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KOLGOMOROV-SMIRNOV

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KOLGOMOROV-SMIRNOV

  1. 1. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL “MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014 UNIDAD ACADEMICA LA PAZ PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV (K-S) BIOGRAFIAS: Kolmogorov: Andréi Nikoláyevich Kolmogórov (Tambov, 25 de abril de 1903 - Moscú, 20 de octubre de 1987) fue un matemático ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teoría de la probabilidad y de la topología. En particular, estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad a partir de la teoría de conjuntos, donde los elementos son eventos. Trabajó al principio de su carrera en lógica constructivista y en las series de Fourier y trabajó en turbulencias y mecánica clásica. Asimismo, fue el fundador de la teoría de la complejidad algorítmica. Alcanzó el doctorado en la Universidad Estatal de Moscú bajo la supervisión del matemático Nikolái Luzin en 1929. Smirnov: Vladimir Ivanovich Smirnov (10 junio 1887 - hasta 11 febrero 1974) fue un matemático ruso que hizo contribuciones significativas tanto en las matemáticas puras y aplicadas, y también en la historia de las matemáticas. Smirnov trabajaron en diversas áreas de las matemáticas, como las funciones complejas y funciones conjugadas en espacios euclídeos. En el campo aplicado su trabajo incluye la propagación de ondas en medios elásticos con límites del plano. Smirnov también es ampliamente conocido entre los estudiantes por su libro de cinco volúmenes Un Curso de Matemáticas Superiores (el primer volumen fue escrito conjuntamente con Jacob Tamarkin). TEORIA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV En estadística, la prueba de Kolmogorov-Smirnov (prueba K-S) es una prueba no paramétrica de la igualdad de las distribuciones de probabilidad, unidimensionales continuos que se pueden usar para comparar una muestra con una distribución de probabilidad de referencia (de una sola muestra de prueba K-S), o para comparar dos muestras (dos muestras de prueba K-S). _______________________________________________________________________________ Est. Christian Jose Hernández Corianga 1
  2. 2. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL “MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014 UNIDAD ACADEMICA LA PAZ La estadística de Kolmogorov-Smirnov cuantifica una distancia entre la función empírica de distribución de la muestra y la función de distribución acumulativa de la distribución de referencia, o entre las funciones de distribución empíricas de dos muestras. La nula distribución de esta estadística se calcula bajo la hipótesis nula de que las muestras se tomen de la misma distribución (en el caso de dos muestras) o que la muestra se extrae de la distribución de referencia (en el caso de una muestra). En cada caso, las distribuciones consideradas bajo la hipótesis nula son distribuciones continuas pero son de otra manera sin restricciones. La prueba K-S-dos de la muestra es uno de los métodos no paramétricos más útiles y generales para la comparación de dos muestras, ya que es sensible a las diferencias tanto en la ubicación y la forma de las funciones de distribución acumulativas empíricas de las dos muestras. La prueba de Kolmogorov-Smirnov se puede modificar para servir como una bondad de ajuste de prueba. En el caso especial de las pruebas de normalidad de la distribución, las muestras son estandarizados y en comparación con una distribución normal estándar. Esto equivale a establecer la media y la varianza de la distribución de referencia igual a las estimaciones de la muestra, y se sabe que el uso de éstos para definir la distribución de referencia específica cambia la nula distribución de la estadística de prueba. ESTADISTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV La función de distribución empírica Fn para n observaciones Xi se define como: Donde es la función indicadora, igual a 1 si Xi ≤ x e igual a 0 en caso contrario. La estadística de Kolmogorov-Smirnov para una función de distribución acumulativa dada F (x) es: Donde sup x es el supremo del conjunto de distancias. Por el teorema de Glivenko- Cantelli, si la muestra proviene de distribución F(x), entonces Dn converge a 0 casi seguro en el límite cuando tiende a infinito. Kolmogorov fortaleció este resultado, proporcionando _______________________________________________________________________________ Est. Christian Jose Hernández Corianga 2
  3. 3. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL “MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014 UNIDAD ACADEMICA LA PAZ efectivamente la tasa de esta convergencia. Teorema de Donsker ofrece todavía un resultado más fuerte. En la práctica, la estadística requiere un número relativamente grande de puntos de datos para rechazar la hipótesis nula correctamente. DISTRIBUCION KOLMOGOROV La distribución de Kolmogorov es la distribución de la variable aleatoria donde B(t) es el puente browniano. La función de distribución acumulativa de K viene dado por: Tanto la forma de la estadística de prueba de Kolmogorov-Smirnov y su distribución asintótica bajo la hipótesis nula, mientras que una tabla de la distribución fue publicado por Nikolai Vasilievich Smirnov. Relaciones de recurrencia para la distribución de la estadística de prueba en muestras finitas están disponibles. Bajo la hipótesis nula de que la muestra proviene de la distribución de la hipótesis de F(x). en la distribución, donde B(t) es el puente browniano. Si F es continua entonces bajo la hipótesis nula converge a la distribución de Kolmogorov, que no depende de F. Este resultado también puede ser conocido como el teorema de Kolmogorov. La prueba de bondad de ajuste o la prueba de Kolmogorov-Smirnov se construye mediante el uso de los valores críticos de la distribución de Kolmogorov. La hipótesis nula es rechazada a nivel si Donde Ka se encuentra desde _______________________________________________________________________________ Est. Christian Jose Hernández Corianga 3
  4. 4. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL “MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014 UNIDAD ACADEMICA LA PAZ La potencia asintótica de esta prueba es de 1. PRUEBA CON PARAMETROS ESTIMADOS Si bien la forma o los parámetros de F(x) se determinan a partir de los datos Xi los valores críticos así determinados son válidos. En tales casos, Monte Carlo u otros métodos pueden ser necesarios, pero las mesas se han preparado para algunos casos. Detalles de las modificaciones necesarias a la estadística de prueba y para los valores críticos para la distribución normal y la distribución exponencial, y posteriormente también incluirá la distribución Gumbel. La prueba Lilliefors representa un caso especial de esto para la distribución normal. La transformación logarítmica puede ayudar a superar los casos fueron los datos de prueba de Kolmogorov no parece ajustarse a la suposición de que se trataba de la distribución normal. DE DOS MUESTRAS DE PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Ilustración de la muestra de dos de Kolmogorov-Smirnov estadística. Las líneas rojas y azules cada uno corresponden a una función de distribución empírica, y la flecha negro es la muestra de dos KS estadística. _______________________________________________________________________________ Est. Christian Jose Hernández Corianga 4
  5. 5. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL “MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014 UNIDAD ACADEMICA LA PAZ La prueba de Kolmogorov-Smirnov también puede ser utilizado para probar si dos distribuciones de probabilidad subyacentes unidimensional difieren. En este caso, el estadístico de Kolmogorov-Smirnov es: Donde y son las funciones de distribución empíricas de la primera y la segunda muestra, respectivamente, y es el ultimo y mejor. La hipótesis nula es rechazada a nivel si El valor de se da en la tabla a continuación para cada nivel de 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 1.22 1.36 1.48 1.63 1.73 1.95 Tenga en cuenta que las dos muestras para verificar si los datos de las dos muestras provienen de la misma distribución. Esto no especifica lo que la distribución es común (por ejemplo, normal o no normal). Una vez más, las tablas de valores críticos están con los valores críticos que tienen en común con el chi-cuadrado Anderson-Darling y, el hecho de que los valores más altos tienden a ser más raras. AJUSTE DE LOS MIMITES DE CONFIANZA PARA LA FORMA DE UNA FUNCION DE DISTRIBUCION Mientras que la prueba de Kolmogorov-Smirnov se utiliza generalmente para probar si un determinado F(x) es la distribución de probabilidad subyacente de _______________________________________________________________________________ Est. Christian Jose Hernández Corianga 5
  6. 6. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL “MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014 UNIDAD ACADEMICA LA PAZ Fn(x), el procedimiento se puede invertir para dar límites de confianza sobre F(x) en sí. Si se opta por un valor crítico del estadístico de prueba Dα tal que P(Dn>Dα)=α, a continuación, una banda de ancho ± Dα alrededor Fn(x) será enteramente contener F(x) con probabilidad 1 - α. EL ESTADISTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV EN MAS DlMENSIONES A multivariante bondad de Kolmogorov-Smirnov-distribución gratuita de prueba de ajuste ha sido propuesto por Justel, Peña y Zamar (1997). La prueba utiliza una estadística que se construye utilizando la transformación de Rosenblatt, y un algoritmo está desarrollado para calcular que en el caso de dos variables. También se presenta una prueba aproximada que puede ser fácilmente calculada en cualquier dimensión. El estadístico de la prueba de Kolmogorov-Smirnov se debe modificar si una prueba similar se aplica a los datos multivariados. Esto no es sencilla, puesto que la diferencia máxima entre dos funciones de distribución acumulativas conjuntos no es generalmente la misma que la diferencia máxima de cualquiera de las funciones de distribución complementarios. Así, la diferencia máxima será diferente dependiendo de cuál de o O cualquiera de los otros dos posibles disposiciones se utiliza. Se podría requerir que el resultado de la prueba utilizada no debe depender de que la elección se hace. Un enfoque para la generalización de la estadística de Kolmogorov-Smirnov para dimensiones superiores que se reúne la preocupación anteriormente es comparar las fda de las dos muestras con todas las ordenaciones posibles, y tomar la más grande del conjunto de estadísticas resultantes K-S. En d dimensiones, hay 2d-1 tales ordenamientos. Límites de la estadística de prueba se pueden obtener mediante simulaciones, sino que dependen en la estructura de dependencia en la distribución conjunta. _______________________________________________________________________________ Est. Christian Jose Hernández Corianga 6
  7. 7. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA CARRERA INGENIERÍA COMERCIAL “MCAL. ANTONIO JOSE DE SUCRE” SEXTO SEMESTRE / 2014 UNIDAD ACADEMICA LA PAZ BIBLIOGRAFIA:  http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_Kolmog%C3%B3rov  http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_Kolmog%C3%B3rov-Smirnov  http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_de_Kolmog%C3%B3rov-Smirnov  http://indeoperaciones.blogspot.com/p/simulacion.html _______________________________________________________________________________ Est. Christian Jose Hernández Corianga 7

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