I
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE XALAPA
CÁLCULO DIFERENCIAL
ANTOLOGÍA
ELABORADA POR:
ANDRÉS GIOVANNI JIMÉNEZ MENDOZA
GR...
II
INDICE
Contenido
UNIDAD 1.................................................................................................
III
UNIDAD 2.................................................................................................................
IV
Definición ....................................................................................................... 28
L...
1
UNIDAD 1
Límites
Sea a un punto de un intervalo
abierto, sea f una función
definida en todo el intervalo
excepto posible...
2
3) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 − 𝑀
4) lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝐿
𝑀
; 𝑠𝑖 𝑀 ≠ 0
5) lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿
Ejempl...
3
b) Velocidad. Si un punto P se mueve a lo largo de una recta coordenada de
manera que al tiempo t su coordenada es s(t),...
4
 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥
 Encuentre f’(x) y f’(5) para:
 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥
 𝑓(𝑥) = (𝑥 + √3)
2
 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ (𝑥 + 2)2
Reg...
5
Ejercicios propuestos
 Encuentre la derivada.

𝑑
𝑑𝑥
[𝑥6
+ (𝑥 + 2) + 7]

𝑑
𝑑𝑥
[(2𝑥7
+ 3)5
+ (7 + 𝑥2)]

𝑑
𝑑𝑥
[3 + 2𝑥
1...
6
Ejercicios propuestos
 Encuentre la derivada.
o 𝑓(𝑥) =
4𝑥2+1
𝑥−2
o 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
o 𝑓(𝑥) =
𝑥2−2
𝑥2+2
o 𝑓(𝑥) =
(𝑥+3)(𝑥+5...
7
=
(𝟓𝒙 + 𝟐)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟕)
𝒙 𝟐
−
(𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙)(𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙)
𝒙 𝟒
∎
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3
+ 2
(3𝑥 + 1)2
(𝑥3
− 2)
=
𝑥3
+ 2
(3𝑥 + 1)2
(3𝑥2) + (𝑥3
− 2...
8
Las funciones logarítmicas más utilizadas al igual que las funciones exponenciales
son las de base 10 y las de base natu...
9
∎ log2 10 =
log 10
log 2
Ejercicios propuestos
Desarrolla los siguientes logaritmos:
 log
(𝑥+2)2
𝑥
1
2
 log [
3
(𝑥+2)2...
10
Ejemplos
∎
𝑑
𝑑𝑥
𝑒3𝑥+2
= 𝑒3𝑥+2(3) = 𝟑𝒆 𝟑𝒙+𝟐
∎
𝑑
𝑑𝑥
𝑒(𝑥+2)2
√𝑥 + 1 = 𝑒(𝑥+2)2
∙
1
2
∙ (𝑥 + 1)−
1
2 + √𝑥 + 1 ∙ 𝑒(𝑥+2)2
∙ 2(...
11
UNIDAD 2
Máximos y mínimos locales
Definición 1
Sea f una función definida en un intervalo I y sean 𝑥1 y 𝑥2 dos números...
12
3. 𝑓 es constante en I si 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.
Definición 2
Sea f una función definida en un intervalo I ...
13
2. 𝑓(𝑐) es el mínimo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) para todo 𝑥 en 𝐼.
Máximos y mínimos absolutos
 Encontrar todos los númer...
14
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
𝑥 = −2
𝑥 = 2
𝑓(−2) = (−2)3
− 12(−2) = −8 + 24 = 𝟏𝟔; 𝑓(2) = 23
− 12(2) = 8 − 24 = −𝟏𝟔
𝑓(−3) = (−3)3
− 1...
15
0 = 8𝑥 − 3 → 8𝑥 = 3
𝒙 = 𝟑/𝟖
2. 𝑔(𝑡) = 𝑡2
√2𝑡 − 5
3
𝑔(𝑡) = 𝑡2(2𝑡 − 5)
1
3 → 𝑔′(𝑡) = (𝑡2)(1
2⁄ )(2𝑡 − 5)−
2
3(2) + (2𝑡 − ...
16
7. 𝐺(𝑥) =
2𝑥 − 3
𝑥2 − 9
8. 𝐹(𝑥) = 𝑥2 3⁄
(𝑥2
− 9)
Criterio de la primera derivada
Sea 𝑓 una función que es continua en u...
17
𝑓′(𝑥) =
−3𝑥 + 8 − 𝑥
3𝑥
2
3
=
8 − 4𝑥
3𝑥
2
3
=
4(2 − 𝑥)
3√𝑥23 → 0 =
4(2 − 𝑥)
3√𝑥23 → 0 = 4(2 − 𝑥)
0 = 2 − 𝑥 → 𝒙 = 𝟐 → 𝑽𝒂𝒍...
18
Utilizando el criterio de la primera derivada calcule los máximos y mínimos locales
de f. Describa intervalos en los qu...
19
Puntos de inflexión
Un punto 𝑃(𝑘, 𝑓(𝑘)) en la gráfica de una función 𝑓 es un punto de inflexión si 𝑓′′
existe en un int...
20
De acuerdo al análisis del comportamiento de f’’(x) en los intervalos propuestos
antes y después del valor de inflexión...
21
𝑓(−1) = 12 + 2(−1)2
− (−1)4
= 12 + 2 − 1 = 13
𝑓(0) = 12 + 2(0)2
− (0)4
= 12 + 0 − 0 = 12
𝑓(1) = 12 + 2(1)2
− (1)4
= 12 ...
22
Ejercicios propuestos
Use el criterio de la segunda derivada para calcular los valores extremos de f.
Discuta la concav...
23
Unidad 3
Actividad reguladora
Encuentre la primera y la segunda derivada de cada función y grafíquelas.
 𝑓(𝑥) = (𝑥3
+ ...
24
𝑥 = ±√1 − 𝑦2
 Encontrar 𝑦′ suponiendo que 4𝑥𝑦3
− 𝑥2
𝑦 + 𝑥3
− 5𝑥 + 6 = 0
4𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦3) + 𝑦3
𝑑
𝑑𝑥
(4𝑥) − [𝑥2
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦) + 𝑦...
25
𝑦′
=
−2(3𝑥2
+ 𝑥𝑦)
𝑥2 + 3𝑦2
Ejercicios propuestos
Hallar 𝑦′
 8𝑥2
+ 𝑦2
= 10
 5𝑥2
+ 2𝑥2
𝑦 + 𝑦2
= 8
26
Ejemplos
Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica 𝑦4
+ 3𝑦 − 4𝑥3
= 5𝑥 + 1 en el
punto (1,-2)
𝑦4
+ 3𝑦 − 4𝑥...
27
Lo cual es igual a
𝑓′(𝑢)𝑔′(𝑥)
Ejemplos
Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 1)4
Encontrar la pendiente de la recta normal a la gráfica de 𝑓...
28
 Encuentre la pendiente m de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto
(−3,2)
𝒇(𝒙) = 𝟒(𝒙 𝟐
+ 𝟑) 𝟐
Funciones logarí...
29
4) (
𝑎
𝑏
)
𝑢
=
𝑎 𝑢
𝑏 𝑢
5) (𝑎𝑏) 𝑣
= 𝑎 𝑣
𝑏 𝑣
Teorema
𝑑
𝑑𝑥
𝑎 𝑥
= 𝑎 𝑥
ln 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑎 𝑢
= 𝑎 𝑢
ln 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
Ejemplo
Determinar la...
30
Ejercicios propuestos
Encuentre 𝑓′(𝑥) para la expresión 𝑓(𝑥)
 𝑓(𝑥) = 53𝑥−4
 𝑓(𝑥) = 5−𝑥
 𝑓(𝑥) = (𝑥2
+ 1)10
1
𝑥
 𝑓(𝑥)...
31
𝑦′
= (√2)(𝑥√2−1)
∎𝒚 = (𝟏 + 𝒆 𝟐𝒙) 𝝅
𝑦′
= (𝜋)(1 + 𝑒2𝑥) 𝜋−1(𝑒2𝑥)(2)
𝑦′
= 2𝜋𝑒2𝑥(1 + 𝑒2𝑥) 𝜋−1
Ejercicios propuestos
Halle la...
32
Donde 𝑐 es una constante.
En las aplicaciones, la ecuación 𝑞′(𝑡) = 𝑐𝑞(𝑡) se expresa a menudo en términos
de diferencial...
33
Teorema
Sea 𝑦 una función derivable de 𝑡 tal que 𝑦 > 0 para todo 𝑡 y sea 𝑦0 su valor en
𝑡 = 0. Si
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐𝑦 para una c...
34
Unidad 4
Actividad
Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
∎𝑓(𝑥) =
1
ln 𝑥
+ ln (
1
𝑥
)
∎ 𝑓(𝑥) = 𝑒√ 𝑥
+ √𝑒 𝑥
...
35
En la trigonometría, los ángulos se interpretan como rotaciones de rayos. Se
comienza con un rayo fijo 𝑙1 que tiene un ...
36
 Convierta
3
7
𝜋 rad a grados
3
7
𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
3
7
𝜋 ∗
180°
𝜋
=
3 ∗ 180°
7
=
540°
7
= 77.14°
Ejercicios propuestos
Conviert...
37
Sea U una circunferencia unitaria, es decir, una circunferencia con radio 1.
Entonces, U es la gráfica de la ecuación 𝑥...
38
 𝑦 = cos 𝜃
Si una función 𝑃(𝑥, 𝑦) está en el cuadrante I, entonces x y y son positivas, por
tanto, todos los valores d...
39
cot 𝑡 =
cos 𝑡
sin 𝑡
(sin 𝑡)2
+ (cos 𝑡)2
= 1
1 + (tan 𝑡)2
= (sec 𝑡)2
1 + (cot 𝑡)2
= (csc 𝑡)2
Derivadas de funciones trig...
40
Ejemplo
Encontrar 𝑦′ para:
𝑦 =
sin 𝑥
1 + cos 𝑥
𝑦′
=
[(1 + cos 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
sin 𝑥 − sin 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(1 + cos 𝑥)]
(1 + cos 𝑥)2
𝑦′
=...
41
 𝑦 = 𝑥3
cos (
1
𝑥
)
 𝑦 = cos(3𝑥2
) + (cos 3𝑥)2
 𝑦 = 𝑥2
csc 5𝑥
 𝑦 =
cos4𝑥
1−sin4𝑥
 𝑦 =
csc3𝑥
𝑥3+1
Funciones hiperbó...
42
Identidades
1 − (tanh 𝑥)2
= (sech 𝑥)2
(coth 𝑥)2
− 1 = (csch 𝑥)2
Derivadas
𝑑
𝑑𝑥
sinh 𝑢 = cosh 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑑
𝑑𝑥
cosh 𝑢 = sin...
43
𝑓′(𝑥) =
1
sinh 2𝑥
(cosh 2𝑥)(2)
𝑓′(𝑥) =
2 cosh 2𝑥
sinh 2𝑥
𝑓′(𝑥) = 2 coth 2𝑥
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Cálculo Diferencial - Curso Completo

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Cálculo Diferencial - Curso Completo

  1. 1. I INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE XALAPA CÁLCULO DIFERENCIAL ANTOLOGÍA ELABORADA POR: ANDRÉS GIOVANNI JIMÉNEZ MENDOZA GRUPO: 1A ELECTROMECÁNICA XALAPA, VERACRUZ A 11 DE AGOSTO DE 2014
  2. 2. II INDICE Contenido UNIDAD 1................................................................................................................ 1 Límites..................................................................................................................... 1 Métodos para calcular límites .............................................................................. 1 Ejemplos .......................................................................................................... 1 Teorema .............................................................................................................. 1 Ejemplos .......................................................................................................... 2 La derivada.............................................................................................................. 2 Aplicaciones......................................................................................................... 2 La derivada como una función............................................................................. 3 Ejemplos .......................................................................................................... 3 Ejercicios propuestos ....................................................................................... 3 Reglas para determinar derivadas....................................................................... 4 Ejemplos .......................................................................................................... 4 Ejercicios propuestos ....................................................................................... 5 Regla de la división.............................................................................................. 5 Ejemplos .......................................................................................................... 5 Ejercicios propuestos ....................................................................................... 6 Regla del producto............................................................................................... 6 Ejemplos .......................................................................................................... 6 Funciones logarítmicas ........................................................................................... 7 Leyes de los logaritmos ....................................................................................... 8 Ejemplos .......................................................................................................... 8 Ejercicios propuestos ....................................................................................... 9 Reglas de derivación de logaritmos..................................................................... 9 Ejemplos .......................................................................................................... 9 Reglas de derivación de exponenciales .............................................................. 9 Ejemplos ........................................................................................................ 10 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 10
  3. 3. III UNIDAD 2.............................................................................................................. 11 Máximos y mínimos locales............................................................................... 11 Definición 1 .................................................................................................... 11 Definición 2 .................................................................................................... 12 Máximos y mínimos absolutos........................................................................... 13 Ejemplos ........................................................................................................ 13 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 14 Valores Críticos ................................................................................................. 14 Ejemplos ........................................................................................................ 14 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 15 Criterio de la primera derivada........................................................................... 16 Ejemplos ........................................................................................................ 16 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 17 Concavidad y criterio de la segunda derivada ................................................... 18 Prueba de concavidad.................................................................................... 18 Criterio de la segunda derivada ..................................................................... 18 Puntos de inflexión......................................................................................... 19 Ejemplos ........................................................................................................ 19 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 22 Unidad 3................................................................................................................ 23 Actividad reguladora.......................................................................................... 23 Derivación implícita............................................................................................ 23 Ejemplos ........................................................................................................ 23 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 25 Ejemplos ........................................................................................................ 26 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 26 Regla de la cadena............................................................................................ 26 Ejemplos ........................................................................................................ 27 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 27 Actividad reguladora.......................................................................................... 27 Funciones logarítmicas y exponenciales generales........................................... 28
  4. 4. IV Definición ....................................................................................................... 28 Leyes de los exponentes................................................................................ 28 Teorema......................................................................................................... 29 Ejemplo .......................................................................................................... 29 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 30 Funciones logarítmicas generales ..................................................................... 30 Derivadas....................................................................................................... 30 Ejemplos ........................................................................................................ 30 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 31 Leyes de crecimiento y decrecimiento............................................................... 31 Teorema......................................................................................................... 33 Unidad 4................................................................................................................ 34 Actividad ............................................................................................................ 34 Funciones trigonométricas................................................................................. 34 Teorema......................................................................................................... 35 Ejemplos ........................................................................................................ 35 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 36 Funciones trigonométricas definidas por medio de una circunferencia unitaria. 36 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 37 Fórmulas trigonométricas para el negativo de un número................................. 38 Derivadas de funciones trigonométricas............................................................ 39 Teorema......................................................................................................... 39 Ejemplo .......................................................................................................... 40 Ejercicios propuestos ..................................................................................... 40 Funciones hiperbólicas ...................................................................................... 41 Teorema......................................................................................................... 41 Definición ....................................................................................................... 41 Identidades..................................................................................................... 42 Derivadas....................................................................................................... 42 Ejemplos ........................................................................................................ 42
  5. 5. 1 UNIDAD 1 Límites Sea a un punto de un intervalo abierto, sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. Entonces: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 Significa que para todo ∆𝑥 > 0 existe un límite. Métodos para calcular límites 1) lim 𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎 2) lim 𝑥→𝑎 𝑐 = 𝑐 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Ejemplos ∎ lim 𝑥→√2 𝑥 = √𝟐 ∎ lim 𝑥→−4 𝑥 = −𝟒 Muchas funciones pueden expresarse como sumas, diferencias, productos y cocientes de otras funciones. En particular, sea s la suma de dos funciones f y g de manera que 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) para todo el dominio de s. Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) tienen límites L y M, respectivamente cuando 𝑥 → 𝑎, es de esperarse que 𝑠(𝑥) tenga como límite L+M cuando 𝑥 → 𝑎. Teorema Si lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces tenemos que 1) lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐿 + 𝑀 2) lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝐿𝑀
  6. 6. 2 3) lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 − 𝑀 4) lim 𝑥→𝑎 [ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] = 𝐿 𝑀 ; 𝑠𝑖 𝑀 ≠ 0 5) lim 𝑥→𝑎 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿 Ejemplos ∎ lim 𝑥→2 3𝑥 + 4 5𝑥 + 7 = lim 𝑥→2 (3𝑥 + 4) lim 𝑥→2 (5𝑥 + 7) = 3(2) + 4 5(2) + 7 = 𝟏𝟎 𝟏𝟕 ∎ lim 𝑥→−2 (3𝑥3 − 2𝑥 + 7) = lim 𝑥→−2 3𝑥3 − lim 𝑥→−2 2𝑥 + lim 𝑥→−2 7 = 3(−2)3 − 2(−2) + 7 = −24 + 4 + 7 = −𝟏𝟑 La derivada Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al número real a. En la figura se muestra la gráfica de f y una secante l que pasa por el punto P(a, f(a)) y Q(x,f(x)). La recta de trazo punteado l’ representa una posible recta tangente en el punto P. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. La derivada de f en a denotada por f’(a) está dada por: 𝑓′(𝑎) = lim ℎ→0 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ Aplicaciones a) Recta tangente. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a, f(a)) es igual a f’(a).
  7. 7. 3 b) Velocidad. Si un punto P se mueve a lo largo de una recta coordenada de manera que al tiempo t su coordenada es s(t), entonces su velocidad al tiempo t es s’(a). La derivada como una función 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ Ejemplos ►Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4. Encontrar f’(x), f’(2) y f’(-√2) 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 (3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 4) − (3𝑥2 − 5𝑥 + 4) ℎ = lim ℎ→0 3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 5𝑥 − 5ℎ + 4 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 4 ℎ = lim ℎ→0 3ℎ2 + 6𝑥ℎ − 5ℎ ℎ = lim ℎ→0 3ℎ + 6𝑥 − 5 = 𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟓 𝑓′(2) = 6(2) − 5 = 12 − 5 = 𝟕 𝑓′ (−√2) = 6(−√2) − 5 = −𝟔√𝟐 − 𝟓 ►Sea 𝑓(𝑥) = 2 + 8𝑥 − 5𝑥3 . Encontrar f’(x). 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 2 + 8(𝑥 + ℎ) − 5(𝑥 + ℎ)3 − 2 − 8𝑥 + 5𝑥3 ℎ = lim ℎ→0 2 + 8𝑥 + 8ℎ − 5𝑥3 − 15𝑥2 ℎ − 15𝑥ℎ2 − 5ℎ3 − 2 − 8𝑥 + 5𝑥^3 ℎ = lim ℎ→0 −15𝑥2 ℎ + 8ℎ − 15𝑥ℎ2 − 5ℎ3 ℎ = lim ℎ→0 8 − 15𝑥2 − 15𝑥ℎ − 5ℎ2 = 𝟖 − 𝟏𝟓𝒙 𝟐 Ejercicios propuestos  Encuentre f’(x), f’(1) y f’(-7) para:  𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 7𝑥 + 2
  8. 8. 4  𝑓(𝑥) = 1 2 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥  Encuentre f’(x) y f’(5) para:  𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥  𝑓(𝑥) = (𝑥 + √3) 2  𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑥 + 2)2 Reglas para determinar derivadas 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑛 = 𝑛𝑢 𝑛−1 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)] = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) + 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) − 𝑑 𝑑𝑥 ℎ(𝑥) Ejemplos ∎ 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)4 = 4(𝑥 + 1)4−1 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 + 1) = 4(𝑥 + 1)3(1) = 𝟒(𝒙 + 𝟏) 𝟑 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 5 = 0 ∎ 𝑑 𝑑𝑦 𝑦 = 1 ; 𝑑 𝑑𝑧 𝑧 = 1 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥6 = 6𝑥6−1 = 𝟔𝒙 𝟓 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 [(𝑥2 + 2)4 + 𝑥6] = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 2)4 + 𝑑 𝑑𝑥 𝑥6 = 4(𝑥2 + 2)3 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 2) + 6𝑥5 4(𝑥2 + 2)3(2𝑥) + 6𝑥5 = 𝟖𝒙(𝒙 𝟐 + 𝟐) 𝟑 + 𝟔𝒙 𝟓
  9. 9. 5 Ejercicios propuestos  Encuentre la derivada.  𝑑 𝑑𝑥 [𝑥6 + (𝑥 + 2) + 7]  𝑑 𝑑𝑥 [(2𝑥7 + 3)5 + (7 + 𝑥2)]  𝑑 𝑑𝑥 [3 + 2𝑥 1 2 + (3𝑥4 + 2𝑥)3  𝑑 𝑑𝑥 [√𝑥2 + 2 3 + 3√ 𝑥 + 7] Regla de la división La regla del cociente se aplica en aquellos casos en que existe una razón entre dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) . La función será diferenciable en todos los valores de x de los cuáles g(x) sea diferente de 0. La fórmula del cociente implica que la derivada está dada por el denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo esto dividido entre el cuadrado del denominador. 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 = 𝑣 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 − 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑣 𝑣2 Ejemplos ∎ 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥2 − 2 𝑥3 + 7 = (𝑥3 + 7) 𝑑 𝑑𝑥 (3𝑥2 − 2) − (3𝑥−2) 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥3 + 7) (𝑥3 + 7)2 = (𝑥3 + 7)(6𝑥) − (3𝑥2 − 2)(3𝑥2 ) (𝑥3 + 7)2 = 6𝑥4 + 42𝑥 − 9𝑥4 + 6𝑥2 (𝑥3 + 7)2 = 𝟒𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 𝟒 (𝒙 𝟑 + 𝟕) 𝟐 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 −3𝑥2 + 2 5𝑥 + 1 = (5𝑥 + 1)(−6𝑥) − (−3𝑥2 + 2)(5) (5𝑥 + 1)2 = −30𝑥2 − 6𝑥 + 15𝑥2 − 10 (5𝑥 + 1)2 = −𝟏𝟓𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎 (𝟓𝒙 + 𝟏) 𝟐
  10. 10. 6 Ejercicios propuestos  Encuentre la derivada. o 𝑓(𝑥) = 4𝑥2+1 𝑥−2 o 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 𝑥−1 o 𝑓(𝑥) = 𝑥2−2 𝑥2+2 o 𝑓(𝑥) = (𝑥+3)(𝑥+5) 𝑥−7 o 𝑓(𝑥) = 3𝑥2+1 𝑥−5 (7𝑥3 + 4) o 𝑓(𝑥) = 𝑥+3 𝑥2−9 Regla del producto La regla del producto es igual al primer término por la derivada del segundo más el segundo término por la derivada del primero. 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑣 + 𝑣 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 Ejemplos ∎ 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 3)(4𝑥 − 2) = (𝑥2 + 3) 𝑑 𝑑𝑥 (4𝑥 − 2) + (4𝑥 − 2) 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 3) = (𝑥2 + 3)(4) + (4𝑥 − 2)(2𝑥) = 4𝑥2 + 12 + 8𝑥2 − 4𝑥 = 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 3)3(𝑥2 + 7𝑥) = (𝑥2 + 3)3 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 7𝑥) + (𝑥2 + 7𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 3)3 = (𝑥2 + 3)3(2𝑥 + 7) + (𝑥2 + 7𝑥)(3)(𝑥2 + 3)2(2𝑥) = ( 𝒙 𝟐 + 𝟑) 𝟑( 𝟐𝒙 + 𝟕) + 𝟔𝒙( 𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙)( 𝒙 𝟐 + 𝟑) 𝟐 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 5𝑥 + 2 𝑥2 (5𝑥2 + 7𝑥) = 5𝑥 + 2 𝑥2 (10𝑥 + 7) + (5𝑥2 + 7𝑥) 𝑥2(5) − (5𝑥 + 2)(2𝑥) 𝑥4 = (5𝑥 + 2)(10𝑥 + 7) 𝑥2 + (5𝑥2 + 7𝑥)(5𝑥2 − 10𝑥 − 4𝑥) 𝑥4 = (5𝑥 + 2)(10𝑥 + 7) 𝑥2 + (5𝑥2 + 7𝑥)(−5𝑥2 − 4𝑥) 𝑥4
  11. 11. 7 = (𝟓𝒙 + 𝟐)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟕) 𝒙 𝟐 − (𝟓𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙)(𝟓𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙) 𝒙 𝟒 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 + 2 (3𝑥 + 1)2 (𝑥3 − 2) = 𝑥3 + 2 (3𝑥 + 1)2 (3𝑥2) + (𝑥3 − 2) (3𝑥 + 1)2 (3𝑥2 ) − (𝑥3 + 2)(2)(3𝑥 + 1)(3) (3𝑥 + 1)4 = 3𝑥2 (𝑥3 + 2) (3𝑥 + 1)2 + 3𝑥2(𝑥3 − 2)(3𝑥 + 1)2 (3𝑥 + 1)4 − 6(𝑥3 + 2)(3𝑥 + 1)(𝑥3 − 2) (3𝑥 + 1)4 = 3𝑥2 (𝑥3 + 2) (3𝑥 + 1)2 + 3𝑥2(𝑥3 − 2) (3𝑥 + 1)2 − 6(𝑥3 + 2) (3𝑥 + 1)3 = 3𝑥2(𝑥3 + 2 + 𝑥3 − 2) (3𝑥 + 1)2 − 6(𝑥3 + 2)(𝑥3 − 2) (3𝑥 + 1)4 = 𝟑𝒙 𝟐 (𝟐𝒙 𝟑 ) (𝟑𝒙 + 𝟏) 𝟐 − 𝟔(𝒙 𝟑 + 𝟐)(𝒙 𝟑 − 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟏) 𝟒 Funciones logarítmicas Los logaritmos o números artificiales son muy importantes en matemáticas ya que no solamente facilitan realizar cálculos al sustituir la multiplicación por la suma y la división por la resta, la potencia por productos y las raíces por división, sino que también son muy importantes en sismología y en audiología al permitir el establecimiento de sistemas de medición en éstas disciplinas. La función logarítmica de la gráfica se define como 𝑦 = log 𝑎 𝑥 donde a es la base de la función y una constante positiva.
  12. 12. 8 Las funciones logarítmicas más utilizadas al igual que las funciones exponenciales son las de base 10 y las de base natural:  𝑦 = log10 𝑥; función logarítmica de base 10.  𝑦 = ln 𝑥; función logarítmica en base natural, o base e. Características:  La gráfica de toda función logarítmica pasa por P(1,0).  El dominio son todos los números reales positivos (0, +∞)  La imagen son todos los números reales. Leyes de los logaritmos ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑎 𝑏 = ln 𝑎 − ln 𝑏 ln 𝑎 𝑛 = 𝑛 ln 𝑎 log 𝑛 𝑛 = 1 log 𝑛 1 = 0 log 𝑛 𝑛 𝑥 = 𝑥 log 𝑥 𝑛 = log 𝑛 log 𝑥 Ejemplos ∎ ln [(𝑥 + 1)(𝑥 1 2)] = ln(𝑥 + 1) + ln 𝑥 1 2 = 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) + 𝟏 𝟐 𝐥𝐧 𝒙 ∎ ln √ 𝑥 + 1 𝑥2 + 2 = ln √𝑥 + 1 − ln(𝑥2 + 2) = 𝟏 𝟐 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒙 𝟐 + 𝟐) ∎ log 103 = 3
  13. 13. 9 ∎ log2 10 = log 10 log 2 Ejercicios propuestos Desarrolla los siguientes logaritmos:  log (𝑥+2)2 𝑥 1 2  log [ 3 (𝑥+2)2 (𝑥 + 1)]  log [ (3𝑥+2)(4𝑥+1) 3 2 √𝑥+2 3 ] Reglas de derivación de logaritmos 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 = 1 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑢 = 1 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 Ejemplos ∎ 𝑑 𝑑𝑥 ln(𝑥2 + 4𝑥 + 4) = 𝑑 𝑑𝑥 ln(𝑥 + 2)2 = 𝑑 𝑑𝑥 2 ln(𝑥 + 2) = 2 𝑑 𝑑𝑥 ln(𝑥 + 2) = 2 1 (𝑥 + 2) = 𝟐 𝒙 + 𝟐 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)2 ln 𝑥3 = (𝑥 + 2)2 ∙ 1 𝑥3 ∙ 3𝑥2 + 2(𝑥 + 2) ln 𝑥3 = 3𝑥2(𝑥 + 2)2 𝑥3 + 2(𝑥 + 2) ln 𝑥3 = 𝟑(𝒙 + 𝟐) 𝟐 𝒙 + 𝟐(𝒙 + 𝟐)𝒍𝒏 𝒙 𝟑 Reglas de derivación de exponenciales 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑢 = 𝑒 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢
  14. 14. 10 Ejemplos ∎ 𝑑 𝑑𝑥 𝑒3𝑥+2 = 𝑒3𝑥+2(3) = 𝟑𝒆 𝟑𝒙+𝟐 ∎ 𝑑 𝑑𝑥 𝑒(𝑥+2)2 √𝑥 + 1 = 𝑒(𝑥+2)2 ∙ 1 2 ∙ (𝑥 + 1)− 1 2 + √𝑥 + 1 ∙ 𝑒(𝑥+2)2 ∙ 2(𝑥 + 2) = 𝑒(𝑥+2)2 2√ 𝑥 + 1 + 2√𝑥 + 1(𝑥 + 2)𝑒(𝑥+2)2 = 𝒆(𝒙+𝟐) 𝟐 ( 𝟏 𝟐√ 𝒙 + 𝟏 + 𝟐(𝒙 + 𝟐)√𝒙 + 𝟏) Ejercicios propuestos Encuentra la derivada de las siguientes funciones:  𝑓(𝑥) = 𝑥3 ln(𝑥 + 2)  𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)4 ln(𝑥 + 3)3  𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 ln 𝑥2  𝑓(𝑥) = ln 𝑒 𝑥
  15. 15. 11 UNIDAD 2 Máximos y mínimos locales Definición 1 Sea f una función definida en un intervalo I y sean 𝑥1 y 𝑥2 dos números que están en I. 1. 𝑓 es creciente en I si 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2. 2. 𝑓 es decreciente en I si 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.
  16. 16. 12 3. 𝑓 es constante en I si 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2. Definición 2 Sea f una función definida en un intervalo I y sea c un valor dentro de I. 1. 𝑓(𝑐) es el máximo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) para todo 𝑥 en 𝐼.
  17. 17. 13 2. 𝑓(𝑐) es el mínimo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) para todo 𝑥 en 𝐼. Máximos y mínimos absolutos  Encontrar todos los números críticos de f.  Calcular 𝑓(𝑥) para cada número crítico 𝑐.  Calcular 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏).  El máximo y el mínimo absoluto de f en el intervalo [a,b] son respectivamente el mayor y el menor de los valores de la función determinados en los pasos b y c. Ejemplos  Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥. Calcular el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓, en el intervalo [-3,5] y trazar la gráfica de 𝑓. 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12; 𝑓′(𝑥) = 3(𝑥2 − 4); 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
  18. 18. 14 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −2 𝑥 = 2 𝑓(−2) = (−2)3 − 12(−2) = −8 + 24 = 𝟏𝟔; 𝑓(2) = 23 − 12(2) = 8 − 24 = −𝟏𝟔 𝑓(−3) = (−3)3 − 12(−3) = −27 + 36 = 𝟗; 𝑓(5) = 53 − 12(5) = 125 − 60 = 𝟔𝟓 x y -3 9 -2 16 -1 11 0 0 1 -11 2 -16 3 -9 4 16 5 65 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 (5,65) 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 (2, −16) Ejercicios propuestos Calcule el máximo y mínimos absolutos. 1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 10𝑥 + 7; [−1,3] 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4; [0,2] Valores Críticos Ejemplos Encuentre los números críticos de las siguientes funciones. 1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝑓′(𝑥) = 8𝑥 − 3
  19. 19. 15 0 = 8𝑥 − 3 → 8𝑥 = 3 𝒙 = 𝟑/𝟖 2. 𝑔(𝑡) = 𝑡2 √2𝑡 − 5 3 𝑔(𝑡) = 𝑡2(2𝑡 − 5) 1 3 → 𝑔′(𝑡) = (𝑡2)(1 2⁄ )(2𝑡 − 5)− 2 3(2) + (2𝑡 − 5) 1 3(2𝑡) 𝑔′(𝑡) = 2𝑡2 3√(2𝑡 − 5)23 + 2𝑡√2𝑡 − 5 3 = 2𝑡2 + (3√(2𝑡 − 5)23 ) (2𝑡√2𝑡 − 5 3 ) 3√(2𝑡 − 5)23 𝑔′(𝑡) = 2𝑡2 + 6𝑡(2𝑡 − 5) 3√(2𝑡 − 5)23 = 2𝑡2 + 12𝑡2 − 30𝑡 3√(2𝑡 − 5)23 = 14𝑡2 − 30𝑡 3√(2𝑡 − 5)23 0 = 14𝑡2 − 30𝑡 3√(2𝑡 − 5)23 → 14𝑡2 − 30𝑡 = 0 → 2𝑡(7𝑡 − 15) = 0 → 2𝑡 = 0 → 𝒕 = 𝟎 7𝑡 − 15 = 0 → 𝒕 = 𝟏𝟓 𝟕 𝒕 = 𝟎; 𝒕 = 𝟏𝟓 𝟕 Ejercicios propuestos Encuentre los números críticos de las siguientes funciones. 1. 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5 2. 𝑓(𝑤) = 𝑤4 − 32𝑤 3. 𝑇(𝑣) = (4𝑣 + 1)√ 𝑣2 − 16 4. 𝐺(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑥2 − 9 5. 𝑓(𝑠) = 𝑠2 5𝑠 + 4 6. 𝐾(𝑧) = 4𝑧3 + 5𝑧2 − 42𝑧 + 7
  20. 20. 16 7. 𝐺(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑥2 − 9 8. 𝐹(𝑥) = 𝑥2 3⁄ (𝑥2 − 9) Criterio de la primera derivada Sea 𝑓 una función que es continua en un número crítico 𝑐 y derivable en un intervalo abierto 𝐼 que contiene a 𝑐, excepto posiblemente en 𝑐 mismo.  Si 𝑓′ cambia de positiva a negativa en 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) es un máximo local de 𝑓.  Si 𝑓′ cambia de negativa a positiva en 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo local de 𝑓.  Si 𝑓′ es mayor que cero o bien, si 𝑓′ es menor que cero para todo 𝑥 en 𝐼, excepto para 𝑥 = 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) no es un valor extremo local de 𝑓. Ejemplos Calcular los máximos y mínimos locales de la función dada. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 3 (8 − 𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑥 1 3(8 − 𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑥 1 3(−1) + (8 − 𝑥)(1 3⁄ ) (𝑥− 2 3) = −𝑥 1 3 + 8 − 𝑥 3𝑥 2 3
  21. 21. 17 𝑓′(𝑥) = −3𝑥 + 8 − 𝑥 3𝑥 2 3 = 8 − 4𝑥 3𝑥 2 3 = 4(2 − 𝑥) 3√𝑥23 → 0 = 4(2 − 𝑥) 3√𝑥23 → 0 = 4(2 − 𝑥) 0 = 2 − 𝑥 → 𝒙 = 𝟐 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑪𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 De acuerdo al análisis del comportamiento de f’(x) en los intervalos, y viendo que al pasar por x=2 la gráfica de f pasa de ser creciente a decreciente, tenemos que en x=2 existe un máximo local de f. 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝑳𝒐𝒄𝒂𝒍 𝑷(𝟐, 𝟕. 𝟓𝟓𝟗) x y -1 -9 0 0 1 7 2 7.559 3 7.211 4 6.349 5 5.129 6 3.634 7 1.912 Ejercicios propuestos Encuentre los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones.  𝑓(𝑥) = (𝑥5 + 3)𝑒 𝑥 ; [−5,3]  𝑓(𝑥) = (3𝑥3 + 1) ln 𝑥 ; [0,4) Intervalo (-∞,2) (2,∞) k 1 8 f’(k) 4/3 -2 Signo + - Comportamiento Creciente Decreciente
  22. 22. 18 Utilizando el criterio de la primera derivada calcule los máximos y mínimos locales de f. Describa intervalos en los que la función es creciente y decreciente y trace la gráfica.  𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 1  𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3 𝑥 Concavidad y criterio de la segunda derivada El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable 𝑓. Si 𝑓′(𝑐) existe, entonces la gráfica de 𝑓 tiene una recta tangente 𝑙 con pendiente 𝑓′(𝑐) en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)). Sea 𝑓 una función que es derivable en un número 𝑐.  La gráfica de 𝑓 tiene concavidad hacia arriba en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existe un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, tal que en (𝑎, 𝑏) la gráfica de 𝑓 está por encima de la recta tangente en 𝑃.  La gráfica de 𝑓 tiene concavidad hacia abajo en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existe un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, tal que en (𝑎, 𝑏) la gráfica de 𝑓 está por debajo de la recta tangente en 𝑃. Prueba de concavidad Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto que contiene a 𝑐 tal que 𝑓′′(𝑐) existe.  Si 𝑓′′(𝑐) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).  Si 𝑓′′(𝑐) < 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)). Criterio de la segunda derivada Si 𝑓 es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a 𝑐, tal que 𝑓′(𝑐) = 0.  Si 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓 tiene un máximo local en 𝑐.  Si 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑐.
  23. 23. 19 Puntos de inflexión Un punto 𝑃(𝑘, 𝑓(𝑘)) en la gráfica de una función 𝑓 es un punto de inflexión si 𝑓′′ existe en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑘 y 𝑓′′ cambia de signo en k. Ejemplos  Encuentre los intervalos en los que la gráfica de f tiene concavidad hacia arriba y aquellos en los que tiene concavidad hacia abajo. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 5 → 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5 → 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 2 → 0 = 6𝑥 − 2 → 6𝑥 = 2 → 𝒙 = 𝟏 𝟑 Intervalo (-∞,1/3) (1/3,∞) K 0 1
  24. 24. 20 De acuerdo al análisis del comportamiento de f’’(x) en los intervalos propuestos antes y después del valor de inflexión, podemos dar respuesta al problema. 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 (−∞, 1 3⁄ ) 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 (1 3⁄ , ∞)  Sea la función 𝑓(𝑥) = 12 + 2𝑥2 − 𝑥4 , usar el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y mínimos locales de 𝑓. Discutir la concavidad, encontrar los puntos de inflexión y trazar su gráfica. → 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 4𝑥3 → 0 = 4𝑥 − 4𝑥3 → 0 = 4𝑥(1 − 𝑥2) → 0 = 4𝑥(1 − 𝑥)(1 + 𝑥) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1 𝑥 = 0 𝑥 = 1 → 𝑓′′(𝑥) = 4 − 12𝑥2 → 0 = 4 − 12𝑥2 → 0 = 4(1 − 3𝑥2) → 0 = 1 − 3𝑥2 → 1 = 3𝑥2 3𝑥2 = 1 → 𝑥2 = 1 3 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑥 = 1 √3 ⁄ 𝑥 = − 1 √3 ⁄ Criterio de la segunda derivada 𝑓′′(−1) = 4(1 − 3(−1)2) = 4(1 − 3) = 4(−2) = −8 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑓′′(0) = 4(1 − 3(02)) = 4(1 − 0) = 4(1) = 4 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑓′′(1) = 4(1 − 3(1)2) = 4(1 − 3) = 4(−2) = −8 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 Obtención de extremos locales f’(k) -2 4 Signo - + Concavidad Hacia abajo Hacia arriba
  25. 25. 21 𝑓(−1) = 12 + 2(−1)2 − (−1)4 = 12 + 2 − 1 = 13 𝑓(0) = 12 + 2(0)2 − (0)4 = 12 + 0 − 0 = 12 𝑓(1) = 12 + 2(1)2 − (1)4 = 12 + 2 − 1 = 13 Obtención de los puntos de inflexión 𝑓 ( 1 √3 ) = 12 + 2 ( 1 √3 ) 2 − ( 1 √3 ) 4 = 12 + 2 ( 1 3 ) − ( 1 9 ) = 113 9 𝑓 (− 1 √3 ) = 12 + 2 (− 1 √3 ) 2 − (− 1 √3 ) 4 = 12 + 2 ( 1 3 ) − ( 1 9 ) = 113 9 Análisis de concavidad Intervalo (-∞,-1/√3) (-1/√3,1/√3) (1/√3,∞) k -1 0 1 f’’(k) -8 4 -8 Signo - + - Concavidad Hacia abajo Hacia arriba Hacia abajo Gráfica y resultados 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐𝒔 𝑷(−𝟏, 𝟏𝟑) 𝒚 𝑷(𝟏, 𝟏𝟑) 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝑷(𝟎, 𝟏𝟐) 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊ó𝒏 𝑷 (− 𝟏 √𝟑 , 𝟏𝟏𝟑 𝟗 ) 𝒚 𝑷 ( 𝟏 √𝟑 , 𝟏𝟏𝟑 𝟗 ) 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒂𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 (−∞, − 𝟏 √𝟑 ) 𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒊𝒃𝒂 (− 𝟏 √𝟑 , 𝟏 √𝟑 ) 𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 ( 𝟏 √𝟑 , ∞)
  26. 26. 22 Ejercicios propuestos Use el criterio de la segunda derivada para calcular los valores extremos de f. Discuta la concavidad, encuentre las abscisas de los puntos de inflexión y trace la gráfica de f.  𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1  𝑓(𝑥) = √ 𝑥 5 − 1 Use el criterio de la segunda derivada para calcular los valores extremos de f. Discuta su concavidad, encuentre los puntos de inflexión y trace la gráfica de f.  𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)2  𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥2+1
  27. 27. 23 Unidad 3 Actividad reguladora Encuentre la primera y la segunda derivada de cada función y grafíquelas.  𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 2)2 ln(𝑥 + 2)2  𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 (𝑥2 + 3)(𝑥 + 1)  𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥2+3 ln(3𝑥 + 2) Derivación implícita Dada una ecuación de la forma 𝑦 = 2𝑥2 − 3 se dice que 𝑦 es una función de 𝑥 ya que 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3. La ecuación 4𝑥2 − 2𝑦 = 6 define la misma función 𝑓 pues al despejar 𝑦 se obtiene −2𝑦 = 6 − 4𝑥2 → 𝑦 = −3 + 2𝑥2 → 𝑦 = 2𝑥2 − 3 En el caso de 4𝑥2 − 2𝑦 = 6 se expresa que 𝑦 es una función implícita de x o que 𝑓 está definida implícitamente por la ecuación. Sustituyendo 𝑦 por 𝑓(𝑥) en 4𝑥2 − 2𝑦 = 6 se obtiene 4𝑥2 − 2𝑓(𝑥) = 6 → 4𝑥2 − 2(2𝑥2 − 3) = 6 → 4𝑥2 − 4𝑥2 + 6 = 6 → 6 = 6. 𝑓 está definida implícitamente por una ecuación sí y solo si al sustituir 𝑦 por 𝑓(𝑥) se llega a una identidad. Como (𝑥, 𝑓(𝑥)) es un punto en la gráfica de una parte o de toda la gráfica de la función, la gráfica de la función es implícita. Ejemplos  ¿Cuántas funciones diferentes quedan definidas implícitamente por la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 1? 𝑦2 = 1 − 𝑥2 𝑦 = ±√1 − 𝑥2 𝑥2 = 1 − 𝑦2
  28. 28. 24 𝑥 = ±√1 − 𝑦2  Encontrar 𝑦′ suponiendo que 4𝑥𝑦3 − 𝑥2 𝑦 + 𝑥3 − 5𝑥 + 6 = 0 4𝑥 𝑑 𝑑𝑥 (𝑦3) + 𝑦3 𝑑 𝑑𝑥 (4𝑥) − [𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 (𝑦) + 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2)] + 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 − 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 6 = 𝑑 𝑑𝑥 0 4𝑥 (3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) + 𝑦3(4) − (𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦(2𝑥)) + 3𝑥2 − 5 = 0 12𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑦3 − 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥2 − 5 = 0 12𝑥𝑦2 𝑦′ + 4𝑦3 − 𝑥2 𝑦′ − 2𝑥𝑦 + 3𝑥2 − 5 = 0 𝑦′(12𝑥𝑦2 − 𝑥2) + 4𝑦3 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥2 − 5 = 0 𝑦′(12𝑥𝑦2 − 𝑥2) = −4𝑦3 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 + 5 𝑦′ = −4𝑦3 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 + 5 12𝑥𝑦2 − 𝑥2  Encuentre 𝑦′ suponiendo que la ecuación define una función derivable 𝑓 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝟐𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒚 𝟑 = 𝟏 2 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥3) + [𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 (𝑦) + 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2)] + 𝑑 𝑑𝑥 (𝑦3) = 𝑑 𝑑𝑥 (1) 2(3𝑥2) + (𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦(2𝑥)) + 3𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 6𝑥2 + 𝑥2 𝑦′ + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 𝑦′ = 0 𝑦′(𝑥2 + 3𝑦2) + 6𝑥2 + 2𝑥𝑦 = 0 𝑦′(𝑥2 + 3𝑦2) = −6𝑥2 − 2𝑥𝑦
  29. 29. 25 𝑦′ = −2(3𝑥2 + 𝑥𝑦) 𝑥2 + 3𝑦2 Ejercicios propuestos Hallar 𝑦′  8𝑥2 + 𝑦2 = 10  5𝑥2 + 2𝑥2 𝑦 + 𝑦2 = 8
  30. 30. 26 Ejemplos Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica 𝑦4 + 3𝑦 − 4𝑥3 = 5𝑥 + 1 en el punto (1,-2) 𝑦4 + 3𝑦 − 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 = 0 4𝑦3 𝑦′ + 3𝑦′ − 12𝑥2 − 5 = 0 𝑦′(4𝑦3 + 3) = 12𝑥2 + 5 𝑦′ = 12𝑥2 + 5 4𝑦3 + 3 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 = 12𝑥2 + 5 4𝑦3 + 3 𝑚 = 12(1)2 + 5 4(−2)3 + 3 = 12 + 5 −32 + 3 = 17 −29 = − 17 29 Ejercicios propuestos Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto dado.  𝑥𝑦 + 16 = 0; 𝑃(−2,8)  𝑦2 − 4𝑥2 = 5; 𝑃(−1,3)  2𝑥3 + 𝑥2 𝑦 + 𝑦3 − 1 = 0; 𝑃(2, −3)  1 𝑥 + 3 𝑦 = 1; 𝑃(2,6) Regla de la cadena Las reglas de derivación se pueden usar para sumas, restas, productos y cocientes de expresiones de la forma 𝑥 𝑛 donde n es un entero. Si 𝑦 = 𝑓(𝑢) y 𝑢 = 𝑔(𝑥) y las derivadas 𝑑𝑦 𝑑𝑢 y 𝑑𝑢 𝑑𝑥 existen ambas, entonces la función compuesta definida por 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) tiene una derivada dada por 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
  31. 31. 27 Lo cual es igual a 𝑓′(𝑢)𝑔′(𝑥) Ejemplos Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)4 Encontrar la pendiente de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto ( 1 2 , 𝑓 ( 1 2 )). Hacer la gráfica. 𝑓′(𝑥) = 4(𝑥2 − 1)3(2𝑥) = 8𝑥(𝑥2 − 1)3 𝑓′ ( 1 2 ) = 8 ( 1 2 ) (( 1 2 ) 2 − 1) 3 = 4 ( 1 4 − 1) 3 = 4 (− 3 4 ) 3 = 4 (− 27 64 ) = − 27 16 = 𝑚 𝑇 𝑚 𝑁 = − 1 𝑚 𝑇 𝑚 𝑁 = 16 27 Ejercicios propuestos Derive la función  𝑓(𝑥) = (5𝑥2 − 2𝑥 + 1)−3  𝑁(𝑥) = (6𝑥 − 7)3(8𝑥2 + 9)2  𝑔(𝑧) = (𝑧2 − 1 𝑧2 ) 6  𝑁(𝑥) = 7𝑥(𝑥2+1) 2 (3𝑥+10)4 Actividad reguladora Resuelva correctamente los siguientes problemas.  Encuentre 𝑦′ 𝟓𝒙 𝟓 + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟑 + 𝟐𝒚 = 𝟎
  32. 32. 28  Encuentre la pendiente m de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto (−3,2) 𝒇(𝒙) = 𝟒(𝒙 𝟐 + 𝟑) 𝟐 Funciones logarítmicas y exponenciales generales Definimos 𝑎 como un número real positivo. Comenzaremos por definir 𝑎 𝑥 para todo número real 𝑥. Si el exponente es un número racional 𝑟, entonces aplicaremos el teorema de que: 1) ln 𝑒 𝑥 = 𝑥 2) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥 Y el teorema, si 𝑝 > 0 y 𝑞 > 0 entonces: 3) ln 𝑝𝑞 = ln 𝑝 + ln 𝑞 4) ln 𝑝 𝑞 = ln 𝑝 − ln 𝑞 5) ln 𝑝 𝑟 = 𝑟 ln 𝑝 Definición 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎 La función definida como 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 se llama función exponencial de base 𝑎. Como 𝑒 𝑥 es positivo para toda 𝑥, también lo es 𝑎 𝑥 . Leyes de los exponentes Sean 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0, si 𝑢 y 𝑣 son números reales cualesquiera, entonces: 1) 𝑎 𝑢 𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑢+𝑣 2) 𝑎 𝑢 𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑢−𝑣 3) (𝑎 𝑢) 𝑣 = 𝑎 𝑢𝑣
  33. 33. 29 4) ( 𝑎 𝑏 ) 𝑢 = 𝑎 𝑢 𝑏 𝑢 5) (𝑎𝑏) 𝑣 = 𝑎 𝑣 𝑏 𝑣 Teorema 𝑑 𝑑𝑥 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑎 𝑢 = 𝑎 𝑢 ln 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 Ejemplo Determinar la derivada de 𝑦. 𝒚 = 𝟑√ 𝒙 𝑦 = 3 𝑥 1 2 𝑦′ = 3√ 𝑥 ln 3 𝑑 𝑑𝑥 √ 𝑥 = 3√ 𝑥 ln 3 ( 1 2 𝑥− 1 2) 𝑦′ = 3√ 𝑥 ln 3 2√ 𝑥 Hallar 𝑦′ para 𝑦 = (𝑥2 + 1)10 + 10 𝑥2+1 𝑦′ = 10(𝑥2 + 1)9(2𝑥) + 10 𝑥2+1 ln 10 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 + 1) 𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + 10 𝑥2+1 ln 10 (2𝑥) 𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + (2𝑥)(10 𝑥2+1 ) ln 10 𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + (2𝑥)(10 𝑥2 )(101) ln 10 𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + 20𝑥(10 𝑥2 ) ln 10 𝑦′ = 20𝑥 [(𝑥2 + 1)9 + 10 𝑥2 ln 10]
  34. 34. 30 Ejercicios propuestos Encuentre 𝑓′(𝑥) para la expresión 𝑓(𝑥)  𝑓(𝑥) = 53𝑥−4  𝑓(𝑥) = 5−𝑥  𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)10 1 𝑥  𝑓(𝑥) = 𝑥 6 𝑥+𝑥6  𝑓(𝑥) = (10 𝑥 + 10−𝑥)10 Funciones logarítmicas generales 𝑦 = log 𝑎 𝑥 si y sólo si 𝑥 = 𝑎 𝑦 La expresión log 𝑎 𝑥 son logaritmos de diversas bases, en especial en base e, es decir ln 𝑥 = log 𝑒 𝑥. Derivadas 𝑑 𝑑𝑥 log 𝑎 𝑥 = 1 𝑥 ln 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 log 𝑎 𝑢 = 1 𝑢 ln 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 Ejemplos Evaluar la derivada de las siguientes funciones. ∎𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 √( 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟐𝟑 𝑓(𝑥) = log(2𝑥 + 5) 2 3 = 2 3 log(2𝑥 + 5) 𝑓′(𝑥) = ( 2 3 ) ( 1 (2𝑥 + 5) ln 10 ) (2) 𝑓′(𝑥) = 4 3(2𝑥 + 5) ln 10 ∎𝒚 = 𝒙√𝟐
  35. 35. 31 𝑦′ = (√2)(𝑥√2−1) ∎𝒚 = (𝟏 + 𝒆 𝟐𝒙) 𝝅 𝑦′ = (𝜋)(1 + 𝑒2𝑥) 𝜋−1(𝑒2𝑥)(2) 𝑦′ = 2𝜋𝑒2𝑥(1 + 𝑒2𝑥) 𝜋−1 Ejercicios propuestos Halle la derivada de las siguientes funciones.  𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 3)2 log(√𝑥3 + 2) Encuentre 𝑓′(𝑥) para 𝑓(𝑥) dada.  𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥2  𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒−8𝑥  𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ln 𝑥  𝑓(𝑥) = ln[√6𝑥 − 1(4𝑥 + 5)3 ]  𝑓(𝑥) = ln √ 𝑥2−1 𝑥2+1 3  𝑓(𝑥) = log √(3𝑥2 − 1)24  𝑓(𝑥) = 2(3𝑥2+4) 3  𝑓(𝑥) = log2 ( 3𝑥3 𝑥+1 )  𝑓(𝑥) = 9√3𝑥2 Leyes de crecimiento y decrecimiento Supongamos que una cantidad física varía en el tiempo y que su magnitud al tiempo 𝑡 está dada por 𝑞(𝑡), donde 𝑞 es una función derivable con 𝑞(𝑡) > 0 para todo 𝑡. La derivada 𝑞′(𝑡) es la tasa de cambio de 𝑞(𝑡) con respecto al tiempo. Esta relación puede expresarse por medio de la ecuación diferencial 𝑞′(𝑡) = 𝑐𝑞(𝑡)
  36. 36. 32 Donde 𝑐 es una constante. En las aplicaciones, la ecuación 𝑞′(𝑡) = 𝑐𝑞(𝑡) se expresa a menudo en términos de diferenciales. Así, 𝑦 = 𝑞(𝑡) se puede escribir: 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑐𝑦 → 𝑑𝑦 = 𝑐𝑦𝑑𝑡 Dividiendo ambos lados de la última ecuación entre y: 1 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐 𝑑𝑡 Como las variables 𝑦 y 𝑡 se pudieron separar en esta ecuación diferencial, es decir, aparece sólo una en cada lado de la igualdad; la ecuación 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑐𝑦 se llama ecuación diferencial separable. Al integrar ambos lados: ∫ 1 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑐 𝑑𝑡 Y, suponiendo que 𝑦 > 0 ln 𝑦 = 𝑐𝑡 + 𝑑 Las dos constantes de integración se combinaron en una sola constante 𝑑. Se deduce que: 𝑒ln 𝑦 = 𝑒 𝑐𝑡+𝑑 𝑦 = 𝑒 𝑐𝑡 𝑒 𝑑 Si 𝑦0 denota el valor inicial de 𝑦 (𝑡 = 0) entonces: 𝑦0 = 𝑒 𝑑 𝑒0 = 𝑒 𝑑 Y, por lo tanto, la solución 𝑦 = 𝑒 𝑑 𝑒 𝑐𝑡 se puede escribir: 𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑐𝑡
  37. 37. 33 Teorema Sea 𝑦 una función derivable de 𝑡 tal que 𝑦 > 0 para todo 𝑡 y sea 𝑦0 su valor en 𝑡 = 0. Si 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑐𝑦 para una constante c, entonces: 𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑐𝑡 Si al aumentar t también aumenta y, entonces la fórmula es una ley de crecimiento; si y disminuye, entonces la fórmula es una ley de decrecimiento.
  38. 38. 34 Unidad 4 Actividad Encuentre la derivada de las siguientes funciones: ∎𝑓(𝑥) = 1 ln 𝑥 + ln ( 1 𝑥 ) ∎ 𝑓(𝑥) = 𝑒√ 𝑥 + √𝑒 𝑥 ∎ 𝑓(𝑥) = log5 [ 6𝑥 + 4 2𝑥 − 3 ] ∎𝑓(𝑥) = 5√𝑥2+2 + ln(3𝑥 + 2)2 Encuentre la integral de las siguientes funciones: ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 ∫(𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Funciones trigonométricas En la geometría se dice que un ángulo está determinado por dos rayos o semirrectas 𝑙1 y 𝑙2. Dos puntos A y B sobre 𝑙1 y 𝑙2 respectivamente, determina el ángulo AOB. Un ángulo también se puede considerar como dos segmentos rectilíneos finitos con un punto extremo en común.
  39. 39. 35 En la trigonometría, los ángulos se interpretan como rotaciones de rayos. Se comienza con un rayo fijo 𝑙1 que tiene un extremo O y gira alrededor de O sobre un plano hasta otra posición especificada por el rayo 𝑙2. A 𝑙1 se le llama lado inicial, a 𝑙2 lado terminal y a O vértice del ángulo AOB. La magnitud y el sentido de la rotación no se restringen de ninguna manera. Se puede hacer que 𝑙1de varias vueltas o revoluciones alrededor de O en uno y otro de los sentidos hasta llegar a la posición 𝑙2. En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en su posición normal si tiene el vértice en el origen y su lado inicial 𝑙1 coincide con la parte positiva del eje x. Si 𝑙1 gira en el sentido contrario al del reloj para llegar a ña posición final, se considera entonces que el ángulo es positivo; mientras que si 𝑙1 gira en el sentido del reloj, el ángulo es negativo. La dirección del movimiento de las manecillas del reloj se llama sentido negativo y la contraria, sentido positivo. La magnitud de un ángulo se puede expresar en grados o en radianes. Un giro de 1 360 de una vuelta en el sentido positivo es un ángulo de 1°. En cálculo, la medida usual para medir ángulos es el radián (rad). Teorema 1. Para convertir un valor en radianes a uno en grados hay que multiplicar por 180° y dividir entre π. 2. Para convertir un valor en grados a uno en radianes hay que multiplicar por π y dividir entre 180°. Ejemplos  Convierta 22° a radianes 22° = 22° ∗ 𝜋 180° = 11 90 𝜋 𝑟𝑎𝑑
  40. 40. 36  Convierta 3 7 𝜋 rad a grados 3 7 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 3 7 𝜋 ∗ 180° 𝜋 = 3 ∗ 180° 7 = 540° 7 = 77.14° Ejercicios propuestos Convierta los siguientes ángulos a radianes:  35°  28°  270°  112°  12° Convierta los siguientes ángulos a grados:  𝜋 3 𝑟𝑎𝑑  2𝜋 7 𝑟𝑎𝑑  3𝜋 5 𝑟𝑎𝑑  11𝜋 3 𝑟𝑎𝑑  8𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 Funciones trigonométricas definidas por medio de una circunferencia unitaria Hay dos métodos que se usan normalmente para definir las funciones trigonométricas; uno mediante una circunferencia unitaria y el otro por medio de triángulos rectángulos. Trabajaremos en el enfoque de la circunferencia unitaria.
  41. 41. 37 Sea U una circunferencia unitaria, es decir, una circunferencia con radio 1. Entonces, U es la gráfica de la ecuación 𝑥2 ´ + 𝑦2 = 1. Dado cualquier número real t, denotemos por 𝜃 al ángulo cuya medida en radianes es t. La figura muestra un ejemplo. La figura muestra un caso posible de 0 < 𝜃 < 2𝜋. En ella 𝑃(𝑡) denota el punto de intersección del lado final de 𝜃 con la circunferencia unitaria 𝑈. Usando la fórmula 𝑠 = 𝑟𝜃 con 𝑟 = 1 se ve que el arco AP que el ángulo intercepta, tiene longitud 𝑠 = 𝑡. Entonces, el número real 𝑡, puede considerarse como la medida en radianes del ángulo 𝜃 por la longitud del arco AP de U. El punto 𝑃(𝑡) se llama punto de la circunferencia unitaria U, que corresponde a t. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenada (𝑥, 𝑦) en 𝑃(𝑡) y se dice que 𝑃(𝑥, 𝑦) es el punto de la circunferencia unitaria que corresponde a t; así encontramos: sin 𝑡 = 𝑦 cos 𝑡 = 𝑥 tan 𝑡 = 𝑦 𝑥 csc 𝑡 = 1 𝑦 sec 𝑡 = 1 𝑥 cot 𝑡 = 𝑥 𝑦 Ejercicios propuestos Calcular y graficar las siguientes funciones trigonométricas, utilizando los ángulos 0°, 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, 220°, 270°, 300° y 360° con sus respectivas conversiones a radianes.  𝑦 = sin 𝜃
  42. 42. 38  𝑦 = cos 𝜃 Si una función 𝑃(𝑥, 𝑦) está en el cuadrante I, entonces x y y son positivas, por tanto, todos los valores de las funciones trigonométricas son positivos. Si 𝑃(𝑥, 𝑦) está en el cuadrante II, entonces x es negativo y y es positivo, y por lo tanto, el sin 𝑡 y csc 𝑡 son positivos, mientras que las otras cuatro funciones son negativas. Como el perímetro de la circunferencia unitaria U es 2𝜋 se obtiene el mismo punto 𝑃(𝑥, 𝑦) con 𝑡 + 2𝜋𝑛 para todo entero 𝑛. Es decir, los valores de las funciones trigonométricas se repiten en intervalos sucesivos de longitud 2𝜋, a este tipo de funciones se les llama funciones periódicas. Geométricamente esto significa que la gráfica 𝑓 se repite cuando las abscisas de los puntos toman valores en intervalos sucesivos de amplitud 𝑘. Si existe un mínimo número real positivo 𝑘 con esa propiedad, se dice entonces que 𝑘 es el periodo de 𝑓. Fórmulas trigonométricas para el negativo de un número sin(−𝑡) = − sin 𝑡 cos(−𝑡) = cos 𝑡 tan(−𝑡) = − tan 𝑡 Hay muchas relaciones entre las funciones trigonométricas, estas relaciones se les llama identidades trigonométricas fundamentales. Estas son: csc 𝑡 = 1 sin 𝑡 sec 𝑡 = 1 cos 𝑡 cot 𝑡 = 1 tan 𝑡 tan 𝑡 = sin 𝑡 cos 𝑡
  43. 43. 39 cot 𝑡 = cos 𝑡 sin 𝑡 (sin 𝑡)2 + (cos 𝑡)2 = 1 1 + (tan 𝑡)2 = (sec 𝑡)2 1 + (cot 𝑡)2 = (csc 𝑡)2 Derivadas de funciones trigonométricas A continuación se presentan las derivadas de las seis funciones trigonométricas. En el enunciado del teorema se supone que 𝑢 = 𝑔(𝑥) donde g es una función derivable y x se restringe a los valores para los que la función trigonométrica está definida. Teorema 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑢 = cos 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 cos 𝑢 = − sin 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 tan 𝑢 = (sec 𝑢)2 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 csc 𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 cot 𝑢 = −(csc 𝑢)2 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 sec 𝑢 = sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢
  44. 44. 40 Ejemplo Encontrar 𝑦′ para: 𝑦 = sin 𝑥 1 + cos 𝑥 𝑦′ = [(1 + cos 𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 − sin 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 (1 + cos 𝑥)] (1 + cos 𝑥)2 𝑦′ = (1 + cos 𝑥)(cos 𝑥) − (sin 𝑥)(− sin 𝑥) (1 + cos 𝑥)2 𝑦′ = cos 𝑥 + (cos 𝑥)2 + (sin 𝑥)2 (1 + cos 𝑥)2 = 1 + cos 𝑥 (1 + cos 𝑥)2 = 1 1 + cos 𝑥 𝑦 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑦′ = sec 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 tan 𝑥 + tan 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 sec 𝑥 𝑦′ = sec 𝑥 (sec 𝑥)2 + tan 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) 𝑦′ = (sec 𝑥)3 + sec 𝑥 (tan 𝑥)2 𝑦′ = sec 𝑥 ((sec 𝑥)2 + (tan 𝑥)2) = sec 𝑥 (1 + (tan 𝑥)2 + (tan 𝑥)2 ) 𝑦′ = sec 𝑥 (1 + 2(tan 𝑥)2 ) Ejercicios propuestos Encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 para  𝑦 = cos(5𝑥3)  𝑦 = (tan 4𝑥)3  𝑦 = 𝑒−3𝑥 tan 2𝑥  𝑦 = (sec(3𝑥 − 1))2  𝑦 = 2 sin 𝑥 + cos 2𝑥  𝑦 = sec √𝑥 − 1
  45. 45. 41  𝑦 = 𝑥3 cos ( 1 𝑥 )  𝑦 = cos(3𝑥2 ) + (cos 3𝑥)2  𝑦 = 𝑥2 csc 5𝑥  𝑦 = cos4𝑥 1−sin4𝑥  𝑦 = csc3𝑥 𝑥3+1 Funciones hiperbólicas Si la función seno hiperbólico que se denota como sinh 𝑥 y la función coseno hiperbólico que se denota como cosh 𝑥 se definen como: sinh 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 2 cosh 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 2 Para todo número real x. Teorema (cosh 𝑥)2 − (sinh 𝑥)2 = 1 Definición tanh 𝑥 = sinh 𝑥 cosh 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 2 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 2 = 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 coth 𝑥 = cosh 𝑥 sinh 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 2 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 2 = 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 sech 𝑥 = 1 cosh 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 csch 𝑥 = 1 sinh 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥
  46. 46. 42 Identidades 1 − (tanh 𝑥)2 = (sech 𝑥)2 (coth 𝑥)2 − 1 = (csch 𝑥)2 Derivadas 𝑑 𝑑𝑥 sinh 𝑢 = cosh 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 cosh 𝑢 = sinh 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 tanh 𝑢 = (sech 𝑢)2 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 coth 𝑢 = −(csch 𝑢)2 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 sech 𝑢 = − sech 𝑢 tanh 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 csch 𝑢 = csch 𝑢 coth 𝑢 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 Ejemplos  𝑓(𝑥) = √ 𝑥 tanh √ 𝑥 𝑓′(𝑥) = √ 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 tanh √ 𝑥 + tanh √ 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 √ 𝑥 𝑓′(𝑥) = √ 𝑥(sech √ 𝑥) 2 ( 1 2√ 𝑥 ) + tanh √ 𝑥 ( 1 2√ 𝑥 ) 𝑓′(𝑥) = √ 𝑥(sech √ 𝑥) 2 2√ 𝑥 + tanh √ 𝑥 2√ 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 2√ 𝑥 (√ 𝑥(sech √ 𝑥) 2 + tanh √ 𝑥)  𝑓(𝑥) = ln sinh 2𝑥
  47. 47. 43 𝑓′(𝑥) = 1 sinh 2𝑥 (cosh 2𝑥)(2) 𝑓′(𝑥) = 2 cosh 2𝑥 sinh 2𝑥 𝑓′(𝑥) = 2 coth 2𝑥

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