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La resitencia   para k= 0,1,2,3,,,,,,n-1, como las resistencias están                                                 LINE...
TABLA II.                                                                          k        xk        Rk      rk          ...
Para calcular el voltaje de alimentación VF , es ne-                                                                      ...
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  1. 1. estigac ón i Academ ia Método para linealizar la salida de un sensor Des arrolloInv Ciencia Rigoberto Quintero RESUMEN Este trabajo es un aporte en el diseño de sistemas Camacho1 de medición, por cuanto permite calcular el valor de En este artículo se presenta un método sencillo la resistencia constante, que debe colocarse en para- para linealizar un sensor. El método consiste en en- lelo con la resistencia variable, de tal manera que la contrar un valor fijo para una resistencia que se co- salida de un censor resistivo resulte lineal; investiga- loca en paralelo con la resistencia variable, además ción que nació como un aporte propio en un trabajo para probar el método se muestra un ejemplo en el como estudiante de la cátedra de Instrumentación, que se linealiza un termistor (resistencia que varia en la especialización en Bioingeniería. con los cambios de temperatura), el cual es utilizado para el diseño de un circuito de medición de voltaje, en donde se requiere que la salida sea lineal. LINEALIZACIÓN DE UN SENSOR Palabras clave: Linealizacion, Sensor, Resisten- Supongamos que el sistema (sensor) que se esta cia de linealizacion, Regresión Lineal diseñando tiene una resistencia variable R(x), la cual varia no linealmente de acuerdo con una variable Method for Linealizar the Exit of a Sensor independiente x (por ejemplo la temperatura) que pertenece al intervalo [a , b], esta situación la repre- sentamos mediante el circuito de la figura 1, linealizar ABSTRACT el sistema consiste en establecer una metodología In this paper a simple method for lining a sensor para diseñar el sistema de tal manera que la salida is presented. The method consists in finding a sea lineal fixed value for a resistance put parallel together with the variable resistance, an example, in which a termistor is lined, is shown as well, in order to test the method. This method is used for designing R(x) + a voltage measuring circuit, where the output is -- required to be lineal. INTRODUCCIÓN Figura 1. circuito con una resistencia variable Comprender el funcionamiento de los seres vivos El método consiste en encontrar una resistencia no solamente desde el punto de vista de la fisiología fija en paralelo, la cual llamaremos resistencia de si no también desde la ingeniería; este es uno de los linealización RL, esta situación la mostramos en la principales objetivos de la bioingeniería, por cuanto figura 2 de esta comprensión depende el éxito en la solución de problemas en el campo de la medicina como: El transplante de órganos, reconstrucción total o par- Linealizar un cial de las extremidades, corrección de problemas sensor consiste de visión entre otros. + en encontrar el RL R(x) - valor de la El diseño de aparatos de medición de alta preci- resistencia que sión para sensar el comportamiento de los sistemas debe colocarse vivos, es de suma importancia para el logro de los objetivos anteriormente expuestos, uno de los re- Figura 2. Circuito en paralelo con una en paralelo con quisitos cuando se diseñan estos aparatos de medi- resistencia fija de linelizacion Rl la resistencia ción es la linealidad de su salida (por ejemplo en un variable medidor de voltaje que depende de la temperatura, CÁLCULO DE RL la variación del voltaje por unidad de temperatura debe ser constante), es así como en este articulo se Supongamos que tomamos n valores de la varia- 1 Miembro Grupo de Investigación presenta un modelo muy sencillo para linealizar la ble x en el intervalo [a, b], y se toman n valores de la Informática Educativa (GIIE) de la Universidad Distrial Francisco salida de un sensor y este método se prueba resistencia R(x) sean dichos valores; (x0, R0), (x1,R1) , José de Caldas. linealizando un resistor. (x2,R2), ..., (xn-1 ,Rn-1), además, podemos suponer que los xk están ordenados de menor a mayor, esto es: Artículo recibido en Abril de 2003 Aceptado en Junio 2003 a=x0<x1<x2<x3<…….xn-1=b, con lo cual Rk = R(xk), 82 Vol. 8 No.1 No.1 Ingeniería
  2. 2. La resitencia para k= 0,1,2,3,,,,,,n-1, como las resistencias están LINEALIZACIÓN DE UN TERMISTOR en un semicon- en paralelo, entonces la resistencia equivalente [1]esta dada por: Los termistores son resistencias sensibles a la tem- ductor decrece peratura, estos se fabrican de materialesexponencialmente semiconductores tales como los óxidos de níquel, con la Rk R L (1) rk = r ( x k ) = cobalto o manganeso y sulfuros de hierro, aluminio temperatura Rk + R L o cobre. Los óxidos semiconductores, al contrario de los metales, muestran un decremento en la resis- como lo que se busca es que la respuesta rk sea tencia con un incremento en la temperatura. La rela- lineal, entonces tenemos que: ción entre la resistencia R(x) como función de la tem- ri − r j peratura x del termistor se muestra a continuación: m= , para todo (2) i ≠ j xi − x j (2) 1 1 β( − ) i = 0,1,2,....., n − 1 j = 0,1,2,....., n − 1 R ( x ) = R0 e x x0 (11) donde Ro es la resistencia del termistor a la tempe- donde m es una constante real (pendiente de la ratura x0 y β es una constante del material, llamada la recta), en particular podemos encontrar m así: si de- temperatura característica del material, claramente la finimos rmax = r ( x max ) y rmin = r ( x min ) , enton- ecuación anterior nos indica que la salida de un ces: termistor es no lineal, en la tabla1 y la Fig. 3 se mues- rmax − rmin tra la salida de un termistor (con una constante de m= (3) auto calentamiento de 2mV/oC) para diseñar un ter- x max − x min mómetro el cual se quiere que opere en un rango en- de otra parte reemplazando a cada rk definido en tre 20 y 42 grados centígrados (1) en (2) tenemos: k xk Rk 1 20 2492 Ri R L − R j RL (4) TABLA I. 2 22 2282 Ri + R L R j + R L RESISTENCIA DEL 3 24 2090 m= para todo i, j 4 26 1915 xi − x j TERMISTOR RK EN 5 28 1757 OHMS A UNA 6 30 1611 luego: TEMPERATURA XK 7 32 1481 EN GRADOS 8 34 1360 Ri R L R j RL r −r CELSIUS − = m( x i − x j ) = ( max min )( x i − x j ) para todo i, j 9 36 1251 Ri + R L R j + R L x max − x min 10 38 1152 11 40 1060 remplazando tenemos: 12 42 982 Ri R L − R j RL  R R R R   xi − x j  =  max L − min L    para todo i, j (5) RESISTENCIA SIN LINEALIZAR Ri + R L R j + R L  R max + R L R min + R L   x max − x min    2380 RESISTENCIA EN (OMN) 2180 factorizando R L tenemos que: 1980 Ri Rj  Rmax Rmin   xi − x j  RL ( − Ri + R L R j + R L ) = RL  −   para todo i, j  Rmax + R L Rmin + R L   x max − x min  (6) 1780 1580 como R L es distinto de cero tenemos 1380 1180 Ri Rj  Rmax Rmin   xi − x j  (7) − = −   para todo i, j 980 Ri + R L R j + R L  Rmax + R L Rmin + R L   x max − x min  20 25 30 35 40 45 TEMPERATURA EN (CENTIGRADOS) como Rmax = R( xmax ) = R( b ) = Rb y Rmin = R( xmin ) = R( a ) = Ra Figura 3. Salida del termistor remplazando en (7), y además como la igualdad es cierta para todo i,j entonces se puede tomar i=n: como se observa la salida es no lineal, por lo tanto  Rb Ra   b − x j  para linealizar la salida se debe calculara RL en la ecua- (8) Rb Rj − = −   para todo j = 1,2,3....., n − 1 Rb + R L R j + R L  Rb + R L R a + R L   b − a    ción (10 ), para lo cual se requiere el valor de p, el cual si definimos: p = b − x j ,tenemos que: se calcula mediante la ecuación p= b− xj donde j es b−a b−a Rj  Rb Ra  cualquier valor entre 1 y 12, en este caso elegimos j = Rb − = −  p para todo j = 1,2,3....., n − 1 Rb + R L R j + R L  Rb + R L R a + R L  (9) 7 es decir el valor central de la temperatura xj = 32, así 42 − 32 despejando R L en 9 se tiene: que p= = 0.4545 , y para calcular RL , utilizamos 42 − 20 la formula 10, esto es: Ra ( Rb − R j ) − pR j ( Rb − Ra ) RL = para todo j = 1,2,3……,n-1 (10) p( Rb − Ra ) − Rb + R J 2492 (982 − 1481) − 0.4545 (982 − 2492) RL = = 1212,55 0.4545 (982 − 2492) − 982 + 1481 con , Dado que la salida de los termistores es no lineal, a continuación se presenta un ejemplo en el se este valor aplicamos la ecuación (1) a los valores de linealiza un termistor la tabla 1 y obtenemos la tabla 2 y la Fig 4, Vol. 8 No.1 No.1 83 Ingeniería
  3. 3. TABLA II. k xk Rk rk la salida de un sistema de medición sea lineal, es una RESISTENCIA RK 1 2 20 22 2492 2282 815,7 791,8 característica importante del sistema por cuanto el LINEALIZADA 3 24 2090 767,4 cambio en la respuesta por unidad de la variable in- 4 5 26 28 1915 1757 742,4 717,4 dependiente es constante. 6 30 1611 691,8 7 32 1481 666,7 8 9 34 36 1360 1251 615,7 641 SENSIBILIDAD 10 11 38 40 1152 1060 590,7 565,6 La sensibilidad en un punto a de un sistema f(x), 12 42 982 542,6 se define como la derivada en ese punto, en el caso del termistor al sensibilidad mide la variación de la RESISTENCIA 850 resistencia por unidad de temperatura, por lo tanto LINEALIZADA la sensibilidad de la resistencia linealizada es la pen- RESITENCIA EN (ohms) 800 diente de la recta (-12,52), o también se puede tomar 750 700 650 la medida aproximada de la sensibilidad en cada pun- 600 to mediante la aproximación: 550 r ( x k +1 ) − r ( x k ) 500 S ( xk ) = (12) 20 25 30 35 40 45 x k +1 − x k TEMPERATURA EN (oC) Figura 4. Salida de la resistencia linealizada ESTIMACIÓN DEL ERROR Una forma de probar que efectivamente la salida Además del error de estimación del modelo de es lineal es utilizar del método de los mínimos cua- mínimos cuadrados, el cual se define como ek=rk- drados [2] para ajustar los datos (xk , rk) a una recta y r(xk), se debe calcular el error que se comente en la verificar mediante el coeficiente de determinación medición y se define como la razón entre el error de del modelo, la tabla de análisis de varianza y las prue- estimación del modelo y la sensibilidad esto es: ek S ( x k ) , aplicando la relación (12 ) y la formula del Ek = bas sobre los parámetros de modelo que los datos se ajustan a un modelo lineal [2], lo cual se puede reali- error en los datos de la tabla 2 se obtiene la tabla 6, zar con cualquier paquete estadístico. Las tablas 3, 4, notamos que el error de medición para el termistor 5 de salida de computadora, sobre la idoneidad del da en unidades de temperatura modelo se muestran a continuación: TABLA VI. SENSIBILIDAD EN (OHMS/OC) TABLA III. TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA Y ERROR DE MEDICIÓN EN (OC) xk Rk rk S(XK) r(XK) eK EK Gr.lib S.deC C:M F V.C deF 20 2492 815,7 -11,93 816,85 -1,18 0,099 Regresión 1 89730 89730 140021 4,6E-22 22 2282 791,8 -12,23 791,80 0,02 -0,001 Residuos 10 6,41 0,64 24 2090 767,4 -12,46 766,75 0,61 -0,049 Total 11 89737 26 1915 742,4 -12,51 741,70 0,74 -0,060 28 1757 717,4 -12,80 716,65 0,78 -0,061 TABLA IV. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y 30 1611 691,8 -12,57 691,60 0,23 -0,018 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN DEL MODELO 32 1481 666,7 -12,84 666,55 0,15 -0,011 34 1360 641,0 -12,64 641,50 -0,48 0,038 Coeficiente de correlación 1,000 36 1251 615,7 -12,49 616,45 -0,71 0,057 Coeficiente de determinación R^2 1,000 38 1152 590,7 -12,59 591,40 -0,65 0,052 R^2 ajustado 1,000 40 1060 565,6 -11,50 566,35 -0,78 0,067 42 982 542,6 541,30 1,28 Error típico 0,801 SENSIBILIDAD PROMEDIO -12,41 Observaciones 12 Es de anotar que la sensibilidad promedio como TABLA V.PARÁMETROS DEL MODELO Y PRUEBA T PARA LOS MISMOS es de esperarse es parecida a la pendiente de la recta estimada. Coeficientes Estadístico t Probabilidad Intercepción 1067,35 1004,05 0,00 Pendiente -12,52 -374,19 0,00 DISEÑO DEL CIRCUITO DE MEDICIÓN Modelo R(x)=-12,52x+1067,05 Usando un montaje potenciometrico de pendien- Si la salida de como se puede verificar en las tablas tanto el co- te negativa se diseña un circuito de medición, dicho un sistema de eficiente de correlación como el de determinación circuito se presenta en el siguiente gráfico: medición es son aproximadamente iguales 1 lo que indica que los datos se ajustan a un modelo lineal, además la prue- lineal; un cambio ba F del modelo, la que se muestra en la tabla de de escala se análisis de varianza, demuestra también que el mo- R(xx) reduce a un delo es lineal y este hecho se refuerza con la prueba VF + problema de t , para los parámetros del modelo que indica que la RL V(xk) regla de tres pendiente de la recta no es cero, así podemos afir- simple. mar que el modelo es : r (x)=-12,52x+1067,05. Que Figura 5. Circuito de medición84 Vol. 8 No.1 No.1 Ingeniería
  4. 4. Para calcular el voltaje de alimentación VF , es ne- CURVA DE VOLTAJE DE SALIDAcesario tener en cuenta que para el termistor que se 0,48esta diseñando, la potencia que se disipa dentro de 0,46 VOLTAJE EN (VOLTIOS)él, no calienta mas 0.05oC, con lo cual como el 0,44 0,42termistor tiene la característica de que el 0,40 0,38autocalentamiento es de 2mV/oC, luego La poten- 0,36cia de disipación es (0.05).2=0.1mV = 0.0001V , 0,34 0,32además utilizando un divisor de voltaje [1]se obtiene 0,30 20 25 30 35 40 45la siguiente relación: TEMPERATURA (0C) Figura 6. Salida de voltaje V (xk ) = R( x k ) (13) VF R( x k ) + R L TABLA XI. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y donde RL es la resistencia de linealizacion calcula- COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN DEL MODELOda anteriormente, si tomamos R( x k ) = Rb − Ra = Rc y Coeficiente de correlación 1,00para este valor de la resistencia encontramos un va- Coeficiente de determinaciónlor Vc , mediante la formula para el calculo de la po- R^2 1,00tencia P = V , en particular Vc = PRc y remplazando el 2 R R^2 ajustado 1,00la ecuación (13) tenemos: Vc = Rc que despejando Error típico 0,00 VF Rc + R LVF tenemos: Observaciones 12 ( Rc + R L )Vc ( Rc + R L ) PRc TABLA XI. PARÁMETROS DEL MODELO Y VF = = Rc Rc (14) PRUEBA T PARA LOS MISMOS para el caso particular de este resistor Coeficientes Estadístico t Probabilidad Rc = 1510 , R L = 1212,55 , P = 0.0001 ,y remplazando es- Intercepción 0,617 1004,054 0,0000tos valores en (14) tenemos: Pendiente -0,007 -374,194 0,000 (1510 + 1212.55) (0.0001).(1510) Modelo V(x)=-0,007x+0,617 VF = = 0.707 1510 este valor se remplaza en (13), para obtener la salida Se observa que los errores de medición de la tem-de voltaje la cual se muestra en la tabla 7 que contiene peratura en el caso del voltaje (que se calculan utili-también los valores de la sensibilidad y el error de zando las formulas que se usaron para el calculo demedición, la Fig 6 muestra la salida de voltaje en fun- los errores para la resistencia) son los mismos en elción de la temperatura, donde se observa que efecti- caso de resistencia, como era de esperarse.vamente es lineal, esto se corrobora ajustando los da-tos, de la temperatura contra voltaje, a un modelo li-neal[2] como se puede verificar mediante las tablas 7, CONCLUSIONES8 y 9, por lo tanto el modelo V(x)=-0,007x+0,617 , 1. El uso adecuado de los conceptos matemáticosajusta perfectamente la salida de voltaje como el de derivada, linealidad nos conducen a resultados de mucha utilidad en la ingeniería.TABLA VII. SALIDA DE VOLTAJE, SENSIBILIDAD Y ERROR DE MEDICIÓN 2. Es posible utilizar esta metodología en el caso de xk Rk Vk S(XK) V(XK) eK EK sensores capacitivos solamente que la capacitancia 20 2492 0,4713 -0,0069 0,472 -0,0007 0,099 variable y la capacitancia fija van en serie. 22 2282 0,4575 -0,0071 0,458 0,0000 -0,001 24 2090 0,4434 -0,0072 0,443 0,0003 -0,049 3. La linealizacion de un sensor es importante por 26 1915 0,429 -0,0072 0,429 0,0004 -0,06 cuanto la sensibilidad del sistema de medición es constante. 28 1757 0,4145 -0,0074 0,414 0,0005 -0,061 30 1611 0,3997 -0,0073 0,400 0,0001 -0,018 32 1481 0,3852 -0,0074 0,385 0,0001 -0,011 34 36 1360 1251 0,3704 0,3558 -0,0073 -0,0072 0,371 0,356 -0,0003 -0,0004 0,038 0,057 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 38 1152 0,3413 -0,0073 0,342 -0,0004 0,052 [1] DAVID E. JONSON , JOHNNY R JONSON Y METER D S<COTT, Análisis Básico de Circuitos Eléctricos Prentice may, 40 1060 0,3268 -0,0066 0,327 -0,0004 0,067 Quinta Edición . 42 982 0,3135 0,313 0,0007 SENSIBILIDAD [2] SCHEAFFER MCCLAVE, Probabilidad y Estadística para Inge- PROMEDIO -0,007 niería, Grupo Editorial Iberoamérica Segunda Edición. TABLA VIII. ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EL VOLTAJE Rigoberto Quintero Camacho Gr.lib S.deC C:M F V.C deF Profesor de Matemáticas de la Facultad de Ingeniería, Licenciado en Regresión 1 0,029958 0,03 140021 4,57E-22 Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional, Especialista en Es- Residuos 10 2,00E-06 2,00E-07 tadística Universidad Nacional, Especialista en Bioingeniería Univer- sidad Distrital. Total 11 0,02996 Vol. 8 No.1 No.1 85 Ingeniería

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