Makalah struktur aljabar grupoida

MAKALAH
STRUKTUR
ALJABAR
“GRUPOIDA”
OLEH DIANTO IRAWAN 4/20/2012

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR
Pengertian Operasi Biner
Sifat-sifat Operasi Biner
Table Cayley 
Pengertian Grupoida
Sifat-sifat Grupoida
DAFTAR PUSTAKA

4/20/2012 OLEH DIANTO IRAWAN

GRUPOIDA


dengan perkataan lain operasi biner * tidak tutup jika
dengan a *b


b) Jikat T = S x S maka operasi biner adalah tertutup, sebab setiap
pasangan berurutan anggota dari S dipasankan dengan anggota dari S


Definisi tersebut akan ditunjukkan dengan contoh berikut :

Contoh I

Misalnya S = himpunan semua bilangan asli
Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai pengurangan pada
bilangan, artinya a * b = a – b. operasi pengurangan adalah operasi
biner yang tidak tertutup.




Contoh 2
S = Himpunan semua bilangan asli.
Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai penjumlahan pada
bilangan, artinya a * b = a + b Operasi penjumlahan adalah operasi
biner yang tertutup.




SIFAT-SIFAT OPERASI BINER
Definis 4.2




Contoh
A = {1, 2, 3… }

a. Operasi pengruangan pada himpunan A :
Tidak tertutup,
Tidak komulatif, 7 – 3 ≠3 – 7
Tidak asosiatif (7-3) – 1 ≠ 7 – 93 – 1) .

b. Operasi penjumlahan pada himpunan A mempunyai sifat :


Tabel Cayley

Tabel cayley merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasi
biner pada himpunan, khusunya himpunan berhingga

Misalnya himpunan S = {a, b, c} dengan operasi * didefinisikan
dengan tabel 1.

*

a
a

b
b

c
c

b

Anggota yang dioperasikan dicantumkan pada
bari pertama (paling atas) dan pada kolom
b a c b
pertama (paling kiri).
c c b a
Hasil kali anggota S dinyatakan dalam bujur
sangkar yang didalam, mulai baris kedua dan
kolom kedua.


Cara membaca tabel Cayley sebagai berikut :

Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kiri kita baca pada
kolom paling kiri

Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kanan kita baca pada
baris paling atas. Perhatikan hasil oprasi pada daerah yang diarsir, c*b
=b

Pembacaan Tabel 1 selanjutnya sebagai berikut :
a*b=a b*a=a c*a=c
a*b=c b*a=b c*b=c
a*c=b b*c=b c*c=a


Untuk selanjutnya sifat-sifat oeprasi biner melalui Tabel sebagai
berikut :




PENGERTIAN GRUPOIDA

Struktur Aljabar suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu
atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan S
dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur Aljabar
tersebut dinyatakan dengan S, *). Apabila himpunan S dilengkapi
dengan dua operasi biner * dan 0; maka struktur aljabar tersebut
dinyatakan dengan (S,*,0) atau (S,0,*). Struktur aljabar yang paling
sederhana adalah grupoida

Definisi 4.3

Suatu struktur dan perkalian pada himpunan bilangan
dinyatakan dengan + dan x
A = {1,2,3 … }
B = { ….. 2,-1, 0,1 ,2 .. )
Q = { x | x bilangan rasional }
R = { x | x bilangan real }

Struktur Aljabar berikut adalah grupoida :

(A, +) dan ( A, x)
(B, +) dan (B, x)
(Q, +) dan (Q, x)
(R, +) dan (R, x)

Contoh 12

M1 adalah himpunan matriks ordo m x n
M2 adalah himpunan matriks ordo n x n
Perhatikan contoh 3 dan 4
(M1, +), (M2, +) dan (M2,x) adalah grupoida


SIFAT-SIFAT GRUPOIDA




Contoh

(A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoida
Sifat-sifatnya adalah :
Tidak memenuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈A memenuhi
0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + a
Asosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)


Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan
suatu tabel Cayley.

1. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan
anggotanya sama dengan garis paling atas maka anggota pada
kolom paling kiri merupakan suatu elemen identitas kiri


Contoh
(A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoida
Sifat-sifatnya adalah :
Tidak memnuhi delemen identitas penjumlahan sebab ∀a∈A
memenuhi 0 + a = a + 0 = a dan 0 ∈A memenuhi a + b = b + a
Asosiatif, ∀a,b,c ∈A memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)

Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan
suatu tabel Cayley.

1. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan
urutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama
dengan kolom paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaitu
elemen identitas.
2. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonal
utama maka grupoida adalah komulatif

3. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya
sama dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yang
urutan anggotanya sama dengan kolom paling kiri
keduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas.

4. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis
diagonal utama maka grupoida adalah komulatif

CONTOH

S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel
* a b c a*a=a
a*b=a
a a b c
a*c=c
b a b c A elemen identitas kiri dari S
c c b a
b*a=a
b*b=b
b*c=c
b elemen identitas kiri S

Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas
kiri a dan b

S = {a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel

* a b c
a*a=a
b*a=b
a a a a
c*a=c
a elemen identitas kanan dari S

b b b b

c c c c
Demikian pula untuk b dan c

Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen
identitas kanan a,b, dan c
Contoh

S = { a, b , c d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 4


* a b c d b*a=a
b*b=b
a b a d c
b*c=c
b a b c a b*d=d
c d c b c
b elemen identitas kiri dari S

d c d a b a*b=a
b*b=b
c*b=c
d*b=d

B elemen identitas kanan dari S

Karena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan,
maka b merupakan elemen identitas dari S.

Jadi (S,*) grupoida komulatif dengan elemen identitas b.


Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut :




Contoh

A = { 1, 2, 3, … }

B = { …., -2, -1, 0, 1, 2, …} dan B* = B – {0}

Q = {x | x bilangan rasional} dan Q* = Q – {0}

R = {x | x bilangan real} dan R* = R – {0}




Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel
Cayley maka

a. (G, *) memenuhi hukum pelenyatapan kiri jika dan hanya jika setiap bari
dalam tebel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan


b. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan jika hanya jika setiap
kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang memenuhi berlainan
c. (G,*) memenuhi hukum persamaan kiri jiak dan jika setiap kolom dalam
tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan
d. (G,*) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris
dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan


Jadi dapat disimpulkan
1. Jika baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semunya berlainan maka
(G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan
2. Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya
berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan
kiri
Contoh

{G,*) grupoida dengan G ={ p,q,r) dan * dinyatakan dalam tabel

a. Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang
* p q r

semuanya berlainan. Jadi (G,*) memenuhi hukum
p p q r

pelenyapan kiri dan memnuhi persamaan kanan
q p q r

b. Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang
r p q r
semuanya sama. Jadi (G,*) tidak memenuhi hukum
pelenyapan kanan dan tidak memenuhi hukum
4/20/2012 persamaan kiri. IRAWAN
OLEH DIANTO

DAFTAR PUSTAKA

Materi Pokok Struktur Aljabar, 1-12 ; PGTM 3929/ 4 SKS oleh Suherti
Soebagio-A, Sukirman,- Jakarta : Universitas Terbuka.




Makalah struktur aljabar grupoida

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Makalah struktur aljabar grupoida

Similar a Makalah struktur aljabar grupoida (20)

Más de DIANTO IRAWAN

Más de DIANTO IRAWAN (20)

Makalah struktur aljabar grupoida