MATEMÁTICA BÁSICA I
1
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vice Rectorado de Investigación
"MATEMÁTICA BÁSICA I"
TINS Básicos
...
MATEMÁTICA BÁSICA I
2
© MATEMÁTICA BÁSICA I
Desarrollo y Edición: Vice Rectorado de Investigación
Elaboración del TINS: • ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
3
PRESENTACIÓN
La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto
de las Ciencias, desde...
MATEMÁTICA BÁSICA I
4
recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes
bibliográficas.
La conformación del texto...
MATEMÁTICA BÁSICA I
5
INDICE
CAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL
SEMANA 01
1. Enunciados …………………………………………...
MATEMÁTICA BÁSICA I
6
SEMANA 12
4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales ……………………….. 196
5. Ejercicios: Ecuaciones Logarítm...
MATEMÁTICA BÁSICA I
7
CAPÍTULO I
LÓGICA SIMBÓLICA Y
CÁLCULO PROPOSICIONAL
El autor que definió por primera vez en la histo...
MATEMÁTICA BÁSICA I
8
razonamiento deductivo válido; significado de palabras usuales,
proposiciones, definiciones, teorema...
MATEMÁTICA BÁSICA I
9
Podemos decir con propiedad que: Proposición es el
significado de toda oración declarativa. Toda pro...
MATEMÁTICA BÁSICA I
10
1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES
1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN ( ).- Se dice que, dos o
más proposici...
MATEMÁTICA BÁSICA I
11
1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos o
más proposiciones forman una disyunción, si...
MATEMÁTICA BÁSICA I
12
La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son
falsas.
1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
13
Principio del valor de verdad
Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un
ejempl...
MATEMÁTICA BÁSICA I
14
1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE
IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomi...
MATEMÁTICA BÁSICA I
15
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dadas las siguientes proposiciones:
Si: p : Hace frío
q : La manzana es ag...
MATEMÁTICA BÁSICA I
16
1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS
Si una proposición compuesta, se relaciona con otras
proposiciones si...
MATEMÁTICA BÁSICA I
17
TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL
ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
A. TAUTOLOGÍA.- Se dice ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
18
1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
1. Idempotencia
p p p
p p p
2. Involución
~ (~p) p
3. Asociat...
MATEMÁTICA BÁSICA I
19
8. Leyes de Morgan
a) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a
las negaciones d...
MATEMÁTICA BÁSICA I
20
Demostrar:
1) (p  q) (~ q  ~ p)
2) (~ p  ~ q) (q  p)
Si la implicación directa es verdadera, no...
MATEMÁTICA BÁSICA I
21
a) Inferencia de la separación (modus ponens)
p  q
p .
q
b) Principio de la inferencia negativa (m...
MATEMÁTICA BÁSICA I
22
EJERCICIOS PROPUESTOS
a) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las
siguientes...
MATEMÁTICA BÁSICA I
23
13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y,
- Si, no está nevando o hace frío, ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
24
1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES
Toda proposición expresa una cualidad o caracterís...
MATEMÁTICA BÁSICA I
25
1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES
1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí,
exist...
MATEMÁTICA BÁSICA I
26
EJERCICIOS PROPUESTOS
Enunciados
1. Indicar diez ejemplos de enunciados.
2. Indicar diez ejemplos d...
MATEMÁTICA BÁSICA I
27
Ejemplo:
10.1. (p q)  (q r)
10.2. (p  q) (p r)
Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus...
MATEMÁTICA BÁSICA I
28
CUANTIFICADORES
1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones:
p : Las flores ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
29
Representar con oraciones declarativas las proposiciones:
x : p(x)  y : ~ q (y)
y : q (y)  p z ~ ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
30
Simplificar las siguientes proposiciones:
1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las
...
MATEMÁTICA BÁSICA I
31
CAPÍTULO II
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
CONCEPTO PRIMITIVO
Son palabras que se aceptan sin definir por ser...
MATEMÁTICA BÁSICA I
32
Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada
departamento; cada país; son elementos...
MATEMÁTICA BÁSICA I
33
A = {x/x países del Asia}
B = {y/y departamentos del Perú}
C = {z/z capitales de los países America...
MATEMÁTICA BÁSICA I
34
Podemos indicar otros ejemplos:
1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un número natural. No existe
ningún nú...
MATEMÁTICA BÁSICA I
35
2.2.4 CONJUNTO INFINITO
Son aquellos que no se pueden determinar por extensión a todos
sus elemento...
MATEMÁTICA BÁSICA I
36
3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos}
B = {y/y; estudiantes villarrealinos}
C = {z/z; estudiantes ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
37
Ejemplo:
A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4}
En la relación sub-conjunto; no, necesaria...
MATEMÁTICA BÁSICA I
38
Ejemplo:
A = {a; b; c}
2A
= {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; }
23
= 8 sub-conjuntos
2.3.5...
MATEMÁTICA BÁSICA I
39
Ejemplo:
1. A = {0; 1; 2; 3}
B = {a; b}
A B Disjuntos
2. A = {x/x damas}
B = {y/y caballeros}
A B D...
MATEMÁTICA BÁSICA I
40
Ejemplo:
1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable
con A; pues, B es un sub-conjun...
MATEMÁTICA BÁSICA I
41
U
3 Premisa N° 3.- Los otros polígonos se representan
intersecados; jamás separados, así sean disju...
MATEMÁTICA BÁSICA I
42
DIAGRAMAS LINEALES
Se utilizan para los sub-conjuntos.
Ejemplo:
1. A B B
A
C
2. A B B C
B
A
3. A = ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
43
5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3}
E = {1;2;4}
D E
A B
2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS
2.5...
MATEMÁTICA BÁSICA I
44
En la reunión se marcan todos los polígonos
Por comprensión se puede definir:
A B = {x/x, x A v x B...
MATEMÁTICA BÁSICA I
45
 A B
A B = {d/d , d A d B} por comprensión.
1. Cumplen con la propiedad conmutativa.
A B = B A  (...
MATEMÁTICA BÁSICA I
46
2.5.3 DIFERENCIA (–) O COMPLEMENTO RELATIVO
Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre...
MATEMÁTICA BÁSICA I
47
2.5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )
Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simétrica y se
rep...
MATEMÁTICA BÁSICA I
48
3.2.1. a A 3.2.5 {b} A
3.2.2. c A 3.2.6 d A
3.2.3. d A 3.2.7 c A
3.2.4 {b} A 3.2.8 b A
4. En las si...
MATEMÁTICA BÁSICA I
49
¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?. Explique:
A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA}
B =...
MATEMÁTICA BÁSICA I
50
Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice.
Conjunto vacío , entonces A = .
Si se tiene...
MATEMÁTICA BÁSICA I
51
1. a C 4. d B
2. b A 5. e A
3. c A 6. e A
Graficar el diagrama lineal para los conjuntos:
A = {a; b...
MATEMÁTICA BÁSICA I
52
Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para los
conjuntos:{ }; S, y U
Si se tie...
MATEMÁTICA BÁSICA I
53
1. {3; 4} A ; 2. {3; 4} A
3. { {3; 4} } A; 4. 4 A
5. {4} A ; 6. 4 A
Hallar el conjunto potencia del...
MATEMÁTICA BÁSICA I
54
1. A B 2. A C 3. B C
4. B B 5. A B 6. A C
7. B C 8. U
Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
55
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Una persona consume café y té durante el mes de mayo, toma
café 20 días y ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
56
3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, A – B = 23. Hallar A B.
4. En una Academia trabajan 72 person...
MATEMÁTICA BÁSICA I
57
9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo:
A B = 34; A – B = 20; B – A = 16.
Hallar: 5 {A – 4B}
10. S...
MATEMÁTICA BÁSICA I
58
16.3) A (B – C)
16.4) C – (A‟ B)‟
17. Si A B = {1; 2; 3; 4}
A B = {1; 3} y A – B = {2}
Hallar A y B...
MATEMÁTICA BÁSICA I
59
20.8) A‟ B‟
20.9) (A B‟)‟
20.10) (A B‟)‟
21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4...
MATEMÁTICA BÁSICA I
60
23.4) [ (A‟ – B) (A – C) ]‟
23.5) [ (C – B‟) – (A‟ C) ]‟
23.6) (A‟ – B‟) (B‟ C)‟
24. Si se tienen l...
MATEMÁTICA BÁSICA I
61
26.10) (A B) – C = (A – C) (B – C)
26.11) (A B) – C = (A – C) (B – C)
26.12) A (A B)
26.13) B (A B)...
MATEMÁTICA BÁSICA I
62
MATEMÁTICA BÁSICA I
63
VECTORES
CONCEPTOS BÁSICOS
PAR ORDENADO.- Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquiera
a y b; q...
MATEMÁTICA BÁSICA I
64
=
Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos ,
es decir y a sus elementos llamaremos pares orde...
MATEMÁTICA BÁSICA I
65
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2
Dado dos puntos y de , la suma de ele...
MATEMÁTICA BÁSICA I
66
Considere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a través de
p se construye planos per...
MATEMÁTICA BÁSICA I
67
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-
La distancia no dirigida entre dos puntos y en el
espacio tridimension...
MATEMÁTICA BÁSICA I
68
VECTORES BIDIMENSIONALES.-
DEFINICION.-
Un vector bidimensional es una pareja ordenada de números r...
MATEMÁTICA BÁSICA I
69
REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTOR
BIDIMENSIONAL
Un vector bidimensional es representado, media...
MATEMÁTICA BÁSICA I
70
Ejemplo.- Representar gráficamente al vector , cuyo punto inicial es
, sabiendo que su representaci...
MATEMÁTICA BÁSICA I
71
4) Si , al puesto del vector quedara definido
por: .
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR
TRIDIME...
MATEMÁTICA BÁSICA I
72
VECTOR n-DIMENSIONAL.-
Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales que
denotar...
MATEMÁTICA BÁSICA I
73
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DE
VECTORES.-
VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
74
Solución
Aplicando el concepto de igualdad de vectores.
≠ ⟺ (5x + 3y, 4x – y -4) = (4x +2y + 5, 3x ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
75
Solución
= = – A = (4,3) – (1,1)
= (3,2)
λ = 2(3,2) = (6,4)
λ = -2(3,2) = (-6,-4)
2. Si = (2,3) gra...
MATEMÁTICA BÁSICA I
76
SUMA DE VECTORES.-
Dados los vectores y , el vector resultante suma + se obtiene
sumando sus corres...
MATEMÁTICA BÁSICA I
77
completa el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto común
representa .
2do. MÈTODO DEL TR...
MATEMÁTICA BÁSICA I
78
PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES
Para todo vector se verifica las siguientes propiedades:
1) es u...
MATEMÁTICA BÁSICA I
79
Ejemplo.- Sean )3,1(a

y ).8,4(b

Hallar 3.( baab

26)2
Solución
)2,6()6,2()8,4()3,1.(2)8,4(2...
MATEMÁTICA BÁSICA I
80
Solución
Dibujando los vectores ,ABa
 ,ACb

desde el mismo punto inicial A.
Ahora dibujamos b

E...
MATEMÁTICA BÁSICA I
81
Si 1(aa
 , 2a ) es un vector de posición cuyo módulo y
representación gráfica es:
ii) Si a

3V 1(...
MATEMÁTICA BÁSICA I
82
Sobre el plano XY se tiene 1(ad

, 2a ) donde su módulo
es: 2
2
2
1 aad . De donde al incluir el e...
MATEMÁTICA BÁSICA I
83
Solución
Como a

3V y 0a

0,0,00a
 , es decir:
zyzxxa 2,35,280,0,0
 de donde
2
Luego
PROPIEDADE...
MATEMÁTICA BÁSICA I
84
2. Si
Si = ( entonces
. Por lo tanto
En forma similar si ⇒ = ( entonces
Por tanto
Si
Si
Si
3. Si = ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
85
VECTOR UNITARIO.-
Se llama vector unitario cuyo módulo es la unidad, es decir: es un
vector unitari...
MATEMÁTICA BÁSICA I
86
Si = (
... (1)
además y de (1) se tiene:
= (
Por lo tanto, un vector queda determinado por su magni...
MATEMÁTICA BÁSICA I
87
Si 1er. cuadrante:
, 2do. cuadrante:
, 3er. cuadrante:
, 4to. cuadrante:
Ejemplo.- Hallar un vector...
MATEMÁTICA BÁSICA I
88
Ejemplo.- Expresar el vector en términos de su magnitud y
su ángulo de inclinación o dirección.
Sol...
MATEMÁTICA BÁSICA I
89
Ejemplo.- Expresar al vector en combinación lineal de los vectores y
siendo
Solución
El vector es e...
MATEMÁTICA BÁSICA I
90
OBSERVACION
1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los
vectores y son colineales.
2) ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
91
resolviendo el sistema se tiene , donde es
arbitrario.
Entonces , y son linealmente dependiente.
2)...
MATEMÁTICA BÁSICA I
92
Todo vector de se puede expresar en combinación lineal de los
vectores fundamentales ,
Sea pero
de ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
93
Solución
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar (o producto interno) de dos vectores está...
MATEMÁTICA BÁSICA I
94
2)
3)
4)
5)
6)
Ejemplo.- Sí , y . Hallar
Solución
VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES
a) Dos vectores ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
95
OBSERVACIÓN.- El vector nulo es paralelo a todos los vectores, en
efecto: , vector, , entonces: y s...
MATEMÁTICA BÁSICA I
96
Por lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos,
.
Ejemplo.- Determinar si los p...
MATEMÁTICA BÁSICA I
97
Si los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por
, es decir:
INTERPRETACION GEOMETRICA DE...
MATEMÁTICA BÁSICA I
98
Luego desarrollando los cuadrados de la
igualdad se tiene: de donde
ii) Si (por demostrar)
Como
De ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
99
PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTE
Consideremos dos vectores y no nulos, construyamos un triángulo
r...
MATEMÁTICA BÁSICA I
100
DEFINICIONES
i) Sean y dos vectores, donde , definimos la
proyección ortogonal del vector sobre el...
MATEMÁTICA BÁSICA I
101
i) Si la , la y tienen la misma dirección.
ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas.
iii) Si l...
MATEMÁTICA BÁSICA I
102
Demostración
Como y son dos vectores no nulos y es el ángulo formado por estos
dos vectores , de m...
MATEMÁTICA BÁSICA I
103
a) La proyección de sobre .
b) La componente de en la dirección de .
c) El ángulo entre los vector...
MATEMÁTICA BÁSICA I
104
, además
por lo tanto … (1)
Ahora veremos el caso cuando es decir:
Si tal que
Por lo tanto:
Luego ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
105
Ejemplos.-
Sean su ortogonal es
Sean su ortogonal es
ANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚME...
MATEMÁTICA BÁSICA I
106
b) A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector ,
se les llaman ángulos directores de...
MATEMÁTICA BÁSICA I
107
La altura del paralelogramo es:
como área del paralelogramo es:
pero
En consecuencia el área del t...
MATEMÁTICA BÁSICA I
108
PRODUCTO VECTORIAL
Para calcular un vector ortogonal a otro vector en se definió en la
forma sigui...
MATEMÁTICA BÁSICA I
109
DEFINICION
Considerar dos vectores de , ; entonces el
producto vectorial de y se define por:
Ejemp...
MATEMÁTICA BÁSICA I
110
Vectores fundamentales
del espacio
usando la definición de producto vectorial obtenemos
Usando las...
MATEMÁTICA BÁSICA I
111
De igual manera podemos obtener desarrollando el determinante de
tercer orden propuesto de la prop...
MATEMÁTICA BÁSICA I
112
Demostración
Sean y por definición de
tenemos:
Efectuando operaciones en el segundo miembro y fact...
MATEMÁTICA BÁSICA I
113
La altura h es igual a: , es decir:
, además el área de un paralelogramo es:
Por lo tanto es el ár...
MATEMÁTICA BÁSICA I
114
TEOREMA.-
Demostrar que dos vectores son paralelos si solo si
Demostración
i) Si (por demostrar)
c...
MATEMÁTICA BÁSICA I
115
PRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.-
Sea , y tres vectores de , al producto mixto de , y que...
MATEMÁTICA BÁSICA I
116
En general: Si , entonces decimos que están orientados
positivamente y que los vectores y tienen l...
MATEMÁTICA BÁSICA I
117
por que ,
entonces:
por lo tanto si representa el volumen del
paralelepípedo de aristas para el ca...
MATEMÁTICA BÁSICA I
118
Ejemplo.- Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los
vectores , y
Solución
MATEMÁTICA BÁSICA I
119
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1) Dados los puntos y . Hallar las
componentes de los vectores y
Solución...
MATEMÁTICA BÁSICA I
120
4) Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector
, sí ( es el vector que tiene la misma...
MATEMÁTICA BÁSICA I
121
Solución
Si tal que al reemplazar por sus
componentes se tiene:
de donde , ,
,
Luego
Por lo tanto ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
122
Solución
Si (ortogonales)
son los valores de a.
9) Hallar las coordenadas de los vectores y , cono...
MATEMÁTICA BÁSICA I
123
11)Determinar el origen del vector si su extremo libre
coincide con el punto .
Solución
, igualand...
MATEMÁTICA BÁSICA I
124
Solución
, elevando al cuadrado tenemos:
169+361+2 2
15)Los vectores y forman un ángulo , se sabe ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
125
17)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo
de es 3. Hallar el módulo para que ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
126
19)Calcular los cosenos directores del vector
Solución
de donde tenemos:
20)Demostrar que: y
deter...
MATEMÁTICA BÁSICA I
127
Solución
i) son ortogonales sí y solo sí .
Como
ii) sí
como
(ortogonales)
22)Si , y son las arista...
MATEMÁTICA BÁSICA I
128
Luego de donde
iii) Sea
Luego de donde
En particular del cubo se tiene:
por lo tanto:
Luego:
Análo...
MATEMÁTICA BÁSICA I
129
Solución
Sea el ángulo por calcular
Por cosenos directores tenemos: ,
respectivamente se tiene:
re...
MATEMÁTICA BÁSICA I
130
Solución
Se observa que: por definición
de suma de donde: … (1)
por definición de
Suma de donde: …...
MATEMÁTICA BÁSICA I
131
27)Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos
lados de un triángulo es paralelo al...
MATEMÁTICA BÁSICA I
132
29)Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la
altura.
Solución
Por hipótesi...
MATEMÁTICA BÁSICA I
133
, de donde
en general
31)Demuéstrese que si tres vectores distintos , y , cumple la
relación siend...
MATEMÁTICA BÁSICA I
134
Solución
Se observa que por ser radio de un circulo.
Por demostrar que:
es decir que:
Luego
pero c...
MATEMÁTICA BÁSICA I
135
Luego … (1)
Igualmente de los otros lados deducimos:
Además en la figura se observa que:
Luego … (...
MATEMÁTICA BÁSICA I
136
Solución
debe expresarse en términos de , por hipótesis se sabe que:
, además se tiene:
sumando se...
MATEMÁTICA BÁSICA I
137
ii) y o puesto que
y son paralelos.
iii) reemplazando i), ii) y iii) se tiene:
, de donde
, como y...
MATEMÁTICA BÁSICA I
138
i) , , ,
ii) (trayectoria cerrada)
iii) de (ii)
Luego de donde
por lo tanto tenemos que: (ii), (ii...
MATEMÁTICA BÁSICA I
139
En la figura (b) se tiene:
Sumando se tiene:
Luego cumple la condición de formar un triángulo.
38)...
MATEMÁTICA BÁSICA I
140
39)Demostrar vectorialmente que un triángulo hay dos medianas de
igual medida.
Solución
Sabemos po...
MATEMÁTICA BÁSICA I
141
Solución
Consideremos dos vectores , entonces por condición del
problema se tiene:
, de donde , de...
MATEMÁTICA BÁSICA I
142
De donde … (1)
Como C divide al segmento AB en la razón r,
Entonces
Ósea que: … (2)
Ahora reemplaz...
MATEMÁTICA BÁSICA I
143
44)Los vectores , y son distintos con origen común.
Encuéntrese la condición necesaria y suficient...
MATEMÁTICA BÁSICA I
144
Si las rectas AB y CD son paralelas entonces: , se
donde
, también se cumple la relación (1)
Por l...
MATEMÁTICA BÁSICA I
145
Solución
Sea M el punto medio de A y C … (1)
Además por la propiedad de las medianas:
… (2)
Reempl...
MATEMÁTICA BÁSICA I
146
Solución
Analíticamente: ,
Luego
48)Dado un paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D si M ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
147
49)Dado un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A, B, C y D
siendo P y Q los puntos medios ...
MATEMÁTICA BÁSICA I
148
50)Un automóvil recorre 5 km. Hacia el norte, luego 8 km. hacia el
noreste; representar gráficamen...
MATEMÁTICA BÁSICA I
149
CAPÍTULO III
ALGEBRA DE NÚMEROS
3.1 TEORÍA DE NÚMEROS
Los números aparecen en las diferentes civil...
MATEMÁTICA BÁSICA I
150
conveniente reconocer los estudios realizados por los incas (1000
años después de Cristo) referent...
MATEMÁTICA BÁSICA I
151
Los números naturales cumplen con la propiedad conmutativa
(cerrados) para la suma y la multiplica...
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Libro matematica basica
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Libro matematica basica

427 visualizaciones

Publicado el

LIBRO DE BASICA

Publicado en: Educación
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
427
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
93
Acciones
Compartido
0
Descargas
25
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Libro matematica basica

  1. 1. MATEMÁTICA BÁSICA I 1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vice Rectorado de Investigación "MATEMÁTICA BÁSICA I" TINS Básicos DERECHO, ADMINISTRACIÓN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP Lima - Perú 2007
  2. 2. MATEMÁTICA BÁSICA I 2 © MATEMÁTICA BÁSICA I Desarrollo y Edición: Vice Rectorado de Investigación Elaboración del TINS: • Dr. Juan José Sáez Vega Diseño y Diagramación: • Julia María Saldaña Balandra • Fiorella Zender Espinoza Villanueva Soporte académico: Instituto de Investigación Producción: Imprenta Grupo IDAT Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.
  3. 3. MATEMÁTICA BÁSICA I 3 PRESENTACIÓN La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo. De allí, que en la formación académica, la UTP privilegia el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador. En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de instrucción, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho, Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación, para la Asignatura de Matemática Básica I. Plasma la preocupación institucional de innovación de la orientación del aprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. La estructura del contenido del texto permitirá lograr conocimientos de Matemática; progresivamente modelada en función del syllabus de la Asignatura acotada líneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso acucioso de
  4. 4. MATEMÁTICA BÁSICA I 4 recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliográficas. La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica del Profesor: Dr. Juan José Sáez Vega. La recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temático: Conjuntos básicos y numéricos que permiten aclarar las nociones de números y su clasificación en naturales, enteros, racionales, irracionales hasta completar los reales. Ecuaciones e inecuaciones que son básicas para el estudio del Álgebra. Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensión de las funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica. Los lugares geométricos: rectas y circunferencias conectadas a nociones algebraicas con problemas diversos dentro de la carrera. Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y trabajo de los profesores que han permitido la elaboración del presente texto y la dedicación paciente del Dr. José Reategui Canga en la revisión de los contenidos. Vice-Rectorado de Investigación
  5. 5. MATEMÁTICA BÁSICA I 5 INDICE CAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL SEMANA 01 1. Enunciados ………………………………………………………. 8 2. Proposiciones Simples …………………………………………. 8 3. Relaciones Proposicionales ……………………………………. 10 SEMANA 02 4. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 16 5. Regla de Inferencia ……………………………………………… 20 6. Cuantificadores ………………………………………………….. 24 7. Negación de Cuantificadores ………………………………….. 25 CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOS SEMANA 03 1. Determinación de un Conjunto ………………………………… 31 2. Clases de Conjuntos ……………………………………………. 33 3. Relaciones entre conjuntos ……………………………………. 36 4. Representación gráfica de los Conjuntos ……………………. 40 SEMANA 04 5. Operaciones con los conjuntos ………………………………… 43 SEMANA 05 6. Problemas con los conjuntos …………………………………… 47 CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS 1. Teoría de los Números ………………………………………….. 63 SEMANA 06 2. Exponentes y Radicales ………………………………………… 76 CAPITULO IV: MATRICES 1. Definición. Generalidades ………………………………………. 113 2. Suma de matrices ……………………………………………….. 114 SEMENA 07 3. Multiplicación de matrices por una escalar……………………. 115 4. Multiplicación de matrices ………………………………………. 115 SEMANA 08 5. La matriz de identidad ………………………………….……….. 117 6. Problemas de matrices ...………………………………………… 121 SEMANA 09 7. Determinación de la matriz A …………………………………… 127 8. Problemas de determinantes ….……………………………….. 131 SEMANA 11 CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES 1. Desigualdad: Propiedades ……………………………………… 188 2. Inecuaciones ……………………………………………………... 190 3. Resolución de ecuaciones con radicales ……………………… 194
  6. 6. MATEMÁTICA BÁSICA I 6 SEMANA 12 4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales ……………………….. 196 5. Ejercicios: Ecuaciones Logarítmicas …………………………. 203 CAPITULO VI: RELACIONES SEMANA 13 1. Relación binaria: propiedades …………………………………. 205 2. Relaciones de equivalencia ……………………………………. 207 3. Partición de un Conjunto ……………………………………….. 208 SEMANA 14 4. Postulado de Cantor-Dedekind ………………………………… 212 5. Sistema Cartesiano Rectangular ……………………………… 214 6. Carácter de la Geometría Analítica …………………………… 218 SEMANA 15 7. Distancia entre puntos ………………………………………….. 219 8. Pendiente de una recta …………………………………………. 224 9. Discutir y graficar una recta ……………………………………. 231 CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIA SEMANA 16 1. Ecuación de la Circunferencia …………………………………. 269 2. Familias de Circunferencias .……………………………….….. 289 CAPITULO VIII: LA PARABOLA SEMANA 17 1. Definiciones ……………………………………………………… 305 2. Ecuación de la Parábola ……………………………………….. 306 SEMANA 18 3. Ecuación de la Tangente a una Parábola ……………………. 325
  7. 7. MATEMÁTICA BÁSICA I 7 CAPÍTULO I LÓGICA SIMBÓLICA Y CÁLCULO PROPOSICIONAL El autor que definió por primera vez en la historia fue Russell: “Una proposición es todo lo que es cierto o lo que es falso”. Uno de los fines del cálculo de proposiciones es la solución de ciertas contradicciones de la matemática; así, apela al llamado principio del circulo vicioso de todo lo que afecta a una colección total y no, a una parte de la misma; tal como lo indica Burali-Forti: “Si una colección tuviera un total, tendrá miembros que sólo se podrían definir en función de ese total, y por tanto dicha colección no tiene total”. Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada que ese es un tipo de “descripción” ampliamente analizado en su obra) separaron las funciones proporcionales en tipos según posibles argumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en el lenguaje de la lógica clásica, los autores dicen que su “axioma de reducibilidad es equivalente a la hipótesis de que „toda combinación o desintegración de predicados es equivalente a un solo predicado„” en la inteligencia de que “la combinación o desintegración se supone dada en contenido”. Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es la estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida. Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al
  8. 8. MATEMÁTICA BÁSICA I 8 razonamiento deductivo válido; significado de palabras usuales, proposiciones, definiciones, teoremas, eliminación de complicaciones, eliminar falacias y ambigüedades. La prestancia y calidad de la matemática es necesaria para evitar el rechazo del estudiante a esta ciencia formal, básico para el desarrollo de otras ciencias, denominadas fácticas. Es la misión de todo maestro: Educar y formar sin rechazo al estudiante. 1.1 ENUNCIADOS Son palabras que se emiten para comunicarse con otras personas. Ej: 1. ¿Estuviste de viaje? 2. Pase adelante y siéntese. 3. El clima está fresco. 4. 8 es un número impar. 5. Vamos al estadio. 6. Antonio es amigo de Lizet. Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro últimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen como: proposiciones. 1.2 PROPOSICIONES Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son verdaderas o falsas.
  9. 9. MATEMÁTICA BÁSICA I 9 Podemos decir con propiedad que: Proposición es el significado de toda oración declarativa. Toda proposición se representa con una letra minúscula: p; q; r; s; t ................ Ejemplos: p : El sol está radiante. q : Carlos es estudioso. r : Fernando es un buen profesional. s : Lizet es bonita. t : La rosa es bella. u : Está lloviendo. De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si son verdaderas o falsas. Negación de Proposiciones.- La negación de la proposición p es ~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio “no” a la primera. Ejemplo: p : Hace frío ~p : No hace frío. ~q : Carlos no es deportista. q : Carlos es deportista. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Indique 10 ejemplos de enunciados. 2. Diga cuáles son proposiciones y represente con una letra. 3. Niegue las proposiciones indicadas.
  10. 10. MATEMÁTICA BÁSICA I 10 1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES 1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN ( ).- Se dice que, dos o más proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivo conjunción ( ) si se les interponen la letra “y”. Ejemplo. p : Está lloviendo. q : Hace frío. p q : Está lloviendo y hace frío. q : Carlos estudia. s : Carlos es deportista. q r : Carlos estudia y es deportista. Principio del valor de verdad.- La conjunción es verdadera, sí y sólo si, ambas proposiciones son verdaderas. Considera la corriente eléctrica; si pasa la corriente es verdadera y sí se interrumpe es falsa. p q p q V V F F V F V F V F F F La conjunción es verdadera, sí y sólo sí, ambas proposiciones son verdaderas. Ejemplo: Demostrar el valor de verdad de las proposiciones: 1) p ~ q 3) p q 2) ~ p ~ q 4) ~ p q
  11. 11. MATEMÁTICA BÁSICA I 11 1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIÓN ( ).- Se dice, que, dos o más proposiciones forman una disyunción, si se les interponen la letra “o”, con sentido incluyente. Ejemplo: p : me compro zapatillas. q : me compro una camisa. p v q : me compro zapatillas o una camisa. Principio del valor de verdad.- La relación de disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas. p q p q V V F F V F V F V V V F V V V F V V V V F F F F
  12. 12. MATEMÁTICA BÁSICA I 12 La disyunción es falsa, sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas. 1.3.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ).- Dos o más proposiciones forman una disyunción exclusiva ( ) si se les interponen la letra “o” y al final se agregan las palabras “pero no ambos” (as). Principio del valor de verdad p q p q V V F F V F V F F V V F El conectivo disyunción exclusiva; es verdadera sí y sólo sí, una de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F). 1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ().- Con las proposiciones p y q; se denomina relación de implicación o condicional (pq); cuando se le antepone a la primera proposición la palabra “si” y se les interponen la palabra “entonces”. Ejemplo: p : Estudio mis asignaturas. q : Aprobaré mis exámenes. p  q : Sí, estudio entonces aprobaré mis exámenes. p : Antecedente q : Consecuente
  13. 13. MATEMÁTICA BÁSICA I 13 Principio del valor de verdad Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un ejemplo muy humano con un niño: p : Juanito se porta bien. q : Le regalaré un chocolate. p  q : Sí, Juanito te portas bien entonces te regalaré un chocolate. - Juanito se portó bien (V); se le regala el chocolate (V) es verdadera (V). - Juanito se portó bien (V); no se le regala el chocolate (F); es injusto, luego es falsa (F). - Juanito se portó mal (F); como se le quiere y engríe, se le regala el chocolate (V); es verdadero (V). - Juanito se portó mal; no se le regala el chocolate; es justo, luego es verdadero (V). p q p  q V V F F V F V F V F V V La implicación o condicional, es falsa (F) sí y sólo sí; la primera proposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda (consecuente) es falsa (F).
  14. 14. MATEMÁTICA BÁSICA I 14 1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN ( ).- Dadas las proposiciones p y q, se denomina bicondicional o doble implicación a la proposición (p  q) (q  p). Principio del valor de verdad p q p q V V F F V F V F V F F V La bicondicional o doble implicación es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F). 1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIÓN NEGATIVA ( ).- Dadas las proposiciones p y q; se dice que forman una conjunción negativa sí y sólo sí; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones: (~p ~q) (p q) Principio del valor de verdad p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q V V F F V F V F V F F F F F V V F V F V F F F V V V F F V F V F F F F V La conjunción negativa ( ) es verdadera (V) sí y sólo sí, ambas proposiciones son falsas (F).
  15. 15. MATEMÁTICA BÁSICA I 15 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dadas las siguientes proposiciones: Si: p : Hace frío q : La manzana es agradable r : Juan es inteligente s : Lorena es bonita Representar con oraciones declarativas las proposiciones: 1. p q 7. ~p q 2. r s 8. s ~r 3. p  s 9. ~p  s 4. s q 10. s ~q 5. q s 11. ~q s 6. r q 12. r ~q 3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones: Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso. Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas: a) p q g) ~p q b) t r h) ~r t c) s  p i) ~s  ~p d) q s j) q ~s e) p q k) ~q p f) s t r) ~s ~t
  16. 16. MATEMÁTICA BÁSICA I 16 1.4. PROPOSICIONES COMPUESTAS Si una proposición compuesta, se relaciona con otras proposiciones simples o compuestas mediante signos de colección: paréntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se les separan con punto y coma (;). Ejemplos: p : está lloviendo. q : La fruta es deliciosa. r : Juan es estudioso. (p ~q)  r Si está lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es estudioso. p (q ~r) Está lloviendo; o, la fruta es deliciosa sí y sólo sí Juan no es estudioso. EJERCICIOS PROPUESTOS p : está nevando. q : Antonio es inteligente. r : La rosa es bella. Representar con oraciones declarativas: 1. p  (q r) 2. (r ~q) v p 3. (p ~r) v (q p) 4. (p r) (q ~p)
  17. 17. MATEMÁTICA BÁSICA I 17 TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL A. TAUTOLOGÍA.- Se dice que una proposición compuesta es tautológica; sí y sólo sí; en sus tablas de verdad, todas son verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las proposiciones simples. B. CONTRADICCIÓN.- Se dice que una proposición compuesta, forma una contradicción, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las proposiciones simples. C. CONTINGENCIA.- Se dice que una proposición compuesta, forma una contingencia, sí y sólo sí, sus tablas de verdades, no son tautológicas ni contradictorias. EJERCICIOS PROPUESTOS Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautológicas, contradictorias o son una contingencia. 1. (~ p q) (p ~ q) 2. ~ (p q) (~p ~q) 3. ~ (p  ~q) (p q) 4. [(p  q) (p  q)] p q 5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q)
  18. 18. MATEMÁTICA BÁSICA I 18 1.4.1 LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 1. Idempotencia p p p p p p 2. Involución ~ (~p) p 3. Asociativa (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 4. Conmutativa p q q p p q q p 5. Distributiva (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p r) v (q r) 6. Identidad 6.1 p f  f 6.2 p v p 6.3 p f p 6.4 p V v 7. Complemento 7.1 p ~p f 7.2 p ~ p v 7.3 ~ ~ p p 7.4 ~f v 7.5 ~ v f
  19. 19. MATEMÁTICA BÁSICA I 19 8. Leyes de Morgan a) La negación de la conjunción es equivalente, sí y sólo sí, a las negaciones de la disyunción ~ (p q) ~ p ~ q b) La negación de la disyunción es equivalente, sí y sólo sí, a las negaciones de la conjunción ~ (p q) ~ p ~ q c) La negación de la implicación es equivalente, sí y sólo sí, a la primera proposición y la segunda proposición negada. ~ (p  q) p ~ q 9. Implicaciones asociadas Directa p  q Recíproca q  p Contraria ~ p  ~ q Contra-recíproca ~ q  ~ p p  q Recíproca q  p ~ p  ~ q Recíprocas ~ q  ~ p Se puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra- recíprocas: son tautológicas. Contrarias Contrarias
  20. 20. MATEMÁTICA BÁSICA I 20 Demostrar: 1) (p  q) (~ q  ~ p) 2) (~ p  ~ q) (q  p) Si la implicación directa es verdadera, no se puede asegurar respecto a la verdad o falsedad de la implicación: recíproca o contraria. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VÁLIDO Lo más importante en la matemática es el razonamiento deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicación, cuyo antecedente es la hipótesis y el consecuente la tesis; de acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el contra recíproco también se cumple; nada se puede asegurar del teorema recíproco y contrario. El razonamiento es deductivo, sí y sólo sí las premisas son evidentes para una conclusión evidente. No tiene sentido afirmar que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que es válido o no. 1.5. REGLA DE INFERENCIA Se denomina Regla de inferencia a todo esquema válido de razonamiento independientemente de la interpretación de las proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es tautológica; y son:
  21. 21. MATEMÁTICA BÁSICA I 21 a) Inferencia de la separación (modus ponens) p  q p . q b) Principio de la inferencia negativa (modus tolens) p  q q p c) Principio del silogismo p  q q  r p  r
  22. 22. MATEMÁTICA BÁSICA I 22 EJERCICIOS PROPUESTOS a) Utilizando las leyes del Álgebra Proposicional, simplificar las siguientes proposiciones: 1. (p F) (p p) 2. (p V) (p ~p) 4. (p F) (p V) 5. p (p q) 6. p (~p q) 7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es inteligente. 8. No es cierto que, la fruta es madura y el árbol es alto. 9. No es cierto que, el río es caudaloso o María no es bonita. 10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no son bellas. 11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y María no es bonita. 12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautológico: - Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las flores son bellas; y, - Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es deportista y Ana es estudiosa; Entonces: Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces las flores son bellas.
  23. 23. MATEMÁTICA BÁSICA I 23 13. - Si, está lloviendo; entonces hace frío o está nevando; y, - Si, no está nevando o hace frío, pero no ambos, entonces no está lloviendo. Entonces: Si, hace frío sí y sólo sí está nevando; entonces no está lloviendo; y, Si, no llueve ni hace frío; entonces está nevando. 14. Escriba la contrarrecíproca de la proposición: Si, hace frío entonces está lloviendo. Si, no está nevando entonces está lloviendo. Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es agradable. Antonio es deportista y Ana no es estudiosa. 15. Demostrar la validez de las inferencias: 15.1 [ (p  q) p] ↔ p 15.2 [ (p  q) ~p] ↔ ~q 15.3 [ { (p q)  (q r) } { (~p q)  r } ] ↔ ~p 15.4 [ {p  (q ~r) } {q (r  p) } ] ↔ ~ (p q)
  24. 24. MATEMÁTICA BÁSICA I 24 1.6. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES Toda proposición expresa una cualidad o característica a un sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o característica puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendrá una proposición. Si P es una cualidad, calidad o característica; denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida la función preposicional con una variable. p(x) no es una proposición. A partir de funciones preposicionales es posible obtener proposiciones generales que se conocen como cuantificadores. Una proposición queda cuantificada; sí y sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para algunos o todos los sujetos. 1. Cuantificador Universal [ x : p(x)] Cuando una cualidad o característica se cumple para todos los sujetos: x : p(x) Todos los hombres son mortales. x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazón. 2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)] Una proposición queda cuantificada existencialmente; sí y sólo sí, alguna cualidad o característica se cumple para algunos sujetos. x : p(x) Algunas damas son virtuosas. y : q(y) Algunos jóvenes son deportistas. z : r(z) Algunos perros muerden.
  25. 25. MATEMÁTICA BÁSICA I 25 1.7. NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES 1. La negación del cuantificador universal es, sí y sólo sí, existencial; y la proposición queda negada ~ [ x: p(x)] ↔ x : ~ p (x) 2. La negación del cuantificador existencial, es Universal y la proposición queda negada. ~ [ x : p(x)] ↔ x: ~ p (x) Ejemplos: 1. Negar todos los jóvenes son deportistas. Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas. 2. Algunas aves vuelan. Rpta. Todas las aves no vuelan. 3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los días está lloviendo. ~ [ x : p (x)]  y: q(y)]  x : p (x) y : ~ q (y) Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos días no está lloviendo. 4. Todos los jóvenes son deportistas y algunas aves tienen plumas. ~ ( x: p(x) y: q(y)] ↔ x: ~ p(x) y: ~ q(y) Rpta. Algunos jóvenes no son deportistas, o todas las aves no tienen plumas.
  26. 26. MATEMÁTICA BÁSICA I 26 EJERCICIOS PROPUESTOS Enunciados 1. Indicar diez ejemplos de enunciados. 2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad. 3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Perú. 4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar. 5. Proposiciones De los ejemplos indicados anteriormente, indique cuáles son proposiciones y anteponga una letra: p; q; r .................. 6. Negación de proposiciones Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q; ~ r; ................... 7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo conjunción. Represente sus tablas de verdades. 8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo disyunción. Representar las tablas de verdades. 9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción y disyunción. Demuestre sus tablas de verdades. Ejemplo: 9.1. (p q) r p (q r) Responda con oraciones declarativas. 10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción e implicación.
  27. 27. MATEMÁTICA BÁSICA I 27 Ejemplo: 10.1. (p q)  (q r) 10.2. (p  q) (p r) Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de verdades. 11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. Ejemplo: 11.1. (p q)  (r ↔ q) } (p  r) 11.2. { p ↔ ~(q r) }  (r q) Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de verdades. 12. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos: conjunción, disyunción, implicación, doble implicación y conjunción negativa, ejemplo: Ejemplos: 12.1. { (p ↓ q)  (q ~ r) } ↔ (p ~ q) 12.2. { (p ↔ q) ↓ (r ~ p) } ↔ (~ q p) Responda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de verdades. 13. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos; conjunción, disyunción, implicación, doble implicación; conjunción negativa y disyunción exclusiva. Ejemplos: { (p q) ↓ (q  r) } ↔ { (p ~ r) v (q ~ p) { (p  ~q) v (r ~p) } ↓ { (r ~q) ↔ (q r) }
  28. 28. MATEMÁTICA BÁSICA I 28 CUANTIFICADORES 1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones: p : Las flores son bellas q : Carlos es deportista r : María es estudiosa s : Antonio es libre Representar con oraciones declarativas, utilizando las proposiciones indicadas. 1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x) 1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y) 1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z) 1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u) Las proposiciones: (1.1) y (1.3) relacionar mediante la conjunción. (1.2) y (1.4) relacionar mediante la disyunción. (1.5) y (1.4) relacionar mediante la implicación. (1.6) y (1.8) relacionar mediante la doble implicación. (1.7) y (1.2) relacionar mediante la conjunción negativa. (1.5) y (1.1) relacionar mediante la disyunción exclusiva. Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionales anteriores libremente.
  29. 29. MATEMÁTICA BÁSICA I 29 Representar con oraciones declarativas las proposiciones: x : p(x)  y : ~ q (y) y : q (y)  p z ~ r (<) x ~ p (x) ↔ {q  z: ~ r(2)} {p y : q(y)} v { y: ~ q(y)  ~ p} {p u : ~ s(y) } ↔ {q ↓ z : ~ r(z) } Con las proposiciones: p : las flores son bellas. q : El caballo es de paso. r : Fernando es buen profesional. s : Lizeth es bonita. Negar las proposiciones compuestas y representar con oraciones declarativas la respuesta: x : p (x) y : ~ q (y) x : ~ p(x) y : q (y) x : p(x) ↔ z : ~ r (z) z : r(z)  y : ~ q (y) u : s(u) z : ~ r (z) u : ~ s(z)  z : r (z) z : ~ r(z) u : s (u) Simplificar las proposiciones, utilizando las leyes del Álgebra Proposicional. 1) ~ (p ~ q) 2) ~ (~ p  q) 3) ~ (p ~ q) 4) ~ (~ p ~ q) 5) ~ (~ p  ~ q) 6) ~ (~ p  ~ q)
  30. 30. MATEMÁTICA BÁSICA I 30 Simplificar las siguientes proposiciones: 1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las violetas son azules. 2. No es verdad que, hace frío y está lloviendo. 3. No es verdad que, él es bajo o galán. 4. No es verdad que, hace frío está lloviendo. 5. No es verdad que, si está lloviendo entonces hace frío. 6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las violetas no son azules. Con las leyes del Álgebra Proposicional simplificar: 1. (p q) ~ p 2. p (p q) 3. ~ (p q) (~p q) Demostrar los siguientes silogismos: 1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es responsable; y Ana no es responsable y Carlos es inteligente; sí y sólo sí, Lizeth es bonita; entonces Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; sí y sólo sí, Lizeth es bonita. 2. Está lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace frío; y Si, no hace frío ni calor; entonces está lloviendo; entonces hace calor o hace frío, pero no ambos; sí y sólo sí, no está lloviendo.
  31. 31. MATEMÁTICA BÁSICA I 31 CAPÍTULO II ÁLGEBRA DE CONJUNTOS CONCEPTO PRIMITIVO Son palabras que se aceptan sin definir por ser naturales al ser humano. 2.1. CONJUNTO En 1772 Kurt Grrellng escribió el primer libro referente a la teoría de los conjuntos. Por su resonancia mundial, el rey condecoró con el titulo de caballero a Kurt Grrellng. Sin embargo nadie le entendió y todos les repetían que estaba loco. Efectivamente Kurt Grrellng llegó a un estado de esquizofrenia y murió en un sanatorio psiquiátrico. En 1942 los aviones alemanes se apoderan del cielo Europeo al no poder ser derribados por la artillería aliada. Lo que llevó a la formación de un equipo de científicos que estudiaron la cibernética y la telemetría; con lo que los aviones alemanes fueron derribados fácilmente y el ejército Alemán y sus aliados fueron derrotados. La noción conjunto, es un concepto primitivo, se acepta sin definir. Sin embargo, los jugadores de un equipo de fútbol; lapiceros; alumnos en el aula; un cesto de naranjas; los departamentos del Perú; los países de Europa; etc. Nos dan ideas de conjuntos. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C; D; E; .......
  32. 32. MATEMÁTICA BÁSICA I 32 Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada departamento; cada país; son elementos del conjunto y se representa con letras minúsculas, entre llaves. A = {a; b; c; d; e} B = {a; b; c; d;...} C = {a; b; c; d;...} Se puede también representar con palabras: D = {Jorge, Manuel, Javier, Antonio} E = {España, Inglaterra, Francia, Holanda, Italia} DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN Un conjunto se determina, por extensión; nombrando a cada uno de sus elementos. Números pares : N = {2; 4; 6; 8;10;12;..... } Polígonos : P = {cuadrado, rombo, rectángulo, Trapecio,.......} Damas : Q = {Rosa, Sara, Lizet, Alexandra,......} DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN Un conjunto se determina por comprensión, mediante una cualidad o calidad; que especifique si un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. Se representa con la sigla x/x y se lee: x tal que x; la primera x representa la cualidad o calidad y el segundo, al elemento del conjunto:
  33. 33. MATEMÁTICA BÁSICA I 33 A = {x/x países del Asia} B = {y/y departamentos del Perú} C = {z/z capitales de los países Americanos} Si representamos por extensión: A = {Japón, China....} B = {Lima, La Libertad, Ayacucho.....} C = {Lima, Quito, La Paz} 2.2. CLASES DE CONJUNTOS Para un estudio más detallado, encontramos los siguientes tipos o clases de conjuntos: 2.2.1 CONJUNTO NULO O VACÍO: { } , Es aquel que carece de elemento; mediante una cualidad, calidad o característica. Ejemplo: A = {x/x, Hombres que tiene alas} Eso no significa que no exista Lima o Francia. Sin embargo con las características del ejercicio: no existe y se representa, en cualquiera de las dos formas: A = { } A = ; de ninguna manera A = { }, el cual representaría a un conjunto unitario.
  34. 34. MATEMÁTICA BÁSICA I 34 Podemos indicar otros ejemplos: 1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un número natural. No existe ningún número entre 7 y 8; que sea natural. Para los números racionales, no sería nulo. El ejemplo dado se representa: A = { } A = 2. B = {y/y, fábrica de aviones en el Perú} 3. C = {z/z, automóviles en el salón} 4. También se puede representar: P(x) : Un extraterrestre en la Universidad. D = {x/x; p(x)} D = { } 2.2.2 CONJUNTO UNITARIO Es aquel que contiene un solo elemento, Ejemplos: A = { a } B = {x/x; Bandera del Perú} C = {y/y; Rector de la U.T.P.} D = {z/z; g < x < 11} para los números naturales. 2.2.3 CONJUNTO FINITO Es aquel que se puede determinar por extensión a todos sus elementos. Ejemplos: A = {a, b, c, d} B = {x/x; 2 x 10} B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} C = {y/y, países americanos} D = {z/z, polígonos}
  35. 35. MATEMÁTICA BÁSICA I 35 2.2.4 CONJUNTO INFINITO Son aquellos que no se pueden determinar por extensión a todos sus elementos (se le recomienda leer el texto: “Matemáticas e imaginación” por Edward Cassner). Por lo general ejemplos de conjuntos infinitos se dan con expresiones matemáticas; Ejemplos. 1. A = {x/x números naturales} A = {0; 1; 2; 3 ................. + } B = {y/y números enteros} B = {- ...... –2; -1; 0; 1; 2 ..........+ } C = {2/2 puntos en una Recta} C = {a, b, c, d, e, f, g, .......} 2.2.5 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL (  ) Es un conjunto que incluye a los conjuntos para un análisis particular. Se deja constancia, que un conjunto universal; no es una totalidad, mucho menos un universo. Ejemplo: 1. Si: A = {0; 1; 2; 3} B = {2; 3; 5; 6} C = {4; 6; 7; 8}  = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};ó; U = Numeros naturales 2. A = {x/x; Ayacuchanos} B = {y/y; Piuranos} C = {z/z; Tacneños}  = {u/u; Peruanos}
  36. 36. MATEMÁTICA BÁSICA I 36 3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos} B = {y/y; estudiantes villarrealinos} C = {z/z; estudiantes Utepinos} U = {u/u; estudiantes universitarios} 2.3. RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS 2.3.1 SUB-CONJUNTO ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es subconjunto de A; y se representa B A; si todos los elementos de B; pertenecen al conjunto A. Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3} 2. A = {a; b; c; d} B = {b; c; d} A B (A no es sub-conjunto de B) 3. A = {x/x frutas} B = {y/y naranjas, uvas, limas} B A 2.3.2 SUB-CONJUNTO PROPIO O PARTE PROPIA ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es parte propia de A; y se representa B A todos los elementos de B son elementos de A; que contiene todos los elementos de B, que pertenecen al conjunto A, existen elementos del conjunto A, que no pertenecen a B.
  37. 37. MATEMÁTICA BÁSICA I 37 Ejemplo: A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4} En la relación sub-conjunto; no, necesariamente algunos elementos de A pertenecen a B. Ejemplos: 1. A = {11; 12; 13; 14} y B = {11; 12; 13; 14} B A = {11; 12; 13; 14} BA Este ejemplo especifica que la relación sub-conjunto es amplia. 2. A = {a; b; c; d} y B = {a; b} B A 2.3.3 CONJUNTOS IGUALES (=) Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto A es igual al conjunto B; y se representa A = B; sí A y B tienen elementos comunes. {A B B A}  A = B Ejemplo: A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3} A = B 2.3.4 CONJUNTO POTENCIA (2) Se denomina así, al conjunto formado por todos los sub-conjuntos, del conjunto A.
  38. 38. MATEMÁTICA BÁSICA I 38 Ejemplo: A = {a; b; c} 2A = {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; } 23 = 8 sub-conjuntos 2.3.5 CONJUNTOS COORDINABLES ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que existe una relación de coordinabilidad entre los elementos de A y B; si y sólo sí, todos los elementos de A se relacionan de uno a uno con los elementos de B; sin que falten ni sobren dichos elementos. A este tipo de conjuntos, se les dice que están en relación Bionívoca [No necesariamente deben tener elementos comunes] Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} B = {a; b; c; d} A B Coordinables 2. A = {x/x ciudadanos peruanos} B = {y/y número del DNI} 2.3.6 CONJUNTOS DISJUNTOS ( ) Dados los conjuntos A y B; se dice que los elementos de A y B; son disjuntos, si A no contiene ningún elemento B; B tampoco contiene ningún elemento de A. BA B)( Disjuntos
  39. 39. MATEMÁTICA BÁSICA I 39 Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} B = {a; b} A B Disjuntos 2. A = {x/x damas} B = {y/y caballeros} A B Disjuntos 2.3.7 PERTENENCIA ( ) Es la relación de elemento a conjunto. Ejemplo: A = {0; 1; 2} 0 A (cero pertenece al conjunto A) 1 A (uno pertenece al conjunto A) 2 A (dos pertenece al conjunto A) 3 A (tres no pertenece al conjunto A) No se puede representar: {1} A {no es correcto; porque, {1} es un conjunto} {1} A {es lo correcto} 2.3.8 CONJUNTOS COMPARABLES Dos o más conjuntos son comparables, sí y sólo si A B B A; no son comparables si A B v B A.
  40. 40. MATEMÁTICA BÁSICA I 40 Ejemplo: 1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable con A; pues, B es un sub-conjunto de A. B A. 2. Si C = {0; 1} y D = {1; 2; 3}; C y D no son comparables; pues O C y D D; 3 D y 3 C. 2.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS 2.4.1 DIAGRAMAS DE VENN - EULER Es la representación gráfica de los conjuntos, mediante polígonos. Estos diagramas están sujetos a las siguientes premisas: 1 Premisa N° 1.- El conjunto Universal o Referencial se representa con el rectángulo. U 2 Premisa N° 2.- Los otros polígonos se pueden representar al interior del rectángulo; jamás al contrario. U U A A B
  41. 41. MATEMÁTICA BÁSICA I 41 U 3 Premisa N° 3.- Los otros polígonos se representan intersecados; jamás separados, así sean disjuntos. A B C CORRECTO INCORRECTO A B C A B A B C
  42. 42. MATEMÁTICA BÁSICA I 42 DIAGRAMAS LINEALES Se utilizan para los sub-conjuntos. Ejemplo: 1. A B B A C 2. A B B C B A 3. A = {1} B = {1; 2} C = {1; 2; 3} D = {1; 2; 4} C D B A 4. A = {1} B = {2} C = {1; 2} C A B
  43. 43. MATEMÁTICA BÁSICA I 43 5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3} E = {1;2;4} D E A B 2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS 2.5.1 REUNIÓN O UNIÓN ( ) Dados los conjuntos A y B; se denomina reunión entre los elementos de A y B, se representa A B = C; al conjunto C, que contiene por lo menos un elemento de A o de B. (No existe reunión entre conjuntos nulos). Ejemplo: 1. A = {a} B = { } A B = A B 2. A = {a; b; c} B = {c; d} A B = {a; b; c; d} A B A B a b c dc C
  44. 44. MATEMÁTICA BÁSICA I 44 En la reunión se marcan todos los polígonos Por comprensión se puede definir: A B = {x/x, x A v x B} a) Cumplen con la propiedad conmutativa. A B = B A Concretamente: A (A B) B (A B) b) Cumplen con la propiedad asociativa. (A B) C = A (B C) A B A B C C 2.5.2 INTERSECCIÓN (A B) Dados Los conjuntos A y B; se denomina intersección entre los elementos de A y B; y, se representa A B = C; al conjunto C, que contiene los elementos comunes de A y B. Ejemplo: Si A = {a; b; c; d} y B = {d; e; f} A B = {d}
  45. 45. MATEMÁTICA BÁSICA I 45  A B A B = {d/d , d A d B} por comprensión. 1. Cumplen con la propiedad conmutativa. A B = B A  (A B) A = (A B) B 2. Cumplen con la propiedad asociativa. (A B) C = A (B C) A B A B = C C 3. Cumplen con la propiedad distributiva con relación a la reunión. A (B C) = (A B) (A C) A B A B = C C a b c e f d
  46. 46. MATEMÁTICA BÁSICA I 46 2.5.3 DIFERENCIA (–) O COMPLEMENTO RELATIVO Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre los elementos de A y B; y, se representa A – B = C; al conjunto C, que contiene los elementos de A, que no pertenecen al conjunto B. Notación: A – B, ó , A B, ó , C Ejemplo: 1. A = {0; 1; 2; 3} y B = {3; 4; 5} A – B = {0; 1; 2} A B 2.5.4 COMPLEMENTO (A’) Dados el conjunto Universal (U) y el conjunto A, se denomina Complemento y se representa A‟ = U – A; a los elementos del conjunto universal que no pertenecen al conjunto A. Ejemplo: U = {a; b; c; d} A = {a; b} A‟ = {c; d} A‟ = {x/x, x U x A U A A‟ = U A A‟ = U‟ = (A‟)‟ = A A’ A 0 1 2 4 5 3
  47. 47. MATEMÁTICA BÁSICA I 47 2.5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( ) Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simétrica y se representa A B = C; al conjunto que contiene todos los elementos de (A – B) U (B – A) A – B B – A A B EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Diga, por qué las nociones: Elemento “Conjunto” “pertenencia” son términos no definidos. 2. Las afirmaciones siguientes, represente connotaciones: A no incluye a B. B contiene al conjunto de A. a no pertenece a B. e es elemento de A. C no es sub-conjunto de B. B es parte propia de A. 3. Discuta y aclare las siguientes afirmaciones: 3.1 Si A = {x/x, 4x = 12} b = e entonces ¿b = A? 3.2 Si se tiene A = {a; b; c; d} Qué afirmaciones son correctas y cuáles incorrectas?
  48. 48. MATEMÁTICA BÁSICA I 48 3.2.1. a A 3.2.5 {b} A 3.2.2. c A 3.2.6 d A 3.2.3. d A 3.2.7 c A 3.2.4 {b} A 3.2.8 b A 4. En las siguientes expresiones enuncia con oraciones declarativas; luego, representa en forma tabular: A = {x/x; x3 = 64} B = {x/x; x – 5 = 8} C = {x/x; x es un número positivo y x es un número negativo} D = {z/z; z es un elemento de la palabra AYACUCHO} Representar los siguientes conjuntos, constructivamente: A : está formado por las letras a; b; c; d B : es un número par positivo. C : es un país sudamericano. D = {x/x, x – 2 = 7} E = {x/x, Presidente del Perú luego de Alan García} ¿Cuáles son conjuntos finitos y cuáles son infinitos? A = {2; 3; 4 ........... 99; 100} B = {x/x, meses del año} C = {y/y, departamento del Perú} D = {z/z, habitantes de la tierra} E = {u/u, número par} F = {x/x,0 < x 5 para todo número racional} G = {y/y, 3 y 20}
  49. 49. MATEMÁTICA BÁSICA I 49 ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?. Explique: A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA} B = {x/x, las letras de la palabra TACTO} C = {x/x, es una letra de la palabra COTA} D = {a; c; o; t} Indique la similitud o diferencia entre las palabras: “vacío” “cero” y “nulo”. Entre las expresiones que siguen ¿cuáles son diferentes? ; {o} ; { }; p Cuáles de estos conjuntos son nulos: A = {x/x, en el alfabeto, letra después de z} B = {x/x, x2 =9 3x=5} C = {y/y; y y} D = {z/z, 2 + 8 = 8} Hallar todos los sub-conjuntos de: A = {a; b; c; d} Definir los siguientes conjuntos de polígonos en el plano Euclidiano y cuáles son sub-conjuntos propios. A = {x/x, es un cuadrado} B = {x/x, es un rectángulo} C = {x/x, es un rombo} D = {x/x, es un cuadrilátero}
  50. 50. MATEMÁTICA BÁSICA I 50 Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice. Conjunto vacío , entonces A = . Si se tienen los conjuntos A = { }; B = {c, d} ; C = {a; b; c} D = {a; b} ; E = {a; b; d} Establecer la verdad o falsedad de las afirmaciones: 1. D C 6. E C 2. B A 7. A C 3. B E 8. D E 4. E D 9. C = B 5. E A 10. B D Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 4; 8; 9} D = {4; 5} ; E = {2; 4} ; F = {2} Sea x un conjunto desconocido.- Cuáles de los conjuntos: A; B; C; D; E; F pueden ser iguales al conjunto x con las siguientes relaciones: 1. x A y x B 3. x A y x C 2. x B y x C 4. x B y x C. Si se tienen las relaciones: A subconjunto de B; B sub-conjunto de C; suponiendo a A; b B y c C; además de A; e B , f C; cuáles de las afirmaciones son verdaderas:
  51. 51. MATEMÁTICA BÁSICA I 51 1. a C 4. d B 2. b A 5. e A 3. c A 6. e A Graficar el diagrama lineal para los conjuntos: A = {a; b; c} B = {a; b} C = {a; c} Trazar un diagrama lineal para los conjuntos: A = {a; b; c} B = {a; b} C = {b} Trazar un diagrama lineal para los conjuntos: R = {r; s; t} S = {s} T = {s; t; u} Sean los conjuntos: Q = {x/x, es un cuadrilátero} R = {x/x, es un rectángulo} H = {x/x, es un rombo} S = {x/x, es un cuadrado} Trazar el diagrama lineal. Se tienen los conjuntos: V = {d} ; W = {c; d} ; X = {a, b, c} Y = {a; b} ; Z = {a; b; d} Trazar el diagrama lineal. Sean los conjuntos: V = {d} ; W = {e, d} ; X = {a; b; c} ; Y = {a; b} y, Z = {a; b; d} Trazar el diagrama lineal.
  52. 52. MATEMÁTICA BÁSICA I 52 Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para los conjuntos:{ }; S, y U Si se tienen los conjuntos: (1) A B; (2) A B ; (3) A = B (4) A B; (5) A B Trazar los diagramas de Venn-Euler correspondiente. Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos: A; B; C y D. A B C D Determinar seis afirmaciones del ejercicio anterior. Construir diagramas de Venn-Euler para los conjuntos: A; B; C; D del diagrama lineal en el ejercicio (4.23) Qué se puede afirmar del ejercicio { {2; 3} } Dado el conjunto A = {2; {3; 4}; 3} cuáles son afirmaciones incorrectas y por qué?
  53. 53. MATEMÁTICA BÁSICA I 53 1. {3; 4} A ; 2. {3; 4} A 3. { {3; 4} } A; 4. 4 A 5. {4} A ; 6. 4 A Hallar el conjunto potencia del conjunto S = {3; {1; 4} } Cuáles de las afirmaciones se definen en un desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos: 1. Conjunto ; 2. Sub-conjunto ; 3. Disjunto ; 4. Elemento; 5. Es igual a ; 6. Pertenece a ; 7. Superconjunto. Representar en notación conjuntista, las afirmaciones: 1. x no pertenece al conjunto A. 2. R es subconjunto de S. 3. d es elemento de E. 4. F no es sub-conjunto de C. 5. H no incluye a D. 6. A es subconjunto de D. 7. A y B son coordinables. 8. A y B son disjuntos. Si B = {0; 1; 2} hallar todos los sub-conjuntos de B. Si F = {0 {1; 2} }. Hallar todos los sub-conjuntos de F. Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6} Hallar y graficar con los diagramas de Venn-Euler.
  54. 54. MATEMÁTICA BÁSICA I 54 1. A B 2. A C 3. B C 4. B B 5. A B 6. A C 7. B C 8. U Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6} Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler y el diagrama lineal. 1. (A – B) ; 2. (C – A) 3. (B – C) 4. (B – A) ; 5. (A – A) 6. (A B) 7. (A C) ; 8. (B C) Si U = {1; 2; 3 ………8; 9} A = {1; 2; 3; 4} ; B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6} Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler: 1. A‟ 2. B‟ 3. C‟ 4. (A C)‟ 5. (A C)‟ 6. (A – B)‟ 7. (C – B)‟ 8. (A B)‟ 9. (B C)‟ 10. (A C‟)‟ 11. (A B)‟ 12. (B C‟)‟ 13. (B‟ – C‟)‟ Si A = [4; 8[ ; B = [7; 12] C = {3; 4; 7; 13; 14} Hallar y graficar las operaciones: 1. (A‟ – B‟) 2. (C‟ A) 3. (B‟ A)‟ 4. (A‟ B)‟ (A C‟)‟ 5. (A‟ B)‟ (C‟ B)
  55. 55. MATEMÁTICA BÁSICA I 55 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una persona consume café y té durante el mes de mayo, toma café 20 días y té 23 días. Cuántos días consume café y té simultáneamente. El mes de marzo tiene 31 días. Observemos y graficamos. Sumamos: 20 + 23 =43 x x x 12 3143 3143 Rpta: 12 días tomo té y café 2. Se han realizado 200 informaciones entre los estudiantes de San Marcos, 103 estudian matemática; 90 Física y 89 Química, Matemática y Física 32; Matemática y Química 48; Física y Química 26. Cuántos estudian las 3 asignaturas y cuántos una sola asignatura. Grafiquemos y analicemos: 24 20073103 x x Rpta: 24 las tres asignaturas y 142 una sola asignatura xté café x 10+x 26-x 48-x 32-x45+x 15-x 90 103 89 24 69 34 39 2 8 24
  56. 56. MATEMÁTICA BÁSICA I 56 3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, A – B = 23. Hallar A B. 4. En una Academia trabajan 72 personas. 40 hablan Inglés y 56 Alemán. Cuántos hablan un solo idioma y cuántos ambos idiomas. 5. De 120 amas de casa; 72 compran arroz; 64 verduras y 36 carne, 12 los tres productos. Cuántos han comprado exclusivamente dos productos. 6. Se tienen los conjuntos A y B. A = 3x+ y; B = 2y + 3; y A B = x + y = 4. Cuántos elementos tiene A B? 7. Se ha realizado una encuesta entre 10,000 personas. 70% sintonizan radio; el 40% leen periódico, y el 10% observan televisión. Entre los que sintonizan radio, el 30% leen periódico y el 4% observa televisión; el 90% de los que observan televisión, lee periódicos; del total 2% lee periódico, observa televisión y sintoniza radio. Cuántos no leen periódico, no sintonizan radio, ni observan televisión. Cuántos leen periódico únicamente? 8. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3;4}; B = {1; 4; 13; 14} ; C = {2; 8} ; D = {10; 11; 12} ; Hallar: graficar los resultados: 8.1) A B 8.2) A C 8.3) (D C)‟ 8.4) B‟ D 8.5) (C A)‟ 8.6) (C A)‟ B 8.7) (C A)‟ (C B) 8.8) C‟ (A B) 8.9) (C A)‟ (C D) 8.10) C (A D)‟ 8.11) C |(A B)‟ 8.12) (A B) – D‟ 8.13) (A B) – D 8.14) (A – B)‟ (B – D) 8.15) (A B)‟ (B – D)‟ 8.16) (A B) – (A B)‟ 8.17) (A B)‟ – (C D) 8.18) (A‟ C) (B – D‟)‟ 8.19) (A – B‟)‟ (C‟ – D) 8.20) (A B‟)‟ – (C‟ D)‟
  57. 57. MATEMÁTICA BÁSICA I 57 9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo: A B = 34; A – B = 20; B – A = 16. Hallar: 5 {A – 4B} 10. Se hizo una encuesta entre 200 persona: sabían 56 Español; 60 Alemán y 84 Francés. Español y Alemán 16; Español y Francés 20 y Alemán y Francés 10. Los tres idiomas 6. a. Cuántos no estudiaban idiomas; b. Cuántos exclusivamente Francés. 11. De 134 personas encuestadas. 94 conocen Inglés; 70 Alemán y 46 ambos idiomas. Cuántos no conocen ambos idiomas. 12. Si se tienen los conjuntos: A = 3x + y; B = 3y + 3; y A B = x + y Hallar: A B. 13. Entre 240 estudiantes: 144 estudian Análisis Matemático; 128 Biología; 72 Ciencias Sociales; y 24 las tres asignaturas. Cuántos estudian exclusivamente dos asignaturas. 14. Se tienen los conjuntos: A = {a; c; d} ; B = {e; f; g} y C = {c; e; p; k} Hallar: A (B C) 15. Si U = {a; b; c; d; e} A B = {a; b; c; d} ; A B = {a; c} y A – B = {6}. Hallar A y B. 16. Si se tienen los conjuntos: A = {5; 6; 7; 8} B = {6; 7; 1; 2} C = {4; 5; 7; 9} Hallar: 16.1) A B. 16.2) (A B) C
  58. 58. MATEMÁTICA BÁSICA I 58 16.3) A (B – C) 16.4) C – (A‟ B)‟ 17. Si A B = {1; 2; 3; 4} A B = {1; 3} y A – B = {2} Hallar A y B. 18. Si A B = {a; b; c; d} A B = {a; c} y A – B = {b} Hallar A y B. 19. Si A = {-1; 0; 1} B = {-2; -1; 0; 1; 2} C = {-3; 1; 2}. Hallar y graficar. 19.1) B‟ 19.2) A‟ 19.3) (A B)‟ 19.4) A‟ B‟ 19.5) B C‟ 19.6) A‟ c 19.7) (B C)‟ 19.8) (A‟ B)‟ 20. Se tienen los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 4; 6; 8; 10} Hallar y graficar: 20.1) A B 20.2) A B 20.3) A – B 20.4) B – A 20.5) A‟ 20.6) B‟ 20.7) (A B)‟
  59. 59. MATEMÁTICA BÁSICA I 59 20.8) A‟ B‟ 20.9) (A B‟)‟ 20.10) (A B‟)‟ 21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4; 6} Hallar y graficar: 21.1) A‟ 21.2) B‟ 21.3) A‟ – B 21.4) B‟ – A 21.5) A‟ B‟ 21.6) (A‟ B‟)‟ 21.7) A B‟ 21.8) A‟ B‟ 22. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11; 12; 13; 14} A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 4; 13; 14} C = {2; 8} Hallar y graficar: 22.1) A B 22.2) A C 22.3) B D 22.4) D C 22.5) A‟ 22.6) A‟ B 22.7) A‟ B‟ 22.8) (A B)‟ 22.9) A‟ C‟ 22.10) (A D)‟ 22.11) (A C)‟ 22.12) (A B) – C 22.13) (A – B) (B – A) 22.14) (A B) - (A B) 22.15) (A – B) (B – A) 23. Si se tienen los conjuntos: A = {1; 2; 5; 7; 8} B = {2; 3; 4; 7; 9} C = {1; 3; 5; 6; 8} U = {x/x x N; x 9} Hallar y graficar: 23.1) [ (A B) – (A C) ]‟ 23.2) [ (A B) – (A C) ]‟ 23.3) [ (A - B) (A – C) ]‟
  60. 60. MATEMÁTICA BÁSICA I 60 23.4) [ (A‟ – B) (A – C) ]‟ 23.5) [ (C – B‟) – (A‟ C) ]‟ 23.6) (A‟ – B‟) (B‟ C)‟ 24. Si se tienen las relaciones entre los conjuntos A y B A B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A‟ = {2; 3; 5; 7} B‟ = {1; 4; 7} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Hallar y graficar: A y B 25. Graficar las siguientes operaciones con los conjuntos: A; B y C. 25.1) A B. 25.2) A C. 25.3) (A B) C. 25.4) (A B) C. 25.5) A‟ B‟ 25.6) A – B 25.7) (A B)‟ 25.8) (A B)‟ 25.9) A A‟ 25.10) A A‟ 25.11) A (B C) 25.12) A (B C‟) 26. Demostrar gráficamente que, sí se cumplen las propiedades con los conjuntos: A; B y C. 26.1) A B = B A. 26.2) A B = B A. 26.3) (A B) C = A (B C). 26.4) (A B) C = A (B C). 26.5) A (B C) = (A B) (A C). 26.6) A‟ B‟ = (A B)‟ 26.7) A – B = A B‟ 26.8) A‟ B‟ = (A B)‟ 26.9) (A B) C = (A C) (B C)
  61. 61. MATEMÁTICA BÁSICA I 61 26.10) (A B) – C = (A – C) (B – C) 26.11) (A B) – C = (A – C) (B – C) 26.12) A (A B) 26.13) B (A B) 26.14) (A B) A 26.15) (A B) B 26.16) A (B C) = (A B) (A C) 27. En un Instituto de Idiomas estudian 200 alumnos: Italiano 56; Inglés 60; Francés 84; Italiano e Inglés 16; Italiano y Francés 20; Inglés y Francés 20; Italiano y Francés 10; los tres idiomas 6. 1. Cuántos no estudiaban ningún idioma. 2. Cuántos estudiaban un solo idioma. 3. En un salón de 68 estudiantes 48 juegan fútbol; 25 básket; y 30 natación. 6 de ellos practican los tres deportes. 4. Cuántos practican un solo deporte. 5. Cuántos practican dos deportes. 6. De 240 alumnos, 144 estudian Matemática; 128 Física y 72 Química; 24 estudian los tres cursos. Cuántos estudian dos cursos.
  62. 62. MATEMÁTICA BÁSICA I 62
  63. 63. MATEMÁTICA BÁSICA I 63 VECTORES CONCEPTOS BÁSICOS PAR ORDENADO.- Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquiera a y b; que denotaremos por (a,b), donde “a” es llamado la primera componente y “b” la segunda componente. Ejemplo.- Son pares ordenados (1,4), (-2,3), (Pedro , María), (hombre, mujer). Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus primeras componentes son iguales y las segundas también. En forma simbólica es: PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.- Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, al conjunto de los pares ordenados (a,b) donde “a” pertenece al conjunto A, y “b” pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B. Es decir : Sean y , el producto cartesiano de A y B es:
  64. 64. MATEMÁTICA BÁSICA I 64 = Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos , es decir y a sus elementos llamaremos pares ordenados de números reales. Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y a los puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremos por , etc. Gráfico: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- Consideremos dos puntos y , a la distancia de a denotaremos por y es dado por la fórmula: Es decir: En él , por Pitágoras si tiene: Además se tiene:
  65. 65. MATEMÁTICA BÁSICA I 65 Reemplazando (2) en (1) se tiene: SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2 Dado dos puntos y de , la suma de elementos de se define del modo siguiente: MULTIPLICACIÓN DE UN NUMERO REAL POR UN ELEMENTO DE R2 Sean R y , el producto de un escalar r por un elemento de que denotamos por y se define como: ESPACIO TRIDIMENSIONAL EJES CORDENADOS.- Los ejes de coordenadas son generalmente identificados por las letras X, Y, Z y hablaremos frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z. La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes de coordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamados planos coordenados; planos XY, plano XZ y plano YZ, estos planos dividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes.
  66. 66. MATEMÁTICA BÁSICA I 66 Considere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a través de p se construye planos perpendiculares a cada de los ejes coordenados. Sea A el punto en el cual el plano perpendicular al eje X intercepta en dicho eje. Sea B el punto en el cual el plano perpendicular al eje Y intercepta en dicho eje. Sea C el punto en el cual el plano perpendicular al eje Z intercepta en dicho eje. Los números , son las coordenadas de p y representa al punto p.
  67. 67. MATEMÁTICA BÁSICA I 67 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- La distancia no dirigida entre dos puntos y en el espacio tridimensional está dado por: Dentro de las aplicaciones de la matemática a la física e ingeniería se usan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y direcciones; por ejemplo tenemos la fuerza, velocidad, y aceleración y desplazamiento, a estas cantidades se representan geométricamente por un segmento de recta dirigida al cual llamaremos vector. Consideremos un punto P u un punto Q y al segmento de recta dirigido de P a Q denotaremos por se llama vector de P a Q y denotaremos por: .
  68. 68. MATEMÁTICA BÁSICA I 68 VECTORES BIDIMENSIONALES.- DEFINICION.- Un vector bidimensional es una pareja ordenada de números reales , donde “x” se llama la primera componente y, “y” se llama la segunda componente. a) OBSERVACION 1) A los vectores bidimensionales se le representa por letra minúsculas y en la parte superior se le coloca un segmento de recta o una flecha, es decir: 2) Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por , tal que: 3) Al vector cero simbolizaremos por . 4) Si , entonces el opuesto del vector quedará definido por: . 5) El vector fila, sus componentes se escriben una a continuación de la otra: . 6) El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la otra: Donde es la primera componente. es la segunda componente.
  69. 69. MATEMÁTICA BÁSICA I 69 REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTOR BIDIMENSIONAL Un vector bidimensional es representado, mediante un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier punto del plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadas son , tal como se muestra en la figura. VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.- Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema de coordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrante del plano cartesiano, se denomina, vector de posición o radio vector, así como se muestra en la figura. OBSERVACIÓN.- Al vector lo representaremos por cualquier punto siendo su dirección indefinida.
  70. 70. MATEMÁTICA BÁSICA I 70 Ejemplo.- Representar gráficamente al vector , cuyo punto inicial es , sabiendo que su representación de posición es: 1) 2) 3) VECTOR TRIDIMENSIONAL DEFINICION.- Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales , donde son las componentes del vector. Así como las ternas ordenadas , determinan a los vectores en donde 3,4,5 y 1,-3,2, son sus componentes. a) OBSERVACIONES.- 1) A los vectores tridimensionales se denota por: , , , …, etc. 2) Al conjunto de vectores tridimensionales denotaremos por: , de modo que: 3) Al vector cuyas componentes son llamaremos vector cero y simbolizaremos por: .
  71. 71. MATEMÁTICA BÁSICA I 71 4) Si , al puesto del vector quedara definido por: . INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR TRIDIMENSIONAL.- Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremos mediante un segmento dirigido tal como ; donde es el punto inicial y es el extremo libre del vector (tal como se muestra en la figura). VECTOR DE POSICIÓN O RADIO VECTOR.- Un vector es de posición, si el punto inicial coincide con el origen de coordenadas y el extremo del vector está ubicado en cualquier punto del espacio, tal como se muestra en la figura.
  72. 72. MATEMÁTICA BÁSICA I 72 VECTOR n-DIMENSIONAL.- Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales que denotaremos por , donde , Al conjunto de vectores n-dimensional representaremos por , es decir: Si Al vector cero denotaremos por: El vector opuesto de n-dimensiones quedara definido por: OPERACIONES CON VECTORES.- IGUALDAD DE VECTORES.- Dos vectores son iguales si y sólo si, sus componentes correspondientes toman los mismos valores. Es decir: Si entonces escribimos: Si , y escribiremos así: Si no son iguales, entonces escribiremos: para algún
  73. 73. MATEMÁTICA BÁSICA I 73 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DE VECTORES.- VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial y al mismo punto terminal se denota por = VECTORES EQUIVALENTES.- Dos vectores son equivalentes si tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño pero diferente punto inicial y se denota Ejemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si donde = (5x + 3y, 4x-y-4),
  74. 74. MATEMÁTICA BÁSICA I 74 Solución Aplicando el concepto de igualdad de vectores. ≠ ⟺ (5x + 3y, 4x – y -4) = (4x +2y + 5, 3x + y +7) 5x + 3y = 4x + 2y + 5 x = 7 4x – y -4 = 3x + y +7 de donde y = -2 M = 7X + 5Y = 7(7) + 5(-2) = 49 -10 = 39 M = 39 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.- Sea λ un escalar (λ € R) y sea un vector cualquiera entonces llamaremos producto de λ por denotado por: λ. , al vector resultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por λ, esto es: Si € ⇒ = ( luego λ = λ.( = (λ λ Si € ⇒ = ( , luego λ = λ.( = (λ λ en general si € luego λ = λ.( = (λ λ Ejemplo.- Sea = un vector donde: 1. A(1,1), B(4,3), λ = 2 graficar los vectores y λ
  75. 75. MATEMÁTICA BÁSICA I 75 Solución = = – A = (4,3) – (1,1) = (3,2) λ = 2(3,2) = (6,4) λ = -2(3,2) = (-6,-4) 2. Si = (2,3) graficar 3 y -3 Solución 3 = 3(2,3) = (6,9) -3 = -3(2,3) = (-6,-9) PROPIEDADES.- Para todo es escalar r,s € R y los vectores , se verifican las siguientes propiedades. 1) r. es un vector. 2) (r + s) = r + s 3) r( + ) = r + r 4) r(s. = 5) 1. =
  76. 76. MATEMÁTICA BÁSICA I 76 SUMA DE VECTORES.- Dados los vectores y , el vector resultante suma + se obtiene sumando sus correspondientes componentes, esto es: Si , € ⇒ = ( , = ( = ( Si , € ⇒ = ( , = ( = ( Si , € ⇒ = ( , = ( = ( Ejemplo.- Si = (3,5) y = (1,4) entonces: = (3,5) + (1,4) = (3 + 1, 5 + 4) = (4,9) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.- En la interpretación geométrica de la suma de vectores consideramos los métodos siguientes: 1er. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.- Se dibujan las representaciones de los vectores desde el mismo punto (se hace coincidir los puntos terminal de y inicial de ) y se
  77. 77. MATEMÁTICA BÁSICA I 77 completa el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto común representa . 2do. MÈTODO DEL TRIÀNGULO.- Los vectores se grafican uno a continuación del otro, luego el vector resultante se obtiene del punto inicial del vector con el punto final del vector . 3er. MÈTODO DEL POLIGONO VECTORAL.- La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los vectores una a continuación de otro haciendo coincidir el extremo de uno con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.
  78. 78. MATEMÁTICA BÁSICA I 78 PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES Para todo vector se verifica las siguientes propiedades: 1) es un vector. 2) = , conmutativa 3) , asociativa 4) vector, existe un único vector tal que , neutro aditivo. 5) vector, existe un único vector tal que , inverso aditivo. DIFERENCIA DE VECTORES Consideremos los vectores ; a la diferencia de estos vectores se define de la siguiente manera: Si = ( , = ( , de donde: Si = ( , = ( , de donde:
  79. 79. MATEMÁTICA BÁSICA I 79 Ejemplo.- Sean )3,1(a  y ).8,4(b  Hallar 3.( baab  26)2 Solución )2,6()6,2()8,4()3,1.(2)8,4(2ab  )2,14()16,8()18,6()8,4(2)3,1.(626 ba  )8,4()2,14()6,18()2,14()2,6.(326)2(3 baab  INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DE VECTORES.- A los vectores ba  , lo representamos por los segmentos dirigidos PQ y PR con la condición de tener el tener es decir el origen común en el punto P, entonces la diferencia de ba  , es decir: ba  quedara representado por el segmento dirigido QR puesto que abab  )( . Ejemplo.- Dado la representación de a  y b  dibuje ba  , usando la definición de resta y la regla del triangulo para la suma.
  80. 80. MATEMÁTICA BÁSICA I 80 Solución Dibujando los vectores ,ABa  ,ACb  desde el mismo punto inicial A. Ahora dibujamos b  Empleando la regla del triangulo para la suma se dibuja ba  LONGITUD O MÓDULO O NORMA DE UN VECTOR.- La longitud o módulo de un vector a  es el número real no negativo, representado por a  y es definido por la raíz cuadrada de la de los cuadrados de sus componentes, esto es: i) Si a  2V 1(aa  , 2a ) de donde: 2 2 2 1 aaa  cuya representación gráfica es:
  81. 81. MATEMÁTICA BÁSICA I 81 Si 1(aa  , 2a ) es un vector de posición cuyo módulo y representación gráfica es: ii) Si a  3V 1(aa  , 2a , 3a ) de donde: 2 3 2 2 2 1 aaaa  cuya representación gráfica es: Si 1(aa  , 2a , 3a ) 3V es un vector de posición cuyo módulo y representación gráfica es:
  82. 82. MATEMÁTICA BÁSICA I 82 Sobre el plano XY se tiene 1(ad  , 2a ) donde su módulo es: 2 2 2 1 aad . De donde al incluir el eje Z se tiene el módulo del vector 1(aa  , 2a , 3a ), es decir: 2 3 2 2 2 1 2 3 2 aaaada  2 3 2 2 2 1 aaaa  En general si a  nV 1(aa  , 2a , …, na ) de donde su módulo es: n i in aaaaa 1 222 2 2 1 ...  Ejemplo 1.- Si 3(a  ,4) su módulo es: 52516943 22 a  Ejemplo 2.- Si (a  1, 3, 4) su módulo es: 261691a  Ejemplo 3.- Si (a  2, 4) y (b 3, 5) entonces: 7,5158,9415,98,45,334,2.232 ba 74492575 22 Ejemplo 4.- Hallar el valor de M= 2x + 6y- 3z si el módulo de zyzxxa 2,35,28  es igual a cero.
  83. 83. MATEMÁTICA BÁSICA I 83 Solución Como a  3V y 0a  0,0,00a  , es decir: zyzxxa 2,35,280,0,0  de donde 2 Luego PROPIEDADES DEL MODULO DE UN VECTOR Se verifican las siguientes propiedades: 1. vector 2. 3. vector, 4. (desigualdad triangular) Demostración 1. Si = ( , como entonces En forma similar si = (
  84. 84. MATEMÁTICA BÁSICA I 84 2. Si Si = ( entonces . Por lo tanto En forma similar si ⇒ = ( entonces Por tanto Si Si Si 3. Si = ( entonces: su módulo es: Por lo tanto Si = ( , entonces: . Por lo tanto: 4. La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en base a la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ.
  85. 85. MATEMÁTICA BÁSICA I 85 VECTOR UNITARIO.- Se llama vector unitario cuyo módulo es la unidad, es decir: es un vector unitario si y solo si = 1. Ejemplo.- El vector es unitario por que = TEOREMA Dado un vector entonces el vector es un vector unitario. Demostración Sea = ( entonces: es unitario si Es decir Por lo tanto como entones es unitario. En forma similar para los vectores Ejemplo.- Si , por lo tanto: es unitario. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN R2 Cada vector no nulo = ( y su representación como radio vector le corresponde una dirección dad por la medida del ángulo formado por el vector y el eje X positivo en sentido antihorario.
  86. 86. MATEMÁTICA BÁSICA I 86 Si = ( ... (1) además y de (1) se tiene: = ( Por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y su dirección. Si es un vector unitario es decir Luego si es un vector unitario se puede expresar en función de es decir: Y el ángulo se denomina ángulo de inclinación o ángulo de dirección del vector OBSERVACION.- la medida del ángulo se obtiene de la forma siguiente. Mediante un ángulo de referencia y haciendo uso de una tabla de valores se halla el valor de con para el cual ,
  87. 87. MATEMÁTICA BÁSICA I 87 Si 1er. cuadrante: , 2do. cuadrante: , 3er. cuadrante: , 4to. cuadrante: Ejemplo.- Hallar un vector de longitud y que tiene la misma dirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo del eje X. Solución =
  88. 88. MATEMÁTICA BÁSICA I 88 Ejemplo.- Expresar el vector en términos de su magnitud y su ángulo de inclinación o dirección. Solución Como , de donde Calculando se tiene 4to. Cuadrante Donde Luego Por lo tanto CONBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.- Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinación lineal de los vectores , a la expresión siguiente: Donde DEFINICION Diremos que el vector esta expresado en combinación lineal de los vectores y si existen escalares , tal que:
  89. 89. MATEMÁTICA BÁSICA I 89 Ejemplo.- Expresar al vector en combinación lineal de los vectores y siendo Solución El vector es expresado en combinación lineal de los vectores y si existen , R tal que: . (2,2)= De donde resolviendo el sistema si tiene , Luego la combinación lineal es: DEFINICION Un conjunto de n vectores se dice que son linealmente independiente, si toda combinación lineal igualada al vector nulo. , , implica que Cuando los vectores no son linealmente independiente se dice que son linealmente dependientes.
  90. 90. MATEMÁTICA BÁSICA I 90 OBSERVACION 1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los vectores y son colineales. 2) Los vectores , son linealmente independiente cuando los vectores y son no colineales. Ejemplo 1) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores , . Solución Utilizando la definición correspondiente, formularemos la combinación lineal y determinaremos las escalares respectivos siempre que sea posible. , de donde por igualdad
  91. 91. MATEMÁTICA BÁSICA I 91 resolviendo el sistema se tiene , donde es arbitrario. Entonces , y son linealmente dependiente. 2) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores Solución En forma similar al ejemplo anterior expresaremos a los vectores , y en combinación lineal. de donde por igualdad resolviendo el sistema se tiene: Entonces los vectores , y son linealmente independiente. VECTORES FUNDAMENTALES Consideremos los vectores y en al cual denotaremos así: , estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados en sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales.
  92. 92. MATEMÁTICA BÁSICA I 92 Todo vector de se puede expresar en combinación lineal de los vectores fundamentales , Sea pero de donde: = A los números , se denominan componentes escalares de y los vectores se denomina componentes vectoriales del vector . En forma similar consideremos los vectores y en al cuál denotaremos así: Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de coordenadas, situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales. Todo vector de es decir: , puede expresarse como combinación lineal de los vectores fundamentales. En efecto: Ejemplo.- Expresar el vector como combinación lineal de los vectores y , siendo , .
  93. 93. MATEMÁTICA BÁSICA I 93 Solución PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES El producto escalar (o producto interno) de dos vectores está dado por la suma de los productos de sus componentes correspondientes. Es decir: Sí Si En general para se tiene: Ejemplo.- Sí y entonces - OBSERVACION.- El producto de dos vectores es un número real. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Consideremos tres y un número real cualquiera; entonces: 1)
  94. 94. MATEMÁTICA BÁSICA I 94 2) 3) 4) 5) 6) Ejemplo.- Sí , y . Hallar Solución VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES a) Dos vectores y son paralelos si uno de ellos es igual al otro vector multiplicando por un número real, es decir: tal que Ejemplo.- Sí , , entonces , tal que Ejemplo.- Los vectores y no son paralelos porque , tal que
  95. 95. MATEMÁTICA BÁSICA I 95 OBSERVACIÓN.- El vector nulo es paralelo a todos los vectores, en efecto: , vector, , entonces: y son paralelos. CONSECUENCIA.- Si entonces , , ahora si y son diferentes de cero, se tiene de la igualdad. de donde , Luego tenemos que: es decir si entonces existe proporcionalidad entre las componentes correspondientes. Ejemplo.- Determinar si los vectores y son paralelos. Solución Si debe existir proporcionalidad entre las componentes correspondientes: . Luego y son paralelos. CRITERIO DE COLINEALIDAD.- Un conjunto de punto A, B y C son colineales si y sólo si pertenecen a una misma recta.
  96. 96. MATEMÁTICA BÁSICA I 96 Por lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos, . Ejemplo.- Determinar si los puntos y son colineales. Solución Los puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generan vectores paralelos Luego los puntos A, B y C son colineales. b) Dos vectores y son ortogonales si se verifica la siguiente relación. Así por ejemplo, los vectores y son ortogonales, en efecto: …(1) (2) Comparando (1) y (2) se tiene:
  97. 97. MATEMÁTICA BÁSICA I 97 Si los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por , es decir: INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ORTOGONALIDAD DE VECTORES Como los vectores y son las diagonales del paralelogramos cuyos lados son y , entonces si los vectores y son ortogonales esto significa que el paralelogramos es un rectángulo, por lo tanto sus diagonales son congruentes. Otro modo de interpretar la ortogonalidad de los vectores y es: TEOREMA.- Los vectores y son ortogonales sí y sólo sí Demostración i) Si (por demostrar) Por hipótesis se tiene que y son ortogonales entonces (por definición de ortogonalidad).
  98. 98. MATEMÁTICA BÁSICA I 98 Luego desarrollando los cuadrados de la igualdad se tiene: de donde ii) Si (por demostrar) Como De donde Esta relación nos indica que los vectores a y b son ortogonales (por definición de ortogonalidad). Ejemplo.- Determinar cuáles de los pares de vectores dados son ortogonales. 1) entonces y son ortogonales. 2) 3) entonces y no son ortogonales. TEOREMA Los vectores son ortogonales sí y solo sí
  99. 99. MATEMÁTICA BÁSICA I 99 PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTE Consideremos dos vectores y no nulos, construyamos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector y su base sea el vector (donde ) paralelo al vector de modo que los lados del triángulo quedará representado así: Hipotenusa al vector y por catetos a los vectores , donde Como o lo que es lo mismo entonces . , de donde es el único número real, como , significa que el triángulo cuya hipotenusa es el vector tendrá por catetos a los vectores: ; En consecuencia: al vector que es paralelo al vector , llamaremos proyección ortogonal del vector sobre el vector . Al vector expresaremos en la forma siguiente: , de donde es el vector unitario en la dirección del vector , en tanto que el número es la longitud dirigida del vector proyección, al número llamaremos componente del vector en la dirección del vector .
  100. 100. MATEMÁTICA BÁSICA I 100 DEFINICIONES i) Sean y dos vectores, donde , definimos la proyección ortogonal del vector sobre el vector y los representamos del modo siguiente: ii) Sean y dos vectores, donde , al número que es la longitud dirigida del vector le llamaremos la componente del vector en la dirección del vector y denotaremos así: RELACIÓN ENTRE PROYECCIÓN Y COMPONENTE Consideremos dos vectores y donde por definición sabemos que: Al vector expresaremos en la forma siguiente: , como Entonces se tiene:
  101. 101. MATEMÁTICA BÁSICA I 101 i) Si la , la y tienen la misma dirección. ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas. iii) Si la quiere que . OBSERVACION.- La diferencia entre proyección ortogonal y componente radica en que la proyección ortogonal es un vector y la componente es un número real. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES TEOREMA.- Demostrar que el ángulo formado entre dos vectores y no nulos corresponden a la siguiente relación.
  102. 102. MATEMÁTICA BÁSICA I 102 Demostración Como y son dos vectores no nulos y es el ángulo formado por estos dos vectores , de modo que el campo de variabilidad está dado por . Por definición de componente sabemos que: … (1) del gráfico se sabe que de donde … (2) reemplazando (2) en (1) se tiene: Ejemplo.- Dados los vectores , . Hallar:
  103. 103. MATEMÁTICA BÁSICA I 103 a) La proyección de sobre . b) La componente de en la dirección de . c) El ángulo entre los vectores propuestos. Solución a) b) c) LA DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ.- TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector y se verifica la siguiente relación. Demostración Veremos primero para el caso en que Por Pitágoras del gráfico se tiene: , lo que es mismo
  104. 104. MATEMÁTICA BÁSICA I 104 , además por lo tanto … (1) Ahora veremos el caso cuando es decir: Si tal que Por lo tanto: Luego de (1) y (2) se tiene: APLICACIÓN.- Como aplicación de este teorema, demostraremos la desigualdad triangular. , de donde por lo tanto: OBSERVACIÓN.- Consideremos el vector definiremos un vector ortogonal al vector al cual denotaremos por cuyos componentes son y que es obtenido aplicando un giro de 90° sobre el vértice del vector en sentido antihorario, el vector así definido es ortogonal al vector . En efecto: = Luego
  105. 105. MATEMÁTICA BÁSICA I 105 Ejemplos.- Sean su ortogonal es Sean su ortogonal es ANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NÚMEROS DIRECTORES.- Sea entonces: Definimos los siguientes ángulos: , , , entonces: a) A los números se les llama números directores del vector .
  106. 106. MATEMÁTICA BÁSICA I 106 b) A los ángulos formados por los ejes positivos y el vector , se les llaman ángulos directores del vector . Los ángulos directores toman valores entre y es decir: . c) A los cosenos de los ángulos directores se les llama cosenos directores del vector . Es decir: Como , de donde , de donde , de donde como , tomando módulo en ambos lados se tiene: AREA DE: TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS.- Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .
  107. 107. MATEMÁTICA BÁSICA I 107 La altura del paralelogramo es: como área del paralelogramo es: pero En consecuencia el área del triángulo cuyos lados son los vectores y esta dado por: Ejemplos.- 1) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3,2), B(3,-2), C(4,5). Solución Si
  108. 108. MATEMÁTICA BÁSICA I 108 PRODUCTO VECTORIAL Para calcular un vector ortogonal a otro vector en se definió en la forma siguiente. Si , que se obtenía de hacer girar al vector un ángulo de en sentido antihorario. Pero para el caso de a un vector su ortogonal no se define por , puesto que, para el vector fijo , existen infinitas direcciones en las que un vector es ortogonal al vector . Por lo tanto definiremos una operación entre dos vectores y en , de tal manera que resulte un vector que sea perpendicular tanto al vector como el vector .
  109. 109. MATEMÁTICA BÁSICA I 109 DEFINICION Considerar dos vectores de , ; entonces el producto vectorial de y se define por: Ejemplo.- Sean y Como se puede observar es ortogonal tanto a como a . PROPIEDADES Sean 1) es ortogonal tanto como a . 2) (el producto vectorial no es conmutativo) 3) 4) 5) 6) La demostración de estas propiedades son directas mediante la definición.
  110. 110. MATEMÁTICA BÁSICA I 110 Vectores fundamentales del espacio usando la definición de producto vectorial obtenemos Usando las propiedades de (*) obtenemos la definición de . Es decir: Si = que es el producto esperado.
  111. 111. MATEMÁTICA BÁSICA I 111 De igual manera podemos obtener desarrollando el determinante de tercer orden propuesto de la propiedad (6). Esta propiedad es muy importante, porque permite calcular el producto vectorial sin necesidad de recordar la definición. Ejemplo.- Sean , entonces: OBSERVACIÓN.- El desarrollo del determinante de tercer orden es como sigue. Este procedimiento se denomina, desarrollo por menores complementarios de la primera fila y es la técnica recomendada para calcular el producto vectorial. TEOREMA.- Demostrar que: Donde es el ángulo entre los vectores y ;
  112. 112. MATEMÁTICA BÁSICA I 112 Demostración Sean y por definición de tenemos: Efectuando operaciones en el segundo miembro y factorizando se tiene: … (1) Pero , de donde: … (2) Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: De donde: , por tanto NOTA.- Cual es el significado geométrico de . Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .
  113. 113. MATEMÁTICA BÁSICA I 113 La altura h es igual a: , es decir: , además el área de un paralelogramo es: Por lo tanto es el área del paralelogramo formado por los vectores y . Ejemplo.- 1) Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores y Solución
  114. 114. MATEMÁTICA BÁSICA I 114 TEOREMA.- Demostrar que dos vectores son paralelos si solo si Demostración i) Si (por demostrar) como o pero ii) Si (por demostrar) como además , , Entonces o Por lo tanto, y son paralelos. 2) Dados los vectores y . ¿Son paralelos estos vectores? Solución Si , entonces: y no son paralelos.
  115. 115. MATEMÁTICA BÁSICA I 115 PRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.- Sea , y tres vectores de , al producto mixto de , y que denotaremos por se define como el producto escalar de y . Es decir: PROPIEDADES DEL PRODUCTO TRIPLE ESCALAR Consideremos los vectores , entonces se verifica: 1) 2) 3) Ejemplo.- Si , y , entonces mediante el producto mixto, se puede describir la orientación (tal como se observa en los siguientes gráficos). La flecha indica la orientación Positiva (LEVOGIRA). La flecha indica la orientación Negativa (DESTROGIRA).
  116. 116. MATEMÁTICA BÁSICA I 116 En general: Si , entonces decimos que están orientados positivamente y que los vectores y tienen la misma dirección, es decir que los vectores y están en un mismo plano P que contiene al paralelogramo formado por y . Si , entonces decimos que están orientados positivamente y que los vectores y tienen direcciones opuestas, ósea que los vectores y están en el lado opuesto del espacio con respecto al plano P que contiene al paralelogramo formado por los vectores y . VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDO Consideremos el paralelepípedo formado por los vectores .
  117. 117. MATEMÁTICA BÁSICA I 117 por que , entonces: por lo tanto si representa el volumen del paralelepípedo de aristas para el caso en que entonces es el volumen del paralelepípedo. Ejemplo.- Determinar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores , y Solución VOLUMEN DEL TETRAEDRO.- Consideremos el tetraedro formado por los vectores . ,
  118. 118. MATEMÁTICA BÁSICA I 118 Ejemplo.- Determinar el volumen del tetraedro cuyas aristas son los vectores , y Solución
  119. 119. MATEMÁTICA BÁSICA I 119 EJERCICIOS DESARROLLADOS 1) Dados los puntos y . Hallar las componentes de los vectores y Solución De la interpretación geométrica de un vector se tiene: 2) Hallar el punto con el que coincide el extremo del vector si su punto inicial es . Solución Como de donde por lo tanto . 3) Si , hallar el valor de x sabiendo que el módulo de es 13. Solución Como , de donde entonces y por lo tanto o .
  120. 120. MATEMÁTICA BÁSICA I 120 4) Hallar el vector que tiene la misma dirección del vector , sí ( es el vector que tiene la misma dirección que ). Solución Como y tienen la misma dirección entonces Como 5) Si A, B y C son puntos de una misma recta, hallar el vector sabiendo que B se encuentra entre A y C donde y y . Solución Como y tienen la misma dirección entonces Pero = De donde Como 6) Demostrar para qué valores de e los vectores y son paralelos.
  121. 121. MATEMÁTICA BÁSICA I 121 Solución Si tal que al reemplazar por sus componentes se tiene: de donde , , , Luego Por lo tanto los valores de e es: 7) Si y . Hallar para que sea paralelo a Solución Si tal que: , dé donde: por igualdad se tiene: entonces Igualando se tiene: de donde 8) Para que valores de “a”, los vectores , y son ortogonales.
  122. 122. MATEMÁTICA BÁSICA I 122 Solución Si (ortogonales) son los valores de a. 9) Hallar las coordenadas de los vectores y , conociendo los puntos y Solución 10)Los extremos del vector coinciden con los punto y . Determinar las coordenadas del punto , sabiendo que el punto es el origen y sus coordenadas son Solución de donde: Luego
  123. 123. MATEMÁTICA BÁSICA I 123 11)Determinar el origen del vector si su extremo libre coincide con el punto . Solución , igualando se tiene: Por lo tanto: 12)Determinar para que valores de m y n los vectores y son colineales. Solución Como y son colineales y son paralelos, es decir: , de donde: entonces: 13)Determinar para qué valores de los vectores ; son perpendiculares entre sí, sabiendo que , . Solución Como 14)Calcular sabiendo que: , y
  124. 124. MATEMÁTICA BÁSICA I 124 Solución , elevando al cuadrado tenemos: 169+361+2 2 15)Los vectores y forman un ángulo , se sabe además que: y . Determinar: y . Solución 16)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo de es 3. Hallar el módulo de , de modo que ( sea perpendicular a . Solución Como y además por hipótesis: También sabemos que: como De donde
  125. 125. MATEMÁTICA BÁSICA I 125 17)Los vectores y forman entre sí un ángulo de 45° y el módulo de es 3. Hallar el módulo para que forme con un ángulo de 30°. Solución Por hipótesis tenemos y Determinamos , para que , de donde: elevando al cuadrado y simplificando , resolviendo la ecuación: 18)Sean y dos vectores. Demostrar que y son ortogonales. Solución (ortogonales) Como
  126. 126. MATEMÁTICA BÁSICA I 126 19)Calcular los cosenos directores del vector Solución de donde tenemos: 20)Demostrar que: y determinar los ángulos formados por el vector con las direcciones positivas de los ejes coordenados. Solución Se conoce que: sí entonces sumados se tiene: 21)Demostrar que y son ortogonales sí solo sí .
  127. 127. MATEMÁTICA BÁSICA I 127 Solución i) son ortogonales sí y solo sí . Como ii) sí como (ortogonales) 22)Si , y son las aristas de un paralelepípedo rectangular, entonces determinar los ángulos formados entre las aristas y diagonales respectivamente (caso particular del cubo). Solución i) Sea como entonces: de donde ii) Sea
  128. 128. MATEMÁTICA BÁSICA I 128 Luego de donde iii) Sea Luego de donde En particular del cubo se tiene: por lo tanto: Luego: Análogamente se puede determinar la medida de los otros ángulos tomando cualquier otra diagonal del paralelepípedo rectangular. 23)Un vector ha formado los ángulos de y con los ejes OX, OZ respectivamente, determinar el ángulo formado con el eje OY.
  129. 129. MATEMÁTICA BÁSICA I 129 Solución Sea el ángulo por calcular Por cosenos directores tenemos: , respectivamente se tiene: reemplazando 24)Demostrar que: si dos vectores son unitarios, entonces la suma es un vector unitario si y solo si el ángulo formado por dichos vectores es de . Solución i) sean a, b vectores unitarios de modo que: ii) Sí Como es unitario 25)Probar que la suma de vectores es conmutativa, es decir:
  130. 130. MATEMÁTICA BÁSICA I 130 Solución Se observa que: por definición de suma de donde: … (1) por definición de Suma de donde: … (2) Comparando (1) y (2) se tiene 26)Demostrar que la suma de vectores es asociativa, es decir: . Solución Se observa que: Por definición de suma de vectores, de donde: … (1) por definición de suma de vectores, de donde: … (2) por definición de suma de vectores, de donde: … (3) por definición de suma de vectores, de donde: … (4) Comparando (3) y (4) se tiene:
  131. 131. MATEMÁTICA BÁSICA I 131 27)Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de su longitud. Solución Sea , de modo que: , , como entonces: A continuación se debe comprobar que el segmento que une los puntos medio de dos lados de un triangulo es igual a la mitad de la longitud del tercer lado del triangulo, para ello sabemos que: , por lo tanto: 28)Sean y dos vectores que tienen distinta dirección. Hallar la expresión de cualquier vector del plano determinado por y . Solución Sabemos que el vector es paralelo al Vector análogamente el vector es paralelo al vector , y aplicando la regla del paralelogramo tenemos: que es la expresión pedida.
  132. 132. MATEMÁTICA BÁSICA I 132 29)Demostrar que en un triángulo isósceles, la mediana es igual a la altura. Solución Por hipótesis tenemos que: Debemos demostrar que: Según el gráfico sabemos que: … (1) Igualmente según el gráfico se tiene: … (2) 30)Si los extremos de tres vectores distintos , y , de origen común son colineales. Demuéstrese que se cumple la relación siendo y números reales distintos de cero. Solución Consideremos tres vectores , y distintos con extremos colineales y origen común. Del gráfico se tiene: … (1) tal que: … (2) reemplazando (2) en (1) se tiene:
  133. 133. MATEMÁTICA BÁSICA I 133 , de donde en general 31)Demuéstrese que si tres vectores distintos , y , cumple la relación siendo y números reales distintos de cero, entonces los extremos de los vectores , y son colineales. Solución Como , reemplazando: de donde se observa que es un vector que se obtiene sumando el vector y el vector que es paralelo al vector y esto nos implica que el extremo de se encuentra en la línea que une A y C. 32)Demostrar que el triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo.
  134. 134. MATEMÁTICA BÁSICA I 134 Solución Se observa que por ser radio de un circulo. Por demostrar que: es decir que: Luego pero como entonces: En consecuencia 33)Si k es un punto interior del triángulo MNP y M‟, N‟, P‟ son los puntos medios de los lados del triángulo. Demostrar que . Solución Por hipótesis tenemos: y Además en la figura se observa que:
  135. 135. MATEMÁTICA BÁSICA I 135 Luego … (1) Igualmente de los otros lados deducimos: Además en la figura se observa que: Luego … (2) Luego … (3) Ahora sumando (1), (2) y (3) se tiene: Por lo tanto: 34)Sean , dos vectores de un mismo origen y sus extremos los puntos A y B respectivamente. Expresar un tercer vector en términos de los vectores dados, tal que comparta del mismo origen y su extremo se encuentra en el punto medio del segmento .
  136. 136. MATEMÁTICA BÁSICA I 136 Solución debe expresarse en términos de , por hipótesis se sabe que: , además se tiene: sumando se tiene: por los tanto: 35)Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Solución Consideremos el paralelogramo OABC. cuyas diagonales se cortan en el punto P, además en la gráfica se observa que: i) entonces y o puesto que y son paralelos.
  137. 137. MATEMÁTICA BÁSICA I 137 ii) y o puesto que y son paralelos. iii) reemplazando i), ii) y iii) se tiene: , de donde , como y no son paralelos Se tiene que: por tanto Se tiene que: por tanto con lo que se afirma que P es el punto medio de la diagonales. 36)Demostrar que el polígono resulta de unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, es un paralelogramo. Solución Consideremos el cuadrilátero OABC siendo E, F, D, G los puntos medios de sus lados. En la figura que:
  138. 138. MATEMÁTICA BÁSICA I 138 i) , , , ii) (trayectoria cerrada) iii) de (ii) Luego de donde por lo tanto tenemos que: (ii), (iii) de modo que el cuadrilátero resultante es un paralelogramo. 37)En un triángulo cualquiera, demostrar que existe otro triángulo cuyos lados son iguales y paralelos del primero. Solución La condición para que tres vectores , y formen un triangulo es:
  139. 139. MATEMÁTICA BÁSICA I 139 En la figura (b) se tiene: Sumando se tiene: Luego cumple la condición de formar un triángulo. 38)Demostrar vectorialmente que: si el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Solución Se sabe que: Y como la trayectoria es cerrada entonces , pero de donde por lo tanto ; como son ortogonales, por consiguiente el triángulo es un triángulo rectángulo.
  140. 140. MATEMÁTICA BÁSICA I 140 39)Demostrar vectorialmente que un triángulo hay dos medianas de igual medida. Solución Sabemos por hipótesis que por ser triángulo isósceles: además del grafico se tiene: por definición de suma de vectores por definición de suma de vectores. luego demostraremos que , como Entonces … (1) , como entonces: … (2) ahora comparando (1) y (2) se tiene: por lo tanto las dos medianas de un triángulo isósceles, sus medianas son iguales. 40)Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos vectores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares.
  141. 141. MATEMÁTICA BÁSICA I 141 Solución Consideremos dos vectores , entonces por condición del problema se tiene: , de donde , desarrollando tenemos: , ahora simplificando , esto indica que los vectores son perpediculares. 41)Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpendiculares, entonces los vectores tienen magnitudes iguales. Solución Consideremos dos vectores de tal manera que: Ahora desarrollamos el producto escalar se tiene: de donde: 42)Si A, B y C son puntos de una misma recta, el punto C divide al segmento AB en la razón r, si . Determinar C, si C divide al segmento AB en la razón r. Solución En el gráfico se observa que: si
  142. 142. MATEMÁTICA BÁSICA I 142 De donde … (1) Como C divide al segmento AB en la razón r, Entonces Ósea que: … (2) Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: , de donde 43)Consideremos cuatro puntos A, B, C y P, de tal manera, que si P está en la recta que pasa por los puntos A, B y C, y que divide a los segmentos y en las razones r, s y t respectivamente. Demostrar que r.s.t=1 Solución De los datos del problema se tiene que: P divide al segmento en la razón r … (1) P divide al segmento en la razón s … (2) P divide al segmento en la razón t … (3) De (2) … (4) De (3) … (5) Ahora reemplazando (5) en (4) se tiene: … (6) Ahora reemplazando (6) en (1) se tiene: , como entonces
  143. 143. MATEMÁTICA BÁSICA I 143 44)Los vectores , y son distintos con origen común. Encuéntrese la condición necesaria y suficiente para que sus puntos extremos sean coplanares. Solución Los puntos A, B, C y D (extremos de los vectores , y ), serán coplanares cuando uniéndolos dos a dos, cualesquiera de ellas, las rectas resultantes se corten o sean paralelas. Supongamos que conectamos A con B y C; si ambas se cortan, los puntos A, P y B estarán en línea recta (P punto de intersección de las rectas y extremo del vector ), y lo mismo sucederá con P y D por lo tanto. Del ejercicio (7) se tiene: De los sistemas se tiene: , de donde: La condición necesaria, es pues: … (1)
  144. 144. MATEMÁTICA BÁSICA I 144 Si las rectas AB y CD son paralelas entonces: , se donde , también se cumple la relación (1) Por lo tanto si P es punto común de AB y CD, entonces A, B, C y D son coplanares. 45)Demuéstrese que las tres alturas de un triángulo coinciden en punto. Solución La relación siguiente se cumple … (1) Como se puede demostrar por simple desarrollo. Si los vectores y tienen la dirección de las alturas correspondientes y son, por lo tanto, perpedicular, respectivamente, y resulta que: , y teniendo en cuenta la parte (1) se tiene: Luego es perpendicular a ; y tendrá la dirección de la altura resultante: por tanto, las tres alturas coinciden en el punto H. 46)Si P es el punto de intersección de las medianas del triangulo ABC, O es punto cualquiera del espacio demuestre que: .
  145. 145. MATEMÁTICA BÁSICA I 145 Solución Sea M el punto medio de A y C … (1) Además por la propiedad de las medianas: … (2) Reemplazando (1) en (2) tenemos: Luego 47)Sumar gráficamente y analíticamente los vectores , y que se muestran en la figura.
  146. 146. MATEMÁTICA BÁSICA I 146 Solución Analíticamente: , Luego 48)Dado un paralelogramo de vértices los puntos A, B, C y D si M es el punto medio de y P está en a de la distancia de A a P, demostrar vectorialmente que: . Solución , De donde Por demostrar , de donde: Por lo tanto:
  147. 147. MATEMÁTICA BÁSICA I 147 49)Dado un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A, B, C y D siendo P y Q los puntos medios de los lados y respectivamente. Demostrar que y trisecan a la diagonal . Solución Sean E y F los puntos de intersección de y con la diagonal . Por demostrar que: Del gráfico se tiene: … (1) … (2) Igualando (1) y (2) se tiene: , de donde Pero como y son vectores no paralelos y diferentes del vector nulo y por el ejercicio (1) se tiene: Por lo tanto de (1) se tiene:
  148. 148. MATEMÁTICA BÁSICA I 148 50)Un automóvil recorre 5 km. Hacia el norte, luego 8 km. hacia el noreste; representar gráficamente y hallar la resultante del recorrido. Solución (Representa el desplazamiento de 5 km. hacia el norte) (Representa el desplazamiento de 8 km. hacia el noreste) (Representa a la resultante del recorrido, es decir: ). En el triangulo OAB los lados son los vectores y cuyas longitudes son: Para determinar la longitud de aplicamos la ley del coseno, es decir: , de modo que es el ángulo comprendido entre , cuyo valor es: . Luego reemplazando kms.
  149. 149. MATEMÁTICA BÁSICA I 149 CAPÍTULO III ALGEBRA DE NÚMEROS 3.1 TEORÍA DE NÚMEROS Los números aparecen en las diferentes civilizaciones, cuyo estudio histórico se pierde en el tiempo. Una de las civilizaciones más importantes fueron los Sumerios, que se desarrollaron en la actual zona del IRAK; quienes 1700 años A.C. idearon el sistema de Numeración Decimal; utilizados mundialmente y representados en las cuevas, mediante el arte Rupestre. Los Babilonios invadieron y aprendieron el sistema de Numeración Decimal y llevaron al Asia; Norte de África y Europa. Los árabes invadieron a los Babilonios, por transculturización aprendieron el sistema de Numeración Decimal y siguieron dando a conocer, a los países donde comerciaban. Injustamente se les conoce como Números Arábigos; cuando, los inventores fueron los Sumerios. En un principio no se pudo definir los números y se trato de considerar como concepto primitivo. Inclusive en la Teoría de Inducción completa; se considera: Cero, Número y sucesivo como concepto primitivo. Posteriormente, se descubre la “Teoría de Conjuntos” por Kurt Grelling quien había escrito 200 años antes con relación a los conjuntos; recién se define (1940) los números teniendo como base los conjuntos estudiados por el inglés Kurt Grelling. Es
  150. 150. MATEMÁTICA BÁSICA I 150 conveniente reconocer los estudios realizados por los incas (1000 años después de Cristo) referente a los números (Yupay) en el sistema de Numeración Decimal; representados en los Quipus y el Yupana; como estupendos representantes de la matemática del flujo. Los incas en los “Yachay wasi” (Casa del aprendizaje) orientaban el aprendizaje de los números (Yupay) en base decimal, conocían las operaciones básicas: Yapay (suma), Quechuy (resta), Merachy (multiplicación) y Cheqta (División) se desarrollan fácilmente en el Quipu (para anular) y el yupana (para contar números). Los niños aprenden por tres canales: tacto (qapispa); vista (qawaspa), oido (uyarispa). Según la moderna NEUROPEDAGOGÍA; el más científico y completo sistema de aprendizaje para la matemática. 3.1.1 NÚMERO NATURAL (N) Es el signo que representa a los conjuntos coordinables A = {a} A = {a; b} A = {a; b; c} B = {b} B = {c; d} B = {d; e; f} C = {c} C = {e; f} C = {g; h; i} . . . . . . . . . . . . 1(uno) 2 (dos) 3 (tres) .............. Representación lineal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....
  151. 151. MATEMÁTICA BÁSICA I 151 Los números naturales cumplen con la propiedad conmutativa (cerrados) para la suma y la multiplicación. No se cumple para la: resta y división. 3.1.2 NÚMEROS ENTEROS (Z) Como los números naturales son cerrados, es necesario ampliar los números y tenemos, los números enteros en Z; que contienen a todos los números naturales con signo positivo y todos los números negativos; son el resultado de comparar dos números naturales por sustracción. Representación lineal ● ● ● ● ● ● ● ● - ...-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4.......+ Los números enteros cumplen con la propiedad conmutativa para las operaciones de: suma, resta y multiplicación; en cambio para la división no se cumple; por lo que es necesario ampliar. 3.1.3 NÚMEROS RACIONALES (Q) Que son el resultado de comparar los números enteros por división: Los números racionales cumplen con la propiedad conmutativa (cerrados) para la: suma, resta, multiplicación y división, siendo el segundo diferente de Cero. Diagrama lineal - ............... -3 -2 -1 0 1 2 3 ................... + - 2 3 8 5

×