Operaciones con matrices

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Operaciones con matrices

  1. 1. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES CON MATRICES 1 Ing. Luis David Narváez
  2. 2. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 GENERALIDADES Traza De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los valores de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo: La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5 2             7513 070 985
  3. 3. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Suma de dos matrices Sean dos matrices conformables para la suma (mismo orden), se define la suma como: [C] m,n = [A] m,n + [B] m,n La matriz [C] tendrá el mismo orden de [A] ó [B]. Cada elemento de C es la suma del correspondiente elemento de [A] y [B] ci,j = ai,j + bi,j Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n + = 3        97 23         57 48       140 25
  4. 4. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Resta de dos matrices Sean dos matrices conformables para la resta (mismo orden), se define la resta como: [C] m,n= [A] m,n - [B] m,n La matriz [C] tendrá el mismo orden de [A] ó [B]. Cada elemento de C es la resta algebraica de los correspondientes elementos de [A] y [B] ci,j = ai,j - bi,j Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n Ejemplo - = 4        97 23         57 48        414 611
  5. 5. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Propiedades de la Suma y Resta Matricial Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar • [A]m,n , [B]m,n , [C]m,n • [A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa • [A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa • k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un escalar por la izquierda o derecha en la suma • Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] 5
  6. 6. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Producto de una matriz por un escalar Sea k un escalar y la matriz [A]m,n, se define la muliplicación de una matriz por un escalar como [C]m,n = k [A]m,n En donde ci,j = k ai,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n) Ejemplo [C] = 3 [A] 3 = 6        97 23        2721 69
  7. 7. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Producto de dos matrices Dos matrices se dice ser conformables para la multiplicación si: [A]ma,na [B]mb,nb El número de columnas de [A] es igual al número de filas de [B] El producto de dos matrices es [C]ma,nb= [A]ma,n x [B]mb,nb Con ci,j= Sk=1 ai,k x bk,j (i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na) 7 = na
  8. 8. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES x = Ejemplo [C]ma,nb= [A]ma,na x [B]mb,nb Son conformables para la multiplicación ya que na = mb 8       132 201       0 1 1 2     2 5 0 3 1 4
  9. 9. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Leyes de la suma y la Multiplicación Sean tres matrices [A] [B] [C] conformables para la suma y multiplicación Primera Ley Distributiva [A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] Segunda Ley Distributiva ([A] + [B]) [C] = [A] [C] +[B] [C] Ley Asociativa [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] En general 1) [A] [B] [B] [A] 2) [A] [B] = [0] No necesariamente [A] = [0] o [B] = [0] 3) [A] [B] = [A] [C] No necesariamente [B] = [C] 9 
  10. 10. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Matriz Transpuesta Sea la matriz [A]ma,na , la matriz transpuesta se define como: [A]mb,nb en donde ai, j = aj, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......na mb = na y nb = ma También se denotar como [A]’ [A] = [A] = 10 T TT       5 4 7 1 3 2           5 7 3 4 1 2
  11. 11. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 OPERACIONES Propiedades de la Matriz Transpuesta Sean las matrices [A] [B] con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar i) [A’]’= [A] ii) (k [A])’ = k [A]’ La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas ( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’ La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden inverso de sus transpuestas. ( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’ 11
  12. 12. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 TIPOS DE MATRICES Matriz Identidad [ I] o Unidad Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la diagonal principal es uno y valor cero en todos los demás elementos. [ I] = 12           100 010 001
  13. 13. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Cero o Nula Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos es cero.           000 000 000 13 Ejemplo [ 0 ] = [ 0 ] = TIPOS DE MATRICES
  14. 14. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Opuesta o Negativa. - [A] Se obtiene de la matriz [A] multiplicando cada elemento por el escalar -1              128 954 421             128 954 421 14 Ejemplo Sea la matriz [A] = -1 [A] = TIPOS DE MATRICES
  15. 15. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matrices Iguales Son aquellas que tienen el mismo orden y cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra. [A] = [B] ai,j = bi,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... n Ejemplo 15             075 876 243             075 876 243= TIPOS DE MATRICES
  16. 16. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matrices Conmutativas Son aquellas matrices para las cuales se cumple : Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que [A] x [B] = [B] x [A] = 16       14 41       14 41       36 63       36 63 TIPOS DE MATRICES
  17. 17. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Diagonal Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal. [ F ] = 17           2100 0100 004 B TIPOS DE MATRICES
  18. 18. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Escalar Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal principal, que tienen el mismo valor. a11 =a22 =a33 =a44 = k donde k es un escalar 18              400 040 004 B= B B = -4 [ I ] TIPOS DE MATRICES
  19. 19. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Triangular Superior Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte superior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero. El valor de los elementos abajo de la diagonal principal es cero ai j = 0 para i > j Ejemplo 19            200 470 642 TIPOS DE MATRICES
  20. 20. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Ejemplo Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte inferior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero. El valor de los elementos arriba de la diagonal principal es cero. ai j = 0 para i < j 20            276 041 002 TIPOS DE MATRICES
  21. 21. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matrices simétricas Aquellas que cumplen con: [A]’ = [A]. Propiedad Si [A] es una matriz cuadrada [A] + [A]’ es simétrica Ejemplo: la matriz [A] es simétrica ya que: 21            258 514 843            258 514 843[A]’ = [A] = TIPOS DE MATRICES
  22. 22. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta (o negativa) de su transpuesta. Necesariamente los elementos de la diagonal principal tienen el valor de cero. [A] = - 1 [A]’ Ejemplo La matriz [A] es antisimétrica ya que: 22           058 504 840              058 504 840 -1 [A]’ = [A] = TIPOS DE MATRICES
  23. 23. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Periódica Aquella matriz [A] para la cual [A]k+1= [A] Donde k es un entero positivo Se dice que la matriz es de un periodo k 23              321 431 422 [A]x [A] = [A] [A] = Ejemplo: [A] es periódica, con periodo 1 TIPOS DE MATRICES
  24. 24. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Idempotente Es una matriz Periódica con período 1 Ejemplo 24              321 431 422 [A]x [A] = [A] [A] = TIPOS DE MATRICES
  25. 25. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Inversa Si [A] y [B]-1 son matrices cuadradas, conformables para la multiplicación, la matriz Inversa [B]-1 es aquella que cumple con: [A] x [B]-1 = [B]-1 [A] = [ I] A la matriz [B]-1 se le llama matriz Inversa de [A] Ejemplo de matrices Inversas: 25          421 331 321              101 011 326 x =           100 010 001 MATRIZ INVERSA
  26. 26. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Adjunta Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada. La manera de construirla es la siguiente: 1. Construir la matriz de cofactores. cofactores[M] 2. Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] )T adj [A] = ( cofactores [M] )T 26 MATRIZ ADJUNTA
  27. 27. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Adjunta Ejemplo Sea una matriz [A])= Con su correspondiente matriz de cofactores cofactores [M] = Entonces adj [A] = 27             572 024 331              14126 13116 242010              141324 121120 6610 MATRIZ ADJUNTA
  28. 28. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Propiedades de la Matriz Adjunta [A] x adj [A] = (| A |) [ I ] Ejemplo Sea [A]= |A| = - 2 y adj [A] = Entonces: x 28             572 024 331           100 010 001 = ( -2)              141324 121120 6610             572 024 331              141324 121120 6610 MATRIZ ADJUNTA
  29. 29. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Propiedades de la Matriz Adjunta La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al producto de las adjuntas de las matrices adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A] 29 MATRIZ ADJUNTA
  30. 30. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que [A] x adj [A] = | A | [ I] Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando: [A] = [I] Entonces [A] –1 = 30 || ][ A Aadj || ][ A Aadj MATRIZ INVERSA
  31. 31. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Ejemplo Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2 Entonces [A] –1 =(-1/2) 31             572 024 331              141324 121120 6610              141324 121120 6610 MATRIZ INVERSA
  32. 32. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Transformaciones elementales en una matriz.... Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz. Se k un escalar diferente a 0 1. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de la fila uno por los elementos de la fila tres. 2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas. 3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k . 32 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
  33. 33. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Transformaciones elementales en una matriz 4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un escalar k. 5. La suma a los elementos de una fila de k veces los correspondientes elementos de otra fila. 6. La suma a los elementos de una columna de k veces los correspondientes elementos de otra columna. 33 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
  34. 34. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matrices Equivalentes Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de la otra por una secuencia de transformaciones elementales. Se denotan como [A]  [B] Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango 34 MATRIZ EQUIVALENTE
  35. 35. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales Pasos: 1. A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte derecha la matriz identidad, de orden m . [ [ A ] [ I] ] quedando una matriz aumentada 2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz identidad [ I] en el lugar en que estaba la matriz [A]. Y en el lugar en que estaba la matriz [ I] queda la matriz inversa [ [ I] [ A ]-1 ] 35 MATRIZ INVERSA
  36. 36. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales…. Sea [A] = 1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [ I] ] = 2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [I] Se intercambian los renglones 1 y 2  2da fila = 2da fila + 3 1era fila  36     1 0 0 1 4 5 1 3     0 1 1 0 5 4 3 1      3 1 1 0 7 4 0 1       41 53 MATRIZ INVERSA
  37. 37. 42 5 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales…. 2da fila = (-1/7) 2da fila  1a fila = 1a fila –4 2da fila  [ A ]-1= 37         7/37/1 7/57/4      7/3 1 7/1 0 1 4 0 1       7/3 7/5 7/1 7/4 1 0 0 1 MATRIZ INVERSA

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