Actividades para el estudiante
TALLER
A. En los ejercicios siguientes, formular y evaluar la integral que da el volumen de...
C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por
las graficas de las ecu...
3.

4.

C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por
las graficas de...
Cuando este rectángulo gira alrededor de su
eje de revolución, forma una capa cilíndrica (o
tubo) de espesor w. Para encon...
Se puede aproximar el volumen del sólido por n capas de espesor

∆ , de altura h(y) y radio
y

medio p(yi).
n

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i =1

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= 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx =
b

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2π∫ x x − x 3 dx
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V = 2π∫ x 2 − x 4 dx
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 x3 x5  1
− 
5 0
3
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= 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx =
b

V

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2π∫ x x − x 3 dx
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V = 2π∫ x 2 − x 4 dx
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Unidad 1 parte 3 b de matemáticas ii v3

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Unidad 1 parte 3 b de matemáticas ii v3

  1. 1. Actividades para el estudiante TALLER A. En los ejercicios siguientes, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región alrededor del eje x. 1. 3. 2. 4. B.- En los ejercicios siguientes formular la integral que da el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje y 5. 6. 64
  2. 2. C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las graficas de las ecuaciones al girar alrededor de las rectas dadas. 7. y = x, y = 0, a) el eje x 8. y = 2 x 2 , y = 0, x =4 b) el eje y a) el eje y c) la recta x=4 d) la recta x=6 9. y = x 2 , y = 4 x − x 2 c) la recta y=8 10. y = x + 6, a) el eje x a) el eje x b) la recta y=6 11. Si la porción de la recta y = x =2 b) el eje x d) la recta x=2 y = 6 − 2x − x2 b) la recta y=3 1 x , que queda en el primer cuadrante se gira alrededor del eje x, 2 se genera un cono. Encontrar el volumen del cono que se extiende de x=0 a x=6. 12. Usar el método de discos para verificar que el volumen de un cono circular recto es 1 3 π h, r 3 donde r es el radio de la base y h es la altura. TAREA A. En los ejercicios siguientes, formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región alrededor del eje x. 1. 2. B.- En los ejercicios siguientes formular la integral que da el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje y 65
  3. 3. 3. 4. C. En los ejercicios siguientes encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las graficas de las ecuaciones al girar alrededor de la recta y=4. 5. y = x y = 3, 7. y = 1 , 1+ x x =0 y = 0, x = 0, x = 3 6. y = 1 3 x , y = 4, 2 8. y = sec x, x =0 y = 0, 0 ≤ x ≤ 9. Usar el método de discos para verificar el volumen de una esfera π 3 4 3 π . r 3 10. Una esfera de radio r es cortada por un plano situado h (h<r) unidades sobre el ecuador. Encontrar el volumen del sólido (el segmento esférico) sobre el plano. 11. Un cono de altura H con base de radio r es cortado en un plano paralelo a la base y situado h unidades sobre ella. Encontrar el volumen del sólido (el tronco de un cono) que queda debajo del plano. 1.7.3 Calculo de Volumen por el método de las capas En esta sección se estudiará un método alternativo para encontrar el volumen de un sólido de revolución. El método se denomina método de las capasporque usa capas cilíndricas. Más adelante, en esta sección, se hará una comparación de las ventajas de los métodos de los discos y de las capas. Para iniciar consideremos un rectángulo representativo como se muestra en la figura 1.7.12, donde w es la anchura del rectángulo, h es la altura y p es la distancia entre el eje de revolución y el centro del rectángulo. 66
  4. 4. Cuando este rectángulo gira alrededor de su eje de revolución, forma una capa cilíndrica (o tubo) de espesor w. Para encontrar el volumen de esta capa, considerar dos cilindros. El radio del cilindro más grande corresponde al radio exterior de la capa y el radio del cilindro más pequeño corresponde el radio interno de la capa. Porque p es el radio medio de la capa, se sabe que el radio exterior es p+(w/2) y el radio interno es p - (w/2). Figura 1.7.12 p+ w Radio externo 2 y p− w 2 Radio interno Así que el volumen de la capa es: Volumen de la capa = (volumen del cilindro) - (volumen de hueco) 2 2 w w   V = π p +  h −π p −  h 2 2   V = 2π phw V = 2π( radio medio)( altura )(espesor ) Esta fórmula se puede utilizar para calcular el volumen de un sólido de revolución. Asumir que la región plana en la figura 1.7.13, gira alrededor de una recta para formar el sólido indicado. Figura 1.7.13 y Si se considera un rectángulo horizontal de anchura ∆ , entonces, cuando la región plana gira alrededor de la recta paralela al eje x, el rectángulo genera una capa representativa cuyo volumen es: ∆V = 2π [ p ( y ) h( y ) ]∆y 67
  5. 5. Se puede aproximar el volumen del sólido por n capas de espesor ∆ , de altura h(y) y radio y medio p(yi). n n i =1 i =1 Volumen del sólido ≈ ∑2π [ p ( yi )h( yi )]∆y = 2π ∑[ p( yi ) h( yi )]∆y Esta aproximación mejora al hacer ∆ → (n → ) 0 ∞ . Así, el volumen del sólido es: Volumen del sólido = Lim 2π ∆ →0 d = 2π ∫ c n ∑[ p( y )h( y )]∆y i= 1 i i [ p( y )h( y )]dy Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de las capas, usar alguna de las formulas siguientes, como se muestra en la figura 1.7.14. Eje de revolución horizontal Volumen = V = 2π ∫ [ p ( y ) h( y )]dy c d Eje de revolución horizontal Eje de revolución vertical Volumen = V = 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx a b Eje de revolución vertical Figura 1.7.14 Ejemplo 1. Uso del método de capas para encontrar un volumen. Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por: y = x − x 3 y el eje x (0≤x≤1) alrededor del eje y. Solución. Porque el eje de revolución es vertical, usar un rectángulo representativo vertical, como x se muestra en la figura 1.7.15. La anchura ∆ indica que x es la variable de integración. La distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es p ( x) = x, y la altura del rectángulo es: h( x ) = x − x 3 68
  6. 6. = 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx = b V a ( 1 ) 2π∫ x x − x 3 dx 0 1 ( ) V = 2π∫ x 2 − x 4 dx 0  x3 x5  1 −  5 0 3 V = 2π  simplificando integrando 1 1  −  3 5 V = 2π  V= 4π 15 Figura 1.7.15 Ejemplo 2. 2 Encontrar el volumen del sólido de revolución al girar la región acotada por la grafica de x = e − y y el eje y (0≤y≤1) alrededor de eje x. Solución. Debido a que el eje de revolución es horizontal, usar un rectángulo representativo y horizontal, como se muestra en la figura 1.7.16. La anchura ∆ indica que y es la variable de 2 integración. La distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es p ( y ) = e − y . La distancia y va de 0 a 1, por lo tanto el volumen es: d = 2π ∫ V= c 1 ( [ p( y )h( y )]dy = ) 2π∫ y e −y dy 0 2 [ ] −y = −π e 2   V = π 1 − 1 0 1  = − π  −1 e   1  e V ≈ 1.986 Figura 1.7.16 69
  7. 7. = 2π∫ [ p ( x )h( x )]dx = b V a ( 1 ) 2π∫ x x − x 3 dx 0 1 ( ) V = 2π∫ x 2 − x 4 dx 0  x3 x5  1 −  5 0 3 V = 2π  simplificando integrando 1 1  −  3 5 V = 2π  V= 4π 15 Figura 1.7.15 Ejemplo 2. 2 Encontrar el volumen del sólido de revolución al girar la región acotada por la grafica de x = e − y y el eje y (0≤y≤1) alrededor de eje x. Solución. Debido a que el eje de revolución es horizontal, usar un rectángulo representativo y horizontal, como se muestra en la figura 1.7.16. La anchura ∆ indica que y es la variable de 2 integración. La distancia del centro del rectángulo al eje de revolución es p ( y ) = e − y . La distancia y va de 0 a 1, por lo tanto el volumen es: d = 2π ∫ V= c 1 ( [ p( y )h( y )]dy = ) 2π∫ y e −y dy 0 2 [ ] −y = −π e 2   V = π 1 − 1 0 1  = − π  −1 e   1  e V ≈ 1.986 Figura 1.7.16 69

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