢)𝑔′(𝑥)
Ejemplos
Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 1)4
Encontrar la pendiente de la recta normal a la gráfica de 𝑓
en el punto (
1
2
, 𝑓 (
1
2
)). Hacer la gráfica.
𝑓′(𝑥) = 4(𝑥2
− 1)3(2𝑥) = 8𝑥(𝑥2
− 1)3
𝑓′
(
1
2
) = 8 (
1
2
) ((
1
2
)
2
− 1)
3
= 4 (
1
4
− 1)
3
= 4 (−
3
4
)
3
= 4 (−
27
64
) = −
27
16
= 𝑚 𝑇
𝑚 𝑁 = −
1
𝑚 𝑇
𝑚 𝑁 =
16
27
Ejercicios propuestos
Derive la función
𝑓(𝑥) = (5𝑥2
− 2𝑥 + 1)−3
𝑁(𝑥) = (6𝑥 − 7)3(8𝑥2
+ 9)2
𝑔(𝑧) = (𝑧2
−
1
𝑧2
)
6
𝑁(𝑥) =
7𝑥(𝑥2+1)
2
(3𝑥+10)4
Actividad reguladora
Resuelva correctamente los siguientes problemas.
Encuentre 𝑦′
𝟓𝒙 𝟓
+ 𝒙 𝟐
𝒚 𝟑
+ 𝟐𝒚 = 𝟎
32. 28
Encuentre la pendiente m de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto
(−3,2)
𝒇(𝒙) = 𝟒(𝒙 𝟐
+ 𝟑) 𝟐
Funciones logarítmicas y exponenciales generales
Definimos 𝑎 como un número real positivo. Comenzaremos por definir 𝑎 𝑥
para
todo número real 𝑥. Si el exponente es un número racional 𝑟, entonces
aplicaremos el teorema de que:
1) ln 𝑒 𝑥
= 𝑥
2) 𝑒ln 𝑥
= 𝑥
Y el teorema, si 𝑝 > 0 y 𝑞 > 0 entonces:
3) ln 𝑝𝑞 = ln 𝑝 + ln 𝑞
4) ln
𝑝
𝑞
= ln 𝑝 − ln 𝑞
5) ln 𝑝 𝑟
= 𝑟 ln 𝑝
Definición
𝑎 𝑥
= 𝑒 𝑥 ln 𝑎
La función definida como 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
se llama función exponencial de base 𝑎. Como
𝑒 𝑥
es positivo para toda 𝑥, también lo es 𝑎 𝑥
.
Leyes de los exponentes
Sean 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0, si 𝑢 y 𝑣 son números reales cualesquiera, entonces:
1) 𝑎 𝑢
𝑎 𝑣
= 𝑎 𝑢+𝑣
2)
𝑎 𝑢
𝑎 𝑣
= 𝑎 𝑢−𝑣
3) (𝑎 𝑢) 𝑣
= 𝑎 𝑢𝑣
34. 30
Ejercicios propuestos
Encuentre 𝑓′(𝑥) para la expresión 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 53𝑥−4
𝑓(𝑥) = 5−𝑥
𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 1)10
1
𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑥
6 𝑥+𝑥6
𝑓(𝑥) = (10 𝑥
+ 10−𝑥)10
Funciones logarítmicas generales
𝑦 = log 𝑎 𝑥 si y sólo si 𝑥 = 𝑎 𝑦
La expresión log 𝑎 𝑥 son logaritmos de diversas bases, en especial en base e, es
decir ln 𝑥 = log 𝑒 𝑥.
Derivadas
𝑑
𝑑𝑥
log 𝑎 𝑥 =
1
𝑥 ln 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
log 𝑎 𝑢 =
1
𝑢 ln 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
Ejemplos
Evaluar la derivada de las siguientes funciones.
∎𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 √( 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟐𝟑
𝑓(𝑥) = log(2𝑥 + 5)
2
3 =
2
3
log(2𝑥 + 5)
𝑓′(𝑥) = (
2
3
) (
1
(2𝑥 + 5) ln 10
) (2)
𝑓′(𝑥) =
4
3(2𝑥 + 5) ln 10
∎𝒚 = 𝒙√𝟐
35. 31
𝑦′
= (√2)(𝑥√2−1)
∎𝒚 = (𝟏 + 𝒆 𝟐𝒙) 𝝅
𝑦′
= (𝜋)(1 + 𝑒2𝑥) 𝜋−1(𝑒2𝑥)(2)
𝑦′
= 2𝜋𝑒2𝑥(1 + 𝑒2𝑥) 𝜋−1
Ejercicios propuestos
Halle la derivada de las siguientes funciones.
𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 3)2
log(√𝑥3 + 2)
Encuentre 𝑓′(𝑥) para 𝑓(𝑥) dada.
𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥2
𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑒−8𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ln 𝑥
𝑓(𝑥) = ln[√6𝑥 − 1(4𝑥 + 5)3
]
𝑓(𝑥) = ln √
𝑥2−1
𝑥2+1
3
𝑓(𝑥) = log √(3𝑥2 − 1)24
𝑓(𝑥) = 2(3𝑥2+4)
3
𝑓(𝑥) = log2 (
3𝑥3
𝑥+1
)
𝑓(𝑥) = 9√3𝑥2
Leyes de crecimiento y decrecimiento
Supongamos que una cantidad física varía en el tiempo y que su magnitud al
tiempo 𝑡 está dada por 𝑞(𝑡), donde 𝑞 es una función derivable con 𝑞(𝑡) > 0 para
todo 𝑡. La derivada 𝑞′(𝑡) es la tasa de cambio de 𝑞(𝑡) con respecto al tiempo. Esta
relación puede expresarse por medio de la ecuación diferencial
𝑞′(𝑡) = 𝑐𝑞(𝑡)
36. 32
Donde 𝑐 es una constante.
En las aplicaciones, la ecuación 𝑞′(𝑡) = 𝑐𝑞(𝑡) se expresa a menudo en términos
de diferenciales. Así, 𝑦 = 𝑞(𝑡) se puede escribir:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑐𝑦 → 𝑑𝑦 = 𝑐𝑦𝑑𝑡
Dividiendo ambos lados de la última ecuación entre y:
1
𝑦
𝑑𝑦 = 𝑐 𝑑𝑡
Como las variables 𝑦 y 𝑡 se pudieron separar en esta ecuación diferencial, es
decir, aparece sólo una en cada lado de la igualdad; la ecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑐𝑦 se llama
ecuación diferencial separable. Al integrar ambos lados:
∫
1
𝑦
𝑑𝑦 = ∫ 𝑐 𝑑𝑡
Y, suponiendo que 𝑦 > 0
ln 𝑦 = 𝑐𝑡 + 𝑑
Las dos constantes de integración se combinaron en una sola constante 𝑑. Se
deduce que:
𝑒ln 𝑦
= 𝑒 𝑐𝑡+𝑑
𝑦 = 𝑒 𝑐𝑡
𝑒 𝑑
Si 𝑦0 denota el valor inicial de 𝑦 (𝑡 = 0) entonces:
𝑦0 = 𝑒 𝑑
𝑒0
= 𝑒 𝑑
Y, por lo tanto, la solución 𝑦 = 𝑒 𝑑
𝑒 𝑐𝑡
se puede escribir:
𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑐𝑡
37. 33
Teorema
Sea 𝑦 una función derivable de 𝑡 tal que 𝑦 > 0 para todo 𝑡 y sea 𝑦0 su valor en
𝑡 = 0. Si
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐𝑦 para una constante c, entonces:
𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑐𝑡
Si al aumentar t también aumenta y, entonces la fórmula es una ley de
crecimiento; si y disminuye, entonces la fórmula es una ley de decrecimiento.
38. 34
Unidad 4
Actividad
Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
∎𝑓(𝑥) =
1
ln 𝑥
+ ln (
1
𝑥
)
∎ 𝑓(𝑥) = 𝑒√ 𝑥
+ √𝑒 𝑥
∎ 𝑓(𝑥) = log5 [
6𝑥 + 4
2𝑥 − 3
]
∎𝑓(𝑥) = 5√𝑥2+2
+ ln(3𝑥 + 2)2
Encuentre la integral de las siguientes funciones:
∫ 𝑥2
𝑑𝑥
∫(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
Funciones trigonométricas
En la geometría se dice que un
ángulo está determinado por
dos rayos o semirrectas 𝑙1 y 𝑙2.
Dos puntos A y B sobre 𝑙1 y 𝑙2
respectivamente, determina el
ángulo AOB. Un ángulo también se puede considerar como dos segmentos
rectilíneos finitos con un punto extremo en común.
39. 35
En la trigonometría, los ángulos se interpretan como rotaciones de rayos. Se
comienza con un rayo fijo 𝑙1 que tiene un extremo O y gira alrededor de O sobre
un plano hasta otra posición especificada por el
rayo 𝑙2. A 𝑙1 se le llama lado inicial, a 𝑙2 lado
terminal y a O vértice del ángulo AOB. La
magnitud y el sentido de la rotación no se
restringen de ninguna manera. Se puede hacer
que 𝑙1de varias vueltas o revoluciones alrededor
de O en uno y otro de los sentidos hasta llegar a
la posición 𝑙2.
En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en su
posición normal si tiene el vértice en el origen y su lado inicial 𝑙1 coincide con la
parte positiva del eje x. Si 𝑙1 gira en el sentido contrario al del reloj para llegar a ña
posición final, se considera entonces que el ángulo es positivo; mientras que si 𝑙1
gira en el sentido del reloj, el ángulo es negativo. La dirección del movimiento de
las manecillas del reloj se llama sentido negativo y la contraria, sentido positivo.
La magnitud de un ángulo se puede expresar en grados o en radianes. Un giro de
1
360
de una vuelta en el sentido positivo es un ángulo de 1°. En cálculo, la medida
usual para medir ángulos es el radián (rad).
Teorema
1. Para convertir un valor en radianes a uno en grados hay que multiplicar por
180° y dividir entre π.
2. Para convertir un valor en grados a uno en radianes hay que multiplicar por
π y dividir entre 180°.
Ejemplos
Convierta 22° a radianes
22° =
22° ∗ 𝜋
180°
=
11
90
𝜋 𝑟𝑎𝑑
40. 36
Convierta
3
7
𝜋 rad a grados
3
7
𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
3
7
𝜋 ∗
180°
𝜋
=
3 ∗ 180°
7
=
540°
7
= 77.14°
Ejercicios propuestos
Convierta los siguientes ángulos a radianes:
35°
28°
270°
112°
12°
Convierta los siguientes ángulos a grados:
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
7
𝑟𝑎𝑑
3𝜋
5
𝑟𝑎𝑑
11𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
8𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
Funciones trigonométricas definidas por medio de una
circunferencia unitaria
Hay dos métodos que se usan
normalmente para definir las funciones
trigonométricas; uno mediante una
circunferencia unitaria y el otro por medio
de triángulos rectángulos. Trabajaremos
en el enfoque de la circunferencia unitaria.
41. 37
Sea U una circunferencia unitaria, es decir, una circunferencia con radio 1.
Entonces, U es la gráfica de la ecuación 𝑥2
´ + 𝑦2
= 1. Dado cualquier número real
t, denotemos por 𝜃 al ángulo cuya medida en radianes es t. La figura muestra un
ejemplo.
La figura muestra un caso posible de 0 < 𝜃 < 2𝜋. En ella 𝑃(𝑡) denota el punto de
intersección del lado final de 𝜃 con la circunferencia unitaria 𝑈. Usando la fórmula
𝑠 = 𝑟𝜃 con 𝑟 = 1 se ve que el arco AP que el ángulo intercepta, tiene longitud 𝑠 =
𝑡. Entonces, el número real 𝑡, puede considerarse como la medida en radianes del
ángulo 𝜃 por la longitud del arco AP de U.
El punto 𝑃(𝑡) se llama punto de la circunferencia unitaria U, que corresponde a t.
Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenada
(𝑥, 𝑦) en 𝑃(𝑡) y se dice que 𝑃(𝑥, 𝑦) es el punto de la circunferencia unitaria que
corresponde a t; así encontramos:
sin 𝑡 = 𝑦
cos 𝑡 = 𝑥
tan 𝑡 =
𝑦
𝑥
csc 𝑡 =
1
𝑦
sec 𝑡 =
1
𝑥
cot 𝑡 =
𝑥
𝑦
Ejercicios propuestos
Calcular y graficar las siguientes funciones trigonométricas, utilizando los ángulos
0°, 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, 220°, 270°, 300° y 360° con sus respectivas
conversiones a radianes.
𝑦 = sin 𝜃
42. 38
𝑦 = cos 𝜃
Si una función 𝑃(𝑥, 𝑦) está en el cuadrante I, entonces x y y son positivas, por
tanto, todos los valores de las funciones trigonométricas son positivos. Si 𝑃(𝑥, 𝑦)
está en el cuadrante II, entonces x es negativo y y es positivo, y por lo tanto, el
sin 𝑡 y csc 𝑡 son positivos, mientras que las otras cuatro funciones son negativas.
Como el perímetro de la circunferencia unitaria U es 2𝜋 se obtiene el mismo punto
𝑃(𝑥, 𝑦) con 𝑡 + 2𝜋𝑛 para todo entero 𝑛. Es decir, los valores de las funciones
trigonométricas se repiten en intervalos sucesivos de longitud 2𝜋, a este tipo de
funciones se les llama funciones periódicas. Geométricamente esto significa que la
gráfica 𝑓 se repite cuando las abscisas de los puntos toman valores en intervalos
sucesivos de amplitud 𝑘. Si existe un mínimo número real positivo 𝑘 con esa
propiedad, se dice entonces que 𝑘 es el periodo de 𝑓.
Fórmulas trigonométricas para el negativo de un número
sin(−𝑡) = − sin 𝑡
cos(−𝑡) = cos 𝑡
tan(−𝑡) = − tan 𝑡
Hay muchas relaciones entre las funciones trigonométricas, estas relaciones se
les llama identidades trigonométricas fundamentales.
Estas son:
csc 𝑡 =
1
sin 𝑡
sec 𝑡 =
1
cos 𝑡
cot 𝑡 =
1
tan 𝑡
tan 𝑡 =
sin 𝑡
cos 𝑡
43. 39
cot 𝑡 =
cos 𝑡
sin 𝑡
(sin 𝑡)2
+ (cos 𝑡)2
= 1
1 + (tan 𝑡)2
= (sec 𝑡)2
1 + (cot 𝑡)2
= (csc 𝑡)2
Derivadas de funciones trigonométricas
A continuación se presentan las derivadas de las seis funciones trigonométricas.
En el enunciado del teorema se supone que 𝑢 = 𝑔(𝑥) donde g es una función
derivable y x se restringe a los valores para los que la función trigonométrica está
definida.
Teorema
𝑑
𝑑𝑥
sin 𝑢 = cos 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑑
𝑑𝑥
cos 𝑢 = − sin 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑑
𝑑𝑥
tan 𝑢 = (sec 𝑢)2
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑑
𝑑𝑥
csc 𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑑
𝑑𝑥
cot 𝑢 = −(csc 𝑢)2
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑑
𝑑𝑥
sec 𝑢 = sec 𝑢 tan 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
44. 40
Ejemplo
Encontrar 𝑦′ para:
𝑦 =
sin 𝑥
1 + cos 𝑥
𝑦′
=
[(1 + cos 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
sin 𝑥 − sin 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(1 + cos 𝑥)]
(1 + cos 𝑥)2
𝑦′
=
(1 + cos 𝑥)(cos 𝑥) − (sin 𝑥)(− sin 𝑥)
(1 + cos 𝑥)2
𝑦′
=
cos 𝑥 + (cos 𝑥)2
+ (sin 𝑥)2
(1 + cos 𝑥)2
=
1 + cos 𝑥
(1 + cos 𝑥)2
=
1
1 + cos 𝑥
𝑦 = sec 𝑥 tan 𝑥
𝑦′
= sec 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
tan 𝑥 + tan 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
sec 𝑥
𝑦′
= sec 𝑥 (sec 𝑥)2
+ tan 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)
𝑦′
= (sec 𝑥)3
+ sec 𝑥 (tan 𝑥)2
𝑦′
= sec 𝑥 ((sec 𝑥)2
+ (tan 𝑥)2) = sec 𝑥 (1 + (tan 𝑥)2
+ (tan 𝑥)2
)
𝑦′
= sec 𝑥 (1 + 2(tan 𝑥)2
)
Ejercicios propuestos
Encontrar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
para
𝑦 = cos(5𝑥3)
𝑦 = (tan 4𝑥)3
𝑦 = 𝑒−3𝑥
tan 2𝑥
𝑦 = (sec(3𝑥 − 1))2
𝑦 = 2 sin 𝑥 + cos 2𝑥
𝑦 = sec √𝑥 − 1
45. 41
𝑦 = 𝑥3
cos (
1
𝑥
)
𝑦 = cos(3𝑥2
) + (cos 3𝑥)2
𝑦 = 𝑥2
csc 5𝑥
𝑦 =
cos4𝑥
1−sin4𝑥
𝑦 =
csc3𝑥
𝑥3+1
Funciones hiperbólicas
Si la función seno hiperbólico que se denota como sinh 𝑥 y la función coseno
hiperbólico que se denota como cosh 𝑥 se definen como:
sinh 𝑥 =
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
cosh 𝑥 =
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
2
Para todo número real x.
Teorema
(cosh 𝑥)2
− (sinh 𝑥)2
= 1
Definición
tanh 𝑥 =
sinh 𝑥
cosh 𝑥
=
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
2
𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥
2
=
𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥
coth 𝑥 =
cosh 𝑥
sinh 𝑥
=
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
2
𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥
2
=
𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥
sech 𝑥 =
1
cosh 𝑥
=
2
𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥
csch 𝑥 =
1
sinh 𝑥
=
2
𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥