Campos Electromagneticos - Tema 2

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LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA

CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA

CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS

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Campos Electromagneticos - Tema 2

  1. 1. CAMPOS ELECTROMAGN ÉTICOS TEMA 2 LEY DE COULOMB E INTENSIDAD DE CAMPO EL ÉCTRICO Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Sep – Dic 2009 San Cristóbal, RD
  2. 2. TABLA DE CONTENIDO <ul><li>LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB </li></ul><ul><li>INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO </li></ul><ul><li>CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA </li></ul><ul><li>CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA </li></ul><ul><li>CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA </li></ul><ul><li>LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS </li></ul>
  3. 3. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB <ul><li>Coulomb afirmó que la fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, o sea: </li></ul><ul><li>F es la fuerza [Newtons – N] </li></ul><ul><li>Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o </li></ul><ul><li>negativa [coulombs – C] </li></ul><ul><li>R es la separación [metros – m] </li></ul><ul><li>K es una constante de proporcionalidad </li></ul><ul><li>-> </li></ul>1 Unidades Sistema mks Aquí de nuevo, … Qué creen, ¿Es ε 0 adimensional?
  4. 4. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB <ul><li>ACLARANDO : </li></ul><ul><li>ε 0 -> permitividad del espacio libre -> </li></ul><ul><li>LEY DE COULOMB </li></ul><ul><li>[Forma Escalar] </li></ul>2 RECORDANDO : Carga Electr ón -> 1.602 x10 -19 C Carga 1 Coulomb -> 6 x 10 18 electrones Fuerza 2Q de 1C y R=1m -> 9 x 10 9 N [Casi 1 mill ón de Toneladas ] Masa en Reposo Electr ón -> 9.109 x 10 -31 kg Radio Electrón -> 3.8 x 10 -15 m
  5. 5. <ul><li>LEY DE COULOMB (CONT.) </li></ul><ul><li>[Forma Vectorial] </li></ul><ul><li>donde a 12 es un vector unitario en la direcci ón de R 12 , es decir: </li></ul><ul><li>Observe la siguiente figura, y verifique que si Q 1 y Q 2 tienen el mismo signo, el vector fuerza F 2 sobre Q 2 tiene la misma dirección que el vector R 12 . </li></ul>LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 3
  6. 6. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 4 <ul><li>Ejemplo 2.1: </li></ul><ul><li>Para ilustrar el uso de la forma vectorial de la Ley de Coulomb ubiquemos una carga Q 1 = 3 x 10 -4 C en M(1,2,3) y otra carga Q 2 =-10 -4 C en N(2,0,5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza que ejerce Q 1 en Q 2 . </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>Se determina el vector R 12 y su magnitud: </li></ul><ul><ul><li>R 12 = r 2 – r 1 = (2-1) a x + (0-2) a y + (5-3) a z = a x - 2 a y + 2 a z </li></ul></ul><ul><li>Se determina el vector unitario a 12 : </li></ul><ul><li>Se determina la fuerza F 2 : </li></ul>
  7. 7. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 5 <ul><li>Algunas Conclusiones sobre la Ley de Coulomb: </li></ul><ul><li>La fuerza expresada por la Ley de Coulomb es una fuerza mutua, esto es: </li></ul><ul><li>La Ley de Coulomb es lineal. </li></ul><ul><li>La fuerza debida a la acción de varias cargas es la suma de las fuerzas que sobre dicha carga ejercerían individualmente cada una de las otras cargas. </li></ul>
  8. 8. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 6 <ul><li>D2.1 </li></ul><ul><li>La carga Q A = - 20 μ C está en el punto A(-6,4,7), y la carga Q B = 50 μ C está en el punto B(5,8,-2) en el espacio libre. Si las distancias están dadas en metros, encontrar: </li></ul><ul><li>R AB </li></ul><ul><li>| R AB | </li></ul><ul><li>F vectorial ejercida por Q B sobre Q A si ε 0 es -> </li></ul><ul><li>F vectorial ejercida por Q B sobre Q A si ε 0 es -> </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>11 a x + 4 a y – 9 a z m </li></ul><ul><li>14.76 m </li></ul><ul><li>30.76 a x + 11.184 a y – 25.16 a z mN </li></ul><ul><li>30.72 a x + 11.169 a y – 25.13 a z mN </li></ul>Otro más. -> Realizar Problema 2.1
  9. 9. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO 7 Campo Eléctrico en una Carga Puntual en el Origen Campo Eléctrico en una Carga Puntual Fuera del Origen El vector r′ localiza la carga puntual Q, el vector r determina cualquier punto P (x,y,z) del espacio, y el vector R de Q a P(x,y,z) es entonces R=r- r′ . Fuerza sobre unidad de carga
  10. 10. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 8 En el escenario de la gráfica, la suma vectorial de las intensidades de campo eléctrico total en P debido a Q1 y Q2 puede hacerse por el carácter lineal de la ley de Coulomb, es decir: Si se agregan más cargas en otras posiciones del campo debido a n cargas puntuales, entonces:
  11. 11. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 9 Ejemplo 2.2: Encontrar E en el punto P(1,1,1) que causan cuatro cargas idénticas de -3 nC localizados en los puntos P 1 (1,1,0), P 2 (-1,1,0), P 3 (-1,-1,0) y P 4 (1,-1,0), como se verifica en la siguiente figura. <ul><li>Solución : </li></ul><ul><li>Del gráfico se observa que el vector r = a x + a y + a z y r 1 = a x + a y deduciendo que : r - r 1 = a z </li></ul><ul><li>Adicionalmente se confirma que: </li></ul><ul><li>| r - r 1 |= 1, | r - r 2 |= √5, | r - r 3 |= 3, | r - r 4 |= √5. </li></ul><ul><li>Puesto que </li></ul><ul><li>Entonces resulta : </li></ul>
  12. 12. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 10 <ul><li>D2.2 </li></ul><ul><li>Una carga de – 0.3 μ C se encuentra en el punto A(25,-30,15) en cms, y una segunda carga de 0.5 μ C en el punto B(-10,8,12) cms. Encontrar E en : </li></ul><ul><li>El origen </li></ul><ul><li>En P(15,20, 50) cms </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>92.3 a x – 77.6 a y – 94.2 a z kV/m </li></ul><ul><li>11.9 a x – 0.519 a y + 12.4 a z kV/m </li></ul>Y ahora porque no vemos, … Solución en Ms Excel
  13. 13. CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA 11 Sea ρ v la densidad de carga volum étrica en C/m 3 , entonces la carga para un ∆ v se expresa: Para que la densidad de carga volumétrica corresponda a una distribución suave y continua, se evalúa la expresión anterior mediante un proceso de acercamiento en el límite, es decir: De lo anterior, se verifica que la carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen, es decir:
  14. 14. CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.) 12 Ejemplo 2.3: Encontrar la carga total contenida en el haz de electrones de un tubo de rayos catódicos de longitud igual a 2 cm, como se muestra a continuación. <ul><li>Solución : </li></ul><ul><li>De la figura se observa que: </li></ul><ul><li>Se considera el diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas para encontrar la carga total, esto es: </li></ul><ul><li>Integrando respecto a se tiene: </li></ul>
  15. 15. CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.) 13 Ejemplo 2.3 (Cont.) : <ul><li>Solución : </li></ul><ul><li>Integrando respecto a z, se tiene </li></ul><ul><li>Finalmente: </li></ul>
  16. 16. CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.) 14 Si se suman todas las contribuciones de toda la carga dentro del volumen de una región dada y se deja que el elemento de volumen ∆ v se aproxime a cero, cuando el número de elementos se hace infinito, entonces dicha suma se convierte en una integral, esto es: <ul><li>D2.4 </li></ul><ul><li>Calcular la carga total dentro de los volúmenes siguientes: </li></ul><ul><li>0.1 ≤ |x|, |y|, |z| ≤ 0.2 y </li></ul><ul><li>0 ≤ ρ ≤ 0.1, 0 ≤ Ф ≤ π , 2 ≤ z ≤ 4; ρ v = ρ 2 z 2 sin(0.6 Ф ) </li></ul><ul><li>En el universo; </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>0 </li></ul><ul><li>1.018 mC </li></ul><ul><li>6.28 C </li></ul>
  17. 17. CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA 15 Densidad de Carga [C/m]. Para una densidad (lineal y uniforme) en una l ínea de carga que se extiende desde - ∞ a + ∞ a lo largo del eje z, se tiene : <ul><li>Al variar Ф , con ρ y z contantes, la l ínea de carga conserva simetría azimutal. </li></ul><ul><li>Si se varía z , con ρ y Ф constantes, la línea de carga conserva simetría axial, por tanto, el campo es independiente de z . </li></ul><ul><li>Si varía ρ , con z y Ф constantes, el campo disminuye cuando ρ se incrementa, debido a la ley de Coulomb. </li></ul><ul><li>Si E Ф =0, entonces E z + y E z - se cancelan. </li></ul><ul><li>E ρ var ía únicamente con variación de ρ . </li></ul>
  18. 18. CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.) 16 De la gráfica se verifica que: Observe que el campo decae inversamente a la distancia a la línea de carga, a diferencia del caso puntual donde el campo disminuye con el cuadrado de la distancia.
  19. 19. CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.) 17 Ejemplo 2.4: Considere una línea de carga infinita situada a lo largo del eje z. La misma pasa por x=6 y y=8. Se desea encontrar E en un punto P(x,y,z) cualquiera del campo <ul><li>Solución : </li></ul><ul><li>Reemplazamos R en la ecuaci ón: </li></ul><ul><li>Siendo R igual a: </li></ul><ul><li>Por tanto, </li></ul>Observe que el campo no es función de z
  20. 20. CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.) 18 <ul><li>D2.5 </li></ul><ul><li>A lo largo de los ejes x y y (positivo y negativo) en el espacio libre se encuentran líneas de carga uniforme e infinitas de 5 nC/m. Encontrar el valor de E en: </li></ul><ul><li>P A (0,0,4) </li></ul><ul><li>P B (0,3,4) </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>45 a z V/m </li></ul><ul><li>10.8 a y + 36.9 a z V/m </li></ul>
  21. 21. CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA 19 Densidad de Carga Superficial [C/m 2 ]. Consideremos una lámina infinita dividida en tiras de ancho infinitesimal, como se muestra a continuación: La densidad de carga lineal de una tira es: La contribución al campo de la tira en el punto P es:
  22. 22. CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.) 20 Recordemos que una integral de la forma: Por tanto: Vectorialmente: Observe que el campo es constante en magnitud y dirección
  23. 23. CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.) 21 Si el punto que se elige sobre el eje x es negativo, en la ecuación : el vector unitario a N es normal a la lámina, esto significa que se aleja de ella [hacia afuera]. Sea una l ámina con carga ρ s . Si se coloca otra lámina con carga ρ s , que se sitúa en x=a, el campo total resultante para x>a es: y Resultado Para x<0: ; ; Para 0<x<a: ; ; Este es el campo existente entre las placas de un capacitor
  24. 24. CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.) 22 <ul><li>D2.6 </li></ul><ul><li>Tres láminas infinitas cargadas uniformemente se localizan en el espacio libre como sigue: </li></ul><ul><li>3nC/m 2 en z=-4 </li></ul><ul><li>6nC/m 2 en z=1 </li></ul><ul><li>-8nC/m 2 en z=4 </li></ul><ul><li>Encontrar E en el punto: </li></ul><ul><li>P A (2,5,-5) </li></ul><ul><li>P B (4,2,-3) </li></ul><ul><li>P C (-1,-5,2) </li></ul><ul><li>P D (-2,4,5) </li></ul><ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>-56.5 a z V/m </li></ul><ul><li>283 a z V/m </li></ul><ul><li>961 a z V/m </li></ul><ul><li>56.5 a z V/m </li></ul>
  25. 25. LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS 23 Representación Gráfica Líneas de Campo en dos Dimensiones <ul><li>Un esquema muy pobre. </li></ul><ul><li>Gráfica correcta. </li></ul><ul><li>Gráfica correcta. </li></ul><ul><li>Forma común de una gráfica de línea de corriente. En esta última gráfica, las flechas representan la dirección del campo en cada punto a lo largo de la línea, y el espaciamiento entre las líneas es inversamente proporcional a la magnitud del campo. </li></ul>
  26. 26. LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS (CONT.) 24 Ecuación Líneas de Flujo: Por geometría, se deduce que: como se verifica en el siguiente gráfico: Ejemplo: Considere el campo de una línea de carga uniforme con Resultando En coordenadas cartesianas se tiene: Estableciendo la Ec. Diferencial: Por tanto: Esta es la Ec. De las líneas de flujo
  27. 27. LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS (CONT.) 25 D2.7.a Obtener la ecuación de las líneas de flujo que pasan por el punto P(1,4,-2), en donde el campo es <ul><li>Ejercicio para realizar en el salón. </li></ul><ul><li>Respuestas: </li></ul><ul><li>x 2 +2y 2 =33 </li></ul>
  28. 28. GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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