Calculo determinantes n x n

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Calculo determinantes n x n

  1. 1. Determinantes Proyecto e-Math 3 Cálculo de determinantes Determinantes de orden 2 (asociados a matrices 2x2) Cuando A es una matriz 2x2 hay 2! = 2 permutaciones del par (1 2); éstas son: {(1 2), (2 1)}. Entonces, el determinante de A contendrá los dos términos: a11 ⋅ a22 ⋅ signatura(1 2) y a12 ⋅ a21 ⋅ signatura(2 1) Como signatura(1 2) = (-1) 0 = 1 y signatura(2 1) = (-1) 1 = -1, el determinante de orden 2 será: 2221 1211 aa aa = a11 ⋅ a22 - a12 ⋅ a21 2221 1211 aa aa Ejemplo: 231583.5)4.(2 43 52 −=−−=−−= − Determinantes de orden 3 (asociados a matrices 3x3) Si A es una matriz 3x3, su determinante (de orden 3) vendrá dado por: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Ejemplo: [ ] [ ] 68831560)1(2416910 5.4.31).1.(14).2).(3(1.4.4)3).(1.(35).2.(1 514 123 341 −=−=+−+−++−= =+−+−−−+−−+−= − − −
  2. 2. Determinantes Proyecto e-Math 4 Determinantes de orden superior a 3 (asociados a matrices nxn con n>3) En el caso de determinantes de orden superior a 3 (es decir, asociados a matrices de tamaño nxn con n > 3), la expresión resultante tiende a complicarse, por lo que recurriremos al método de desarrollo por adjuntos para su cálculo. Primero de todo, fijémonos en la disposición de signos siguientes (similar a las casillas blancas y negras en un tablero de ajedrez): +−+− −+−+ +−+− −+−+ Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer: 1. Elegir aquella fila o columna que tenga el mayor número de ceros (si ninguna línea tiene ceros, se coge una línea cualquiera). 2. Cada uno de los elementos de la línea dará lugar a un sumando, el cual se obtendrá como se explica en el paso siguiente. 3. Para cada elemento de la línea seleccionada, éste se multiplica por su correspondiente determinante adjunto (aquel determinante resultante de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento seleccionado). A dicho adjunto le precederá el signo que corresponda a la posición ocupada por el elemento seleccionado (según la tabla de signos arriba indicada). Ejemplo matriz 4x4: = −− −− − − == −− −− − − 1131 1923 2742 2311 mos}desarrollalaycolumna1ªla{elegimos 1131 1923 2742 2311 15... 192 274 231 )1( 113 274 231 3 113 192 231 )2( 113 192 274 1 == −− − − ⋅−+ −− − − ⋅+ −− −− − ⋅−+ −− −− − ⋅= + + - -
  3. 3. Determinantes Proyecto e-Math 5 Ejemplo matriz 5x5: = −− == −− 44333 21111 11111 11000 11222 fila}2ªlaporamos{desarroll 44333 21111 11111 11000 11222 = − ⋅− − ⋅+ −− ⋅− −− ⋅+ −− ⋅−= 4333 1111 1111 1222 1 4333 2111 1111 1222 1 4433 2111 1111 1122 0 4433 2111 1111 1122 0 4433 2111 1111 1122 0 = {al multiplicar por 0, los 3 primeros sumandos se eliminan; el último determinante también se anula} = == − = línea}2ªlaporamos{desarroll 4333 2111 1111 1222 =⋅+ − ⋅− − ⋅+ − ⋅−= 333 111 222 1 433 211 122 1 433 211 122 1 433 211 122 )1( = {los dos primeros determinantes se anulan mutuamente, pues son iguales pero de signo cambiado; el último determinante también se anula} = ( )[ ] [ ] [ ] 01717)8123(1238 1.2.43.2.23.1).1(3.2.2)1.(3.14.1.2 433 211 122 =−−=++−−+−−= =++−−+−+−= − −= + +- - -

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