1. Universidade Federal de Goiás
Escola de Engenharia Elétrica e de Computação
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Elementos de Máquinas 2
Prof.: Ricardo Humberto de Oliveira Filho
ANÁLISE DE TENSÕES
EM ENGRENAGENS
2. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Engrenagens podem falhar basicamente por dois tipos de solicitação:
•a que ocorre no contato, devido à tensão normal;
•e a que ocorre no pé do dente, devido a flexão causada pela carga
transmitida.
A fadiga no pé do dente causa a quebra do dente, o que não é comum
em conjuntos de transmissão bem projetados.
Geralmente, a falha que ocorre primeiro é a por fadiga de contato.
4. A parte que tende ao vermelho mostra as maiores tensões em magnitude (Von
Mises) e a parte em azul as menores.
Esse modelo corresponde exatamente ao resultado obtido por outras técnicas,
como a fotoelasticidade, e mostra as tensões que levam às falhas citadas.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
5. A próxima figura mostra um caso de falha por fadiga de contato ainda no estágio
inicial.
Esses pequenos sulcos são formados na região próximo a linha primitiva do
dente, que é definida pelo diâmetro primitivo.
Surgem nessa região porque a velocidade de deslizamento entre os dentes anula-
se no ponto primitivo
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
6. A figura a seguir mostra ainda o mesmo tipo de falha após a progressão.
Nesse caso, a falha de fadiga por contato aumenta de tamanho e partes maiores
são arrancadas da superfície.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
7. Formulação de Lewis (1892):
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
2
3
t
W P xP
onde Y
FY
σ = =
2
4
t
x
l
=
8. 2 2 2 4
6
6 1 1 1
/ 6 / 4
t t t
W l W W
Ft F t l F t l
σ = = =
( )2
3
passo circular
largura da face
t
pW p
FF xp
σ
=
2
3
x
y
p
=
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
P
p
π
=Y yπ=
2
/ 2
/ 2 4
t l t
x
x t l
= =Por semelhança de triângulos:
t
W P
FY
σ =2
3
xP
Y =
10. Fatores de Correção:
Dinâmicos:
• Desvios do perfil evolvental;
• Velocidade;
• Deformações decorrentes do contato;
• Tenacidade do material das engrenagens, etc.
O ruído no engrenamento significa que existem impactos sobre os
dentes das engrenagens.
v
t
WK P
FY
σ =
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
11. • Fatores dinâmicos perfil cicloidal (Século XIX):
600
Engrenagem de FoFo obtida por fundição
600
1200
Perfis cortados em fresas
1200
v
v
V
K
V
K
+
= →
+
= →
• Fatores dinâmicos perfil evolvental (Século XX):
50
Engrenagem obtida por processo de corte em fresa
50
78
Perfil retificado
78
v
v
V
K
V
K
+
= →
+
= →
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
12. ≅
Raio de curvatura do dente Raio do cilindro
Largura do dente Comprimento do cilindro
≅
≅
t
W
t
W
Durabilidade Superficial:
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
13. Teoria de Hertz para contato entre cilindros:
( ) ( )
( ) ( )
max
1
22 2
1 1 2 2
1 2
max
1 2 1 2
1 2
2
1 12
1 1
orça de contato nos cilindros
pressão máxima nas superfícies
comprimento dos cilindros
, , E e constantes elásticas
e d
F
p
bl
E EF
b
l d d
F f
p
l
E
d
π
ν ν
π
ν ν
=
− + − =
+
→
→
→
→
→ diâmetros dos cilindros
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
14. Teoria de Hertz para contato em engrenagens:
É negativo por ser tensão de compressão!
( ) ( )
( ) ( )
1
1 22
2 2
1 1 2 2
2
1
2
1 2
sin
1/ 1/ 2
cos sin1 / 1 /
2
1 1
cos
p
t
c
G
t
v
c p
d
r
r rW
F dE E
r
K W
C
F r r
φ
σ
π φ φν ν
σ
φ
=+
=
− + − =
= − + ÷
1
2
2 2
1 2
1 2
1
1 1
pC
E E
ν ν
π
=
− −
+ ÷
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
15. Equações Fundamentais de Tensão de Flexão da Norma AGMA:
0
0
(Imperial Units)
1
(Unidades Métricas)
t d m B
v s
t H B
v s
t J
P K K
W K K K
F J
K K
W K K K
bm Y
σ
=
( )
0
força tangencial
fator de sobrecarga
fator de velocidade ou fator dinâmico
fator de tamanho
diametral pitch transversal
fator geométrico (inclui a concentração de tensão na raiz)
t
v
S
d
J
W
K
K
K
P
J Y
( )
( )
largura da face
fator distribuição de carga
fator de espessura do anel
módulo
m H
B
t
F b
K K
K
m
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
16. ( )
( ) ( )
( )
0
0
1
2 2
(Imperial Units)
(Unidades Métricas)
fator distribuição de carga
coeficiente elástico, / /
fator de acabamento superfíc
ft m
P v s
P
C
t H R
E v s
w I
m H
P E
f R
CK
C W K K K
d F I
K Z
Z W K K K
d b Z
K K
C Z lbf in N mm
C Z
σ
=
( )
( )
1
ial
diametro primitivo do pinhão
fator de geometria para o contato
P w
I
d d
I Z
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Equações Fundamentais de Tensão de Contato da Norma AGMA:
17. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Equações de resistência AGMA: utiliza a resistência de engrenagem (sat
sac), também chamados de números de tensão admissível.
A resistência flexional (St) é dada pelas equações e gráficos a seguir.
19. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Número de tensão de flexão admissível para engrenagens de aço
endurecidas totalmente por nitretação.
23. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
A equação para tensão admissível de flexão é:
( )
( )
2 2
(Imperial Units)
(Unidades métricas)
Tensão admissível devido a flexão / /
fator de repetição para a tensão de flexão
fator
t N
F T R
all
t N
F Z
t
N
T
S Y
S K K
S Y
S Y Y
S lbf in N mm
Y
K Y
θ
θ
σ
=
( )
de temperatura
fator de confiabilidade
Fator segurança da norma AGMA
R z
F
K Y
S
24. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
A equação para tensão de contato admissível é:
( )
( )
,
2 2
(Imperial Units)
(Unidades métricas)
Tensão admissível ao contato / /
fator de repetição para a tensão de contato
fat
c N H
H T R
c all
c N W
H Z
c
N
H W
S Z C
S K K
S Z Z
S Y Y
S lbf in N mm
Z
C Z
θ
σ
=
( )
( )
or de relação de durezas
fator de temperatura
fator de confiabilidade
Fator segurança da norma AGMA
T
R z
H
K Y
K Y
S
θ
28. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de geometria para resistência à flexão YJ ou J: calculado pela
norma AGMA 908-B89;
0.95
f N
N
N
Y
J
K m
p
m
Z
=
=
• Fator de correção de tensão Kf.
• Y: Fator da norma AGMA 908-B89.
• pN: Passo de base normal.
• Z: Comprimento da linha de ação.
• mN: razão de compartilhamento de carga, =1
para ECDR.
29. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
0
0
1
t d m B
v s
t H B
v s
Jt
P K K
W K K K
F
K K
W K K K
bm
J
Y
σ
=
30. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
0
0
1
t d m B
v s
t H B
v s
Jt
P K K
W K K K
F
K K
W K K K
bm
J
Y
σ
=
31. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator geométrico da resistência superficial I, ZI:
0
0
1
ft m
P v s
P
C
t H R
E v s
Iw
CK
C W K K K
d F
K Z
Z W K K K
d b
I
Z
σ
=
cos sin
2 1
cos sin
2 1
t t G
N G
t t G
N G
m
m m
I
m
m m
φ φ
φ φ
+
=
−
Engrenagens Externas
Engrenagens Internas
mG: razão de velocidades=NG/NP
32. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Coeficiente elástico CP, ZE: 0
0
1
ft m
v s
P
C
t
P
E
H R
v s
w I
CK
W K K K
d F I
K Z
W K K KZ
d b
C
Z
σ
=
1
2
2 2
1
1 1
p
p G
P G
C
E E
ν ν
π
= − − + ÷ ÷
33. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )
( )
2/3
[ / min]
200
[ / ]
50 56 1
0.25 12
B
v B
v
A V
V ft
A
K
A V
V m s
A
A B
B Q
+
→ ÷ ÷
=
+
→ ÷ ÷
= + −
= −
( )
( )
( )
2
max 2
3 / min
3 200 /
v
t
v
A Q ft
V
A Q m s
+ −
=
+ −
Fator dinâmico KV:
36. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de condição da superfície CF, ZR:
A norma AGMA ainda não definiu um valor ou uma equação para o
calculo do valor.
Uma regra, “bom senso”, seria considerar quanto mais rugoso maior o
valor deste fator.
Este fator representaria a redução da área real de contato em relação a
área aparente dentre outros fatores.
37. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de tamanho Ks:
Normalmente adota-se a unidade para este fator, mas caso queira, existe
uma equação para determinação:
Se o fator calculado for menor que a unidade, adote o fator igual a 1.
0,0535
1
1,192S
b
F Y
K
k P
= = ÷ ÷
38. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de distribuição de carga Km, KH:
Este fator leva em consideração:
•Montagem da engrenagem;
•Deformações do eixo e da engrenagem;
•Largura da face;
•Relação largura da face e diâmetro primitivo.
( )1m mc pf pm ma eK C C C C C= + +
39. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )1m pf pmmc ma eK C CC C C= + +
1 Dentes não coroados
0.8 Dentes coroados*
mcC
=
* Contato esférico
40. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
2
0.025 1
10
0.0375 0.0125 1 17
10
0.1109 0.0207 0.000228 17 40
10
0.05 0.05
10
pf
F
F in
d
F
F F in
d
C
F
F F F
d
F
d
− ≤
− + < ≤
=
− + − < ≤
<
( )1 pfm mc pm ma eK C C C CC= + +
41. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
( )1m mc pf pm ma eK C C C CC= + +
1
1
1 / 0.175
1.1 / 0.175
pm
S S
C
S S
<
=
≥
44. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
0.8 para engrenamentos ajustados no local ou quando
a compatibilidade é melhorada por lapidação.
1 para todos os outros casos
eC
=
( )1m mc pf pm emaK C CC C C= + +
45. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de razão de dureza CH:
( )
( ) ( )3 3
1.0 ' 1.0 relação de transmissão
8.98 10 8.29 10 1.2 1.7
' 0 1.2
0.00698 1.7
H G G
BP BP
BG BG
BP
BG
BP
BG
C A m m
H H
H H
H
A
H
H
H
− −
= + − → =
− ≤ ≤ ÷
= <
>
,
(Imperial Units)
(Unidades métricas)
c N
H T R
c all
C N
H Z
H
W
S Z
S K K
S Z
S
C
Z
Y Yθ
σ
=
48. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de número de ciclos YN, ZN: t
F T R
all
t
N
N
F Z
S
S K K
S
S Y
Y
Y
Y
θ
σ
=
50. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de confiabilidade KR, YZ:
,
c N H
H RT
c all
C N W
ZH
S Z C
S K
S Z Z
S Y
K
Yθ
σ
=
t N
F T
all
t N
R
F Z
S Y
S K
Y
K
S Y
S Yθ
σ
=
( )
( )
0.658 0.0759ln 1 0.5 0.99
0.5 0.109ln 1 0.99 0.9999R
R R
K
R R
− − < <
=
− − < <
51. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de temperatura KT, Yɵ:
•A temperatura limite é dada pelo óleo que se degenera quando
aquecido.
•Em geral os óleos possuem ponto de fulgor próximo à 150ºC.
•A norma AGMA recomenda que os redutores quando trabalharem
abaixo de 120ºC utilizem este fator igual à 1.
•Para temperaturas superiores, utiliza-se o fator maior que 1.
52. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fator de espessura de aro KB: Quando a espessura do aro não é suficiente para
proporcionar suporte completo para a raiz do dente, pode ocorrer falha por fadiga flexional.
R
B
t
t
m
h
=
2.242
1.6ln 1.2
1 1.2
B
BB
B
m
mK
m
<
=
≥
53. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Fatores de segurança contra falha por fadiga flexional SF e contra
falha por crateramento SH:
/ ( ) Resist ncia flex o corrigida por completo
Tens o de flex o
/ ( ) Resist ncia de contato corrigida por completo
Tens o de contato
t N T R
F
c N H T R
H
c
S Y K K ê à ã
S
ã ã
S Z C K K ê
S
ã
σ
σ
= →
= →
54.
55. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Decisões Iniciais do Projeto:
•Carregamento, velocidade, confiabilidade, vida desejada e fator de
sobrecarga.
•Fator de segurança: Quanto maior a incerteza do projeto maior deve ser
este.
•Sistema de dentes: ângulo de pressão e ângulo de hélice.
•Relação de transmissão, números de dentes da coroa e do pinhão.
56. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Variáveis de projeto:
•Qualidade (Qv).
•Módulo (diametral pitch).
•Largura da face.
•Material do pinhão, dureza do núcleo e superficial.
•Material da coroa, dureza do núcleo e superficial.
57. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Sugestão de procedimento de cálculo:
1.Escolha o módulo (diametral pitch).
2.Examine as implicações na largura da face, nos diâmetros primitivos,
nas propriedades dos materiais. Se não for factível, altere o valor.
3.Escolha o material do pinhão definindo as durezas do núcleo e da
superfície.
4.Repita o passo 3 para a coroa.
5.Repita os passos anteriores até que as variáveis de projeto não se
alterem mais.
58. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Critério de flexão do pinhão:
• Selecione um valor inicial de F=4π/P;
• Encontre as tensões limites;
• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as
tensões limites;
• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;
• Verifique o coeficiente de segurança.
59. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Critério de flexão da coroa:
• Encontre as tensões limites;
• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as
tensões limites;
• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;
• Verifique o coeficiente de segurança.
60. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Critério de desgaste:
• Encontre as tensões limites;
• Encontre o material e as durezas necessárias para atender as
tensões limites;
• Ajuste o valor da largura da face caso necessário;
• Verifique o coeficiente de segurança.