Vibração e Ruido em Sistemas com Dois Graus de Liberdade
1. Vibração e Ruido
Universidade Metodista de Angola
Faculdade de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala
1
2. Programa
4-Sistemas com dois graus de Liberdade
4.1-Introdução
4.2- Equação do movimento
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
4.4- Transformação de coordenadas.
Desacoplamento
4.5-Resposta a uma solicitação inicial
4.6-Sistemas Semi-definidos
4.7-Resposta a solicitação harmonica
4.8- Metodos de determinação das frequencias
naturais
4.8.1-Equação de Dunkerley
Metodo de Rayleigh
Davyd da Cruz Chivala 2
3. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.1-Introdução
Inumeros sistemas podem ser facilmente modelados
com um grau de liberdade, ou seja existe nestes
sistemas uma equação que relaciona todas as
coordenadas que definem a dinamica do sistema.
No caso de sistema com dois graus de liberdade, nestes
sistemas não existe esta equação, e assim os elementos
possuem dinamica distintas.
Sistemas com dois graus de liberdade tem doid estados
naturais de vibração e que são conehcidos por modos
naturais de vibração.
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4. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.2-Equação do movimento
Considere o sistema seguinte
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5. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.2-Equação do movimento
Pelas equação de Newton temos:
m1 1 = f1 (t ) − c1 x1 − k1 x1 − k 2 ( x1 − x2 ) − c2 ( x1 − x2 )
x
(1)
m2 2 = f 2 (t ) − c3 x2 − k3 x2 − k 2 ( x2 − x1 ) − c2 ( x2 − x1 )
x
Que pode ser escrita da seguinte forma:
m1 1 + (c1 + c2 )x1 + (k1 + k 2 )x1 − c2 x2 − k 2 x2 = f1 (t )
x
(2)
m2 2 + (c2 + c3 )x2 + (k 2 + k3 )x2 − c2 x1 − k 2 x1 = f 2 (t )
x
As equações (1) e (2) não são independentes pois
possuem termos de x1 e x2, e nestas condições o
sistema diz-se acoplado.
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6. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.2-Equação do movimento
A equação dois na pode ser escrita na forma matricial
fazendo
m1 0 c1 + c2 − c2
0 m = [M ] − c = [C ]
c2 + c3
2 2
k1 + k 2 − k2 (3)
−k = [K ]
k 2 + k3
2
As matrizes apresentadas acima são as matrizes de
massa, amortecimento e de rigidez.
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7. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.2-Equação do movimento
x1 (t ) f1 (t )
= {x(t )} = { f (t )} (3)
x2 (t ) f 2 (t )
{ ( )} { ( )}
Os vectores x t ; f t são os vectores de
deslocamento e de força. Assim a equação (2) escreve-
se:
[ ]{ ( )} [ ]{ ( )} [ ]{ ( )} { ( )}
M t + C x t + K x t = f t
x (4)
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8. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
• Na ausencia de amortecimento e de forças
perturbadoras exteriores o sistema se reduz
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9. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
E as equações reduzem-se
m11 + (k1 + k 2 )x1 − k 2 x2 = 0
x
m2 2 − k 2 x1 + (k 2 + k3 )x2 = 0
(5)
x
Que representam duas equações diferencias
homogenias e simultâneas.
Se k1 + k 2 = k11 ; k 2 + k3 = k 22 e − k 2 = k12 = k 21 que
são os elementos da matriz de rigidez e que
m1 = m11 , m2 = m22 e 0 = m12 = m21 os
elementos da matriz de massas e teremos:
Davyd da Cruz Chivala 9
10. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
m11 1 + k11 x1 − k12 x2 = 0
x
(6)
m22 2 − k 21 x1 + k 22 x2 = 0
x
Assumindo que as massas m1 e m2 podem possuir
frequencias e angulo de fase inicial iguais teremos:
x1 (t ) = X 1 cos(ωt + φ )
(7)
x2 (t ) = X 2 cos(ωt + φ )
Ande X1 e X2 representam as amplitudes
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11. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Subistituindo (7) em (6) temos:
[{− m ω + (k + k )}X − k X ]cos(ωt + φ ) = 0
1
2
1 2 1 2 2
[− k X + {− m ω + (k + k )}X ]cos(ωt + φ ) = 0
2 2 2
2
2 3 2
(8)
Uma vez em que os termos de cossenos não podem ser
iguais a zero, então teremos:
{− m ω + (k + k )}X − k X = 0
1
2
1 2 1 2 2
− k X + {− m ω + (k + k )}X = 0
2 (9)
2 2 2 2 3 2
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12. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Verifica-se que a eq.(9) é uma equação algebrica
simultanea, e que a solução trivial desta é X1=X2=0,
neste caso não existe vibração. A solução não trivial
calcula-se fazendo o determinante dos coeficientes de
X1 e X2 igual a zero.
{ }
− m1ω 2 + (k1 + k 2 ) − k2
=0
{ }
det
− k2 − m2ω + (k 2 + k3 )
2
Ou (10)
(m1m2 )ω 4 − {(k1 + k2 )m2 + (k2 + k3 )m1}ω 2 + {(k1 + k2 )(k2 + k3 ) − k22 } = 0
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13. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Resolvendo (10) obtemos:
1 (k1 + k 2 )m2 + (k 2 + k3 )m1
ω ,ω =
2
1
2
2
2 m1m2
2 12
1 (k1 + k 2 )m2 + (k 2 + k3 )m1 (k1 + k 2 )(k 2 + k3 ) − k
2 2
− 4
2
2
m1m2 m1m2
Pode verificar que teremos: X 1(1) e X 21) correspondentes a
(
ω
1 e X 1(2 ) e X 22 ) correspondentes a ω2
(
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14. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Atendendo ao facto de que (8) é homegenea somente
{
os racios r1 = X 21) X 1(1)
(
} e {
r2 = X 22 ) X 1(2 )
(
} são
calculaveis.
X 21) − m1ω12 + (k1 + k 2 )
(
k2
r1 = (1) = = (12)
X1 k2 − m2ω1 + (k 2 + k3 )
2
X 22 ) m1ω2 + (k1 + k 2 )
( 2
k2
r2 = (2 ) = =
X1 k2 − m2ω2 + (k 2 + k3 ) (13)
2
Davyd da Cruz Chivala 14
15. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Verifica-se que os resultados de (12) e (13) são
identicos.
Os modos normais de vibração correspondentes a ω12 e
a ω2 e são expressos por:
2
(1) X 1(1) X 1(1)
X = (1) = (1)
X 2 r1 X 1
(2 ) X 1(2 ) X 1(2 )
X = (2 ) = (2 )
X 2 1r2 X 1 (2 )
() e X
Os vectores X que denotam os modos
normais de vibração são conhecidos por Vectores
modais
Davyd da Cruz Chivala 15
16. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
A solução da vibração livre é dada por
(1) x1(1) (t ) X 1(1) cos(ω1t + φ1 )
x (t ) = (1) = (1)
primeiro modo (14)
x2 (t ) r1 X 1 cos(ω1t + φ1 )
(2 ) x1(2 ) (t ) X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 ) segundo modo (15)
x (t ) = (2 ) =
x2 (t ) r2 X 1 cos(ω2t + φ2 )
(2 )
Nas equações (14) e (15) as constantes X 1(1) , X 1(2 ) , φ1 e φ2
São determinados por condiçãoes iniciais
Davyd da Cruz Chivala 16
17. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
x1 (t = 0 ) = X 1(1) = const.qualquer e x1 (t = 0 ) = 0
x2 (t = 0 ) = r1 X 1(1) e x2 (t = 0 ) = 0
Davyd da Cruz Chivala 17
18. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
A solução por sobreposição dos dois movimentos é dado
por:
(1) (2 )
x (t ) = x (t ) + x (t )
Rescrevendo teremos:
x1 (t ) x1(1) (t ) + x1(2 ) (t ) = X 1(1) cos(ω1t + φ1 ) + X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 ) (11)
=
x2 (t ) = x21) (t ) + x22 ) (t ) = r1 X 1(1) cos(ω1t + φ1 ) + r2 X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 )
( (
Se tivermos as condições iniciais
x1 (t = 0 ) = x1 (0 ) x1 (t = 0 ) = x1 (0 )
x2 (t = 0 ) = x2 (0 ) x2 (t = 0 ) = x2 (0 ) (12)
Davyd da Cruz Chivala 18
19. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Subistituimos (12) em (11) para calcular as constantes
(1) (2 )
X 1 , X 1 , φ1 , eφ2 :
x1 (0 ) = X 1(1) cos φ1 + X 1(2 ) cos φ2
x1 (0 ) = −ω1 X 1(1) sin φ1 − ω2 X 1(2 ) sin φ2
(13)
x2 (0 ) = r1 X 1(1) cos φ1 + r2 X 1(2 ) cos φ2
x2 (0 ) = −ω1r1 X 1(1) sin φ1 − ω2 r2 X 1(2 ) sin φ2
Davyd da Cruz Chivala 19
20. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Resorvendo (13) obtemos:
(1)
[{ (1)
} {
X 1 = X 1 cos φ1 + X 1 sin φ1
2 (1)
}]2 12
=
{r2 x1 (0) − x2 (0)}
12
1
2
= {r2 x1 (0 ) − x2 (0 )} +
2
(r2 − r1 ) ω1 2
(2 )
[{ (2 )
} {
X 1 = X 1 cos φ2 + X 1 sin φ2
2 (2 )
}]2 12
=
{r1 x1 (0) − x2 (0)}
12
1
2
= {− r1 x1 (0 ) + x2 (0 )} +
2
(r2 − r1 ) ω2 2
Davyd da Cruz Chivala 20
21. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
X 1(1) sin φ1 −1 − r2 x1 (0 ) + x2 (0 )
φ1 = tan (1)
−1
= tan
X 1 cos φ1 ω1 [r2 x1 (0 ) + x2 (0 )]
X 1(2 ) sin φ2 −1 r1 x1 (0 ) + x2 (0 )
φ2 = tan (2 )
−1
= tan
X 1 cos φ2 ω2 [− r1 x1 (0 ) + x2 (0 )]
Davyd da Cruz Chivala 21
22. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Exemplo: Para a figura abaixo, calcule as frequencias
naturais e os modos de vibração.
Davyd da Cruz Chivala 22
23. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
Equação do movimento
m1 + 2kx1 − kx2 = 0
x
m2 − kx1 + 2kx2 = 0
x
Assumindo soluções harmonicas dada por:
x1 (t ) = X 1 cos(ωt + φ )
x2 (t ) = X 2 cos(ωt + φ )
A equação das frequencias é dada por
(− mω 2
+ 2k ) −k
= 0 ou m 2ω 4 − 4kmω 2 + 3k 2 = 0
−k (− mω 2
+ +2k ) Davyd da Cruz Chivala 23
24. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
As frequencias serão dadas por:
[ ]
12
4mk − 16k m − 12k m
2 2 2 2 12
k
ω1 = =
2m 2
m
[ ]
12
4mk + 16k 2 m 2 − 12k 2 m
2 12
3k
ω2 = =
2m 2
m
Os racios r1 e r2 serão:
(1)
X2 − mω12 + 2k k
r1 = (1) = = =1
X1 k − mω1 + 2k
2
X 22 ) − mω2 + 2k
( 2
k
r2 = (2 ) = = = −1
X1 k − mω2 + 2k
2 Davyd da Cruz Chivala 24
25. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
os modos naturais são dados por:
(1) k
X 1 cos m t + φ1
(1)
Primeiro modo x (t ) =
X (1) cos k t + φ
1 m 1
(2 ) 3k
X 1 cos
m t + φ2
(2 )
x (t ) =
− X (2 ) cos 3k t + φ
Segundo modo
1 m 2
Davyd da Cruz Chivala 25
26. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
graficamente teremos:
Davyd da Cruz Chivala 26
27. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
A equação que representa a dinamica do sisrema é:
k 3k
x1 (t ) = X 1
(1)
cos (2 )
t + φ1 + X 1 cos
m t + φ2
m
k 3k
x2 (t ) = X 1
(1)
cos
(2 )
t + φ1 − X 1 cos
m t + φ2
m
Davyd da Cruz Chivala 27
28. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
4.3.1-Sistemas torcionais
Considere o sistema torcional abaixo
Davyd da Cruz Chivala 28
29. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
4.3.1-Sistemas torcionais
os treis eixos the constantes de rigidez kt1 ; kt 2 ekt 3 os
discos tem momentos de inercia J1eJ 2 e sofrem os
torques de M t1eM t 2
A equação diferencial do movimento é dada por
J1θ = −kt1θ1 + kt 2 (θ 2 − θ1 ) + M t1
1
J θ = −k θ − k (θ − θ ) + M
2 2 t3 2 t2 2 1 t2
Davyd da Cruz Chivala 29
30. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
4.3.1-Sistemas torcionais
rearranjando a equação teremos:
J1θ + (kt1 + kt1 )θ1 − kt 2θ 2 = M t1
1
J θ − k θ + (k + k )θ = M
2 2 t2 1 t2 t3 2 t2
Davyd da Cruz Chivala 30
31. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
4.3.1-Sistemas torcionais
Exemplo2: calcule a frequencia natural e os modos de
vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que
J1 = J 0 , J 2 = 2J 0 e kt1 = kt 2 = kt
Davyd da Cruz Chivala 31
32. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
4.3.1-Sistemas torcionais
Exemplo2: calcule a frequencia natural e os modos de
vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que
J 0θ + 2ktθ1 − ktθ 2 = 0
1
2 J 2θ2 − ktθ1 + ktθ 2 = 0
2ω 4 J 0 − 5ω 2 J 0 kt + kt = 0
2 2
ω1 =
kt
4J0
(
5 − 17 ) ω2 =
kt
4J0
5 + 17 ( )
r =
θ( )
2
1
= 2−
(5 − 17 )
r2 =
θ( )2
2
= 2−
(5 + 17 )
θ (1 )
θ1(2 )
1
1 4 Davyd da Cruz Chivala 4 32
33. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
4.3.1-Sistemas torcionais
Exemplo3: calcule a frequencia natural e os modos de
vibração do sistema abaixo:
Davyd da Cruz Chivala 33