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  1. 1. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden2.1Objetivos.Se persigue que el estudiante:• Encuentre soluciones generales y/oparticulares de Ecuaciones Diferenciales desegundo orden• Determine Estabilidad dinámica cuantitativay/o cualitativamente.2.1 Ecuación Diferenciales de segundoorden con coeficientes constantes.2.2 Ecuaciones diferenciales de ordensuperior2.3 Análisis Cualitativo21
  2. 2. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDOORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:)()(´)(´´ xgyxqyxpy =++Si 0)( =xg se llama Ecuación homogénea caso contrario; es decir, si0)( ≠xg se llama Ecuación no homogénea.Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes esde la forma:)(´´´ xgcybyay =++ donde , ya b c IR∈ y 0≠a2.1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CONCOEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEAUna ecuación diferencial de Segundo Orden con coeficientes constanteshomogénea es de la forma:0´´´ =++ cybyayLa función " ", solución general de la ecuación diferencial anterior, es de laformayrxkexy =)( (¿Por qué?). Donde " " es una constante que da la generalidadde la solución.kEntonces el objetivo ahora será hallar el valor de r .Bien, de la solución general tenemos: rxrxekrykrey2=′′=′Reemplazando en 0´´´ =++ cybyay tenemos:[ ] 0022=++=++cbrarkeckebkreeakrrxrxrxrxAhora bien, porque si no tuviéramos las solución trivial y comotambién , entonces0≠k0≠rxe 02=++ cbrar . A esta expresión se la denominaEcuación Auxiliar y es útil para hallar r .Observe que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raicesse las puede determinar empleando la formula general2
  3. 3. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenaacbbrr24,221−±−=Aquí se presentan tres casos.Caso IDiscriminante positivo [ ]042>− acb . Entonces y son raíces reales ydiferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales1r 2rxrxrekxyekxy212211)()(==La solución General estaría dada por la combinación lineal de las solucionesfundamentalesxrxrekekxy 2121)( +=Caso IIDiscriminante cero [ ]042=− acb . Entonces y son raíces reales eiguales.1r 2rEn este caso la solución General sería: rxrxxekekxy 21)( +=Caso IIIDiscriminante negativo [ ]042<− acb . Entonces ir µ+λ=1 y sonraíces complejas conjugadasir µ−λ=2Reemplazando en tenemos:xrxreCeCxy 2121)( +=[ ]ixixxixxixxxixieCeCexyeeCeeCxyeCeCxyµ−µλµ−λµλµ−λµ+λ+=+=+=2121)(2)(1)()()(Como xixe xiµ+µ=µsencos y xixe xiµ−µ=µ−sencosReemplazando tenemos:[ ][ ]xiCiCxCCexyxixCxixCexyxxµ++µ+=µ−µ+µ+µ=λλsen)(cos)()()sen(cos)sen(cos)(212121Por lo tanto la solución sería [ ])cos()sen()( 21 xkxkexy xµ+µ= λEjemplo 1Encuentre la solución general para 0124 =−′−′′ yyySOLUCIÓN:En este caso la ecuación auxiliar sería 01242=−− rr3
  4. 4. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenHallando las raíces tenemos260)2)(6(−===+−rrrrPor tanto:61 122 26 21 2( )( )( )xxx xy x k ey x k ey x k e k e−−=== +Podemos comprobar que efectivamente esta es la función que satisface la ecuación diferencial dada.Obtengamos la primera y la segunda derivadaxxxxekekyekeky2261226143626−−+=′′−=′Luego, reemplazando0001212824436 226122612261==−−+−+ −−− xxxxxxekekekekekekEjemplo 2Encuentre la solución general para 032 =+′−′′ yyy , 1)0(1)0( =′= yySOLUCIÓN:En este caso la ecuación auxiliar sería 0132 2=+− rrHallando las raíces tenemos2114134)1)(2(49321 ==±=−±=rrrrPor tanto, la solución general sería:xxekekxy 2121)( +=Como las condiciones iniciales están dadas debemos encontrar las constantes y1k 2kComo 1)0( =y entonces210201211)0()(2121kkekekyekekxy xx+=+=+=Obteniendo la primera derivada:xxekekxy 212121)( +=′4
  5. 5. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenComo 1)0( =′y entonces2102012121121)0(21)(2121kkekekyekekxy xx+=+=′+=′Resolviendo simultáneamente⎪⎩⎪⎨⎧+=+=21212111kkkktenemos: 02 =k y 11 =kPor tanto, la solución particular es: xexy =)(Ejemplo 3Encuentre la solución general para 044 =+′+′′ yyySOLUCIÓN:En este caso la ecuación auxiliar sería 0442=++ rrHallando las raíces tenemos220)2)(2(21 −=∨−==++rrrrPor tanto, la solución general sería:xxxekekxy 2221)( −−+=Ejemplo 4Encuentre la solución general para 0136 =+′+′′ yyy ; 1)0(;1)0( =′= yySOLUCIÓN:En este caso la ecuación auxiliar seríaHallando las raíces tenemos:iririrrrrirrrr2323246,21166,12166,2)13)(1(4366,2121212121−−=∨+−=±−=−±−==−−±−=−±−=En este caso 3−=λ y 2=µ , por tanto la solución general sería:[ ])2cos()2sen()( 213xkxkexy x+= −Como 1)0( =y entonces[ ][ ]21)1(2)0(1)1(1))0(2cos(2))0(2sen(1)0(3)0(kkkkkey=+=+−=5
  6. 6. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenComo 1)0( =′y entonces[ ] [[ ] [23121)0cos(2)0sen(1)0(33)0sen(22)0cos(12)0(3)0()2cos(2)2sen(133)2sen(22)2cos(123)(kkkkekkeyxkxkxexkxkxexy−=+−−−−=′+−−−−=′ ]]Resolviendo simultáneamente211)1(2321122321==+=+kkkkPor tanto, la solución general sería [ ])2cos()2sen(2)( 3xxexy x+= −Ejercicios propuestos 2.1Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden1. 04 =+′′ yy ; 1)0´(,1)0( == yy2. 02 =+′−′′ yyy3. 09 =+′′ yy4. 044 =+′+′′ yyy ; 1)0´(,1)0( == yy5. 0=−′′ yy6. 0´=−′′ yy ; 1)0´(,1)0( == yy7. 0=+′′ yy ; 1)0´(,1)0( == yy8. 0´=+′′ yy9. 0221=+′′ yy10. 096 =+′−′′ yyy2.1.1.1 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICAEn el capítulo anterior se mencionó que la estabilidad dinámica de unatrayectoria se la determina con)(ty )(lím tyt ∞→.Podemos ir analizando por casos.Caso I,trtrekekty 2121)( += Si las raíces son reales y diferentes, estastienen que ser negativas para que la trayectoria sea dinámicamente estable.Caso II,rtrttekekty 21)( += . Si las raíces son reales e iguales entonces rtiene que ser negativa ( ) para que la trayectoria sea dinámicamente estable0<rCaso III [ utkutkety tsencos)( 21]+= λSi las raíces son complejasconjugadas entonces la parte real λ tiene que ser negativa ( ) para que latrayectoria sea dinámicamente estable.0<λ6
  7. 7. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden2.1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDENCON COEFICIENTE CONSTANTE NO HOMOGÉNEASUna ecuación diferencial de segundo orden con coeficientse constante ytérmino variable es de la forma:)(xg)(xgcyybya =+′+′′La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones,una solución complementaria y una solución particular .Cy PyPARTSOLpCOMPLSOLc xyxyxy )()()( +=La Solución complementaria satisface la ecuación homogéneaCy0=+′+″ccc cybyayPor tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionadoanteriormente.La Solución particular satisface la ecuación no homogéneaPy)(xgcybyay ppp =+′+″Esta solución, si es de forma polinómica o exponencial o trigonométrica desenos y cosenos, se la puede determinar empleando el llamado Método de loscoeficientes indeterminados.En estos casos, de acuerdo a la forma de , la solución particulares deducible. Observe el siguiente cuadro.)(xg )(xy pSi 0111)( axaxaxaxg nnnn ++++= −− … entonces [ ]0111)( AxAxAxAxxy nnnnsp ++++= −− …Si xaexg α=)( entonces [ ]xsp Aexxy α=)(Si xaxaxg β+β= cossen)( 21 entonces [ ]xBxAxxy sp β+β= cossen)(Note que la solución particular aparece multiplicada porsx , esto es para elcaso de que existan soluciones particulares que no sean linealmenteindependientes de las soluciones complementarias. Es decir, a necesidad sepuede utilizar 2,1,0=s7
  8. 8. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenEjemplo 1Sea xxyyy 394" 2+=++ Hallar la solución GeneralSOLUCIÓN:La solución general es de la forma Pc yyty +=)(Primero hallemos .cyLa solución complementaria satisface la ecuación homogénea .094" =++ ccc yyyLa ecuación auxiliar es . Hallando las raíces tenemos0942=++ rr( )iririririrrrrrrrrrr522252425212524125242,1214.542,1212042,122042,12)9(41642,1−−=⇒−−=+−=⇒+−=±−=−±−=−±−=−±−=−±−=Por tanto [ ])5cos()5sen()( 212xkxkexy xc += −Segundo, hallemos PyComo xxxg 3)( 2+= (polinomio de grado 2) entonces la solución particular es de la formaCBxAxxy p ++= 2)( (polinomio generalizado de grado 2). Luego debemosdeterminar los coeficientes A , y C .BLa solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir,xxyyy ppp 394" 2+=++Hallemos la primera y la segunda derivada para CBxAxxy p ++= 2)(AybAxypp2"2=+=Reemplazando y agrupando03)942()98(9394822222++=++++++=+++++xxcbAxbAAxxxcbxAxbAxASi dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales8
  9. 9. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenEntonces⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=094239819CBABAAResolviendo el sistema simultáneo tenemos:91=A ,8119=B y72994−=cPor, tanto72994811991)( 2−+= xxxy pFinalmente la solución general sería:[ ] 72994811991)5cos()5sen()( 2212−+++= −xxxkxkexy xEjemplo 2Sea xyy 3sen64" =+ Hallar la solución GeneralSOLUCIÓN:Primero hallemos .cyLa solución complementaria satisface la ecuación homogénea .04" =+ cc yyLa ecuación auxiliar es . Hallando las raíces tenemos:042=+ririrrrr20201444212−=+=−±=−±=−=Por tanto[ ])2cos()2sen()()2cos()2sen()(21210xkxkxyxkxkexycc+=+=Segundo, hallemos PyComo xxg 3sen6)( = entonces la solución particular es de la formaxBxAxy p 3cos3sen)( += . Luego debemos determinar los coeficientes A y .BLa solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decirxyy PP 3sen64" =+Hallemos la primera y la segunda derivadaxBxAyxBxAypp3cos93sen9"3sen33cos3−−=−=Reemplazando y agrupando9
  10. 10. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenIgualando coeficientes, tenemos:( ) ( ) xxxBxAxxxBxAxBxAxyy pp3cos03sen63cos53sen53cos03sen6)3cos3sen(4)3cos93sen9(3sen64"+=−+−+=++−−=+⎩⎨⎧=−=−0565BAResolviendo el sistema simultáneo tenemos:56−=A y 0=BPor, tanto xxxyp3cos03sen56)( +−=Finalmente la solución general sería:xxkxkxy 3sen562cos2sen)( 21 −+=Ejemplo 3Hallar la solución para 2)0(,0)0(;34" 2==+=+ yyexyy x.SOLUCIÓN:Primero hallemos .cyLa solución complementaria satisface la ecuación homogénea .04" =+ cc yyLa ecuación auxiliar es . Hallando las raíces tenemos:042=+ririrrrr20201444212−=+=−±=−±=−=Por tanto[ ])2cos()2sen()()2cos()2sen()(21210xkxkxyxkxkexycc+=+=Segundo, hallemos PyComo xexxg 3)( 2+= (combinación lineal de polinomio con exponencial) entonces lasolución particular es de la forma xp DeCBxAxxy +++= 2)( . Luego debemosdeterminar los coeficientes A , , C yB D .La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decirxpp exyy 34" 2+=+10
  11. 11. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenHallemos la primera y la segunda derivadaxpxpDeAyDeBAxy+=++=2"2Reemplazando y agrupandoxxxxxexxDeCABxAxexDeCBxAxDeA3005)42(443444422222+++=+++++=+++++Igualando coeficientes, tenemos:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==350420414DCABAResolviendo el sistema simultáneo tenemos:5381041=−===DCBAPor, tanto xp exxy538141)( 2+−=Finalmente la solución general sería:xexxkxkxy5381412cos2sen)( 221 +−++=Con tenemos0)0( =y40192 −=kCon tenemos2)0( =y1071 =kFinalmente xexxxxy5381412cos40192sen107)( 2+−+−=Note que no es dinámicamente estable. ¿Por qué?Ejercicios propuestos 2.2Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden1. 18322 23++−−=−′−′′ xxxyyy2. xexyyy +=+′−′′ 2963. xxyyy 2sen32cos2 −=+′+′′4. xyy 2=+′′5. xxeexyyy −−+=−′+′′ 8211
  12. 12. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden6. xeyyy x2sen54 −=+′+′′ −7. 1sen13352 3+−=−′−′′ xexyyy8. ( ) ( )5102070;2sencos2 =′−=−=−′−′′ yyxxyyy9. ( ) ( ) 3010;112 2=′=−+=−′+′′ yyeeyyy xx10. ( ) ( ) 1010;sen 2−=′=−=−′′ yyexyy x11. ( ) ( ) 3030;4107 2−=′=+−=+′−′′ yyexyyy x2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIORPara resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales decoeficientes constantes, podemos pensar en procedimientos análogos.EjemploHallar la solución para 24816"146 =+++′′′+ yyyyyIVSOLUCIÓN:Primero, encontramos la solución complementaria que satisface la ecuación homogénea.cy0816"146 =+++′′′+ ccccIVc yyyyyLa ecuación auxiliar sería .0816146 234=++++ rrrrEncontramos las raíces por división sintéticairirrrrrrrrrrrr−−=+−=−±−=−±−==++−=−−−−=+++−=−−−−−11242,2)2(442,0222022144202464104642046418128202816146143434322231Por tanto[ ]xkkexekekxy xxxc cossen)( 432221 +++= −−−Segundo, la solución particular es de la formapy Ayp = porque 24)( =xg .12
  13. 13. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenEntonces000"0==′′′==IVppppyyyyReemplazando y calculando3248)0(16)0(14)0(6024816"146==++++=+++′′′+AAyyyyy pppppIVPor tanto [ ] 3cossen)( 432221++++= −−−xkxkexekekxy xxxObserve que es dinámicamente estable, es decir que converge al nivel de equilibrio)(ty 3=yEjercicios propuestos 2.3Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales1. ´´´ 7 ´´ 15 ´ 9 0y y y y+ + + =2. ´´´ 2 ´´ ´ 2 4y y y y− − + =3. ´´´ 6 ´´ 10 ´ 8 8y y y y+ + + =2.3 ANÁLISIS CUALITATIVOPara ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficentesconstantes, podemos utilizar el siguiente análisis si se trata de determinar laestabilidad2.3.1 Teorema de RouthSea la ecuación polinómica de grado n013322110 =++++++ −−−−nnnnnnararararara …La parte real de todas las raíces son negativas si ysólo sí los " " primeros determinantes de la siguientensucesión:1a ;2031aaaa;314205310 aaaaaaaa;4205316420753100aaaaaaaaaaaaaa;...Son todos positivosNota: Si0=ma nm >13
  14. 14. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo ordenYa usted ha tenido la oportunidad de observar que para que una trayectoria, solución de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes ytérmino constante, sea dinámicamente estable se requiere que las raíces de laecuación auxiliar o la parte real (en el caso de las raíces complejas) sean todasnegativas. Entonces para determinar lo anterior basta con emplear el Teorema deRouth.)(tyEjemplo 1Determine cualitativamente la estabilidad dinámica para0816"146 =+++′′′+ yyyyy IVSOLUCIÓN:Empleando el Teorema de Routh. La ecuación auxiliar es 0816146 234=++++ rrrrEn este caso y además4=n816146143210=====aaaaaLos cuatros determinantes serían:61 =a ; 6816841411662031=−==aaaa;8001660814101660 31420531==aaaaaaaa640081410016600814100166=Como todos los determinantes son positivos entonces todas las raíces son negativas; por tanto lasolución es dinámicamente estableEjemplo 2Determine cualitativamente la estabilidad dinámica para31827"10 =−+−′′′ yyyySOLUCIÓN:Empleando el Teorema de Routh. La ecuación auxiliar es 0182710 23=−+− rrrEn este caso y además3=n18271013210−==−==aaaaLos cuatros determinantes serían:101 −=a ; 25227118102031−=−−=aaaa;14
  15. 15. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Ecuaciones Diferenciales de segundo orden5184181000271018100 31420531=−−−−=aaaaaaaaComo los determinantes no todos son positivos entonces no todas las raíces son negativas; por tanto lasolución es NO dinámicamente estable.Ejercicios propuestos 2.4Determine si las soluciones de las ecuaciones diferenciales son trayectoriastemporales convergentes o no. Emplee el teorema de Routh1. ´´´ 10 ´´ 27 ´ 18 3y y y y− + − =2. ´´´ 11 ´´ 34 ´ 24 5y y y y+ + + =3. ´´´ 4 ´´ 5 ´ 2 2y y y y+ + − = −Misceláneos1. Hallar la serie de Taylor alrededor de la 00 =x de la función xxxf cos)( =2. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales e indique si la solucióncomplementaria converge o no.a) ( ) xexyyy x1014´4´´ 2++=++ −b) xxyyyy sen3243´´´3´´´ ++=−−+c) tetyyy 2´" +=++d) 1)0´(,1)0(;129´6" 3=−=++=++ −yyxeyyy x3. Un estudio de explotación de un recurso natural, utiliza la ecuación diferencial:3112 222=β−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛β−β−− xadtdxadtdxa) Probar que yatetx =)(1β−= 12 )(atetx donde 1,0 ≠β≠a son soluciones de laecuación homogénea.b) Si y5−=a 9−=β encuentre la solución general e indique si la solución converge a largoplazo.15

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