Presentasi matematika-kelas-x-dimensi-tiga-110412004834-phpapp02

Dimensi Tiga
(Proyeksi & Sudut)

http://meetabied.wordpress.com

Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat

Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga


Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang


Proyeksi titik pada garis

P Dari titik P
ditarik garis m⊥ garis k
m garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
k hasil proyeksi
Q
titik P pada k

Contoh
H G
E
Diketahui
F
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
D T C
titik A pada garis
A B
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).


Pembahasan
H G
Proyeksi titik A pada
E F a. BC adalah titik B
(AB ⊥ BC)
A’
D T C b. BD adalah titik T
A B (AC ⊥ BD)

c. ET adalah titik A’
(AC ⊥ ET)


Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik P
P di luar bidang H
ditarik garis g ⊥ H.
g Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
H P’ proyeksi titik P
di bidang H


Contoh
H G
E
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
D C pada bidang ABCD
A B adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….

Pembahasan
H G a. Proyeksi titik E
E F pada bidang ABCD
adalah A
P
(EA ⊥ ABCD)
D C b. Proyeksi titik C
A B
pada bidang BDG
adalah P
CE ⊥ BDG

Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis
A
B ke sebuah bidang
g dapat diperoleh
dengan memproyek-
sikan titik-titik yang
terletak pada garis itu
H A’ g’ ke bidang.
B’
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’

Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h ⊥ β maka
proyeksi garis h pada bidang β
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang β maka
g’ yaitu proyeksi garis g padaβ
dan sejajar garis g


Contoh 1
H G
E
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
D C pada bidang ABCD
A B adalah….
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….

Pembahasan
H G
E
a. Proyeksi garis EF
F
pada bidang ABCD
berarti menentukan
D C proyeksi titik E dan F
A B pada bidang ABCD,
yaitu titik A dan B
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB

Pembahasan
b. Proyeksi garis CG
H G pada bidang BDG
E F
berarti menentukan
P proyeksi titik C
D C dan titik G
A 6 cm B pada bidang BDG,
yaitu titik P dan G
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?

H G •Panjang proyeksi CG
E F pada BDG adalah
panjang garis PG.
P
D C
A
R •PG = ⅔.GR
6 cm B
= ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm


Contoh 2
Diketahui limas
T beraturanT.ABCD
dengan panjang AB
cm

= 16 cm, TA = 18 cm
18

D C Panjang proyeksi TA
A 16 cm B pada bidang ABCD
adalah….


Pembahasan
Proyeksi TA
T pada bidang ABCD
adalah AT’.
cm

Panjang AT’= ½AC
18

D C = ½.16√2
T’
A 16 cm B = 8√2
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm

Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang


Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan
m besar sudut antara
dua garis adalah
k
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut

Contoh
Diketahui
H
kubus ABCD.EFGH
G
E F Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
D C
A B
b. AH dengan AF
c. BE dengan DF


Pembahasan
Besar sudut antara
garis-garis:
H G a. AB dengan BG
E F
= 900
b. AH dengan AF
D C = 600 (∆ AFH smss)
A B
c. BE dengan DF
= 900 (BE ⊥ DF)

Sudut antara
Garis dan Bidang
P Sudut antara
garis a dan bidang β
dilambangkan (a,β)
Q adalah sudut antara
V garis a dan
P’
proyeksinya pada β.
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
= ∠ PQP’

Contoh 1
H G Diketahui
E F
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
D C
A 6 cm B Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
Kemudian hitunglah besar sudutnya!

Pembahasan
H G Proyeksi garis BG
E F pada bidang ACGE
adalah garis KG
D C
(K = titik potong
K
A 6 cm B AC dan BD)
Jadi ∠(BG,ACGE) = ∠(BG,KG)
= ∠BGK


Pembahasan
H G BG = 6√2 cm
E F BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
D C ∆BKG siku-siku di K
K
A 6 cm B
BK 3 2 1
sin∠BGK = BG
= =
6 2 2
Jadi, besar ∠BGK = 300


Contoh 2
H G Diketahui
E F
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
D C
A 8 cm B
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….


Pembahasan
H P G tan∠(CG,AFH)
E F = tan ∠(PQ,AP)
= tan ∠APQ
D AQ 1
AC
C = = 2

A Q PQ GC
8 cm B 1
.8 2 4 2
= 2

8
=
8
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2

Contoh 3
T
a cm
Pada limas
segiempat beraturan
D C
T.ABCD yang semua
A a cm B
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….

Pembahasan
T • TA = TB = a cm
a cm • AC = a√2 (diagonal
persegi)
D C • ∆TAC = ∆ siku-siku
A a cm B samakaki
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450

Sudut antara
Bidang dan Bidang
Sudut antara
β h
bidang α dan bidang β
(α,β) adalah sudut antara
α g garis g dan h, dimana
g ⊥ (α,β) dan h ⊥ (α,β).
(α,β) garis potong bidang α dan β


Contoh 1
H G
E
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
D C antara bidang BDG
A B dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!

Pembahasan
a. ∠(BDG,ABCD)
H G • garis potong BDG
E F dan ABCD → BD
• garis pada ABCD
D yang ⊥ BD → AC
C
A P B • garis pada BDG
yang ⊥ BD → GP
Jadi ∠(BDG,ABCD) = ∠(GP,PC)
=∠GPC

Pembahasan
b. sin∠(BDG,ABCD)
H G
E
= sin ∠GPC
F GC
= GP
a 6 6
x =
= a 6 6 .6 1 1
D C 2 2

A P B = ⅓√6

Jadi, sin∠(BDG,ABCD) = ⅓√6


Contoh 2
Limas beraturan
T T.ABC, panjang
A

rusuk alas 6 cm dan
9 cm

panjang rusuk tegak
6 cm
B

9 cm. Nilai sinus sudut
C

antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….

Pembahasan
•sin∠(TAB,ABC)
T = sin∠(TP,PC)
A

= sin∠TPC
9 cm

•TC = 9 cm, BP = 3 cm
6
B

P cm •PC = 6 2 − 32
3

C

= 27 = 3 3 cm
•PT = 9 − 3
2 2

= 72 = 6 3 cm

• Lihat ∆ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
T Aturan cosinus
TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos∠TPC
9
cm
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos∠TPC
6√2

36√6.cos∠TPC = 99 – 81
A C 2
P 3√3 36√6.cos∠TPC = 18
1
1 6
B cos∠TPC = 2 6 x
6

6
= 12

• Lihat ∆ TPC
6
cos∠P = 12

12 Maka diperoleh
144 - 6 138
= 138 Sin ∠P = 12
P
√6
Jadi sinus ∠(TAB,ABC)
138
= 12


Contoh 3
4 cm
Diketahui kubus
H G ABCD.EFGH, pan-
E F jang rusuk 4 cm
Titik P dan Q
D berturut-turut
Q C
A B
di tengah-tengah
P
AB dan AD.
Sudut antara bidang FHQP dan bi-
dang AFH adalah α. Nilai cosα =…

Pembahasan
4 cm
• ∠(FHQP,AFH)
H K G = ∠(KL,KA)
E F = ∠AKL = α
α
• AK = ½a√6 = 2√6
D • AL = LM = ¼ AC
Q C
A L M B = ¼a√2 = √2
P
• KL = KM + ML
2 2

= 4 2 + 2 = 18
=3√2

Pembahasan
• AK = 2√6 , AL = √2
K KL = 3√2
Aturan Cosinus:
α AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcosα
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cosα
24√3.cosα = 42 – 2
M 24√3.cosα = 40
A L 5
cosα = 3
9
5
Jadi nilai cosα = 9
3


Presentasi matematika-kelas-x-dimensi-tiga-110412004834-phpapp02

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Similar a Presentasi matematika-kelas-x-dimensi-tiga-110412004834-phpapp02

Similar a Presentasi matematika-kelas-x-dimensi-tiga-110412004834-phpapp02 (20)

Presentasi matematika-kelas-x-dimensi-tiga-110412004834-phpapp02