Alumno: Eduardo Mera
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Si la distancia distancia de extrapolación d es despreciable (pequeña)
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Como las unidades, potencias y Avogadro se simplifican
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iii) la razón pmáx/pmedia, en que p es la densidad de potencia térmica del
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iv) radio crítico si hay un reactor infinito de agua liviana, estime el ahorro
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Para un reactor esférico ...
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B = 9.132×10-2
cm-1
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Con lo que el ahorro por reflector es...
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La reactividad con el periodo de un reactor se relaciona por
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Para un reactor que inicialmente esta critico, se le ...
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Se tiene que
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Para encontrar en la ecuación 3,
Se tiene que en t = 0 seg
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EJERCICIOS FÍSICA REACTOR NUCLEAR

  1. 1. Alumno: Eduardo Mera
  2. 2. 2 i) En la reacción 16 7 16 8 ),( NpnO , la concentración de átomos de N-16 por unidad de volumen en el tiempo esta dada por: 161616 16 ** NNa O N N dt dN   (1), la que puede detallarse como 161601616 16 ** NNaO N NN dt dN   (2) Teniendo en consideración que el numero de átomos de O16 es el mismo que de moléculas de agua, y este es el 99% de O natural, 322 233 016 /10*34.3 /18 /10*02.6*/*1*998.0 cmat molg molatcmg N  Tomando los factores de la ecuación (1) y aplicando Laplaciano.  a ONN N N dt dN  ** 161616 16 , aplicando la transformada de Laplace correspondiente s NLNNLs a O NNNoN    * )(*)(* 16 , No a O NN N s sNL     * ))(( 16 , con lo cual )()(* * )( 16 N No N a O N s N ss NL        (3), cuando se descomponen los términos            )( ** )(* * 16 16 N No a O N a O s N s A ss     , con lo que )(* *)(* )(* 1 N N N ss sBsA ss       
  3. 3. 3 Asumiendo que 1* NA  y 0 BA , por lo que N A  1  y N B  1  , Reemplazando en la ecuación (3) )()( **)( 16 N No N No a ON s N s N s A NL             , al aplicar la transformada inversa respectiva   t No t a ON NN eNeAAtN ** 16 ****)(      , por lo tanto   t No t N a O N NN eNetN **16 *1* * )(       (4), Como )()( tNtA N al aplicarlo en (4), se obtiene   t o t a ON NN eAetA ** 16 *1**)(      (5) La ecuación anterior evalúa actividad en Bq/cm3 ii) El ciclo esta compuesto por un tiempo de irradiación (ti)(5 seg) y otra de decaimiento (td) (40 seg), dando una duración total (t) al ciclo de 45 seg, de tal forma que t=ti+td. Para encontrar la actividad A(n) en función de los ciclos (n), debería generarse que: A(n) = La actividad a la salida del reactor de cada ciclo An =la actividad de entrada del reactor en cada ciclo Al modificar la expresion (5)   tn n tin a ON NN eAeA **** 16)( *1**      , en Bq/cm3   )(**** 16 *1** titntin a On NN eeA      , en Bq/cm3 Con n = 1,2,3,4….. Debe mencionarse que cada ciclo inicia cuando el agua sale del reactor, de modo que el agua inicia el segundo ciclo cuando ha pasado dos veces por el área de irradiación. Se tiene para n=1 (recien iniciado el ciclo se pasa solo una vez por la zona de irradiación) y A0=0,            seg s N escmncmcmmolecA 5*1* 4.7 2ln 2102245322 1*/10*10*10*4*/10*34.3)1( =4995 Bq/cm3 Debe tenerse en cuenta que posteriormente se entre con una actividad al sector de irradiación de A1, igual a
  4. 4. 4 seg s seg s eescmncmcmmolecA 40*1* 4.7 2ln 5*1* 4.7 2ln 2102245322 1 *1*/10*10*10*4*/10*34.3            , 9.1171 A Bq/cm3
  5. 5. 5 ii) Las ecuaciones que describen el problema son:  ***** 11111 1 NN dt dN af   (1)  **** 222211 2 NNN dt dN a (2) Para solucionar (1), se ordena y aplica Laplace 1111 1 **)*(   faN dt dN Aplicando Laplace y considerando que )*( 111   aA , se tiene que s NLANNLs f 1 1101 ** )(*)(* 1  )()( ** )( 1 10 1 1 1 As N Ass NL f       (3) Donde el termino            )( ** )( ** 1 1 1 1 As C s B Ass f f  
  6. 6. 6 )( )( )()( 1 1 1 11 Ass BACBs As C s B Ass       , de modo que 11 BA y B+C=0 Por lo que 1 1 A B  y 1 1 A C  , al aplicarlo en (3), tenemos )()( 11** )( 1 10 11 1 1 As N AssA NL f            , aplicando la transformación inversa, se tiene que   tAtAf eNe A tN 11 *1 ** )( 10 1 1 1     , teniendo que 010 N , se tiene que  t a f a etN )*( 11 1 1 11 1 * ** )(         (4), La solución de N2(t), es: 11222 1 *)*( NN dt dN a   , al aplicar Laplace y teniendo en cuenta que )*( 222   aA , se consigue que s N NLANNLs 11 22022 * )(*)(*   )()( * )( 2 02 2 11 2 As N Ass N NL      , )()( 11* )( 2 02 22 11 2 As N AssA N NL           Aplicando la transformada inversa:   tAtA eNe A N tN 22 *1 * )( 02 2 11 2    Se tiene que N2(t)   tt a aa eNe N tN )*( 02 )*( 22 11 2 2222 *1 * * )(        (5) Uniendo soluciones (4) y (5), y considerando que N01=N02=0, se tiene que:
  7. 7. 7   tt aa f aa eetN )*()*( 1122 11 2 1122 11 )*)(*( *** )(         (6) Resumiendo:  t a f a etN )*( 11 1 1 11 1 * ** )(           tt aa f aa eetN )*()*( 1122 11 2 1122 11 )*)(*( *** )(         ii) Se tiene que cuando el comportamiento de N2(t), cuando 22 *  a y 11 *  a   tt a f eetN a )()*( 2 1 2 12 11 * )(       Graficando: 2 1* a f   2 1* a f  
  8. 8. 8 oS i) Medio A 02   oAaAA SD  Medio B 02   BaBBD  )(x  Medio A 02 2   oAaA A S dx d D   Medio B 02 2   BaB B dx d D     a D L2 Medio A Medio B a
  9. 9. 9 Solución Homogénea L x L x BeAe    Considerando la longitud extrapolada L a L a BeAe   L a AeB 2              L xa L x eeA 2  Condición de fuente              L xa L x xxx ee L DA dx d DJ S 2 000 limlimlim 2            L a e L DAS 2 1 2 , )1(2 2 L a eD SL A    Solución:                L xa L x L a ee eD SL 2 2 )1(2  )cosh( )( 2 L a L xa senh D SL   Sea )cosh(2 L a D SL k  )(* L xa senhk   )( 2 1 )( 2 1 )( 24 )( 24 0 0 0 0 dx dD dx dD dx dD dx dD J J                 Evaluando lo anterior en x = 0 )cosh( L xa L k dx d   
  10. 10. 10                      ) 0 cosh( ) 0 (* 2 1 ) 0 cosh( ) 0 (* 2 1 L a L k L a senhk D L a L k L a senhk D  )coth( 2 1 )coth( 2 1 ) 0 ( ) 0 cosh( 2 1 ) 0 ( ) 0 cosh( 2 1 L a L D L a L D L a senh L a L D L a senh L a L D                                   ii) B = H20 34.0,0,73.7,10*2.2,17.0 2212    acmLcmcmD a  1lim;78.0lim 1    xa 34.0;0)coth( 2 1  a L a L D a β 1-1 -1 1 -0.78 0.34-0.34 0.78 a β 1-1 -1 1 -0.78 0.34-0.34 0.78
  11. 11. 11 iii) L x Aexp  )( , L x e L A dx d    )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 0 0 L x L x L x L x e L A Ae D e L A Ae D dx dD dx dD J J                   L D L D J J 2 1 2 1       78.0 78.2 17.0*2 1 78.2 17.0*2 1 20    H  2 2 2 20 73.7 10*2.2 17.0 cmLH    cmLH 78.220  97.0 100 85.0*2 1 100 85.0*2 1 20    D  24 5 2 20 10 10*5.8 85.0 cmLD    cmLD 10020  9.0 2.21 54.0*2 1 2.21 54.0*2 1    Be  2 3 2 450 10*2.1 54.0 cmLBe    cmLBe 2.21 95.0 2.54 94.0*2 1 2.54 94.0*2 1    C  23 4 2 10*94.2 10*2.3 94.0 cmLC    cmLC 2.54
  12. 12. 12
  13. 13. 13 Desarrollo: Sobre el Reactor esférico: Teniendo en consideración: (1) Su Laplaciano para coordenadas esféricas es: (2), Sustituyendo en (2), se obtiene: (3), como A y C son constantes y el segundo término tiende a infinito cuando r tiende a cero, (4)., para encontrar B, se tiene que (5) donde se asume n=1, para condiciones de criticidad de reactor quedando, (6), quedando el flujo como (7), calculado A en termino de la potencia del reactor como, (8), (9), (10),
  14. 14. 14 Si la distancia distancia de extrapolación d es despreciable (pequeña) ,(11) y hasta se podría decir que RR ~ . i) a. Calcule el radio critico: El presente ejercicio otorgo la razón, la cual al utilizarse para despejar la ecuación de cuatro términos k∞ = ηfpε, se obtuvo que el termino recomendado para p no hacia posible el despeje de variables ya que las llevaba a cero, en los apuntes docentes se dio un grafico, de donde se procedieron a sacar los parámetros ya que se cumplía con el enriquecimiento de U235. Se tiene que la razón dada en la tarea es para la cual se muestra el k∞ en su máximo, se tiene que los valores son: k∞ 1.266 p 0.774 f 0.9 ε 1.038
  15. 15. 15 Teniendo es consideración que Como las unidades, potencias y Avogadro se simplifican Despejando, Como Teniendo las fracciones volumétricas se calcula N para combustible y moderador Cálculos de macroscópicas: Absorción:             OaHaUaU aUaU amac ac f 2238235 238235 20 *20*20*20 238 **)1(**238 235 ****235 238 **)1(**238 235 ****235 9.0 PAUH NoHXvHaH PAU NoUEXvuaU PAU NoUEXvuaU PAU NoUEXvuaU PAU NoUEXvuaU f         02.18 1*20*66.0 0508.238 8.18*)100/21(**7.2 01139,235 8.18*100/2**681 0508.238 8.18*)100/21(**7.2 01139,235 8.18*100/2**681 9.0 XvHXvuXvu XvuXvu       20033.013.0 209.009.12033.0188.0981.0 XvHXvu XvuXvuOXvHXvuXvu   12  OXvHXvu 202.0Xvu 798.020 XvH 320 323 /10*951.1 /01139.235 100/2*202.0*/8.18*/10*023.6 235 cmat molg cmgmolat UN  321 323 /10*438.9 /0508.238 )100/21(*202.0*/8.18*/10*023.6 238 cmat molg cmgmolat UN    322 323 /10*666.2 /02.18 798.0*/1*/10*023.6 20 cmat molg cmgmolat HN  11 11 12 20 12 238 11 235 10*583.1 10*759.1 10*759.120*2 10*548.2238*238 10*329.1235*235                cm cm cmaHOHN cmaUUN cmaUUN ac a aH aU aU   
  16. 16. 16 Fisión Verificación de valores gráficos 046.1 10*666.2 10*438.9 *563.01 10*666.2 10*438.9 *69.01 22 21 22 21     , el valor de grafico fue 1.038, el error relativo Porcentual fue de 0.77% Se tiene que en el calculo de Ief se obtuvo un valor de 6.221*10-11 cm, al reemplazarlo el p se da que el argumento de elevación, de -5.34*1011 , lo que al aplicarlo a p = 0, eso no es posible ya que la formula de los cuatro términos se anula – pasa lo mismo que cuando se trato de despejar N. Si calculamos k∞ = ηfpε, se tiene que 1.266 = 1.762*p*1.046*0.9, lo que despejando p, nos da p = 0.766, y en grafico nos daba 0.774, lo que nos da un error relativo del 1%. Se cumple la razón ya que Cálculos de macroscópicas de transporte , Calculos para R M2 = L2 + τ = (9.473*10-1 cm)2 + 31 = 31.9 cm2 11 235 10*13.1235*235   cmfUUNfU  fisn cm cm fisn ac fc /762.1 10*583.1 10*13.1 */47.2 11 11      1 1 20 12 238 13 235 935.1 856.1)1*(*20*2 10*717.7)1(*238*238 10*946.1)1(*235*235             cm cmotrHOHN cmotrUUN cmotrUUN tr trH trU trU      11 10*579.1 3 1      cmDn tra    tr Dn 3 1 Ojo en el Lamarsh cm cm cm an n n D L 1 11 11 10*473.9 10*759.1 10*579.1      10 3 2 2 339.8 9.31 1266.11       M k B 36.0 /10*666.2 /)10*438.910*951.1( 322 32120 20    cmmol cmat N Nu H
  17. 17. 17 B = 9.132×10-2 cm-1 Como para n = 1, segun la ecuacion 6, se tiene Nota d = 2.31*D = 0.33 cm, lo cual es despreciable como dRR  ~ . b. Calcule la masa critica: Según Lamarsh, forma 1: Sabiendo para calcular los volúmenes (1), (2) la relación especifica N, para el presente caso se tiene que como R = 34.4 cm, el volumen de la esfera es; Se pueden determinar la fracción volumétrica del combustible y moderador, como la fracción volumétrica, ya fueron estimadas , y el volumen estimado para el cuerpo es Se tiene que para el combustible: Para el moderador Sabiendo la densidad de combustible y moderador: Forma 2, Calculando el factor Z, (1), con lo Cual (2). Para nuestro caso cm cmB R 4.34 10*132.9 12    353 10*705.1)4.34(** 3 4 cmcmV   202.0Xvu 798.020 XvH 34 10*453.3* cmXvuVUVol  35 10*36.12*2 cmOXvHVOHVol  grHOHVolOHmasa 5 10*36.120*22   grUUVolUmasa 5 10*492.6*  
  18. 18. 18 Se tiene que para el calculo de mf se asume que gaf(T) es 0.978 a 20ºC, para los neutrones con energía de 0.0253 eV, con lo cual recordándose que se puede calcular en función se sus macroscópicas de absorción de combustible- moderador, se tiene: Como el volumen de la esfera es 1.705*105 cm3 , y la densidad del agua es 1 g/cm3 , se tiene que la masa es de 170,5 kg , por lo que la masa critica de combustible es 48.71 kg. ii) flujo neutrónico térmico. De la ecuación 11 y considerando que d es despreciable (ver nota de d), y la igualdad de π, R y B, se tiene que: Por lo cual, , con r en centímetros. Flujo Neutronico Termico 0.000E+00 5.000E+11 1.000E+12 1.500E+12 2.000E+12 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Radio (cm) Radio(cm)FlujoNutronico (n/cm2s) 514.2 10*339.8*311762.1 9.31*10*339.81 3 3       Z mnmnmf 1 21 2 10*856.2 )10*548.210*329.1(*978.0 10*759.1*447.2       r Brseno REr P f )( ****4 2     r rcmseno cmcmfisJ sJ )*10*132.9( )4.34(*10*13.1**/10*2.3*4 /10*1 12 21111 6               scm n r rseno 2 2 13 )*10*132.9( 10*86.1
  19. 19. 19 iii) la razón pmáx/pmedia, en que p es la densidad de potencia térmica del reactor. Para un reactor esférico la potencia máxima, se da cuando su flujo neutrónico es máximo y esto se desencadena cuando: (1) Y la potencia media se da con el flujo neutrónico medio, por lo cual: , (2) En un reactor esférico se cumple que: (3). Para nuestro caso: Cumpliéndose la relación 3. Para estimar potencia térmica utilizaremos la expresión: Para la potencia media utilizaremos Para la potencia máxima En donde se mantiene la relación 3.          scm n cmcmfisJ sJ 2 12 21111 6 10*336.5 )4.34(*10*13.1*/10*2.3*4 14.3*/10*1 max          scm n cmcmfisJ sJ med 2 12 351111 6 10*622.1 10*705.1*10*13.1*/10*2.3 /10*1                  32 121111 863.510*622.1*10*13.1*/10*2.3** cm W scm n cmfisJfEpmed R                  32 121111 29.1910*336.5*10*13.1*/10*2.3**max cm W scm n cmfisJfEp R 
  20. 20. 20 iv) radio crítico si hay un reactor infinito de agua liviana, estime el ahorro por reflector. Para un reactor esférico reflejado: , donde su ecuación de flujo Para la cual solucionamos con las condiciones de borde, Con lo que se obtiene Finalmente (12) Calculo de Nr-H20 Calculo de Sección Macroscópica de Absorción y transporte Cálculos para Rr 322 323 /10*342.3 /02.18 1*/1*/10*023.6 20 cmat molg cmgmolat HNr  12224322 10*206.210*66.0*/10*342.3*20   cmcmcmatarNrHar  1224322 327.210*103*676.0*/10*342.3)1(**20   cmcmcmatotrrNrHtrr    11 10*419.1 3 1      cmDr tra
  21. 21. 21 B = 9.132×10-2 cm-1 Despejando de (12) Despejando numéricamente Rr Rr = 2.487 cm. Con lo que el ahorro por reflector es δ = R – Rr = 34.4 cm – 2.487 cm = 31.92 cm. cm cm cm ar r r D L 536.2 10*206.2 10*419.1 12 11                 1 536.2 * 10*579.1 10*419.1 )*10*132.9cot(**10*132.9 11 11 1212 cm Rr cm cm RrcmRrcm
  22. 22. 22 i) Considerando La reactividad con el periodo de un reactor se relaciona por La potencia de un reactor es proporcional a la evolución retardada de la densidad neutrónica. )(tp proporcional a )(tn ; )(tn proporcional a t e 05.0 con  1 05.0  lo Kef , seg20 05.0 1  , como 3 10 l ,  lo Kex  , Kef lo l  , Kef Kef 1  , 1 KefKex  lo Kef 1 , l lo Kef  ,  lo Kef 1 ,  lo l lo 1 , 1) 11 (  l lo , l l lo    * , seg seg segseg lo 3 3 3 10*000050003.1 )1020( 20*10       , 000050003.1   l Kef   , 55 10*510*99999.4 1     Kef Kef  , para pasarlo a pcm, se tiene    pcmpcm 510* 5   ii) Las ecuaciones cinéticas para la densidad neutrónica y la densidad de precursores de neutrones retardados para e i-esimo grupo, es: y suponiendo ε = 1 , p = 1 , = 1    6 1 0 1i i i efk l     k k ef ef 1  k l ef l 0  k l exp 0  S 1  cep l k i i i ef Bn dt dn      6 10 21)1(  cepl k dt dc ii ef i i nB     2 0 e B 2 
  23. 23. 23 , , , con Kef lo l  para el primer grupo de neutrones retardados Para un reactor que inicialmente esta critico, se le aplica un escalon de reactividad inicial y como n(t) es proporcional a p(t) Solucionando La ecuación característica Con solución Con S1= 5.33*10-5 y S2= -75.03005, como ambas son reales, distintas y no nulas Como para ci i i n ldt dn     6 1   c dt dc ii ii n l    Cn ldt dn      Cn ldt dc    (1) (2)         n ldt dn C   1 (3) en (1) y (2) dt dn ldt nd dt dC      2 2 1                 n ldt dn n ldt dn ldt nd        11 2 2 01 1 2 2                n lldt dn ldt nd     0 * 2 2         n ldt dn l l dt nd  02 2  Cn dt dn B dt nd A 3 10*4,03.75,1   CBA 02  CBSAS A ACBB S 2 42 2,1   tt eCeCn 03005.75 2 10*33.5 1 3    21)0( CCn 
  24. 24. 24 Se tiene que Por condición del ejercicio C2=0 , y Para encontrar en la ecuación 3, Se tiene que en t = 0 seg Finalmente 021 03005.75 2 10*33.5 1 3 p p CC eCeC n n tt o      0p p n n o  pcm tt t eee p p 18.010*18.010*33.5 0 53   03005.75 1 10*33.5 1 251     y )0( )1( C C             tttt eCeC l eCeCC 03005.75 2 10*33.5 1 03005.75 2 10*33.5 1 331                    tttt eCeCeCeCC 03005.75 2 10*33.5 13 5 03005.75 2 10*33.5 1 33 10 03.7510*5 08.0 1 tt eCeCC 03005.7510*33.5 1 5 2 3 *009253.010*379.9    2*009253.010*379.9 1 5 CCCo  2 2 3 *009253.010*379.9 *009253.010*379.9 1 5 03005.7510*33.5 1 5 CC eCeC Co C tt    

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