Κατηγορηματική Λογική

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 7 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
Θεωρία Κατηγορηµατικής Λογικής
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.1: Εισαγωγή στην Κατηγορηµατική Λογική
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.6: Θεωρία Κατηγορηµατικής Λογικής
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Τα µαθήµατα που πέφτουν σχεδόν σε κάθε εξεταστική, είναι τα µαθήµατα 3.7 και 3.8. ∆ώστε ιδιαίτερη
έµφαση στον ορισµό του λογικά έγκυρου τύπου από το µάθηµα 3.6.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7’ και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 7 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.
1. Αν ο τύπος ϕ είναι έγκυρος τότε και ο xϕ∀ είναι έγκυρος.
2. Αν ο τύπος xϕ∀ είναι έγκυρος τότε και ο ϕ είναι έγκυρος.
3. Αν ο τύπος xϕ∃ είναι έγκυρος τότε και ο ϕ είναι έγκυρος.
4. Αν ο τύπος ϕ είναι έγκυρος τότε και ο xϕ∃ είναι έγκυρος.
Ερωτήσεις 2
Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.
1. Ο τύπος ∃x P(x) → P(c) είναι έγκυρος.
2. Ο τύπος P(c) → ∃x P(x) είναι έγκυρος.
3. Ο τύπος ∀x P(x) → P(c) είναι έγκυρος.
4. Ο τύπος P(c) → ∀x P(x) είναι έγκυρος.
Ερωτήσεις 3
Απαντήστε µε Σωστό/Λάθος ανάλογα µε το αν ο αντίστοιχος τύπος είναι έγκυρος ή όχι.
1. ( ) ( )xP x xP x∀ → ∃
2. ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))xP x x Q x x P x Q x¬∃ ∧ ∀ ¬ → ∃ ∧
3. ( , ) ( , )xP x x x yP x y∃ → ∀ ∃
4. [ ( , ) ( , ) ( , )]x y z P x y P y z P x z∀ ∀ ∀ ∧ →
Ερωτήσεις 4
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Η µεταβλητή x εµφανίζεται δεσµευµένη στον τύπο ( )( , ) ( , ) ( , )x z P x y Q x y yP x y∀ ∀ ∨ ∨ ∃ .
2. Ο τύπος ( )( , ) ( , ) ( , )x y P x y Q x y xQ x x∃ ∃ ∧ ¬ → ∀ είναι πρόταση.
3. Οι τύποι ( )( , ) ( , )x P x x Q x x∃ ∧ και ( , ) ( , )xP x x xQ x x∃ ∧ ∃ είναι λογικά ισοδύναµοι.
4. Οι τύποι ( )( , ) ( , )x P x y Q x y∃ → και ( , ) ( , )xP x y Q x y∀ → είναι λογικά ισοδύναµοι.
Ερωτήσεις 5
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι (P/2 είναι κατηγορηµατικό σύµβολο, f/1 είναι συναρτησιακό
σύµβολο);
1. Η έκφραση ∀xP(x, x) είναι πρόταση
2. Η έκφραση x ≈ ݂(‫)ݕ‬ είναι ατοµικός τύπος
3. Η έκφραση ܲ(݂ሺ‫ݕ‬ሻ, ݂൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯) είναι µη ατοµικός τύπος
4. Η έκφραση ܲ ቀ݂ሺ‫ݕ‬ሻ, ݂൫݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ቁ ≈ ܲ(‫,ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ) είναι ατοµικός τύπος
Ερωτήσεις 6
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι (P/2, Q/2 είναι κατηγορηµατικό σύµβολο, f/1 είναι
συναρτησιακό σύµβολο);
1. Η έκφραση ∀xP(x, x) → ܳ(‫,ݔ‬ ‫)ݔ‬ είναι πρόταση
2. Η έκφραση P(Pሺx, xሻ, Qሺx, xሻ) είναι ατοµικός τύπος
3. Η έκφραση ∀x∀y[f(x) ≈ f(y)] είναι µη ατοµικός τύπος και πρόταση.
4. Η έκφραση ݂(݂ሺ‫ݔ‬ሻ) είναι όρος

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 7 3
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Βρείτε την κανονική ποσοδεικτική µορφή των τύπων:
),(),(.3
)()(.2
)()(.1
yxQxyyPx
xPxxQ
xPxxQ
∨¬∃∀
∧∃
→∀
Άσκηση 2
Εξετάστε αν τα παρακάτω σύνολα τύπων είναι ικανοποιήσιµα:
)},()(),()({
)},(),(),,(),,({
)},(),,(),,({
)}(),),((),({
)]},([),,(),,({
5
4
3
2
1
dcPcMdMcMT
ccQccQcyyPxcxPT
yxyPxxxPxxxxPT
yxyxcxxxPxccPT
yxPyxyxyxyPxyxyPxT
→∧=
¬→∀∃=
∀∃¬∃∃=
≈∀∃≈→∀∧=
∧≠∃∃∃∀∀∃=
Άσκηση 3
Εξετάστε αν οι παρακάτω τύποι είναι λογικά έγκυροι.
)]()([)()(.4
),(),(.3
))(),(()(.2
)]()([)()(.1
zQzPzyyQxxP
yxyQxdcQ
xxPxzxQzxxP
zQzPzyyQxxP
∧∃→∀∧∃
∃∃→
∃→∃∀→∃
∧∃→∃∧∃
Αν είναι λογικά έγκυροι, να κάνετε τυπική απόδειξη µε χρήση του ορισµού του Tarski. Αν δεν είναι έγκυροι αποδείξτε το
επιλέγοντας ένα κατάλληλο αντιπαράδειγµα.
Άσκηση 4
Ερώτηµα 1
∆ίνονται οι προτάσεις φ και ψ:
φ ≡ ∀x (Q(x) ∨ P(x)) → ( ∃x Q(x) ∨ ∀x P(x))
ψ ≡ ( ∃x Q(x) ∨ ∀x P(x)) → ∀x (Q(x) ∨ P(x))
όπου Q(x) και P(x) µονοµελή κατηγορηµατικά σύµβολα. Η µία από τις παραπάνω προτάσεις είναι λογικά έγκυρη ενώ η
άλλη όχι.
α) Ποια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη; Να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας διατυπώνοντας µια ερµηνεία (δοµή) στην
οποία αυτή η πρόταση δεν αληθεύει.
β) Να δείξετε ότι η άλλη πρόταση είναι λογικά έγκυρη χρησιµοποιώντας τον ορισµό αλήθειας του Tarski. Υπόδειξη:
Μπορείτε να δείξετε πως δεν µπορεί να αληθεύει η υπόθεση του τύπου και να µην αληθεύει το συµπέρασµά του.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 7 4
Ερώτηµα 2
∆ίνονται οι προτάσεις φ και ψ:
φ ≡ ∃x ∀y P(x,y) → ∀x ∃y P(x,y)
ψ ≡ ∃x ∀y P(x,y) → ∀x ∃y P(y,x)
όπου P(x,y) διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο. Η µία από τις παραπάνω προτάσεις είναι λογικά έγκυρη ενώ η άλλη όχι.
α) Ποια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη; Να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας διατυπώνοντας µια ερµηνεία (δοµή) στην
οποία αυτή η πρόταση δεν αληθεύει.
β) Να δείξετε ότι η άλλη πρόταση είναι λογικά έγκυρη χρησιµοποιώντας τον ορισµό αλήθειας του Tarski. Υπόδειξη:
Μπορείτε να δείξετε πως δεν µπορεί να αληθεύει η υπόθεση του τύπου και να µην αληθεύει το συµπέρασµά του.
Άσκηση 5
Εξετάστε αν ισχύουν οι ακόλουθες λογικές συνεπαγωγές:
))()((|))}()(()),()()(({.4
))()((|))}()((),({.3
),(|))},(),((),,({.2
),(|)),(),((),,({.1
xRxSxxSxPxxRxQxPx
xQxRxxQxRxxxR
yxyQxyxyQxxQxxxQx
yxyRxyxyRxxQxyxyQx
∧∃=∧∃∧→∀
∧∃=→∀∃
∃∀=∃→∀¬∃
∃∃=∃→∀∀∃
Άσκηση 6
Έστω πρωτοβάθµια γλώσσα που ερµηνεύεται σε δοµές που είναι απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα και το διµελές
κατηγόρηµα P, ερµηνεύεται µε την σχέση όλων των ζευγαριών κορυφών x,y τα οποία συνδέονται µε ακµή.
Γράψτε προτάσεις κατηγορηµατικής λογικής που εκφράζουν τις εξής δηλώσεις:
1. Το γράφηµα έχει 2 κορυφές µε βαθµό 1
2. Το γράφηµα έχει 3 αποµονωµένες κορυφές
3. Το γράφηµα έχει 1 κορυφή µε βαθµό το πολύ 2
4. Το γράφηµα περιέχει το K3 ως υπογράφηµα
5. Το γράφηµα περιέχει το P3 ως επαγόµενο υπογράφηµα.