Dokumen tersebut membahas tentang metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear, khususnya metode titik tetap dan metode Newton-Raphson. Metode titik tetap menggunakan iterasi satu titik untuk memperoleh akar dari sistem persamaan tersebut, sedangkan metode Newton-Raphson memanfaatkan turunan fungsi untuk mempercepat konvergensi perhitungan. Diberikan contoh penerapan kedua metode untuk sistem persamaan

1. DAFTAR ISI<br />KATA PENGANTAR………………………………………………………….i<br />DAFTAR ISI……………………………………………………………………ii<br />BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………1<br />BAB II PEMBAHASAN……………………………………………………….2<br />A. Sistem Persamaan Nirlanjar…………………………………………………2<br />B. Metode Lelaran Titik Tetap………………………………………………….3<br />C. Metode Newton Raphson……………………………………………………11<br />BAB III PENUTUP…………………………………………………………….15<br />A. Kesimpulan…………………………………………………………………. 15<br />B. Saran…………………………………………………………………………16<br />Daftar Pustaka…………………………………………………………………..17<br />BAB I<br />PENDAHULUAN<br />Dalam permasalahan non-linier, terutama permasalahan yang mempunyai hubungan fungsi eksponensial dalam pembentukan polanya dapat dianalisis secara eksperimental maupun teoritis. Salah satu bagian dari analisa teoritis adalah dengan melakukan komputasi dengan metode numerik. Metode numerik dalam komputasi akan sangat membatu dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang rumit diselesaikan secara aritmatika. Metode numerik akan sangat membantu setiap penyelesaian permasalahan apabila secara matematis dapat dibentuk suatu pola hubungan antar variabel/parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola hubungan yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Ada sejumlah metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Dua diantaranya adalah metode Newton-Raphson dan metode Titik Tetap.<br />Pendekatan kedua metode yang berbeda ini dalam menyelesaikan persoalan yang sama, bisa dikomparasikan terhadap solusi akhir yang diperoleh. Kesesuaian nilai yang didapat dalam kedua metode ini, menunjukkan bahwa hasil perhitungan yang diperoleh adalah tepat. Secara komputasi, disamping ketepatan nilai akhir dari suatu metode juga akan mempertimbangkan kecepatan iterasi dalam perolehan hasil akhir. Kombinasi antara ketepatan dan kecepatan iterasi dalam metode numerik merupakan hal yang penting dalam penyelesaian permasalahan secara komputasi.<br />BAB II<br />PEMBAHASAN<br />Sistem Persamaan Tak Linier<br />Sampai kini, kita telah memutuskan perhatian kita pada penentuan akar-akar satu persamaan tunggal. Suatu masalah yang berkaitan adalah melokasikan akar-akar himpunan persamaan taklinier,<br />f1x1,x2,…..,xn=0 <br />f2x1,x2,…..,xn=0 <br />..<br />..<br />..<br />fnx1,x2,…..,xn=0 <br />Penyelesaian sistem ini terdiri dari himpunan nilai-nilai x yang secara simultat memberikan semua persamaan tersebut nilai yang sama dengan nol.<br />Di bagian tiga, kita akan menyajikan metode-metode untuk kasus dalam hal semua persamaan tersebut linear-yakni dapat dinyatakan dalam bentuk umum<br />fx= a1x1+ a2x2+…+ anxn - c = 0<br />Dengan c koefisien-koefisien a adalah konstanta. Persamaan-persamaan aljabar dan trasenden yang tidak cocok dengan bentuk ini disebut persamaan taklinear. Misalnya,<br />x2+ xy=5<br />Dan<br />y+2xy=15<br />Adalah dua persamaan taklinear simultat dengan dua bilangan anu, x dan y. Persamaan-persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai,<br />ux, y= x2+ xy-5=0<br />v x,y= y+2xy-15=0<br />Jadi, penyelesaian akan berupa nilai-nilai x dan y yang membuat fungsi ux, y dan v x,y sama dengan nol. Kebanyakan pendekatan untuk penentuan penyelesaian yang demikian merupakan perluasan dari metode-metode terbuka untuk menyelesaikan persamaan tunggal. Dalam pasal ini kita akan menyelidiki dua dari metode ini: iterasi satu titik dan Newton-Raphson.<br />Metode Lelaran Titik Tetap (iterasi satu titik)<br />Pendekatn iterasi satu titik dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan dua persamaan linear yang simultan. Metode leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua persamaan memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut dengan lelaran jacobi <br />xr+1=g1xr,yr <br />yr+1=g2xr,yr r = 0,1,2,….<br />kondisi berhentinya adalah xr+1- xr<ε dan yr+1- yr<ε. Kecepatan konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung langsung dipakai untuk menghitung yr+1. Jadi, <br /> xr+1=g1xr,yr<br />yr+1=g2xr+1,yr r = 0,1,2,… <br />Pendekatan ini akan diilustrasikan dalam contoh berikut:<br />Iterasi satu titik untuk sistem tak linear<br />Pernyataan masalah : Dengan menggunakan satu titik untuk menentukan akar-akar persamaan ux, y= x2+ xy-5=0<br />v x,y= y+2xy-15=0<br />Perhatikan bahwa sepasang akar yang benar adalah x=2 dan y=3. Awali komputasinya dengan menebak x=1 dan y=2. <br />Penyelesaian : persamaan tersebut dapat dipecahkan <br />xr+1= 5-xr2yr<br />Dan persamaan dapat dipecahkan untuk<br />yr+1=15-2xryr<br />Pehatikan bahwa selanjutnya dalam contoh diatas kita akan membuang tikalas (subskrip).<br />Berdasarkan tebakan awal, persamaan dapat dipakai untuk menentukan nilai x yang baru:<br />x= 5–(1)22=2<br />Hasil ini dan nilai y = 2 dapat disubtitusikan ke dalam persamaan untuk menentukan nilai y yang baru:<br />y=15-22= 11<br />Jadi, pendekatan tersebut kelihatannya divergen. Prilaku ini lebih jelas lagi pada iterasi yang keduax= 5–(2)211=0<br />y=15-22(0)= 15<br />Jelas pendekatannya semakin buruk.<br />Sekarang kita akan mengulangi komputasinya tetapi dengan persamaan semula disusun dalam bentuk berbeda. Misalnya, perumusan lain persamaan adalah:<br />x= 5-xy<br />Dan persamaan <br />y= 15-y2x<br />x= 5-12=1,73<br />y= 15-22(1,73)=13,27<br />x= 5-1,73(13,27)=imajiner<br />Karena pendekatannya semakin buruk maka kita ulang kembali kumputasinya dengan persamaan yang berbeda. Misalnya<br />x=5x+y<br />Dan persamaan<br />y= 151+2x<br />x=51+2=1.667<br />y= 151+21.667=3.461<br />x=51.667+3.461=0.975<br />y=151+2(0.975)=5.05<br /> <br />Jadi, pendekatan konvergen ke nilai-nilai sejati x = 0 dan y =6.<br />Contoh sebelum ini menggambarkan kekurangan yang paling serius dari iterasi satu-titik sederhana yakni bahwa kekonvergenan karap kali tergantung pada bagaimana persamaan-persamaan itu dirumuskan. Tambahan pula, sekalipun dalam situasi dimungkinkannya kekonvergenan, dapat saja terjadi kedivergenan jika tebakan awal tidak cukup dekat ke penyelesaian sejati. Dengan penalaran yang serupa seperti diperagakan bahwa syarat yang perlu untuk kekonvergenan adalah<br />∂u∂x+ ∂v∂x<1 <br />Dan<br /> ∂u∂y+ ∂v∂y<1<br />Kriteria ini demikian terbatas (restriktif) sehingga iterasi satu-titik jarang sekali dipakai dalam praktek.<br />Adapun algoritma dari metode lelaran titik tetap atau iterasi satu titik<br />Tentukan x0, y0, dan epsilon.<br />Masukkan persamaan x1 dan y1<br />Jika xr+1- xr<ε dan yr+1- yr<ε maka iterasi berhenti<br />Jika tidak maka kembali ke 2 dengan x1=x0 dan y1=y0;<br />Tarik akar<br />Selesai<br />Contoh perogramnya dalam matlab<br />clc;<br />clear;<br />x0=1;<br />y0=2;<br />epsilon=0.000001;<br />disp('Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar')<br />disp('f1(x,y)=x^2 + xy - 5');<br />disp('f2(x,y)=y + 2xy - 15');<br />disp('r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x(r)|');<br />for iterasi=1:100;<br />x=5/(x0+y0);<br />y=15/(1+2*x0);<br />fprintf('%3g %12.7f %12.7f %12.7f %12.7f', iterasi, x, y, abs(x-x0),abs(y-y0));<br />if (abs(x-x0)<epsilon)&((y-y0)<epsilon);<br />break;<br />end;<br />x0=x;<br />y0=y;<br />end;<br />akar1=x;<br />akar2=y;<br />fprintf('Akar 1 adalah %10.7f',x);<br />fprintf('Akar 2 adalah %10.7f',y);<br />fprintf('Jumlah iterasi = %3g', iterasi);<br />dan hasilnya <br />Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar<br />f1(x,y)=x^2 + xy - 5<br />f2(x,y)=y + 2xy - 15<br />r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x(r)|<br /> 1 1.6666667 5.0000000 0.6666667 3.0000000<br /> 2 0.7500000 3.4615385 0.9166667 1.5384615<br /> 3 1.1872146 6.0000000 0.4372146 2.5384615<br /> 4 0.6956798 4.4451962 0.4915348 1.5548038<br /> 5 0.9725969 6.2725824 0.2769171 1.8273861<br /> 6 0.6901141 5.0930435 0.2824828 1.1795389<br /> 7 0.8645796 6.3019170 0.1744655 1.2088735<br /> 8 0.6976910 5.4961983 0.1668886 0.8057188<br /> 9 0.8072472 6.2620494 0.1095563 0.7658511<br /> 10 0.7072839 5.7372468 0.0999633 0.5248026<br /> 11 0.7758517 6.2122917 0.0685677 0.4750449<br /> 12 0.7154976 5.8784262 0.0603541 0.3338654<br /> 13 0.7582738 6.1703123 0.0427762 0.2918861<br /> 14 0.7216479 5.9605467 0.0366259 0.2097656<br /> 15 0.7482572 6.1392482 0.0266092 0.1787015<br /> 16 0.7259522 6.0083773 0.0223049 0.1308709<br /> 17 0.7424644 6.1176934 0.0165122 0.1093161<br /> 18 0.7288462 6.0363902 0.0136182 0.0813032<br /> 19 0.7390725 6.1032861 0.0102263 0.0668959<br /> 20 0.7307422 6.0529147 0.0083303 0.0503714<br /> 21 0.7370656 6.0938840 0.0063234 0.0409692<br /> 22 0.7319627 6.0627344 0.0051029 0.0311496<br /> 23 0.7358680 6.0878469 0.0039053 0.0251125<br /> 24 0.7327387 6.0686093 0.0031293 0.0192375<br /> 25 0.7351484 6.0840144 0.0024097 0.0154050<br /> 26 0.7332278 6.0721450 0.0019205 0.0118694<br /> 27 0.7347136 6.0816012 0.0014858 0.0094563<br /> 28 0.7335342 6.0742831 0.0011794 0.0073181<br /> 29 0.7344498 6.0800909 0.0009156 0.0058078<br /> 30 0.7337252 6.0755812 0.0007246 0.0045097<br /> 31 0.7342892 6.0791497 0.0005640 0.0035685<br /> 32 0.7338438 6.0763718 0.0004454 0.0027779<br /> 33 0.7341911 6.0785651 0.0003473 0.0021933<br /> 34 0.7339173 6.0768545 0.0002738 0.0017106<br /> 35 0.7341312 6.0782029 0.0002138 0.0013484<br /> 36 0.7339628 6.0771497 0.0001684 0.0010532<br /> 37 0.7340945 6.0779789 0.0001316 0.0008291<br /> 38 0.7339909 6.0773306 0.0001035 0.0006483<br /> 39 0.7340719 6.0778405 0.0000810 0.0005099<br /> 40 0.7340083 6.0774415 0.0000637 0.0003990<br /> 41 0.7340581 6.0777551 0.0000499 0.0003136<br /> 42 0.7340190 6.0775095 0.0000392 0.0002456<br /> 43 0.7340496 6.0777024 0.0000307 0.0001929<br /> 44 0.7340255 6.0775513 0.0000241 0.0001511<br /> 45 0.7340444 6.0776700 0.0000189 0.0001187<br /> 46 0.7340296 6.0775770 0.0000148 0.0000930<br /> 47 0.7340412 6.0776500 0.0000116 0.0000730<br /> 48 0.7340321 6.0775928 0.0000091 0.0000572<br /> 49 0.7340392 6.0776377 0.0000071 0.0000449<br /> 50 0.7340336 6.0776025 0.0000056 0.0000352<br /> 51 0.7340380 6.0776301 0.0000044 0.0000276<br /> 52 0.7340346 6.0776085 0.0000035 0.0000217<br /> 53 0.7340373 6.0776255 0.0000027 0.0000170<br /> 54 0.7340352 6.0776121 0.0000021 0.0000133<br /> 55 0.7340368 6.0776226 0.0000017 0.0000105<br /> 56 0.7340355 6.0776144 0.0000013 0.0000082<br /> 57 0.7340366 6.0776208 0.0000010 0.0000064<br /> 58 0.7340357 6.0776158 0.0000008 0.0000050<br />Akar 1 adalah 0.7340357<br />Akar 2 adalah 6.0776158<br />Jumlah iterasi = 58<br />Newton Raphson<br />Mari kembali kita ingat kembali bahwa metode Newton-Raphson didasarkan pada pemakaian turunan (yakni kemiringan) suatu fungsi untuk menaksir pemotongan dengan sumbu peubah bebasnya-yakni akar. Taksiran ini didasarkan pada uraian deret Taylor<br />f xr+1= f xr+ xr+1- xr f'xr <br />Dimana xr adalah tebakan awal pada akarnya dan xr+1 adalah titik tempat garis singgung memotong sumbu x. pada perpotongan ini, f xr+1 yang didefinisikan sama dengan nol, dapat disusun kembali untuk menghasilkan <br />f xr+1= xr- f xrf'xr <br />Yang merupakan bentuk persamaan tunggal dari Metode Newton Raphson.<br />Bentuk persamaan majemuk diturunkan dalam gaya yang identik. Namun, deret Taylor dengan peubah majemuk harus dipakai dengan tujuan memperhitungkan kenyataan bahwa lebih dari satu peubah bebas penyumbang penentuan akar tersebut. Untuk kasus dua peubah, deret Taylor orde pertama dapat dituliskan untuk masing-masing persamaan linear sebagai<br />ur+1= ur+ xr+1-xr∂ur∂x+yr+1-yr∂ur∂y<br />Dan<br />vr+1= vr+ xr+1-xr∂ur∂x+yr+1-yr∂ur∂y<br />Sama halnya seperti untuk versi persamaan tunggal, taksiran akar berpandangan dengan titik-titik pada mana ur+1 dan vr+1 sama dengan nol. Untuk situasi ini, persamaan dapat disusun ulang untuk memberikan<br />∂ur∂xxr+1+∂ur∂y=-ur+xr∂ur∂x+yr∂ur∂y<br />∂ur∂xxr+1+∂ur∂y=-vr+xr∂vr∂x+yr∂vr∂y<br />Karena hampir semua yang dengan tikalas r diketahui (berpandangan terhadap tebakan atau hamp[ir yang terakhir), yang tidak diketahui adalah xr+1 dan yr+1. Jadi, persamaan berupa himpunan dua persamaan linear dengan dua bilangan anu. Akibatnya, dapat deterapkan manupukasi aljabar (misalnya aturan Cramer) untuk memecahkan <br />xr+1= xr- ur∂vr∂y- vr∂ur∂y∂ur∂x ∂vr∂y- ∂ur∂y ∂vr∂x <br />yr+1= yr+ ur∂vr∂y- vr∂ur∂y∂ur∂x ∂vr∂y- ∂ur∂y ∂vr∂x <br />Penyebut dari masing-masing persamaan ini secara formal diacu sebagai determinan jacobi dari sistem tersebut. <br />Contoh pada persamaan <br />ux, y= x2+ xy-5=0<br />v x,y= y+2xy-15=0<br />Jika persamaan ini dimasukkan dalam matlab maka <br />clc;<br />clear;<br />x0=1;<br />y0=2;<br />disp('Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar');<br />disp('f1(x,y)=x^2 + xy - 5');<br />disp('f2(x,y)=y + 2xy - 15');<br />disp('iterasi akar1 akar2');<br />for iterasi=1:100;<br />x1=x0-(((x0.^2+x0*y0-5)*(1+2*x0)-(y0+2*x0*y0-15)*(x0))/((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));<br />y1=y0+(((x0.^2+x0*y0-5)*(2*y0)-(y0+2*x0*y0-15)*(2*x0+y0))/((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));<br />fprintf(' %3g %10.7f %10.7f', iterasi, x1, y1);<br />if (abs(x1-x0)<0.000001)||(abs(y1-y0)<0.000001);<br />break;<br />end;<br />x0=x1;<br />y0=y1;<br />end;<br />akar1=x1;<br />akar2=y1;<br />fprintf('Akar akarnya adalah %10.7f dan %10.7f',akar1, akar2);<br />fprintf('Jumlah iterasi = %g',iterasi);<br />dan hasilnya <br />Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar<br />f1(x,y)=x^2 + xy - 5<br />f2(x,y)=y + 2xy - 15<br />iterasi akar1 akar2<br /> 1 0.6250000 5.5000000<br /> 2 0.7448308 6.0808271<br /> 3 0.7340693 6.0774838<br /> 4 0.7340361 6.0776180<br /> 5 0.7340361 6.0776180<br />Akar akarnya adalah 0.7340361 dan 6.0776180<br />Jumlah iterasi = 5<br />BAB III<br />PENUTUP<br />Kesimpulan<br />Metode leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua persamaan memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut dengan lelaran jacobi <br />xr+1=g1xr,yr <br />yr+1=g2xr,yr r = 0,1,2,….<br />kondisi berhentinya adalah xr+1- xr<ε dan yr+1- yr<ε. Kecepatan konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung langsung dipakai untuk menghitung yr+1. Jadi, <br /> xr+1=g1xr,yr<br />yr+1=g2xr+1,yr r = 0,1,2,… <br />Metode newton raphson dengan dua persamaan dapat deret taylor yang pertama dapat dituliskan<br />ur+1= ur+ xr+1-xr∂ur∂x+yr+1-yr∂ur∂y<br />Dan<br />vr+1= vr+ xr+1-xr∂ur∂x+yr+1-yr∂ur∂y<br />Saran<br />Sebaiknya untuk mata kuliah ini bisa lebih banyak perakteknya. Karena hal ini sangat penting untuk pehamahan mahasiswa. <br />DAFTAR ISI<br />Chapra, Steven C. 1988. Metode Numerik jilid 1edisi kedua. Jakarta. Erlangga.<br />Munir, Rinaldi. 2008. Metode Numerik revisi kedua. Bandung. Informatika.<br />KATA PENGANTAR<br />Sudah merupakan suatu kehormatan untuk memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT. karena atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini, namun penulis menyadari bahwa karya yang amat sederhana ini jauh dari apa yang diharapkan serta memiliki berbagai macam kekurangan dan kelemahan, tapi hanya karena modal dasar yang dimiliki oleh kami yaitu keberanian, sehingga makalah yang amat sederhana ini dapat dipersembahkan keharibaan para pembaca dan ikut melibatkan diri mengembangkan pengetahuan yang dimiliki serta memberikan sedikit pengetahuan kepada kita walaupun hanya setitik air dalam lautan yang Maha Luas dalam rangka membangun manusia-manusia Indonesia seutuhnya. <br />Kami menyadari bahwa dalam makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca. Dengan masuknya bantuan kritik dan saran tersebut, kami dapat menjadikan pedoman untuk perbaikan makalah ini yang akan datang.<br />Akhirnya kepada Allahlah kami berharap semoga seluruh bantuan, arahan dan bimbingan yang diberikan oleh berbagai pihak menjadi bagian amal ibadah yang akan menciptakan pahala di sisi Allah. Amin…<br /> <br /> Makassar, 08 Mei 2010 <br /> <br /> Kelompok 18<br />TUGAS KELOMPOK<br />METODE NUMERIK<br />O<br />L<br />E<br />H<br />NUR ILMI<br />RINDA RAHMA WARDANI<br />JURUSAN MATEMATIKA<br />FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI<br />UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN<br />MAKASSAR<br />2010 <br />