Dokumen tersebut membahas tentang kelompok 3 mata kuliah Aljabar Linier yang terdiri dari 5 mahasiswa yang menulis tentang matriks, operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dan matriks, serta konsep transpose dan trace matriks."

2. ALJABAR LINIER
(KELOMPOK 3)
Nama npm
1. Diana Puspita Sari (10130068)
2. Febriyanti Fathonah (10130103)
3. Maulina Sari (10130190)
4. Nurul Komariah (10130231)
5. Siska Oktarina (10130306)

3. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Matriks adalah susunan teratur bilangan-
bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi
panjang, Bilangan – bilangan tersebut
disebut entri dalam matriks.
baris 2 4 1
3 0 2
Kolom

4. *
Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian :
perkalian skalar
perkalian matriks

5. Penjumlahan dan Pengurangan
Matriks
• Definisi : Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai
ukuran yang samadan entri-entri yang berpadanan sama.
Contoh:
Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A
dan B tidak sama,karena tidak semua entri-entrinya yang
berpadanan sama. Tidak ada nilai x yang membuat A=C karena A
dan C mempunyai ukuran yang berbeda.

6. Definisi Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah
A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B
dengan entri-entri A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks yang
diperoleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang
berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan
atau dikurangkan.
Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang
sama, maka
(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij

7. Contoh 3 Tinjau matriks-matriks
Maka
Ekspresi A + C, B + C, B - C tidak terdefinisi.

8. Perkalian
 Perkalian skalar
Definisi Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah
sembarang skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang
diperoleh dengan mengalikan setiap entri A dengan c.
• Dalam notasi Matriks, jika A = [aij], maka
cA)ij = c(A)ij = caij
• Jika A1, A2, …, An adalah matriks-matriks berukuran sama dan c1, c2,
…, cn adalah skalar, maka sebuah ekspresi berbentuk
c1A1 + c2A2 + … + cnAn
disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien-koefisien
c1, c2, …, cn.

9. Contoh 4 Untuk matriks-matriks
Kita dapatkan
2A – B + C = 2A + (-1)B + C
=
=
adalah kombinasi linear dari A, B,dan C dengan koefisien skalar 2,-1,
dan .

10. Perkalian matriks
Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah
sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n
yang entri-entrinya didiefinisikan sebagai berikut. Untuk
mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i
dari matriks A dan kolom j pada matriks B. kalikan entri-entri
yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama
dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

11. Contoh 5 Tinjau matriks-matriks
Karena A adalah matriks 2x3 dan B adalah matriks 3x4, maka
hasil kali AB adalah sebuah matriks 2x4
(2.4) + (6.3) + (0.5) = 26
(1.3) + (2.1) + (4.2) = 13

12. Matriks-
Matriks
Terpartisi
adalah sebuah matriks dapat
dibagi atau dipartisi menjadi
matriks-matriks yang lebih
kecil dengan menyelipkan
garis horizontal dan vertical
di antara baris dan kolom
yang ditentukan.

13. Perkalian Matriks dengan
Kolom dan dengan Baris
Matriks kolom ke-j dari AB =
Tujuannya adalah untuk A[matriks kolom ke-j dari B]
mendapatkan hasil kali …...(3)
matriks AB tanpa
Matriks baris ke-i dari AB =
menghitung keseluruhan
hasil kalinya.
[matriks baris ke-i dari A]B
……(4)

14. contoh:
hitunglah hasil kali berikut ini dengan perkalian blok!
2 4 1
3 1 0 3
a. 2 1 4 5
3 0 2
1 3 5
2 1 4
2 5
2 1 3 4
b. 1 3
0 1 5 7
0 5
1 4
1 0 0 0 0 3 3
0 1 0 0 0 1 4
c. 0 0 1 0 0 1 5
0 0 0 2 0 2 2
0 0 0 1 2 1 6

15. Jika a1, a2, …, am menyatakan matriks-matriks baris dari A
dan b1, b2, …, bn menyatakan matriks-matriks kolom dari
B, maka dari rumus (3), dan (4) kita dapat memperoleh
AB = A = AB = A =
(AB dihitung kolom per kolom)
AB = B =
(AB dihitung baris per baris)

16. HASIL KALI MATRIKS SEBAGAI
KOMBINASI LINIER
Matriks-matriks baris dan kolom memberikan suatu
cara berfikir alternative mengenai perkalian matriks.
Misalnya:
A dan

17. Maka,
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn a11 a12 a1n
a21 x1 a22 x2 .... a2n xn a21 a22 a2n
Ax x 1 x2 ...
  
am1 x1 am 2 x2 .... amn xn am1 am2 amn
hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks
kolom x adalah sebuah kombinasi linier dari matriks-matriks
kolom dari A koefisien-koefisien yang berasal dari matriks x.
dan menunjukkan hasil kali yA dari sebuah matriks y ukuran 1
× m dengan sebuah matriks A berukuran m × n merupakan
sebuah kombinasi linier dari matriks-matriks baris A dengan
koefisien scalar yang berasal dari y.

18. Contoh:
kombinasi linier
hasil kali matriks
kombinasi linier

19. TRANSPOSE SUATU MATRIKS
(AT)ij ij
Sifat-sifat transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A+B)’ = A’ + B’
3. k(A’) = kA’
4. (AB)’ = B’A’
5. Jika A adalah matriks
simetris, maka A’ = A

20. Contoh:
A AT
B BT

21. TRACE SUATU MATRIKS
BUJUR SANGKAR
tr ( A) a11 a 22 a33 tr(B) 1 5 7 0 11