INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH
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Una compañía de auditores se especializa en pr...
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Valor optimo
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Dada una solución factible, una restri...
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Solución optimo
Z= 120.000
Valor optimo
X1= 40
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Un problema de programación l...
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Ejercicio 1
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-3x - 2y <= 30.5
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Problemas no acotadas
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Sujeto a:
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2a + 7b >= 20
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Problema no factible
 Maximizar Z= 3000e + 4000f
Sujeto ...
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MÉTODO SIMPLEX
Ejercicio 1
Resolver mediante la regla de ...
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 Maximizar Z= 20a + 30b
Sujeto a:
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NOTA: Para encontrar el valor saliente dividimos los núme...
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MÉTODO SIMPLEX
Valor entrante: el más negativo, en la fil...
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Maximizar Z= X1 + X2
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MÉTODO SIMPLEX DE PENALIZACIÓN
Ejercicio 1
La variable qu...
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Comprobación
Z= 5X1 + 6X2
Z= 5(o) + 6(3/7)
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Comprobación
Z= 3X1 + 5X2
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V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z -1 -3M+3 0 0 M -2M-5/2 -6M+ ...
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V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 0 100 0 0 400 12000
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Ejercicio 2
V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
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V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
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  1. 1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 1 INVESTIGACIÓN OPERATIVA Se aplica a los problemas que se refiere a la coordinación de actividades dentro de la empresa, también proporcionan conclusiones claras para tomar decisiones. PROGRAMACION LINEAL El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo. Variables de decisión: Z= ax1 + Bx2 +………………………n Restricciones: a11x1 + a12x2+… + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2+ …+ a2nxn>= b2 a31x1 + a32x2 + … + a3nxn≤ b3 ……………………………… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones: x1; x2; xn>= 0 Planteamiento de un problema 1. Definir las variables de decisión 2. Construir el modelo matemático 3. Plantear las limitaciones 4. Plantear las condiciones de no negatividad Planteamiento de un problema de la investigación operativa 1. Definir el problema 2. C.MOD 3. Resolver MO 4. S.O 5. Revalorización Condiciones de no negatividad
  2. 2. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 2 Z = valor de la medida global de efectividad Xj =nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) Cj =incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j GRAFICA DE DESIGUALDADES Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos  Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta  Escoja un punto de ensayo  Evalúe el primer miembro de la expresión  Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad. Ejercicio 1  2X1 + 4x2<= 12 p(0,0) 2X1 + 4x2 = 12 2 (0) + 4(0) <= 2 X1, x2 => 0 0 <=12 verdad X1 X2 O 6 3 3
  3. 3. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 3 Ejercicio 2  3X1 + 6x2>= 17 p(0,0) 3X1 + 6x2 = 17 3 (0) + 6(0) >= 17 X1, x2 => 0 0 <=17 falso MÉTODO GRÁFICO Es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible. Estructura Matemática  Variables de decisión; (x1 + x2 + x3…….. xn )  Función objetivo:(Max o min) f(x1 + x2 +x3… ………………..xn)  Restricciones: 1. (x1 + x2 +x3… ………………..xn) ≤ b 2. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ b2 3. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ bm  Condiciones de no negatividad X1 X2 O 5.7 2.8 0
  4. 4. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 4 Ejercicio 1 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. Incógnitas: auditorias, liquidaciones Variables de decisión:  cantidad de auditorías (x1)  Cantidad de liquidaciones (x2) Restricciones:  tiempo disponible de trabajo directo  Tiempo disponible de revisión  Número máximo de liquidaciones Liquidaciones X1 Auditorias X2 Dispongo Horas de trabajo 8 40 800 Horas de revisión 5 10 320 utilidad 100 300 60 Función Objetivo: Maximizar el ingreso total. Maximizar Z= 100 X1 +300 X2 Restricciones: 8X1 + 40X2<= 800 5X1 + 10 X2<=320 X1<=60 X1,X2>= 0
  5. 5. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 5 8X1 + 40X2<= 800 8(0) + 40(0) <= 800 0<= 800 X1 X2 O 5 10 0 5X1 + 10 X2<=320 5(0) + 10 (0)<=320 0 <= 320 X1 X2 O 8 4 0 X1<= 60 Restricciones Activas; 1,2 Restricciones Inactivas; 3 Punto X1 X2 Z A 0 0 0 B 0 20 6000 C 40 12 7600 D 60 2 6600 E 60 0 6000 Punto máximo solución factible
  6. 6. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 6 Valor optimo X1= 40 X2 = 12 NOTA: Maximizar 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de 7600 Comprobación 8X1 + 40X2 <= 800 8(40) + 40(12) <= 800 800 <=800 5X1 + 10 X2<=320 5(40) + 10 (12) <= 320 320>= 320 X1<= 60 40 < = 60 H1 = 20 VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE Variable de holgura. Puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado. 6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24 Variable de Excedente. Es la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido. 2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14 Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD 8 X1 + 40 X2<= 800 5 X1 + 10 X2<=320 (-4) 8 X1 + 40 X2<= 800 -20X1 + 40 X2<=1280 -12 X1 = 480 X1= 40 (40)+40X2 = 800 40X2 = 800-300 X2 = 12 X1<= 60 5(60)+10X2 = 320 X1 = 2 Z= 100(40) + 300 (12) Z= 4000+3600 Z= 7600
  7. 7. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 7 Restricción activa. Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las variables se cumple la igualdad. Sea CERO Restricción Inactiva. Es inactiva si al sustituir el valor de las variables no se cumple la igualdad. DIFERENTE A CERO Ejercicio 2 Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diario Mina A x 1x 3x 5x 2000x Mina B y 2y 2y 2y 2000y 80 160 200 Función Objetivo: Maximizar Maximizar Z= 200X1 +200X2 Restricciones: 1X1 + 2X2>= 80 3X1 + 2 X2>=160 5X1 + 2X2>=200 X1,X2>= 0
  8. 8. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 8 1X1 + 2X2>= 80 1(0) + 2(0) >= 80 0>= 80 X1 X2 O 80 40 0 3X1 + 2 X2>=160 3(0) + 2 (0)>=160 0 >= 160 X1 X2 O 50 80 0 5X1 + 2X2>=200 5(0) + 2 (0)>=200 0 >= 200 X1 X2 O 40 100 0 Restricciones Activas; 1,2 Restricciones Inactivas; 3 Punto C 1X1 + 2X2>= 80 -3X1 - 2 X2>=-160 -2X1 = -80 X1= 40 40+ 2X2= 80 X2 = 20 Punto G 3X1+ 2 X2>=-160 -5X1 - 2X2>= -200 -2X1 = -40 X1= 20 3X1+ 2 X2>=-160 60+ 2X2 – 160 -60 Z= 2000(20) + 200 (50) Z= 140.000 Z= 2000(40) + 2000 (20) Z= 120.000
  9. 9. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 9 Solución optimo Z= 120.000 Valor optimo X1= 40 X2 = 20 NOTA:debe trabajar X1= 40 y X2 = 20 para que el costo sea mínimo de 120.000 Comprobación 1 X1 + 2 X2 >= 80 40 + 2 (20) >= 80 40 +40>= 80 80>= 80 3X1 + 2 X2>=160 3(40) + 2 (20)>=160 120 + 40 >=160 160 >= 160 5X1 + 2X2>=200 5(40) + 2 (20)>=200 200+40 >=200 240>= 200 Variables De Holgura Y Variables De Excedente 1 X1 + 2 X2 + h>= 80 40 + 2 (20) +h>= 80 H1>= 0 3X1 + 2 X2 + h>=160 3(40) + 2 (20) + h>=160 H2>= 0 5X1 + 2X2 - h>=200 5(40) + 2 (20) - h>=200 240 - h3>=200 h3>=200 Calidad Disponibilidad Holgura Excedente Alta 80 Media 160 Baja 200 40
  10. 10. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 10 TIPOS DE REGIONES FACTIBLES Un problema de programación lineal puede ser de dos tipos:  Que tenga una región limitada o acotada  Que tenga una región no acotada o limitada  Región acotada 1. Puede ser que tenga una sola solución 2. Puede ser que tenga múltiples soluciones  Región no acotada 3. que tenga una solución 4. No existe solución
  11. 11. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 11 Ejercicio 1  Minimizar Z= 2x + 3y Sujeto a: -3x + 2y <= 6 X + y <= 10.5 -x + 2y >= 4 X,y>= 0 3x + 2y <= 6 X Y O -3 -3 0 X + y <= 10.5 X Y O 10.5 10.5 0 -x + 2y >= 4 X Y O -4 2 0
  12. 12. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 12 -3x + 2y <= 6 -3x - 2y <= 30.5 6x = 6.5 X= 1.3 Z= 2x + 3 y Z= 2 + 6 Z= 8 Solución optimo Z= 6 Valor optimo X= 0 y= 2 Restricciones Activas; 3 Restricciones Inactivas; 1,2 Ejercicio 2  Maximizar Z= 5/ 2x1 + X2 Sujeto a: 3X1 + 5X2<= 15 5X1 + 2X2<= 10 X1,X2>= 0 3X1 + 5X2<= 15 X Y O 5 3 0 5X1 + 2X2<= 10 X Y O 2 5 0
  13. 13. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 13 3X1 + 5X2<= 15 (-2) 10X1 - 4X2<= 20 (5) 7x1< = 5 -6X1 - 10X2<= -30 -25X1 + 10X2<= 50 19x1< = 20 X1= 20/19 X1 = 2.37 3 (20/19)+ 5X2 =15 60/19 +5X2 = 15 5X2 = 45/19 X2 Z = 5/2(20/10) +45/19 Z = 2.5 + 2.37 Z =5 Solución optimo Z= 5 Valor optimo X1= 2 X2= 0 La solución es: todas las parejas de puntos que se encuentran en el intervalo
  14. 14. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 14 Problemas no acotadas Ejercicio 1  Maximizar Z= 5000A + 4000B Sujeto a: a + b >= 5 a - 3b <= 0 3a + 10b >= 135 a,b>= 0 a + b >= 5 a b O 5 5 0 a - 3b <= 0 a b O 3 0 1 3a + 10b >= 135 a b O 4.5 13.5 0
  15. 15. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 15 Ejercicio 2  Maximizar Z= 150A + 300B Sujeto a: 8a +2 b >= 16 a + b >= 5 2a + 7b >= 20 a,b>= 0 8a +2 b >= 16 a b O 2 8 0 a + b >= 5 a b O 5 5 0 2a + 7b >= 20 a b O 10 3 0 El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización es posible encontrar una solución.
  16. 16. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 16 2a + 7b >= 20 -2a – 2b >= 10 (-2) -5b > = 10 b = 2 a = 6 z= 1050 a = 3 b = 2 8a + 2b >= 16 -2a – 2b >= -10 6a = 6 a = 1 b = 4 z = 1380 a = 1 b = 4
  17. 17. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 17 Problema no factible  Maximizar Z= 3000e + 4000f Sujeto a: E + F <= 5 E – 3F <= 0 10E + 15F <= 150 20E + 10F <= 160 30E + 10F >=150 E,F>= 0 E + F <= 5 E F O 5 5 0 E – 3F <= 0 E F 6 3 2 1 10E + 15F <= 150 E F O 15 10 0 20E + 10F <= 160 E F O 8 16 0 30E + 10F >=150 E F O 5 15 0 El problema no tiene solución.
  18. 18. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 18 MÉTODO SIMPLEX Ejercicio 1 Resolver mediante la regla de Cramer Método de Claus 5 2 2 2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 5 5 7 pibo 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 -1/7 0 15/7 1/7 8/7 25/7 0 10/7 -4/7 -17/7 5/7 -15/7 4 1 -3 3 2/7 -6/7 2 9/7 -27/7 2 2/7 x -6/7 5 (-3) 13/7 0 8/7 -13/7 29/7 -15/7 2 -3 3 -6/7 3 -27/7 4 -6/7 2 (-3) -1/7 0 15/7 1/7 8/7
  19. 19. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 19 Ejercicio 2 7 2 4 6 5 3 4 3 3 5 2 3 5 6 7 8 pibo 4 2 8 9 7 6 3 3 4 3 5 2 7 7 -10/7 5 -2 2 -4/7 2 -18/7 2 -4/7 3 =(-2) 25/7 0 10/7 -4/7 -17/7 13/4 -5/2 -5/4 0 2 3/2 7/8 -6/8 -11/8 0 1/2 7/4 5/8 6/8 7/8 1 1/2 7/2 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 11/4 3/2 13/4 0 6 7/3 5/8 -25/8 4 6/8 -30/8 3 7/8 -35/8 3 1 -5 5 1/2 -5/2 2 7/2 -5/2 3 x (-5) 7/8 -6/8 -11/8 0 1/2 7/4 -15/4 7 -9/2 2 -21/4 4 -6 6 -3 5 -3/2 3 (-6) 13/4 -5/2 -5/4 0 2 3/2
  20. 20. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 20 Ejercicio 3  Maximizar Z= 20a + 30b Sujeto a: 2a + 2b + h1 <= 5 a + b + h2<= 150 a,b >= 0 Valor entrante: el número más alto Valor saliente: el número más pequeño que existe Pivoteo: se encuentra entre el valor entrante y valor saliente La variable que sale de la base es la fila de H1 y la que entra es de la columna de B El pivoteo es: 2 -15/4 8 -9/4 9 -21/4 7 -6 6 -3 3 -3/2 3 (-6) 17/4 9/2 7/4 0 0 3/2 -5/4 4 -3/2 3 -7/4 5 -2 2 -1 7 -1/2 7 (-2) 11/4 3/2 13/4 0 6 7/3 V.E A B H1 H2 VALOR Z 20 30 0 0 0 H1 2 2 1 o 5 2.3 H2 1 1 0 1 3 3
  21. 21. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 21 NOTA: Para encontrar el valor saliente dividimos los número de la columna de valor con la columna de valor entrante (5/2), y es el menor número Ejercicio 3 Z= 3X1 + 4X2 + 9X3 Sujeto a: 2X1 + 2X2 <= 10 2X2 + 5X3 <= 16 3X1 - 2X2 - 7X3 <= 9 Xj >= 0 Forma de ecuación Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 s.a 2X1 + 2X2 = 10 2X2 + 5X3 = 16 3X1 - 2X2 - 7X3 = 9 Xj >= 0 F.Standar Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0 s.a 2X1 + 2X2 + H1 = 10 2X2 + 5X3 + H2 = 16 3X1 - 2X2 - 7X3 + H3 = 9 Xj, Hj >= 0 V.B E.C Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR Z 0 1 -3 -4 -9 0 O O 0 H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10 H2 2 0 0 2 5 0 1 0 10 H3 3 0 3 -2 -7 0 0 1 9 La variable que sale de la base es la fila de H3 y la que entra es de la columna de X3 El pivoteo es: -7
  22. 22. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 22 MÉTODO SIMPLEX Valor entrante: el más negativo, en la fila de z Valor saliente: el menor valor, divido para cada valor de la derecha Pivoteo: el número que se encuentra en la intersección entre el valor entrante y valor saliente Si es < = se debe agregar + H (holgura) Si es = se debe agregar + A (artificial) Si es > = se debe agregar + A –H Ejercicio 1 Maximizar Z= 3X1 + 2X2 Sujeto a: 2X1 + X2 <= 18 2X1 + 3X2 <= 42 3X1 + X2 <= 24 X1,X 2 >= 0 Forma estándar Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 Sujeto a: 2X1 + X2 + H1 <= 18 2X1 + 3X2 + H2<= 42 3X1 + X2 + H3<= 24 X1,X 2 >= 0 Forma de ecuación Z= -3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0 2X1 + X2 + H1 = 18 2X1 + 3X2 + H2 = 42 3X1 + X2 + H3 = 24 X1,X 2 = 0 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 -3 -2 0 0 O 0 H1 0 2 1 1 0 0 18 H2 0 2 3 0 1 0 42 H3 0 3 1 0 0 1 24 La variable que sale de la base es la fila de H3 y la que entra es de la columna de X1 El pivoteo es: 3
  23. 23. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 23 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 -1 0 0 1 24 H1 0 0 1/3 1 0 -2/3 2 H2 0 0 7/3 0 1 -4/3 26 X1 0 1 1/3 0 0 1/3 8 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 0 3 0 -1 30 H1 0 0 1 3 0 -2 6 H2 0 0 0 -7 1 4 12 X1 0 1 0 -1 0 1 6 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 0 5/4 ¼ 0 33 H1 0 0 1 -1/2 ½ 0 12 H2 0 0 0 -7/4 ¼ 1 3 X1 0 1 0 3/4 3/4 0 3 -5/4 4 -3/2 3 -7/4 5 -2 2 -1 7 -1/2 7 (-2) 11/4 3/2 13/4 0 6 7/3 Sujeto a: Z= 33 V.O X1= 3 X2= 12 H1= 0 H2= 0 H3= 3
  24. 24. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 24 Ejercicio 2 Maximizar Z= 3000X1 + 4000X2 Sujeto a: X1 + X2 <= 5 X1 - 3X2 <= 0 10X1 + 15X2 <= 150 20X1 + 10X2 <= 160 30X1 + 10X2 <= 150 Forma estándar Z= -3000X1 - 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +H4+H5 X1 + X2 + H1 <= 5 X1 - 3X2 + H2<= 0 10X1 + 15X2 + H3<= 24 20X1 + 10X2 + H4<= 160 30X1 + 10X2 + H5 <= 150 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 VALOR Z 1 -300 -400 0 0 0 0 0 0 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 1 3 0 1 0 0 0 0 H3 0 10 15 0 0 1 0 0 150 H4 0 20 10 0 0 0 1 0 160 H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5 VALOR Z 1 100 0 4000 0 0 0 0 2000 H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5 H2 0 4 0 3 1 0 0 0 15 H3 0 -5 0 -15 1 1 0 0 75 H4 0 10 0 -10 0 0 1 10 110 H5 0 20 0 0 10 0 0 1 100
  25. 25. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 25 Ejercicio 3 Maximizar Z= X1 + X2 Sujeto a: X1 + 3X2 <= 26 4X1 + 3X2 <= 44 2X1 + 3X2 <= 28 Forma estándar Z- X1 - X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 X1 + X2 + H1 <= 26 4X1 + 3X2 + H2<= 44 2X1 + 3X2 + H3<= 28 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z -1 -1 -1 0 0 0 0 H1 0 1 3 1 0 0 26 H2 0 4 3 0 1 0 44 H3 0 2 3 0 0 1 28 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 2/3 0 -1/3 0 0 26/3 X2 0 1/3 1 1/3 0 0 26/3 H2 0 3 0 -1 1 0 18 H3 0 1 0 -1 0 1 2 V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR Z 1 0 0 2/3 0 2/3 10 H1 0 0 1 2/3 0 -1/3 8 H2 0 0 0 2 1 -3 12 H3 0 1 0 1 0 1 2
  26. 26. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 26 MÉTODO SIMPLEX DE PENALIZACIÓN Ejercicio 1 La variable que sale de la base es la fila de H2 y la que entra es de la columna de X2 El pivoteo es: 7 Maximizar Z= 5X1 + 6X2 Sujeto a: -2X1 + 3X2 = 3 X1 + 2X2 <= 5 6X1 + 7X2 <= 3 Forma estándar Z = 5X1 + 6X2 – M1 + 0H1 + 0H2 -2X1 + 3X2 + A1 <= 3 X1 + 2X2 + H1 <= 5 6X1 + 7X2 + H2<= 3 Z= 5X1 - 6X2 – M1- OHI –OH2 = 0 -2X1 + 3X2 + A1 = 3 X1 + 2X2 + H1<= 5 6X1 + 7X2 + H2<= 3 V.B Z X1 X2 H1 H2 A VALOR Z 1 2M-5 -3M-6 0 0 0 -3M A1 0 -2 3 0 0 1 3 H1 0 1 2 1 0 0 5 H2 0 0 7 0 1 0 3 V.B Z X1 X2 H1 H2 A VALOR Z 1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+6/7 0 -12/7M+18/7 A1 0 -2 0 0 -3/7 1 12/7 H1 0 1 0 0 2/7 0 29/7 x2 0 0 1 0 1/7 0 3/7
  27. 27. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 27 Comprobación Z= 5X1 + 6X2 Z= 5(o) + 6(3/7) Z= 18/7 Ejercicio 2 Solución optima: Z= 18/7 V.O X1= 0 X2= 3/7 H1= 29/7 H2= 0 Maximizar Z= 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 < = 4 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 <= 18 Xj >= 0 Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 - MA1 X1 + H1 <= 3 2X2 + H2 <= 5 3X1 + 2X2 + A<= 3 Xj >= 0 Forma canónica Z - 3X1 - 5X2 - 0H1 - 0H2 + MA1 = 0 -3MX1 - 2M2 - MA1 – 18M Z+X1(-3M-3)+X2(-5-2M) 0 - 18M X1 + H1 <= 3 2X2 + H2 <= 5 3X1 + 2X2 + A<= 3 X1,x2 >= 0
  28. 28. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 28 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 -3M-3 -5-2M 0 0 0 -18M H1 0 1 0 1 0 0 4 H2 1 0 2 0 1 0 12 A1 0 3 2 0 0 1 18 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 -2M-5 3M+3 0 0 -6M+12 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 1 0 2 0 1 0 12 A1 0 0 2 3 0 1 6 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 0 -9/2 0 M+5/2 27 X1 0 1 0 1 0 0 4 H2 1 0 0 3 0 -1 6 X2 0 0 0 -3/2 0 ½ 3 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 0 0 3/2 M+1 36 H1 0 1 0 O -1/3 1/3 2 H2 1 0 0 1 1/3 -1/3 2 A1 0 0 1 0 1/2 0 6 Solución óptima: Z= 36 V.O X1= 2 X2= 6 H1= 2 H2= 0
  29. 29. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 29 Comprobación Z= 3X1 + 5X2 Z= 3(2) + 5(6) Z= 36 Ejercicio 3 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR Z -1 -3M+3 -4M+5 0 0 0 0 -30M H1 0 1 0 1 0 0 0 4 A1 0 0 2 0 0 1 0 12 A2 0 3 2 0 -1 0 1 18 Minimizar Z= 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 < = 4 2X2 = 12 3X1 + 2X2 >= 18 Xj >= 0 Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2 X1 + H1 <= 3 2X2 + A1 = 5 (-M) 3X1 + 2X2 + A2<= 3 (-M) Xj >= 0 Forma canónica - Z + 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA1 = 0 - 2MX2 - MA1 = -12M -3MX1 - 2MX2 -MH2 - MA2 = -18M - Z+X1(-3M-3)+X2(-4M+5)+0H1+OH2 - 30M X1 + H1 <= 2 2X2 + A1 <= 12 3X1 + 2X2 + A2-H2<= 18 X1,x2 >= 0
  30. 30. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 30 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z -1 -3M+3 0 0 M -2M-5/2 -6M+ 30 X1 0 1 0 1 0 0 4 X2 1 0 1 0 0 1/2 6 A2 0 3 0 0 -1 -1 6 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 0 1 M-3/2 M-1 36 X1 0 0 0 1/3 1/3 -1/3 2 H2 1 0 1 0 ½ 0 6 X2 0 1 0 -1/3 -1/3 1/3 2(3M-3) PROBLEMA DUAL EJERCICIO 1 Problema Primal Maximizar Z= 400A+ 300B Sujeto a: 2A + B <= 60 A + 3B <= 40 A + B <= 30 Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2 2A + B + H1 <= 3 A + 3B + H2 <= 40 A + B + H3<= 30
  31. 31. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 31 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 0 100 0 0 400 12000 X1 0 0 -1 1 0 0 0 H2 0 0 -2 0 1 0 10 X2 0 1 1 0 0 1 30 Problema Dual Maximizar Z= 400A+ 300B Sujeto a: 2A + B <= 60 A + 3B <= 40 A + B <= 30 Minimizar Z= 60y1+ 40y2+ 30y3 2y1 + y2 +y3 >= 400 y1+ 3y2 + y3 >= 3OO Yj >=0 100+ Y3 =300 Y3 =20 V.E Z A B H1 H2 A1 VALOR Z 1 -400 -300 0 0 0 0 H1 0 2 1 1 0 0 60 H2 0 1 3 0 1 0 40 H3 0 1 1 0 0 1 30 Solución optima: Z= 12000 V.O A= 30 B= 0 H1= 0 H2= 10 H3= 0 2y1 +y3 = 400 y1+ y3 = 3OO 2y1 +y3 = 400 -y1 - y3 = -3OO Y1 = 100
  32. 32. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 32 Ejercicio 2 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR Z -1 -3M+4 -4M+7 0 0 0 0 0 H1 0 1 0 1 0 0 0 6 A1 0 0 2 0 0 1 0 14 A2 0 3 2 0 -1 0 1 20 Solución optima: Z= 12000 V.O Y1= 100 Y2= 0 Y3 = 200 Z= 60y1+ 40y2+ 30y3 Z = 6000 + 6000 Z = 12000 Minimizar Z= 4X1 + 7X2 Sujeto a: X1 < = 6 2X2 = 14 3X1 + 2X2 >= 20 Xj >= 0 Forma estándar Z = 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA2 X1 + H1 <= 6 2X2 + A1 = 14 (-M) 3X1 + 2X2 - H2 + A2<= 20 (-M) Xj >= 0 Forma canónica - Z + 4X1 + 7X2 + 0H1 + 0H2 + MA1 + MA1 = 0 - 2MX2 - MA1 = -12M -3MX1 - 2MX2 -MH2 - MA2 = -18M - Z+X1(-3M-4)+X2(-4M+7)+0H1+OH2 - Y4
  33. 33. INVESTIGACIÓN OPERATIVA I UNACH | Norma Elizabeth Tarco Quito 33 V.E Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR Z 1 3M+4 0 0 M M-7/2 57 H1 0 1 0 1 0 0 4 X2 1 0 1 0 0 1/2 7 H2 0 3 0 0 -1 -1 0 Problema Dual Minimizar Z= 4X1 + 7X2 Sujeto a: X1 < = 6 2X2 = 14 3X1 + 2X2 >= 20 Xj >= 0 Maximizar Z= 6y1+ 14y2+ 20y3 y1 + 3 y3 >= 4 2y2+ 2y3 <>7 100+ Y3 =300 Y3 =200 Solución optima: Z= 57 V.O X1= 2 X2= 7 H1= 4 H2= 0 3y3 >= 4 Y3 = 4/3 2y2 + 2(4/3) = 7 2y2 + 8/3 = 7 Y2 = 7-8/3 /2 Y2 = 13/6 Solución optima: Z= 63 V.O Y1= 0 Y2= 13/6 Y3 = 4/3 Z= 6(0) +14(13/6)+20(4/3) Z = 6 +91/3 +80/3 Z = 63

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