La integral definida

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Trabajo que describe el concepto de integral definida, usos, y explicaciones a detalles de la aplicación de la misma en distintos campos de la ciencia.

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La integral definida

  1. 1. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE VERACRUZ ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESOR ING. CARLOS MELESIO CARRILLO CONSUEGRA TRABAJO DE INVESTIGACIÓN TEMA: LA INTEGRAL DEFINIDA INTEGRANTES: BASULTO ALMEIDA MAURICIO ALBERTO JIMÉNEZ MENDOZA ANDRÉS GIOVANNI LEAL HERNÁNDEZ ARLETTE MARTÍNEZ SÁNCHEZ JOSÉ FRANCISCO REYES LLANOS LUIS ARTURO GRUPO: 602 FECHA DE ENTREGA: VIERNES, 06 DE JUNIO DE 2014
  2. 2. INTRODUCCIÓN Dentro del estudio del cálculo integral, un tema que tiene bastante importancia y es necesario recalcar es la integral definida, debido a sus aplicaciones y su misma concepción, esencial para el entendimiento de diversos términos matemáticos. Además de ello, la integral definida cuenta con diversos elementos, parámetros y lineamentos para poder ser aplicada dentro de las funciones, siendo el teorema fundamental del cálculo una de ellas, por lo que en el siguiente proyecto abordaremos de manera ordenada y sistemática cada una de esas partes indispensables para lograr a comprender y a aplicar de la manera correcta esta integral, y de esta manera, hacer fácil y sencillo el entendimiento de la misma, además de abordar las diversas aplicaciones prácticas que tiene dando ejemplos para hacer la explicación más clara y concisa. Notación de la integral definida Supongamos que es continua para . La integral definida de , de a se escribe: Y es el límite de las sumas izquierda o derecha, con subdivisiones de cuando se hace arbitrariamente grande. En otras palabras, A cada una de esas sumas se les llama sumas de Riemann, a se le llama integrando y a a y b se les llama limites de integración. El Teorema Fundamental del Cálculo Las dos grandes ramas del cálculo: el cálculo diferencial (de la mano del problema de la recta tangente) y el cálculo integral (de la mano del problema del área); ambos problemas tienen entre ellos una intima conexión, descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que constituye el llamado, con toda justicia, teorema fundamental del Cálculo.
  3. 3. Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la integración (definida) son operaciones mutuamente inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que muestra la Figura 1. Cuando definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente (pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de una región bajo una curva, usamos el producto (area de un rectangulo). Así pues, en su primer paso derivacion e integracion son operaciones inversas. El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas. Figura 1 Expresemos ahora el Teorema Fundamental del Cálculo: Si es una función continua en el intervalo cerrado y es una primitiva de en entonces, Estrategia para usar el Teorema Fundamental del Cálculo ● Al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo es conveniente la siguiente notación.
  4. 4. Por ejemplo: ● No es necesario agregar una constante de integración C en la primitiva, ya que: ● Se debe comprobar la continuidad de la función en el intervalo delimitado por los límites de integración, esto es que: Por ejemplo, si queremos determinar: Primero debemos analizar el dominio del integrando, que como observamos, es una función racional, por lo que el denominador debe ser distinto de 0, entonces, el dominio queda definido como: Y como nos damos cuenta, al analizar los límites de integración, observamos que: Podemos comprobarlo efectuando la integral definida, de la siguiente forma: Como sabemos, el logaritmo natural de cero no existe, por lo tanto, tampoco existe solución para esta integral definida, cosa que ya habíamos determinado al analizar el dominio de la función junto con el intervalo de integración. ● Al aplicar el TFC a una función con valor absoluto, lo más recomendado es hacer una descomposición de la función, como lo muestra el siguiente ejemplo:
  5. 5. Al aplicar la definición de valor absoluto vemos que, De ahí que se pueda romper la integral en dos partes, Aplicaciones de la integral definida Existe una diversidad enorme de aplicaciones de la integral definida en muchas ciencias, el siguiente listado muestra algunas aplicaciones de la integral definida.  Para determinar el área bajo una curva.  Para determinar el área entre dos curvas.  Para determinar el volumen de un sólido de revolución.  Para calcula la longitud de arco, o longitud de una curva.  Para calcular el valor promedio de una función.  Para el cálculo del trabajo en física.  Para la aplicación de la ley de Hooke en física.  Para calcular el trabajo necesario para levantar un cable en física.  Para el cálculo de la presión y la fuerza hidrostática en física.  Para el cálculo de los momentos y centros de masa en física.  Para calcular el excedente del consumidor en economía.  Para calcular la circulación sanguínea en biología.  Para calcular la capacidad cardiaca en biología.  Para el cálculo de la probabilidad de que un valor se encuentre entre otros dos valores.  Para el cálculo de los valores promedio, en probabilidad.  Para el cálculo de distribuciones normales en probabilidad.
  6. 6. Algunos ejemplos resueltos ~Trabajo~ Cuando una partícula está situada a una distancia de x pies del origen, una fuerza de actua sobre ella. ¿Cuánto trabajo se realiza al moverla de a ? Por lo tanto, el trabajo realizado es de 16.666 libras-pie. ~Ley de Hooke~ De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza necesaria para estirar un resorte x metros más que su longitud natural es . Una fuerza de 40 N se hace necesaria para sostener un resorte que ha sido estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo es realizado para estirar el resorte de 15 cm a 18 cm? Cuando el resorte se estira de 10 a 15 cm, la cantidad estirada es de 5 cm, que es lo mismo que 0.05 m. Esto significa que , entonces, Entonces y el trabajo realizado al estirar el resorte de 15 a 18 cm es, ~Centro de masa~ El centro de masa de una placa está colocado en el punto , en donde, Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r.
  7. 7. Primero colocamos el semicírculo como en la figura de la izquierda para que , y Aquí no necesitamos encontrar , ya que, por el principio de simetría, el centro de masa debe estar sobre el eje y, de modo que . El area de un semicirculo es , entonces, Por lo tanto el centro de masa está ubicado en ~Capacidad cardiaca~ Se emplea el método de dilución de colorante a fin de medir la respuesta o gasto cardiaco inyectado 6 miligramos de colorante en la arteria pulmonar de un paciente durante 12 segundos. Determina la capacidad cardiaca en litros por minuto si la concentración de tinta es . Sustituimos los valores en la ecuación de la capacidad cardiaca.
  8. 8. ~Circulación sanguínea~ Calcula el flujo de sangre de una arteria humana normal. Supón que , , y . (De acuerdo con estas unidades, el flujo de sangre se mide en por segundo). Área bajo una curva Hallar el área de la región S que se encuentra bajo la curva de a a b. Esto significa que S, ilustrada en la figura 2, está limitada por la grafica de una función continua [donde ], las rectas verticales y , y el eje x. Al estimar el área bajo una curva, se puede hacer uso de rectángulos con la misma base acomodados a lo largo del intervalo , como se demuestra en el siguiente ejemplo. Figura 2 Use rectángulos para estimar el área bajo la parábola de 0 a 1(la region parabolica S ilustrada en la Figura 3).
  9. 9. Primero nótese que el área de S debe estar entre 0 y 1 porque S está contenida en un cuadrado con longitud 1 de lado, pero podemos ciertamente mejorar esto. Suponga que dividimos S en cuatro franjas S1, S2, S3 y S4 trazando las rectas verticales como en la figura (a). Podemos aproximar cada franja por un rectángulo cuya base es la misma que la de la franja y cuya altura es igual que el borde derecho de la franja [vea Figura (b)]. En otras palabras, las alturas de estos rectángulos son los valores de la función en los puntos extremos derechos de los subintervalos . Cada rectángulo tiene ancho de ¼ y las alturas son . Si hacemos R4 la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtenemos De la figura (b) vemos que el área A de S es menor que R4, de modo que, En lugar de usar los rectángulos de la Figura (b) podríamos usar los rectángulos
  10. 10. más pequeños de la Figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. (El rectángulo de la extrema izquierda se ha colapsado porque su altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación es Vemos que el área A de S es mayor que L4, de modo que Sin embargo, ahora tenemos estimaciones superior e inferior para A (o S), por lo que concluimos que La exactitud del área aumenta conforme se vayan haciendo más subdivisiones n, de esta forma, decimos que: Para una función definida en el intervalo , si es continua en y , el area A bajo la curva en esta dada por Sin embargo, el sumatorio que aparece en el límite es conocido como suma de Riemann y se puede expresar lo siguiente: Dada la función , definida en el intervalo cerrado y una particion como la definida para la suma de Riemann sobre dicho intervalo la integral definida esta dada por Ahora podemos calcular con exactitud el área bajo la curva explicada al principio; primero habíamos concluido que Efectuemos la integral definida para encontrar el valor exacto. Si nos damos cuenta, el valor obtenido cumple con la desigualdad obtenida mediante los rectángulos. Algo que se debe tomar en cuenta al aplicar la integral definida para obtener el área bajo una curva son las siguientes reglas.
  11. 11. Si entonces Si entonces Realicemos algunos ejercicios para comprobar el uso de estas sencillas reglas. Calcula el área de la región limitada por la curva , el eje x, el eje y y la recta Puesto que el coeficiente de la es positivo, la curva es una parabola que se abre hacia arriba; ademas, tenemos que si , entonces , o sea, y son las intersecciones en x de , de donde podemos esbozar su grafica, que aparece en la figura del costado, conjuntamente con las regiones de las que se va a calcular su área. De acuerdo con la figura tenemos que Calculemos a continuación el valor del área de cada región
  12. 12. Calcula el área de la región limitada por la curva , el eje x, el eje y y la recta Observando la grafica de la izquierda, nos damos cuenta que la curva sobre la que se obtendrá el área en el intervalo es positiva en el mismo. Por lo tanto, la formula que utilizaremos será la siguiente. Realizando las operaciones resulta Área entre dos curvas Considere la región S que está entre las dos curvas y y entre las rectas verticales y donde y son funciones continuas y .
  13. 13. Así como hicimos para áreas bajo curvas, dividimos S en n franjas de anchos iguales y luego aproximamos la i-ésima franja por medio de un rectángulo con base y altura (Vea la Figura 6 en la siguiente página. Si nos parece, podríamos tomar todos los puntos muestrales de los puntos extremos derechos, en cuyo caso .) La suma de Riemann: Es por tanto una aproximación a lo que intuitivamente consideramos como el área de S. Figura 6 Esta aproximación parece mejorar cada vez más cuando . Por tanto, definimos el área A de la región S como el valor límite de la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación. Reconocemos el límite en la ecuación anterior como la integral definida de . En consecuencia, tenemos la siguiente fórmula para el área. El área A de la región acotada por las curvas , y y las rectas y , donde y son continuas y es, Resolvamos algunos problemas para reafirmar la aplicación de esta fórmula.
  14. 14. Encuentre el área de la región acotada arriba por , acotada abajo por y acotada a los lados por y . La región se muestra en la figura de la izquierda, la curva de frontera superior es y la curva de frontera inferior es . Entonces usamos la formula con , , y . Encuentre el área de la región acotada por las parábolas y . Primero encontramos los puntos de intersección de las parábolas al resolver sus ecuaciones simultáneamente. Esto da ; ; ; de modo que y . Los puntos de intersección son (0,0) y (1,1). De acuerdo a la grafica observamos que la curva de frontera superior es y la curva de frontera inferior es . Apliquemos la formula con , , y .
  15. 15. Aplicaciones a las ciencias de lo económico-administrativo Valor presente y futuro de un flujo constante Cuando se revisan los pagos hechos a o por un individuo, por lo general se imagina uno pagos discretos, esto es, hechos en determinados momentos en el tiempo. Sin embargo, podemos imaginar que los pagos hechos por una empresa son continuos. Por ejemplo, las utilidades ganadas por una gran corporación llegan esencialmente durante todo el tiempo, por lo que se pueden representar por un flujo o corriente de ingreso continuo. Como la rapidez con la que se gana la utilidad puede variar de un momento a otro, el flujo de ingreso se describe con: Observamos que es la tasa a la que se hacen depósitos. Sus unidades son por ejemplo dólares por año, y que esa tasa depende del tiempo t, que por lo general se mide en años a partir del presente. El valor presente representa la cantidad de dinero que habría que depositar hoy en una cuenta bancaria a interés, para igualar lo que se ganaría con el flujo de ingreso. El valor futuro representa la cantidad total de dinero obtenida depositando el flujo de ingreso en una cuenta bancaria, dejándolo que gane intereses. Ejemplo. Calcular el valor presente y futuro de un flujo constante de ingreso de 100 dólares por año durante un periodo de 20 años, suponiendo una tasa de interés de 10% compuesto continuamente. Solución. Hacemos y , entonces
  16. 16. Superávit del consumidor y del productor El punto donde las curvas de las funciones de oferta y demanda se cruzan se conoce como punto de equilibrio, dicho punto otorga el denominado precio de equilibrio . El superávit del consumidor es la cantidad total de dinero ahorrado por los consumidores por comprar al precio de equilibrio en lugar de comprar al precio que hubieran estado dispuestos a pagar. El superávit del productor es la cantidad de dinero gastado por los productores por vender a precio de equilibrio en lugar de hacerlo al precio que hubieran estado dispuestos a pagar. Es muy importante recalcar que es el valor positivo en el que la funcion de la demanda se hace cero; y que es el valor positivo en el que la función de la oferta se hace cero. Ejemplo. La demanda de un artículo que se vende a x dólares es , mientras que la de la oferta es . Calcula el superavit del consumidor y del productor. Solución. Calculemos primero el superávit del consumidor, obteniendo para dicho objetivo el valor de , para esto: Ahora obtengamos el precio de equilibrio, entonces: Ahora sustituimos: Para el superávit del productor obtengamos a
  17. 17. Excedente del consumidor Una función de demanda representa las cantidades de un artículo que podrían comprarse a varios precios. Si el precio del mercado es y la correspondiente demanda del mercado es , entonces, aquellos consumidores que estuviesen dispuestos a pagar un precio mayor que el de este mercado, ganan, por el hecho de que el precio es solamente . El excedente del consumidor mide la riqueza económica desde el lado del comprador. Bajo ciertas hipótesis económicas, la ganancia del consumidor se representa por el área situada bajo la curva de demanda y por encima de la recta . Marshall denomina a esta area excedente del consumidor y se evalúa de la siguiente forma: Donde la función de demanda es , o también si la función de demanda es entonces: Y donde es el valor de cuando . Ejemplo. Si la función de demanda es hallar el excedente del consumidor si .
  18. 18. Superávit de consumo según la función de suministro La función de suministro para un artículo da la relación entre el precio de venta y el número de unidades que los fabricantes producirán a ese precio. Para un precio más alto, los fabricantes producirán más unidades, así que es una funcion creciente de . Sea X la cantidad del artículo que se produce actualmente, y sea el precio actual. Algunos vendedores estarían dispuestos a hacer y vender el producto por un precio de venta menor y, por lo tanto reciben más que su precio mínimo. Este exceso se llama superávit de consumo, el cual está dado por: Ejemplo. Calcule el superávit de consumo para la función de suministro al nivel de ventas . Solución. Consideremos y encontremos evaluando Entonces.
  19. 19. Ley de Ingresos de Pareto La Ley de Ingresos de Pareto expresa que el número de personas con ingresos entre y es: Donde A y k son constantes con y . El promedio de ingreso de estas personas es: Ejemplo. Calcule el número de personas con ingresos entre $3.00 y $5.00 dólares para A=20 y k=2, y también el promedio de ingreso de estas personas. Solución. Calculemos primero el valor de N con los valores otorgados, de la siguiente forma. Ahora con la solución obtenida, calculemos el promedio de ingreso.
  20. 20. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
  21. 21. CONCLUSIONES La integral definida es un tema de suma importancia dentro del cálculo integral y de la matemática general, pues sus aplicaciones tienen alcances bastante amplios, útiles y sumamente importante, en ramas y áreas como el aspecto industrial, la resolución de problemas planteados, tanto de las matemáticas propias como de la física y algunos conceptos de la misma, sean trabajo, presión, fuerza hidrostática, momentos y centros de masa, entre otras; cosas que sin la ayuda y aplicación de la integral definida serían demasiado complejas y aún, imposibles de resolver. Por ende, su estudio resulta bastante importante en su estudio y análisis, para llegar a entender desde una perspectiva matemáticamente analítica cómo se aplica y cómo funciona dentro del cálculo. Una herramienta indispensable. Reyes Llanos Luis Arturo Como una conclusión personal y a lo mejor un poco vaga, puedo opinar del tema en general de la Integral Definida, que es muy útil en lo que se refiere a la vida que llevamos día a día, ya que sus aplicaciones nos facilitan la existencia, las cuales se mencionan en este informe, como por ejemplo: para calcular la circulación sanguínea en biología, la capacidad cardiaca en biología, para el cálculo de los valores promedio, en probabilidad, entre otros. Y sí, este tema también abarca ciertas materias, tales como la física, economía, biología, probabilidad, entre otros. Tal vez y a algunas personas se les haga un poco difícil, tanto el Cálculo Diferencial como el Cálculo Integral, pero yo creo que con un poco de empeño, dedicación y sobretodo paciencia, se puede llegar a comprender mejor las aplicaciones del Cálculo. Partiendo a otro tema, el Teorema Fundamental del Cálculo, como ya se expuso en el informe, este Teorema nos dice en pocas palabras que la derivación y la integración son operaciones inversas, ya que si integramos una función que es continua, y luego la derivamos, llegamos de nuevo a la función original, no está de más mencionar que este Teorema fue desarrollado por el matemático Isaac Barrow y que con los aportes de Isaac Newton y de Gottfried Leibniz, este teorema pudo ser enunciado y demostrado. Leal Hernández Arlette La integral definida es una herramienta que revolucionó a las matemáticas y otras ciencias en muchos aspectos, ya que es capaz de comprobar y resolver problemas muy complejos que, sin ella, sería muy difícil hacerlo y no se tendría tal exactitud que esta tiene. Cabe destacar que se debe agradecer a las personas que contribuyeron y aportaron al desarrollo de esta y reconocerles lo valioso que fue su aporte a la historia.
  22. 22. En conclusión la integral definida es una de las herramientas más eficaces de hacer cálculos no sólo de áreas, sino de volúmenes e infinidad de usos, puede parecer compleja para algunos, y lo es, pero conociéndola y sabiendo aplicar todas las reglas que se deben seguir, puede ser muy fácil de utilizarla y desarrollarla. Martínez Sánchez José Francisco La integral definida, que se puede tomar una herramienta de calculo importantísima no tan solo por sus usos actuales, si no por la gran influencia que ha tenido en muchas otros tópicos de las matemáticas y física aplicadas a nivel industrial, ya que al utilizarlas en el cálculo de áreas, volúmenes de distintas regiones y sólidos de revolución, son de gran ayuda en las bases de distintas ramas de las ciencias exactas, como análisis de estructuras, estabilidad y control, mecánica de fluidos y dinámica entre muchas otras áreas donde se ven involucradas las integrales definidas. Basulto Almeida Mauricio Alberto Sin duda, la integral definida es un tema muy importante del cálculo; ya que resuelve una de las problemáticas que dieron origen a una rama del mismo, el cálculo integral. Sabemos que puede ser un tema difícil de captar a la primera, ya que no es sencillo aprenderse tantas formulas como las que aparecen aquí, pero si es posible, con la dedicación, el esfuerzo, y principalmente, el gusto por el tema. Conocer la importancia y aplicaciones de la integral definida en otras ramas de la ciencia, nos ayuda también a darnos cuenta del peso que tiene el cálculo en la ciencia, y del hecho de que, en cualquier lugar que estemos, estará presente. Jiménez Mendoza Andrés Giovanni

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