MÉTODOS NUMÉRICOS   1.5 Serie de Taylor                   Gustavo Rocha                          2005-2
1.5 Serie de Taylor
1.5 Serie de TaylorLa serie de Taylor es, sin duda, el fundamentomatemático más importante para comprender, manejar yformu...
1.5 Serie de TaylorLa expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potenciasque representa, de manera exac...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorSea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de ordenn en el punto Xi, para ...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorSe trata de encontrar un polinomio de la forma:P(X) = a0 + a1X + a2 X 2 + a3 X 3 + ... +...
1.5.1 Expansión en serie de Taylor El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinom...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorLas n primeras derivadas del polinomio son:P(X) = b1 + 2b2 (X - Xi ) + 3b3 (X - Xi )2 + ...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorConsiderando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):                    b0 = f(...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorLas expresiones (1.20) y (1.20) son equivalentes y representan laexpansión en serie de T...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorB) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de Xi, se usala nomenclatura Xi-1, c...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorEjemplo. En el punto Xi = 1, la función f(X) y sus derivadas tomanlos siguientes valores...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorVamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansiónen serie de Taylor dad...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorEn el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajustaperfectamente a la función, por...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorUna función f(x) es analítica en xi, si se puede representar pormedio de una serie de po...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorEjemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30 , conociendo losvalores de la función y...
1.5.1 Expansión en serie de TaylorEjemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e-x y de sen x, en lavecindad de x = 1, ...
1.5.1 Expansión en serie de Taylor f( /6) = 1 - 1( /6)2/2! + 1( /6)4/4! - 1( /6)6/6!       = 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEn la sección 1.4 se esbozó lo que era un error portruncamiento, pero no quedó lo su...
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1) El valor de n, es decir, el número de términos de la serie,considerados al aproxi...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEn adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente laexpansión ...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorPor ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):                    ...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorAuxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que larecta que une los...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorInvocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe unpunto , entre Xi...
1.5.2 El residuo de la serie de Taylor  f(x)                     P(X) = ao + a1x + a2x2                                   ...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorUn truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximares una par...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEjemplo. Obtener una aproximación al valor del número e, con mantisa deocho dígitos ...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl error por truncamiento es:     R7 = fviii( )(1)8/8! = fviii( )/40320 = 0.00002786...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorLos valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo,pueden verificarse...
1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEn este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de e, echando manode ...
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  1. 1. MÉTODOS NUMÉRICOS 1.5 Serie de Taylor Gustavo Rocha 2005-2
  2. 2. 1.5 Serie de Taylor
  3. 3. 1.5 Serie de TaylorLa serie de Taylor es, sin duda, el fundamentomatemático más importante para comprender, manejar yformular métodos numéricos que se basan en laaproximación de funciones por medio de polinomios.Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de losmétodos numéricos se basan en la aproximación defunciones por medio de polinomios.
  4. 4. 1.5 Serie de TaylorLa expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potenciasque representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en lavecindad de un punto dado.Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unoscuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.El error del método numérico depende de la precisión con la que elpolinomio aproxima a a la función verdadera.Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación deldesarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de lasolución exacta.
  5. 5. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorSea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de ordenn en el punto Xi, para el cual se conoce el valor de la función a0 y elde sus derivadas: a1, a2, a3, a4, … an, … f(x) f(Xi+1) a0 x xi Xi+1
  6. 6. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorSe trata de encontrar un polinomio de la forma:P(X) = a0 + a1X + a2 X 2 + a3 X 3 + ... + an X n + ..._____ (1.13) que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xi.El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y lasprimeras n derivadas del polinomio se hacen coincidir con las nprimeras derivadas de la función en el punto Xi. P(Xi ) = f(Xi ) P(Xi) = f(Xi ) _____ (1.14) P(Xi ) = f(Xi ) ... P(n) (Xi ) = f (n) (Xi )
  7. 7. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):f(X) = P(X) = b0 + b1(X - Xi ) + b2 (X - Xi )2 + b3 (X - Xi )3 + ... + bn (X - Xi )n + ... ____ (1.15) Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión (1.13), se obtiene: a0 = b0 - b1Xi + b2 Xi2 - b3 Xi3 + b 4 Xi4 - ... a1 = b1 - 2b2 Xi + 3b3 Xi2 - 4b 4 Xi3 + ... a2 = b2 - 3b3 Xi + 6b 4 Xi2 - ... _____(1.16) ... an = bn - ...
  8. 8. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorLas n primeras derivadas del polinomio son:P(X) = b1 + 2b2 (X - Xi ) + 3b3 (X - Xi )2 + ... + nbn (X - Xi )n-1 + ...P(X) = 2b2 + 3 2b3 (X - Xi ) + ... + n(n-1)bn (X - Xi )n-2 + ... _____ (1.17)P(X) = 3 2b3 + ... + n(n-1)(n-2)bn (X-Xi )n-3 + ... ...P(n) (X) = n(n-1)(n-2) ... 3 2 1bn + ... = n!bn + ...Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto Xi: P(Xi ) = b0 0!b0 P(Xi ) = b1 1 1 !b P(Xi ) = 2b2 = 2!b2 _____ (1.18) ... P(n) (Xi ) = n!bn
  9. 9. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorConsiderando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18): b0 = f(Xi ) b1 = f(Xi )/1! b2 = f(Xi )/2! _______ (1.19) ... bn = f(n)(Xi )/n!Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):f(X) = f(Xi ) + f(Xi )(X - Xi ) + f(Xi )(X - Xi )2 /2! _____ (1.20) + f(Xi )(X - Xi )3 /3! + ... + f (n) (Xi )(X - Xi )n /n! + ... que en forma sintética se expresa: _____ (1.20) f(X) = f(j)(Xi )(X - Xi ) j /j! j=0
  10. 10. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorLas expresiones (1.20) y (1.20) son equivalentes y representan laexpansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función encualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en elpunto Xi. Se pueden presentar dos casos:A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de Xi, se usa lanomenclatura Xi+1, con lo que se indica que es mayor que Xi. X = Xi+1 > Xi ; Xi+1 - Xi = h > 0 (j) (j) j f(Xi+1 ) = f (Xi )(Xi+1 - Xi ) /j! = f (Xi )h j /j! _____ (1.21) j=0 j=0donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de unpaso hacia adelante.
  11. 11. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorB) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de Xi, se usala nomenclatura Xi-1, con lo que se indica que es menor que Xi. X = Xi-1 < Xi ; Xi - Xi-1 = h > 0 f(Xi-1 ) = (j) f (Xi )(Xi - Xi-1 ) j /j! - (j) f (Xi )(Xi - Xi-1) j /j! _____ (1.22) j par j impar (j) (j) ó f(Xi-1 ) = f (Xi )h j /j! - f (Xi )h j /j! _____ (1.22) j par j impardonde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un pasohacia atrás.Para cada combinación de puntos Xi, Xi+1 en una función f(x), laserie de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias enh = Xi+1 – Xi , para representar a f(X)
  12. 12. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorEjemplo. En el punto Xi = 1, la función f(X) y sus derivadas tomanlos siguientes valores: f(1) = 1; f(1) = 6; f(1) = 2; f(1) = 6.A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylordada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor dela función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de lafunción para Xi+1 = 3. f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)2/2! + 6(X - 1)3/3! = 1 + 6X - 6 + X2 - 2X + 1 + X3 - 3X2 + 3X - 1 = - 5 + 7X - 2X2 + X3 h = Xi+1 - Xi = 3 - 1 = 2 f(Xi+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)2/2! + 6(2)3/3! = 1 + 12 + 4 + 8 = 25
  13. 13. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorVamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansiónen serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la funciónpara Xi-1 = 0. f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)2/2! - 6(1 - X)3/3! = 1 - 6 + 6X + X2 - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X2 + X3 = - 5 + 7X - 2X2 + X3 h = Xi - Xi-1 = 1 - 0 = 1 f(Xi-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)2/2! - 6(1)3/3! =1-6+1-1=-5
  14. 14. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorEn el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajustaperfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial detercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior altercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de laexpansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sinerror alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valorde X.Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendenteso mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionaruna aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, cadauno de los términos de la serie infinita tiene un valor absolutodiferente de cero, con el que participa, así sea de maneramínima, en el valor de la función. En virtud de que no es posibleconsiderar un número infinito de términos, no hay más remedio quetruncar la serie y considerar únicamente los n primeros.
  15. 15. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorUna función f(x) es analítica en xi, si se puede representar pormedio de una serie de potencias en términos de h = xi+i – xi, dentrode un radio de convergencia 0 < xi+i - xi , y si todas sus derivadasson continuas en la vecindad de xi. Los polinomios son funcionesanalíticas en todas partes.Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad deun punto x0, excepto en el mismo, el punto se denomina singular yentonces la función no es analítica en x0. Algunas funcionestrascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) esanalítica excepto en (n + ½) .
  16. 16. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorEjemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30 , conociendo losvalores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando losprimeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. Noolvidemos trabajar en radianes: Xi = 0 = 0 ; Xi+1 = 30 = /6 ; h = Xi+1 - Xi = /6 - 0 = /6 f(X) = f(Xi) + f(Xi)h + f(Xi)h2/2! + f(Xi)h3/3! + fiv(Xi)h4/4! + fv(Xi)h5/5! + fvi(Xi)h6/6! f(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1 f(X) = - sen X f(0) = - sen 0 = 0 f(X) = - cos X f(0) = - cos 0 = - 1 f(X) = sen X f(0) = sen 0 = 0 fiv(X) = cos X fiv(0) = cos 0 = 1 fv(X) = - sen X fv(0) = - sen 0 = 0 fvi(X) = - cos X fvi(0) = - cos 0 = - 1
  17. 17. 1.5.1 Expansión en serie de TaylorEjemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e-x y de sen x, en lavecindad de x = 1, son respectivamente: -x -1 -1 h2 -1 h3 -1 h4 -1 e = e - he + e - e + e - ... 2! 3! 4! h2 h3 h4 sen(x) = sen(1) + h cos(1) sen(1) cos(1) sen(1) ... 2! 3! 4! El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el nombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: ex, cos x, y ln(x+1) x x2 x3 x 4 e =1+x+ + + + ... 2! 3! 4! x2 x 4 x6 x8 cos(x) = 1 ... 2! 4! 6! 8! x2 x3 x 4 ln(x 1) x + + + + ... 2 3 4
  18. 18. 1.5.1 Expansión en serie de Taylor f( /6) = 1 - 1( /6)2/2! + 1( /6)4/4! - 1( /6)6/6! = 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una calculadoracientífica de 8 dígitos, que es: cos 30 = 0.8660254, se aprecia queel truncamiento a siete términos de la serie, conduce a un pequeñoerror de 0.0000002
  19. 19. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEn la sección 1.4 se esbozó lo que era un error portruncamiento, pero no quedó lo suficientemente claro, porque paracomprender este concepto, faltaba conocer a detalle elcomportamiento de la expansión en serie de Taylor.Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento ycómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de unafunción para un determinado valor de la variable, considerandosolamente los primeros n términos de la serie infinita.Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuocuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de lafunción, o negativo, en profusión del valor de la función; en términosabsolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante(como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dosfactores:
  20. 20. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1) El valor de n, es decir, el número de términos de la serie,considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayorsea el valor de n, menor será el residuo y mejor será laaproximación al valor de la función.2) El valor de h, es decir, el tamaño del paso o distancia entre elvalor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de lavariable para el que se conoce el valor de la función y el de susderivadas; mientras menor sea el valor de h, mayor será la cercaníaentre Xi y Xi+1 y, por ende, mejor será la aproximación al valor de lafunción.
  21. 21. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEn adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente laexpansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante paraaproximar f(Xi+1) a partir de f(Xi) y sus derivadas, conforme a la expresión(1.21), la que en forma explícita se escribe: f(Xi+1) = f(Xi) + f(Xi)h + f(Xi)h2/2! + f(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + ...__ (1.21) y en forma alternativa: f(Xi+1) = f(Xi) + f(Xi)h + f(Xi)h2/2! + f(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + Rn (1.23)Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor conresiduo, y es idéntica a la expresión (1.21), excepto porque los puntossuspensivos se han sustituido por el término Rn, que sintetiza los términosde la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuode la aproximación al n-ésimo orden.La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice nindica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1)términos de la serie.
  22. 22. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorPor ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0): f(Xi+1) f(Xi)lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es unaconstante: P(X) = a0 ; si tal suposición es cierta, la aproximación resultaperfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo R0 talque se cumple: f(Xi+1) = f(Xi) + R0R0 = f(Xi)h + f(Xi)h2/2! + f(Xi)h3/3! +...+ f(n)(Xi)hn/n! +... _____ (1.24)R0 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a lade la expresión (1.21), excepto por la exclusión del primer término.Para simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: R0 f(Xi)h,despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto.Conviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar R0.
  23. 23. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorAuxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que larecta que une los puntos [Xi, f(Xi)], [Xi+1,f(Xi+1)], tiene pendiente R0/h. f(x) f’( ) f(Xi+1) R0 = f(Xi+1) - f(xi) P(X) = ao f(xi) xi Xi+1 x h
  24. 24. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorInvocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe unpunto , entre Xi y Xi+1, para el cual el valor de la primera derivada f( ), esdecir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela ala recta mencionada previamente: R0/h = f( ); y entonces: R0 = f( )h _____ (1.25)De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2): f(Xi+1) f(Xi) + f(Xi)hestaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta:P(X) = a0 + a1X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta ysin error, pero si no es así, existe un residuo R1 tal que: f(Xi+1) = f(Xi) + f(Xi)h + R1 R1 = f(Xi)h2/2! + f(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + ...R1 es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R0, peroahora considerando el teorema extendido del valor medio, también sepuede evaluar de manera exacta mediante: R1 = f( )h2/2!Y así, sucesivamente:
  25. 25. 1.5.2 El residuo de la serie de Taylor f(x) P(X) = ao + a1x + a2x2 f(x)f(Xi+1) P(X) = ao + a1x ao P(X) = ao xi Xi+1 x h
  26. 26. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorUn truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximares una parábola P(X) = a0 + a1X + a2X2 y un posible error dado por elresiduo de segundo orden R2.Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función aaproximar es una parábola cúbica P(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 y unposible error dado por el residuo de segundo orden R3.En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone unpolinomio P(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 + ... + anXn y un posible error dadopor el residuo de n-ésimo orden, que se expresa: Rn = f(n+1)( )hn+1/(n+1)! _____ (1.26)Rn es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(Xi+1),considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión enserie de Taylor correspondiente a la función.
  27. 27. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEjemplo. Obtener una aproximación al valor del número e, con mantisa deocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión enserie de Taylor para la función f(X) = ex.Sabemos que:e0 = 1,entonces: Xi = 0 ; Xi+1 = 1 ; h=1-0=1f(0) = e0 = 1 f(1) = ef(1) = f(0) + f(0)(1) + f(0)(1)2/2! + f(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f(X) = ex f(0) = 1f(X) = ex f(0) = 1f(X) = ex f(0) = 1 ...f(n)(X) = ex f(n)(0) = 1f(1) 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7!e 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 + + 0.00138889 + 0.00019841 = 2.71825397El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: e = 2.71828183
  28. 28. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl error por truncamiento es: R7 = fviii( )(1)8/8! = fviii( )/40320 = 0.00002786 fviii( ) = e = 1.1233152 ; = 0.11628431Observamos que efectivamente se localiza entre Xi y Xi+1: 0 < < 1,aunque bastante más cerca de Xi que de Xi+1Si hubiésemos truncado a solo tres términos: e 2.5, R2 = f( )(1)3/3! = f( )/6 = 0.21828183 f( ) = e = 1.30969098 ; = 0.26979122Vemos también que el valor de es distinto para residuos de diferenteorden, pero siempre cumple con localizarse entre Xi y Xi+1.
  29. 29. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorLos valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo,pueden verificarse fácilmente:n e Rn f(n+1)( )0 1 1.71828183 1.71828183 0.541324861 2 0.71828183 1.43656366 0.362253912 2.5 0.21828183 1.30969098 0.269791723 2.66666667 0.05161516 1.23876384 0.214113984 2.70833334 0.00994849 1.19381880 0.177157245 2.71666667 0.00161516 1.16291520 0.150929966 2.71805556 0.00022627 1.14040080 0.131379787 2.71825397 0.00002786 1.12331520 0.11628431
  30. 30. 1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEn este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de e, echando manode una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número ees conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible acualquiera.Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una funcióncomplicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de sucomportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cadadeterminado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular conexactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda deellos.Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función deinterés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre Xi y Xi+1,es decir: * = (Xi + Xi+1)/2 _____ (1.27)con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, loserrores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos. Rn = f(n+1)( *)hn+1/(n+1)! _____ (1.26)

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