ATIVIDADE 1 - SISTEMAS DISTRIBUÍDOS E REDES - 52_2024.docx
4 sistemas com um grau de liberdade
1. Vibração e Ruido
Universidade Metodista de Angola
Faculdade de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala
1
2. Programa
3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.1-Resposta em vibração livre não amortecida
3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento
viscoso
3.3-Resposta me Vibração livre amortecida
3.4-Movimento harmonico da base de suporte
3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Davyd da Cruz Chivala 2
3. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.1-Resposta em vibração livre não amortecida
Davyd da Cruz Chivala 3
4. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.1-Resposta em vibração livre não amortecida
Davyd da Cruz Chivala 4
5. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
Davyd da Cruz Chivala 5
6. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
Assumindo solução do tipo q(t ) = Ce λt (1) teremos:
mλ2 + cλ + k = 0 que se pode tambem escrever λ2 + c λ + k = 0
2
c c k m m
A solução desta equação λ1, 2 = − ± −
2m 2m m
λ t
subistituindo na eq.1 teremos: q(t ) = C1e + C2eλ t 1 2
c 2 c 2
− c k t − c k t
+ − − −
q (t ) = C1e
2m 2m m 2m 2m m
+ C2 e (2)
2
c k
−
t
2
− c − k
t
2m
c 2m m
−
q(t ) = e C1e
2m m
+ C2 e
Analizando (2) temos:
c
−
1. o termo e 2 m eh exponencialmente decrescente
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7. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
2
c k
>
2. Quando 2m os expoentes serão numeros reais e
m
não ocorrera oscilações, nestas condições o sistemas
chaman-se superamortecidos
2
c k
<
3. Quando
2m m os expoentes serão numeros
imaginarios e ocorrerão oscilações , caracteristica de um
movimento oscilatorio subamortecido
2
c k
4. Quando
= tem caracteristica de amortecimento
2m m
critico, quando perturbabo o sistema não oscila e volta
rapidamente para a posição de equilibrio.
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8. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
Coeficiente de amortecimento cc = 2mωn
C C
Factor de amortecimento ξ = =
Cc 2 km
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9. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido (0 < ξ < 1)
2
c c k
A equação λ1, 2 =− ± − tambem pode ser escrita
2m 2m m
da seguinte forma λ1, 2 = −ξωn ± ωn ξ 2 − 1 subistituindo em
(2) temos q (t ) = e −ξωnt C1eωn ξ 2 −1t
+ C2 e −ωn ξ 2 −1t
e apois manipulações
matematicas chega-se a: q(t ) = e −ξωnt [A cos(ωd t ) + B sin (ωd t )] (3)
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10. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido (0 < ξ < 1)
Em que ωd = ωn 1 − ξ 2 conhecida como frequencia
angular natural amortecida
A e B obtidas por condições iniciais de deslocamento e de
velocidade A = q(0 )
q(0 ) + ξωn q(0 )
B=
ωn 1 − ξ 2
outra forma comun de apresentar (3)
q(t ) = Ce −ξω t sin (ωd t + φ )
n
(q(0) + ξωn q(0))2 + (q(0)ωd )2
C=
ωd
q(0 )ωd
φ = tan −1
q(0 ) + ξωn q(0 )
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11. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido (0 < ξ < 1)
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12. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2.2-Movimento superamortecido (ξ > 1)
−ξ + ξ −1 ω n t
2 −ξ 2 − ξ 2 −1 ω t
q(t ) = Ae
n
2
A solução eh dada por
+ Be
A e B são obtidas por condições iniciais
A=
( )
q(0 ) + ξ + ξ 2 − 1 ωn q(0 )
2ωn ξ 2 − 1
B=
( )
q(0 ) + ξ − ξ 2 − 1 ωn q(0 )
2ωn ξ 2 − 1
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13. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2.2-Movimento superamortecido (ξ > 1)
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14. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.2.3-Movimento superamortecido (ξ = 1)
A solução é dada por q(t ) = e [(q(0) + ωntq(0))t + q(0)]
−ω t
n
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15. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.3-Decremento logaritmico
(0 < ξ < 1)
q(t ) = Ce −ξωnt sin (ωd t + φ )
q0 Ce −ξωnt sin (ωd t + φ ) t1 = t0 + t d
δ = ln ln −ξωnt1
q Ce
1 sin (ωd t1 + φ )
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16. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.3-Decremento logaritmico
apois manipulações algebricas temos:
2πξ
δ=
1− ξ 2
Ou ainda da forma
δ
ξ=
4π 2 + δ 2
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17. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicio
Calcula a equação do movimento e a frequencia natural
não amortecida do sistema
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18. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicio
Considere um sistema massa-mola-amortecedor com
massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m
conforme figura abaixo. Estime os coeficientes
equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste
sistema
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19. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicio
Davyd da Cruz Chivala 19
20. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicio
Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de
comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro
molas lineares e uma torcional, como mostra a figura
abaixo. Determine a frequencia natural não amortecida
se K = 2000 N m, K t = 1000 N .m rad , l = 5m
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21. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicio
Davyd da Cruz Chivala 21
22. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicio
Determine a equação de movimento e frequençia natural
da barra rigida OA de comprimento l e massa m,
conforme figura abaixo.
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23. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicio
Davyd da Cruz Chivala 23
24. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4-Vibrações forçadas
Considere a equação do movimento massa-mola-
amortecedor no caso em que temos uma força
harmonica actuando no sistema
mq + cq + kq = F (t ) sendo F(t) harmonica teremos: F (t ) = F sin (ωt )
Em que F é a amplitude da força e é medida em N
mq + cq + kq = F sin (ωt ) esta equação é diferencial não
ordinaria e a solução é dada pela soma das
Davyd da Cruz Chivala 24
25. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4-Vibrações forçadas
q(t ) = qh (t ) + q p (t ) ou seja a soma da solução
homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e
de uma solução particular que adimite-se que seja do
tipo: q = Aeiωt
subistituindo em mq + cq + kq = F (t ) teremos:
(
)
− mω 2 + k + iωc Aeiωt = Feiωt e a solução particular é dada por:
k − mω 2 − iωc
q(t ) =
1 i ωt
Fe = Feiωt
− mω 2 + k + iωc (
k − mω 2 + (ωc )
2 2
)
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26. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4-Vibrações forçadas
k − mω 2 − iωc
q(t ) = Feiωt = H (ω )Feiωt aonde
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2
k − mω 2 − iωc
H (ω ) = =
A
( )
em que a parte imaginaria é:
k − mω 2 + (ωc )
2 2
F
q (t ) =
(
− cω cos ωt + k − mω 2 sin ωt ) F=
F
sin ωt − tg −1
cω
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2 k − mω 2
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27. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4-Vibrações forçadas
A equação q(t ) = qh (t ) + q p (t ) tem solução:
cω
q(t ) = e −ξωnt ( A1 cos ωa t + A2 sin ωa t ) +
F
sin ωt − tg −1 2
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2 k − mω
A solução geral é composta por um termo transitorio e
um estacinario.
A amplitude da resposta forçada é dada por:
F F 1 ω
A= = β=
(k − mω ) + (ωc )
2 2 2 k (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
ωn
Davyd da Cruz Chivala 27
28. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4-Vibrações forçadas
O factor de ampliação é dado por:
Ap k
M (ξ , β ) =
A 1
= =
Ast F (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
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29. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.1-Ressonância
Ocorre quando a frequencia de exitação é igual a
frequencia natural do sistema
Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois
induzem vibrações de grandes amplitudes ao sistema
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30. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.1-Ressonância
O pico de resonância que é o valor maximo de M é
obtido por:
dM (ξ , β ) ω
= 0 ⇒ β = 1 − 2ξ 2 =
dβ ωn
1
E M max =
2ξ 1 − ξ 2
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31. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
No caso em que temos maquinas rotativas com massa
desbalanceada, o sistema é excitado por esta massa a
sua velocidade angularω com a sua excentricidade ε
Davyd da Cruz Chivala 31
32. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
A força de desbalance é: Fe (t ) = m0 eω 2 sin (ωt )
A equação do movimento é dada mq + cq + kq = m0 eω 2 sin (ωt )
A amplitude de vibração em regime permanente sera
dada por
m0 eω 2 k
qp =
(1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
Davyd da Cruz Chivala 32
33. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
A quantidade m0 e representa a quantidade de
desbalanceamento do sistema. Em geral m0 e é obtido a
partir de teste experimental para procurar adidionar
massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez
que esta excitação em niveis muito grandes pode
Comprometer o funcionamento de uma maquina e
siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo
m0 eω 2 k
qp = por m obtém-se o factor de
(1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
Amplição adimensional Λ(ξ , β )
Davyd da Cruz Chivala 33
34. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
mq p β2
= Λ (ξ , β ) =
m0 e (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
Davyd da Cruz Chivala 34
35. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
1 1
Λ max = e ocorre quando β max =
2ξ 1 − ξ 2 2ξ 1 − ξ 2
Davyd da Cruz Chivala 35
36. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
No caso em que a base de suporte do sistema sofre um
movimento harmonico
Davyd da Cruz Chivala 36
37. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
A equação diferencial do movimento:
mq + c(q − y ) + k (q − y ) = 0
ou mq + cq + kq = cy + ky
O deslocamento do suporte é harmonico dado por y = Yeiωt
E a resposta sera da forma q = Aei (ωt −φ ) subistituindo na
equação do mov. Teremos
1 + (2ξβ ) 2ξβ 2
2
e φ = tg
−1
A=Y
(1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2 (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
Davyd da Cruz Chivala 37
38. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
A relação A/Y é conhecida como transmissibilidade
1 + (2ξβ )
2
A
=
Y (1 − β ) + (2ξβ )
2 2 2
Davyd da Cruz Chivala 38
39. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Transmissibilidade de forças, consiste em estudar
mecanismo de modo a minimiza os esforços transmitidos
as fundações ou lugar aonde esta apoiada as maquinas
As forcas transmitidas são por dois processos: atravez
da rigides K z dos amortecedores C
Davyd da Cruz Chivala 39
40. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
A força transmitida f tr = Kq + cq
Davyd da Cruz Chivala 40
41. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Admitindo excitação harmonica, a magnitude e fase da
força aplicada e das outras forças sera:
F ap = Fap eiωt e a resposta ao sistema sera dado por
1
A= Fap assim a força transmitida sera
k − mω + iωc
2
Davyd da Cruz Chivala 41
42. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
k + i ωc
Ftr = KA + iωcA = Fap
k − mω + iωc
2
1 + (2ξβ )
2
Ftr
Transmissibilidade=TR= =
Fap (1 −β ) + (2ξβ )
2 2 2
Graficamente temos:
Davyd da Cruz Chivala 42
43. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Verifica-se que Fap e Ftr são iguais no ponto em que β = 2
Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando ω > 2ωn
Davyd da Cruz Chivala 43
44. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicios
1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um
isolador não-amortecido, composto de quatro molas em
paralelo com rigidez de 2×10 2 N m em cada mola.
Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude
em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a
magnitude da força que excita esta maquina nesta
velocidade?
Davyd da Cruz Chivala 44
45. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicios
Davyd da Cruz Chivala 45
46. 3-Sistemas com um grau de Liberdade
Exercicios
Davyd da Cruz Chivala 46