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RELACIÓN 3. MODELOS DE PROBABILIDAD
DISCRETOS
 1.- De una población de hormigas suficientemente
extensa y en la que la ...
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( ) ( )
( ) ( )6 14 14 6
({6 14 } {6 14 }) 6 14
20 200.5 0.5 0.5 0.5 0.073936 14
P R y N N y R P X P X
× × ×
= = + = =
=...
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( )( ) ; : 0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr
−= =
( ; ) (20 ; 0.8)X B n p B→ =
( ) 18 220( 18) 0.8 0.2 0.136918P X ×= = =
...
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 3.- Una compañía de petróleo dispone de 7 tanques en
el Golfo de México. Cada tanque tiene, en condiciones
normales, u...
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 4.- Se ha desarrollado una variedad de maíz con una
tasa de germinación del 85%. Se plantan diez de estas
semillas en ...
6
X = “Nº de semillas que germinan”
Y = “Nº de semillas que no germinan”
Y→ B ( 10; 0.15 )
2.- P ( X > 7 ) = P ( X = 8 ) +...
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 5.- Una población de 20 animales insectívoros se
introduce en una zona donde el 14% de los insectos que
le sirven de a...
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a.1- X = “Nº de animales no envenenados en un día”
20; 0 47042X B( . )→
( ) ( )
( )
3 20 3
3 17
20
a.2- ( 3) 0.47042 1 0...
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( )( ) ; :0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr
−= =
A = “Presentar minusvalía”
P ( A ) = p = 0,00001; n = 60
X = { Nº de reci...
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 7.- Para estudiar la regulación hormonal de una linea
metabólica, se inyecta a ratas albinas un fármaco que
inhibe la...
11
A = {La rata muere}
P(A) =4/20 = 0.2; n = 10
X = “Nº de ratas que mueren”
X→ B ( n; p) = B (10; 0.2)
b)
b2) P ( X ≥ 2 )...
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 8.- En el agua de una ciudad se han detectado dos
tipos de bacterias A y B nocivas para la salud. Se ha
detectado una...
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c)
Z = “Nº bacterias tipo A o B en un cm3
de agua”
( ) ( )2 3 5Z P Pλ λ→ = + = =
( )4 0.1755P Z = =
( ) ( ) ( ) ( )3 0 ...
14
 9.- Un portador de tuberculosis tiene un 10% de
posibilidades de trasmitir la enfermedad a alguien que
no ha estado e...
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b.-
1.- P ( X = 4 ) = 0.0074
2.- P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 )
=
= 0.3874 + 0.3874 + 0.1722 = 0...
16
X = { Nº de bacterias en 10 cm3
de agua }
a. ( 2.5)X P λ→ =
( 3) ( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X P X< = ≤ = = + = + ...
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b. ( 2/3)X P λ→ =
( 3) 1 ( 3)P X P X> = − ≤ =
0 1
2/3 2/32/3 2/3
1
0! 1!
e e− −

= − + +


X = { Nº de bacterias en...
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 11.- La probabilidad de que un enfermo reaccione
desfavorablemente después de aplicarle un calmante es
0.01. Si dicho...
19
c. ( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X≤ = = + = + = =
0 1 2
2 2 22 2 2
0! 1! 2!
e e e− − −
= + + =
( 2) (2) 0.6767P X F•...
20
 12.-Una solución contiene virus bacteriófagos T4 en
una concentración de 6.106
por mm3
. En la misma
solución hay 3.1...
21
d. ( 2) 0.2707 27.07%P X− = = ⇒
( 2) 1 ( 1) 1 (1) 1 0.406 0.594P X P X F• ≥ = − ≤ = − = − =
( ) (2)X P Pλ→ =
( )c. ( 2)...
22
 13.- Por larga experiencia se ha determinado que la
meningitis por salmonela, enfermedad rara pero muy
grave en los l...
23
( )16 16 0b. ( 16) 0.4 0.6 0.00000042916P X = = =
( )16 0 16c. ( 0) 0.4 0.6 0.0002820P X = = =
d. (6 10) ( 6) ( 7)
( 8)...
24
a.- X = { Nº de enfermos en 60000 habitantes}
Sigue una distribución Binomial de parámetros:
25
60000; 0.00025; (60000;...
25
b. X = { Nº de enfermos en 80000 habitantes}
Sigue una distribución Binomial de parámetros:
25
80000; 0.00025; (80000; ...
26
RELACIÓN 4. MODELOS DE PROBABILIDAD
CONTINUOS
X = { Concentración de NH3 en sangre }
( ; ) (110 ; )X N Nµ σ σ→ =
(85 13...
27
( )1 1
85 110 110 135 110
(85 135)
25 25
0.99
X
P X P
P Z P z Z z
σ σ σ
σ σ
− − − 
≤ ≤ = ≤ ≤ = ÷
 
− 
= ≤ ≤ = − ...
28
( )1 1
(110 110 ) 0.70
110
9.7087 9.7087 9.7087
P h X h
h X h
P P z Z z
− ≤ ≤ + = =
− − + 
= ≤ ≤ = − ≤ ≤ ÷
 
⇒
1 1...
29
( 110 ; 9.7087)X N→
( ) ( )
( ) ( )
110 90 110
d. 90 2.06
9.7087 9.7087
1 2.06 1 2.06 1 0.0197 0.9803
98.03%
X
P X P P ...
30
 2.- De una población de organismos suficientemente
extensa se sabe que aproximadamente el 40% de sus
individuos prese...
31
a) X: “Diámetro de las bacterias” ( );3X N µ→
[ ]
[ ]
5.53
5.53 0.695; 0.695
3
5.53 5.53
0.305 0.51
3 3
5.53 3 0.51 4; ...
32
b) X: “Diámetro de las bacterias” ( )4;3X N→
[ ]4 0.5P X ≥ =
c). Y: Número de bacterias con diámetro superior a 4
de en...
33
 4.- Sea X la concentración en plomo en partes por
millón en la corriente sanguinea de un individuo.
Supongamos que X ...
34
( )1 0.3; Tipificando, se tieneP X X≥ =
c. Mediana = Media = 0.25
( ) ( )1
1 1
1
1
1
0.250.25
0.3
0.11 0.11
0.25
0.525
...
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( ) ( )
1 1.5 1
. 1.5 2 0.0228
0.25 0.25
X
a P X P P Z
− − 
− ≥ = ≥ = ≥ = ÷
 
X → N ( µ ; σ ) = N ( 1; 0.25 )
X = ...
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( )
( ) ( ) ( )
1.3 1 1 1.4 1
. 1.3 1.4
0.25 0.25 0.25
1.2 1.6 1.2 1.6
0.1151 0.0548 0.0603
X
c P X P
P Z P Z P Z
− − −...
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 6.- Sea X la cantidad de radiación que puede ser
absorbida por un individuo antes de que le sobrevenga
la muerte. Sup...
38
( ) ( )
500 800 500
800 2
150 150
0.0228 2 28 Sobreviven
X
P X P P Z
. %
− − ≥ = ≥ = ≥ = ÷
 
= =→
X = {Cantidad de...
39
1 25 2 50 3 75c. ; ;Q P Q P Med Q P= = = =
2 50c2. 500Q P Med Media= = = =
( )3c3. 0.75 Tipificando:P X Q≤ =
( ) ( )
( ...
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 7.- Supóngase que en cierto organismo vivo sometido
a un tipo de radiación se están produciendo células
tumorales con...
41
( ) ( ) ( ) ( )) 2 0 1 2
0.0067 0.0337 0.0842 0.1246
c P X P X P X P X≤ = = + = + = =
= + + =
( ) ( )
( ) ( )
( )
) 25 ...
42
 8.- Se estima que una enfermedad vírica se consigue
curar sin secuelas en un 1% de los casos. A un
bioestadístico se ...
43
( ) ( ) ( )c. 1000; 0.01 10X B P n p Pλ λ× = =→ → =
( 12) ( 13) ( 14) .... ( 24)
0.0729 0.0521 ... 0.0001 0.2084
P X P ...
44
 9.- La media de las temperaturas obtenidas en una
región durante un año es de 250
C y la desviación típica
de 100
C. ...
45
 10.- Si se clasifican los cráneos en dodicocéfalos
cuando el índice longitud-anchura es menor que 75,
mesocéfalos si ...
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Modelos probabilidad

  1. 1. 1 RELACIÓN 3. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS  1.- De una población de hormigas suficientemente extensa y en la que la proporción de las hembras es prácticamente igual que la de los machos, que presenta un dimorfismo sexual que diferencia el color rojo de las hembras del color negro de los machos, se extrae una muestra aleatoria de tamaño 20. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya seis hormigas de un color y catorce de otro? Considerando el espacio muestral formado por todas las posibles muestras de tamaño 20, se define la variable aleatoria X que asocia a cada muestra el número de hormigas rojas que contiene, calcular el valor esperado de X y su varianza. A = “La hormiga es de color rojo” P ( A ) = p = 0.5; n = 20 X = {Nº de hormigas rojas en una muestra de 20} ( ; ) (20; 0.5)X B n p B→ = ( )( ) ; :0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr −= =  Se pide la Probabilidad del suceso: {6 R y 14 N} { 6 N y 14 R}
  2. 2. 2 ( ) ( ) ( ) ( )6 14 14 6 ({6 14 } {6 14 }) 6 14 20 200.5 0.5 0.5 0.5 0.073936 14 P R y N N y R P X P X × × × = = + = = = + =  2 ( ) 20 0.5 10 ( ) 20 0.5 0.5 5 E X np Var X npqσ × × × = = = = = = = A = “La hormiga es de color rojo” P ( A ) = p = 0.5; n = 20 X = {Nº de hormigas rojas en una muestra de 20} ( ; ) (20; 0.5)X B n p B→ = ( )( ) ; :0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr −= =  Se pide la Probabilidad del suceso: {6 R y 14 N} { 6 N y 14 R}
  3. 3. 3 ( )( ) ; : 0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr −= = ( ; ) (20 ; 0.8)X B n p B→ = ( ) 18 220( 18) 0.8 0.2 0.136918P X ×= = = A = “Curarse”; P ( A ) = p = 0.8; n = 20 X = {Nº de enfermos que se curan en una muestra de 20}  2.- La proporción de enfermos que se curan de una enfermedad mediante un tratamiento se ha estimado que es igual a 0.8. Si se someten 20 pacientes de la enfermedad al tratamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que se curen 18?
  4. 4. 4  3.- Una compañía de petróleo dispone de 7 tanques en el Golfo de México. Cada tanque tiene, en condiciones normales, un 5% de posibilidad de tener una perdida de petróleo en todo el año. Obtener las probabilidades de que en un año: a.- Tengan perdidas de petróleo 3 tanques b.- Tengan perdidas de petróleo menos de 2 tanques c.- Tengan perdidas de petróleo mas de 1 tanque A ={ Un tanque tenga perdidas de petróleo} P ( A ) = 0.05; n = 7 X = “Nº de tanques con perdidas de petróleo” X → B ( 7; 0.05 ) a.- P ( X = 3 ) = 0.0036 b.- P ( X < 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) = 0.6983 + 0.2573 = 0.9556 c.- P ( X > 1 ) = 1 − P ( X ≤ 1 ) = 1 − ( P ( X = 0 ) + + P ( X = 1 ) ) = 1 − 0.9556 = 0.0444
  5. 5. 5  4.- Se ha desarrollado una variedad de maíz con una tasa de germinación del 85%. Se plantan diez de estas semillas en suelos de igual composición. a.- ¿Cuántas semillas se espera que germinaran? b.- Calcular las probabilidades siguientes: 1.- Germinen 9 semillas 2.- Germinen mas de 7 semillas 3.- Germinen como máximo 8 semillas A = {Germine una semilla} P(A) = 0,85; n = 10 X = “Nº de semillas que germinan” X→ B ( n; p) = B ( 10; 0.85) a.- E ( X ) = n x p = 10 x 0.85 = 8.5 b.- Y = “Nº de semillas que no germinan” Y→ B ( 10; 0.15 ) 1.- P ( X = 9 ) = P ( Y = 1 ) = 0.3474
  6. 6. 6 X = “Nº de semillas que germinan” Y = “Nº de semillas que no germinan” Y→ B ( 10; 0.15 ) 2.- P ( X > 7 ) = P ( X = 8 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) = P ( Y = 2 ) + P ( Y = 1 ) + P ( Y = 0 ) = = 0.2759 + 0.3474 + 0.1969 = 0.8202 3.- P ( X ≤ 8 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) +......+ P ( X = 8 ) = = P ( Y = 10 ) + P ( Y = 9 ) + ....+ P ( Y = 2 ) = = P ( Y ≥ 2 ) = 1 − P ( Y < 2 ) = = 1 −( P ( Y = 0 ) + P ( Y = 1 ) ) = = 1 − ( 0.1669 + 0.3474 )=1− 0.5143 = 0.4857
  7. 7. 7  5.- Una población de 20 animales insectívoros se introduce en una zona donde el 14% de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada animal devora al día 5 insectos. a.- Se quiere estudiar el número de animales que no se envenenan en un día: a.1.- ¿Qué distribución de probabilidad se puede aplicar en esta situación?. a.2.- Calcular la probabilidad de que en un día 3 animales no se envenenen a.3.- Calcular la probabilidad de que en un día al menos 2 animales no se envenenen b.- Calcular la probabilidad de que al cabo de una semana se envenenen 19 animales a.1- P( Comer un insecto no venenoso ) = 1- 0.14 = 0.86 P( Un animal no se envenene en un día ) = P( Comer 5 insectos no venenosos ) = (O.86)5 = 0.47042 X = “Nº de animales no envenenados en un día” 20 0 47042X B( , . )→ ( ) ( )2020 ( ) 0.47042 1 0.47042 r r P X r r −  = = − ÷  
  8. 8. 8 a.1- X = “Nº de animales no envenenados en un día” 20; 0 47042X B( . )→ ( ) ( ) ( ) 3 20 3 3 17 20 a.2- ( 3) 0.47042 1 0.47042 3 = 20 19 3 0.47042 0.52958 0.0024x x x x P X −  = = − = ÷   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 20 1 19 120 19 a.3- ( 2) 1 ( 1) 1 ( 0) ( 1) 20 1 0.47042 1 0.47042 0 20 0.47042 1 0.47042 1 1 0.52958 20 0.47042 0.52958 0.9999x x P X P X P X P X≥ = − ≤ = − = + = =   = − − ÷     − − = ÷   = − − = b.- P( Un animal no se envenene en 7 días ) = = (0.47042)7 = 0.005 P(un animal se envenene en 7 días) = 1 - 0.005 = 0.995 Y = “Nº de animales envenenados en una semana” ).;B(Y 995020→ ( ) ( )19 120 ( 19) 0.995 0.005 0.0909 19 P Y   = = = ÷  
  9. 9. 9 ( )( ) ; :0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr −= = A = “Presentar minusvalía” P ( A ) = p = 0,00001; n = 60 X = { Nº de recién nacidos que presentan minusvalía en una muestra de 60 } ( ; ) (60; 0.00001) (0.0006)X B n p B P→ = → ( ) 1 5960( 1) 0.00001 0.999991P X ×= = =  6.- La frecuencia con la que se presenta un tipo raro de minusvalía se estima de un caso por cada 100000. En el departamento de neonatología de un gran complejo hospitalario y por un procedimiento que puede ser considerado aceptablemente aleatorio, se ha observado una muestra de recién nacidos de tamaño 60. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un caso? 0.0005996 0.0006= ≅  Aproximación por la distribución de Poisson ( ) ; 0,1,2,3,... ! r P X r e r r λλ −= = = 0.0006 10.0006 ( 1) 0.0005996 1! P X e− = = =
  10. 10. 10  7.- Para estudiar la regulación hormonal de una linea metabólica, se inyecta a ratas albinas un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de cada 20 ratas mueren a causa del farmaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el farmaco: a)¿Cuántas ratas se espera que mueran? b) Calcular las probabilidades siguientes: b1) Mueran 5 ratas b2) Mueran al menos 2 ratas b3) Al menos 8 ratas lleguen vivas al final del experimento A = {La rata muere}; P ( A ) = 4/20 = 0.2; n = 10 X = “Nº de ratas que mueren” ; X→ B ( n; p) = B (10; 0.2) a) E ( X ) = n x p = 10 x 0,2 = 2 b) b1) P ( X = 5 ) = 0.0264
  11. 11. 11 A = {La rata muere} P(A) =4/20 = 0.2; n = 10 X = “Nº de ratas que mueren” X→ B ( n; p) = B (10; 0.2) b) b2) P ( X ≥ 2 ) = 1 - P ( X < 2 ) = 1 – ( P ( X = 0 ) + + P ( X = 1 ) ) = 1 – ( 0.1074 + 0. 2684 ) = 0.6242 b3) P (Al menos 8 vivan) = P ( 8 vivan ) + P ( 9 vivan ) + + P ( 10 vivan ) = P ( 2 mueran ) + P ( 1 muera ) + + P ( 0 mueran ) = P ( X = 2 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 0 ) = = 0.3020 + 0. 2684 + 0.1074 = 0.6778
  12. 12. 12  8.- En el agua de una ciudad se han detectado dos tipos de bacterias A y B nocivas para la salud. Se ha detectado una concentración media de 2 bacterias de tipo A por cada cm3 de agua y se sabe que las bacterias están aleatoriamente distribuidas: a) ¿Qué distribución de probabilidad se puede aplicar en esta situación?. b) Obtener la probabilidad de que en 3 cm3 de agua se encuentren al menos 2 bacterias de tipo A Asi mismo se ha detectado una concentración media de 3 bacterias de tipo B por cada cm3 de agua. Obtener las probabilidades de que en un cm3 de agua se encuentren: c) 4 bacterias de tipo A o B d) Menos de 3 bacterias de tipo A o B a) X = “Nº bacterias tipo A en un cm3 de agua” ( )2=→ λPX b) Y = “Nº bacterias tipo A en 3 cm3 de agua” ( ) ( )2 3 6Y P Pλ λ×→ = = = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 0 1 1 0 0025 0 0149 0.9826 P Y P Y P Y P Y . . ≥ = − < = − = + = = = − + =
  13. 13. 13 c) Z = “Nº bacterias tipo A o B en un cm3 de agua” ( ) ( )2 3 5Z P Pλ λ→ = + = = ( )4 0.1755P Z = = ( ) ( ) ( ) ( )3 0 1 2 0.0067 0.0337 0.0842 0.1246 P Z P Z P Z P Z< = = + = + = = = + + = d)
  14. 14. 14  9.- Un portador de tuberculosis tiene un 10% de posibilidades de trasmitir la enfermedad a alguien que no ha estado expuesto a ella. Durante un día entra en contacto con nueve de tales personas. a.- Numero medio de personas a las que se les trasmite la enfermedad b.- Calcular las probabilidades siguientes: 1.- Se les transmita la enfermedad a 4 personas 2.- Como máximo se les transmita la enfermedad a 2 personas 3.- Al menos se les transmita la enfermedad a 2 personas A = { Se transmita la enfermedad a una persona} P(A) = 0.10; n = 9 X = “Nº de personas a las que se les transmite la enfermedad” X→ B ( n; p) = B ( 9; 0.10 ) a.- E ( X ) = np = 9 x 0.10 = 0.9
  15. 15. 15 b.- 1.- P ( X = 4 ) = 0.0074 2.- P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) = = 0.3874 + 0.3874 + 0.1722 = 0.947 3.- P ( X ≥ 2 ) = 1 − P ( X < 2 ) = 1 −( P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) ) = = 1 − ( 0.3874 + 0.3874 ) = 0.2252 A = { Se transmita la enfermedad a una persona}, P(A) = 0,10; n = 9 X = “Nº de personas a las que se les transmite la enfermedad” X→ B ( n; p) = B ( 9; 0.10 )
  16. 16. 16 X = { Nº de bacterias en 10 cm3 de agua } a. ( 2.5)X P λ→ = ( 3) ( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X P X< = ≤ = = + = + = = ( ) ; 0,1,2,3,... ! r P X r e r r λλ −= = = 0 1 2 2.5 2.5 2.52.5 2.5 2.5 0.544 0! 1! 2! e e e− − − = + + =  10.- En un depósito de agua se ha detectado una concentración media de 0.25 bacterias nocivas por cada cm3 de agua. Supuesto que las bacterias están aleatoriamente distribuidas, ¿cuál es la probabilidad de que en una extracción al azar de un volumen de 10 cm3 se encuentren menos de 3 bacterias nocivas? Si la concentración fuera de 2 bacterias nocivas por cada 30 cm3 de agua. ¿Cuál sería la probabilidad de que en una extracción al azar de un volumen de 10 cm3 se encontraran más de 3 bacterias nocivas?
  17. 17. 17 b. ( 2/3)X P λ→ = ( 3) 1 ( 3)P X P X> = − ≤ = 0 1 2/3 2/32/3 2/3 1 0! 1! e e− −  = − + +   X = { Nº de bacterias en 10 cm3 de agua } ( )= 1 ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)P X P X P X P X− = + = + = + = = 2 3 2/3 2/32/3 2/3 0.005 2! 3! e e− −  + + =÷ ÷  ( ) ; 0,1,2,3,... ! r P X r e r r λλ −= = =
  18. 18. 18  11.- La probabilidad de que un enfermo reaccione desfavorablemente después de aplicarle un calmante es 0.01. Si dicho calmante se le aplica a 200 personas, determinar: a) La ley de probabilidad. b) Media y desviación típica. c) Probabilidad de que a lo sumo dos enfermos reaccionen desfavorablemente. a. ( ; ) (200; 0.01)X B n p B→ = A = “Reac. Desv.”; P ( A ) = p = 0.01; n = 200 X = {Nº de enfermos que reaccionan desfavorablemente en una muestra de 200 enfermos} 22 ( ) ; 0,1,2,3,... ! ! r r P X r e e r r r λλ − − = = = = b. ( ) 2 ;Media E X λ= = = 2Desviación Tipica λ= = ( 2)X P λ→ = n > 30 y p < 0.1
  19. 19. 19 c. ( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X≤ = = + = + = = 0 1 2 2 2 22 2 2 0! 1! 2! e e e− − − = + + = ( 2) (2) 0.6767P X F• ≤ = = ( ; ) (200; 0.01) ( 2)X B n p B P λ→ = → = A = “Reac. Desv.”; P ( A ) = p = 0.01; n = 200 X = {Nº de enfermos que Reac. Desv. en una muestra de 200} 0 1 2 2 22 2 2 5 0.67667 0! 1! 2! e e− − ×   = + + = = ÷ ÷  
  20. 20. 20  12.-Una solución contiene virus bacteriófagos T4 en una concentración de 6.106 por mm3 . En la misma solución hay 3.106 bacterias E. Coli por mm3 . Suponiendo que los virus se distribuyen al azar entre las bacterias, se pide el porcentaje de bacterias que: a.- No están infectadas por virus b.- Están infectadas c.- Tengan al menos 2 virus fijados sobre ellas d.- Tengan exactamente 2 virus fijados sobre ellas. 6 6 6 10 2, 3 10 λ × × = = ( ) (2)X P Pλ→ = 0 22 a. ( 0) 0.1353 13.53% 0! P X e No Infectadas− = = = ⇒ b. 1 0.1353 0.8647 86.47% Infectadas− = ⇒ La distribución del Nº de virus por bacteria ( X ) será una Poisson de media:  Los virus están repartidos al azar entre las bacterias ⇒
  21. 21. 21 d. ( 2) 0.2707 27.07%P X− = = ⇒ ( 2) 1 ( 1) 1 (1) 1 0.406 0.594P X P X F• ≥ = − ≤ = − = − = ( ) (2)X P Pλ→ = ( )c. ( 2) 1 ( 1) 1 ( 0) ( 1)P X P X P X P X− ≥ = − ≤ = − = + = = 1 (0.1353 0.2707) 0.594= − + = 59.4% Al menos dos virus⇒
  22. 22. 22  13.- Por larga experiencia se ha determinado que la meningitis por salmonela, enfermedad rara pero muy grave en los lactantes, produce una mortalidad aproximada del 60% aún cuando sean tratados con cloranfenicol, seguido de tetraciclinas. En un hospital ingresaron 16 niños lactantes atacados por la enfermedad, en un brote epidémico en una gran ciudad. Se pide la probabilidad de que: a.- Sobrevivan más de la mitad, b.- Sobrevivan todos, c.- Mueran todos d.- El nº de sobrevivientes esté comprendido entre 6 y 10, incluidos estos extremos. A = “Sobrevivir”; P ( A ) = p = 0.4; n = 16 X = {Nº de niños que sobreviven en una muestra de 16} ( ; ) (16; 0.4)X B n p B→ = ( )( ) ; :0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr −= = ( ) 16 9 16 16a. ( 8) 0.4 0.6 0.142 r r rP X r = −> = =∑
  23. 23. 23 ( )16 16 0b. ( 16) 0.4 0.6 0.00000042916P X = = = ( )16 0 16c. ( 0) 0.4 0.6 0.0002820P X = = = d. (6 10) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 10) 0.652 P X P X P X P X P X P X ≤ ≤ = = + = + + = + = + = = ( ; ) (16; 0.4)X B n p B→ = ( )( ) ; :0,1,2,...,n r n rP X r p q r nr −= =
  24. 24. 24 a.- X = { Nº de enfermos en 60000 habitantes} Sigue una distribución Binomial de parámetros: 25 60000; 0.00025; (60000; 0.00025) 100000 n p B= = = ( 60000 0.00025) ( 15)X P Pλ λ×= = =→ 22 ( ) ; 0,1,2,3,... ! ! r r P X r e e r r r λλ − − = = = = 0 1 2 3 15 15 15 15 4 5 6 15 15 15 ( 6) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) 15 15 15 15 0! 1! 2! 3! 15 15 15 0.007632 4! 5! 6! P X P X P X P X P X P X P X P X e e e e e e e − − − − − − − • ≤ = = + = + = + + = + = + = + = = = + + + + + + + =  14.- La incidencia de una enfermedad en un determinado país fue de aproximadamente 25 casos por cada 100000 habitantes. Se pide la probabilidad de que: a.- En una ciudad de 60000 habitantes se dieran 6 casos o menos b.- En una ciudad de 80000 habitantes se dieran b1) 6 casos o menos b2) 10 casos o menos.
  25. 25. 25 b. X = { Nº de enfermos en 80000 habitantes} Sigue una distribución Binomial de parámetros: 25 80000; 0.00025; (80000; 0.00025) 100000 n p B= = = ( 80000 0.00025) ( 20)X P Pλ λ×= = =→ 22 ( ) ; 0,1,2,3,... ! ! r r P X r e e r r r λλ − − = = = = 0 1 2 3 20 20 20 20 4 5 6 20 20 20 b1. ( 6) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) 20 20 20 20 0! 1! 2! 3! 20 20 20 0.000255122 4! 5! 6! P X P X P X P X P X P X P X P X e e e e e e e − − − − − − − ≤ = = + = + = + + = + = + = + = = = + + + + + + + = 10 10 20 0 0 20 b2. ( 10) ( ) ! 0.0108116 r r r P X P X r e r − = = ≤ = = = = = ∑ ∑
  26. 26. 26 RELACIÓN 4. MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS X = { Concentración de NH3 en sangre } ( ; ) (110 ; )X N Nµ σ σ→ = (85 135) 0.99P X≤ ≤ =  1.- Se sabe que la concentración media de NH3 en sangre venosa de individuos sanos en una distribución normal es de 110 mgr/mm y que la concentración de NH3 del 99% de los individuos se encuentra entre 85 y 135 mgr/mm. Calcular: a.- La desviación típica de la distribución. b.- Los límites del intervalo, simétrico respecto a la media, que contiene el 70% de los valores de dicha población. c.- Si un individuo tiene concentración de 125 mgr/mm, ¿a qué porcentaje de la población es superior este individuo?. d.- Si un individuo tiene concentración de 90 mgr/mm, ¿a qué porcentaje de la población es inferior este individuo
  27. 27. 27 ( )1 1 85 110 110 135 110 (85 135) 25 25 0.99 X P X P P Z P z Z z σ σ σ σ σ − − −  ≤ ≤ = ≤ ≤ = ÷   −  = ≤ ≤ = − ≤ ≤ = ÷   ⇒ ( ) ( )2 1 0.99 0.01 0.0051 1P Z z P Z z≥ = − = ⇒ ≥ = ⇒ 1 25 2.575 9.7087z σ σ = = =⇒ X = { Concentración de NH3 en sangre } ( ; ) (110 ; )X N Nµ σ σ→ = (85 135) 0.99P X≤ ≤ = ( 110 ; 9.7087)X N→ 01z− 1z 0.99 0.005 0.005 a.- La desviación típica de la distribución.
  28. 28. 28 ( )1 1 (110 110 ) 0.70 110 9.7087 9.7087 9.7087 P h X h h X h P P z Z z − ≤ ≤ + = = − − +  = ≤ ≤ = − ≤ ≤ ÷   ⇒ 1 1.035 9.7087 1.035 10.0485 9.7087 h z h ×= = = =⇒ ( 110 ; 9.7087)X N→ ( ) ( )1 12 1 0.70 0.30 0.15P Z z P Z z≥ = − = ≥ =⇒ ( ) ( ) ( ) Intervalo ; 110 10.0485; 110 10.10.0485 = 99.9515; 120.0485 X h X h= − + = − + = 110 110 h+ 0.70 0.15 0.15 110 h− h h b.- Los límites del intervalo, simétrico respecto a la media, que contiene el 70% de los valores de dicha población
  29. 29. 29 ( 110 ; 9.7087)X N→ ( ) ( ) ( ) ( ) 110 90 110 d. 90 2.06 9.7087 9.7087 1 2.06 1 2.06 1 0.0197 0.9803 98.03% X P X P P Z P Z P Z − −  ≥ = ≥ = ≥ − = ÷   = − ≤ − = − ≥ = − = → ( ) ( ) ( ) 110 125 110 c. 125 1.54 9.7087 9.7087 1 1.54 1 0.0618 0.9382 93.82% X P X P P Z P Z − −  ≤ = ≤ = ≤ = ÷   = − ≥ = − = → c.- Si un individuo tiene concentración de 125 mgr/mm, ¿a qué porcentaje de la población es superior este individuo?. d.- Si un individuo tiene concentración de 90 mgr/mm, ¿a qué porcentaje de la población es inferior este individuo 110 125 90 110
  30. 30. 30  2.- De una población de organismos suficientemente extensa se sabe que aproximadamente el 40% de sus individuos presenta un determinado polimorfismo que se manifiesta a través de un cierto fenotipo que se designa por k. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño 1000 y se desea conocer la probabilidad de que la muestra contenga más de 450 individuos de fenotipo k. A = “Presentar fenotipo k”; P ( A ) = p = 0.4; n = 1000 X = {Nº individuos con fenotipo k en muestra de 1000} ( ; ) (1000; 0.4)X B n p B→ = ⇒ ( ) ( ); 1000 0.4; 1000 0.4 0.6X N np npq N × × ×→ = ( )400; 15.5X N→ ( ) ( ) 400 450 400 450 3.22 15.5 15.5 0.00064 X P X P P Z − −  • ≥ = ≥ = ≥ = ÷   =
  31. 31. 31 a) X: “Diámetro de las bacterias” ( );3X N µ→ [ ] [ ] 5.53 5.53 0.695; 0.695 3 5.53 5.53 0.305 0.51 3 3 5.53 3 0.51 4; 4 P X P Z P Z E X µ µ µ µ µ −  ≤ = ≤ =   − −  ≥ = ⇒ = ⇒   = − × = = =  3.- Un grupo de investigadores saben por propia experiencia que el diámetro de un determinado tipo de bacterias halladas en el análisis del agua de una charca sigue una distribución normal con varianza 9mm2. También se sabe que el 69.5% de las bacterias analizadas tienen un diámetro inferior a 5.53 mm. a) ¿Cuál es el diámetro esperado de las bacterias? b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar bacterias con un diámetro superior a 4 mm? c) Si en un nuevo cultivo se toman 10 de las bacterias analizadas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar más de 8 con un diámetro superior a 4mm?. ¿Cuál es el número esperado de bacterias que se encontrarán con un diámetro superior a 4mm?
  32. 32. 32 b) X: “Diámetro de las bacterias” ( )4;3X N→ [ ]4 0.5P X ≥ = c). Y: Número de bacterias con diámetro superior a 4 de entre las 10 seleccionadas ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] 10,0.5 8 9 10 0.009 0.001 0.01 5 Y B P Y P Y P Y E Y np → > = = + = = = + = = =
  33. 33. 33  4.- Sea X la concentración en plomo en partes por millón en la corriente sanguinea de un individuo. Supongamos que X es una variable Normal con media 0.25 y desviación tipica 0.11. a.- Una concentración superior o igual a 0.6 partes por millón se considera extremadamente alta. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente esté incluido en esta categoría? b.- ¿Cuál es la concentración mínima de 30% de los individuos con mas concentración? c.- Cuál es la mediana de esta distribución X ={Concentración plomo} X → N(µ ; σ ) = N ( 0.25; 0.11 ) ( ) ( ) 0.25 0.6 0.25 a. 0.6 0.11 0.11 = 3.18 0.00074 X P X P P Z − −  ≥ = ≥ = ÷   ≥ =
  34. 34. 34 ( )1 0.3; Tipificando, se tieneP X X≥ = c. Mediana = Media = 0.25 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 0.250.25 0.3 0.11 0.11 0.25 0.525 0.11 0.525 0.11 0.25 0.30775 XX P X X P P Z z X z X × − − • ≥ = ≥ = ≥ = ÷   − ⇒ = = ⇒ = + = 0.25 0.50.5 b.- ¿Cuál es la concentración mínima de 30% de los individuos con mas concentración? 0.25 0.30 1X X ={Concentración plomo} X → N(µ ; σ ) = N ( 0.25; 0.11 )
  35. 35. 35 ( ) ( ) 1 1.5 1 . 1.5 2 0.0228 0.25 0.25 X a P X P P Z − −  − ≥ = ≥ = ≥ = ÷   X → N ( µ ; σ ) = N ( 1; 0.25 ) X = {Gamos de hidrocarburo emitidos cada dos km. ( ) ( ) ( ) 1 1.2 1 . 1.2 0.8 0.25 0.25 1 0.8 1 0.2119 0.7881 X b P X P P Z P Z − −  − ≤ = ≤ = ≤ = ÷   = − ≥ = − =  5.- Una de las mayores contribuciones a la contaminación atmosferica es la provocada por los hidrocarburos procedentes de los tubos de escape de los automoviles. Sea X los gramos de hidrocarburo emitidos por un automovil por cada dos kilometros. Supongamos que X es Normal con una media de 1 gr. y una desviación tipica de 0.25 gr. Calcular las siguientes probabilidades: a.- Un automóvil emita mas de 1.5 gr. b.- Un automóvil emita menos de 1.2 gr. c.- Un automóvil emita entre 1.3 y 1.4 gr. d.- Un automóvil emita mas de 0.65 gr. e.- Un automóvil emita entre 0.4 y 0.7 gr.
  36. 36. 36 ( ) ( ) ( ) ( ) 1.3 1 1 1.4 1 . 1.3 1.4 0.25 0.25 0.25 1.2 1.6 1.2 1.6 0.1151 0.0548 0.0603 X c P X P P Z P Z P Z − − −  − ≤ ≤ = ≤ ≤ = ÷   = ≤ ≤ = ≥ − ≥ = = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.65 1 . 0.65 1.4 0.25 0.25 = 1 1.4 1 1.4 1 0.0808 0.9192 X d P X P P Z P Z P Z − −  − ≥ = ≥ = ≥ − = ÷   − ≤ − = − ≥ = − = X = {Gamos de hidrocarburo emitidos cada dos km. 0 1.2 1.6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.4 1 1 0.7 1 . 0.4 0.7 0.25 0.25 0.25 2.4 1.2 1.2 2.4 1.2 2.4 0.1151 0.0082 0.1069 X e P X P P Z P Z P Z P Z − − −  − ≤ ≤ = ≤ ≤ = ÷   = − ≤ ≤ − = ≤ ≤ = = ≥ − ≥ = − = 0 1.2 2.41.2−2.4− X → N ( µ ; σ ) = N ( 1; 0.25 )
  37. 37. 37  6.- Sea X la cantidad de radiación que puede ser absorbida por un individuo antes de que le sobrevenga la muerte. Supongamos que X es Normal con una media de 500 roentgen y una desviación tipica de 150 roentgen. a.- ¿Por encima de que nivel de dosificación sobreviría solamente el 5% de los expuestos? b.- ¿Cuál es el porcentaje de supervivientes para un nivel de radiación de 800 roentgen? c.- Obtener los cuartiles de esta distribución. ( ) ( )1 1 1 1 1 1 500500 0.05 150 150 500 1.645 150 150 1.645 500 746.75 XX P X X P P Z z X z X × − − • ≥ = ≥ = ≥ = ÷   − ⇒ = = ⇒ = + = ( )1a. 0.05; Tipificando, se tieneP X X≥ = X = {Cantidad de radiación que puede ser absorbida } 500 0.05 1X X → N ( µ ; σ ) = N ( 500; 150 )
  38. 38. 38 ( ) ( ) 500 800 500 800 2 150 150 0.0228 2 28 Sobreviven X P X P P Z . % − − ≥ = ≥ = ≥ = ÷   = =→ X = {Cantidad de radiación que puede ser absorbida } 500 800 b.- ¿Cuál es el porcentaje de supervivientes para un nivel de radiación de 800 roentgen? c.- Obtener los cuartiles de esta distribución ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 500500 0.25 150 150 0.25 0.675 500 0.675 150 0.675 500 398.75 150 QX P X Q P P Z z P Z z P Z z z Q z Q × − − • ≤ = ≤ = ≤ − = ÷   ⇒ ≥ = ≤ − = ⇒ = − − = − = ⇒ = − + = 1 25 2 50 3 75; ;Q P Q P Med Q P= = = = ( )1 c1. 0.25 :P X Q Tipificando≤ = 5001Q 0.25 X → N ( µ ; σ ) = N ( 500; 150 )
  39. 39. 39 1 25 2 50 3 75c. ; ;Q P Q P Med Q P= = = = 2 50c2. 500Q P Med Media= = = = ( )3c3. 0.75 Tipificando:P X Q≤ = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 3 500500 0.75 150 150 1 1 0.75 0.25 0.675 500 0.675 150 0.675 500 601.25 150 QX P X Q P P Z z P Z z P Z z z Q z Q × − − • ≤ = ≤ = ≤ = ÷   ⇒ ≥ = − ≤ = − = ⇒ = − = = ⇒ = + = 500 Me= 0.50.5 500 3Q 0.75 X → N ( µ ; σ ) = N ( 500; 150 )
  40. 40. 40  7.- Supóngase que en cierto organismo vivo sometido a un tipo de radiación se están produciendo células tumorales con una tasa promedio de 5 cada minuto. Es de interés conocer ciertas probabilidades en relación a la producción de dichas células. a) ¿Qué modelo de probabilidad asociaría a la situación descrita anteriormente? Justifíquelo y defina la variable aleatoria asociada. b) Si la producción de células tumorales por minuto supera el valor de 3 se considera situación de alerta moderada. ¿Qué probabilidad hay de que suceda? c) Calcule la probabilidad de que el nº de células tumorales producidas no supere el valor de 2. d) Supongamos que por motivos anómalos la tasa promedio pasa a ser 25. Calcule la probabilidad de que el nº de células tumorales producidas sea superior a 24. ( )a) 5X P λ→ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 3 1 3 1 0 1 2 3 1 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.735 b P X P X P X P X P X P X > = − ≤ = = − = − = − = − = = = − − − − =
  41. 41. 41 ( ) ( ) ( ) ( )) 2 0 1 2 0.0067 0.0337 0.0842 0.1246 c P X P X P X P X≤ = = + = + = = = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 25 , 25,5 24 25 24 0.2 5 1 0.2 1 0.4207 0.5793 d X P X N P X P z P z P z λ→ = → −  > = > = > − ÷   = − > = − =
  42. 42. 42  8.- Se estima que una enfermedad vírica se consigue curar sin secuelas en un 1% de los casos. A un bioestadístico se le plantea el problema de valorar las siguientes probabilidades: a.- probabilidad de que en una muestra aleatoria de individuos enfermos, de tamaño 15, se produzcan 2 curaciones satisfactorias sin secuelas, b.- probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 100 se produzcan entre 1 y 3 curaciones sin secuelas, c.- probabilidad de que en una muestra de tamaño 1000 se produzcan mas de 12 curaciones. A = “Curación sin secuelas”; P ( A ) = p = 0. 01 X = {Nº de individuos que se curan sin secuelas} ( ) ( ); ;0.01X B n p B n=→ ( )a. 15; 0.01X B→ ( ) 2 1315( 2) 0.01 0.99 0.00922P X = = =
  43. 43. 43 ( ) ( ) ( )c. 1000; 0.01 10X B P n p Pλ λ× = =→ → = ( 12) ( 13) ( 14) .... ( 24) 0.0729 0.0521 ... 0.0001 0.2084 P X P X P X P X• > = = + = + + = = = + + + = Aproximación a la D. Normal ( ) ( ) ( ) ; 1000 0.01; 1000 0.01 0.99 10; 3.146 X N np npq N N × × ×→ = = = ( ) ( ) 10 12.5 10 12 0.795 3.146 3.146 0.2134 X P X P P Z − −  > = ≥ = ≥ = ÷   = ( ) ( ) ( )b. 100; 0.01 1X B P n p Pλ λ× = =→ → = (1 3) ( 1) ( 2) ( 3) 0.3679 0.1839 0.0613 0.6131 P X P X P X P X• ≤ ≤ = = + = + = = = + + =
  44. 44. 44  9.- La media de las temperaturas obtenidas en una región durante un año es de 250 C y la desviación típica de 100 C. Si las temperaturas obedecen a una ley normal, calcular la probabilidad de que en un día elegido al azar la temperatura: a.- esté comprendida entre 20 y 30 grados, b.- difiera de la media por lo menos en 50 C. X = { Temperaturas }; X → N ( 25; 10 ) ( ) ( ) 20 25 25 30 25 a. (20 30) 10 10 10 0.5 0.5 1 2 0.5 1 2 0.3085 0.383 X P X P P Z P Z× × − − −  ≤ ≤ = ≤ ≤ = ÷   = − ≤ ≤ = − ≥ = = − = 25 20 25 . ( 20) ( 30) 10 10 25 30 25 ( 0.5) ( 0.5) 10 10 2 0.3085 0.617 X P X P X P X P P Z P Z × − −  ≤ + ≥ = ≤ + ÷   − −  + ≥ = ≤ − + ≥ = ÷   = = b 1 (20 30) 1 0.383 0.617P X− ≤ ≤ = − = 25 3020 5 5
  45. 45. 45  10.- Si se clasifican los cráneos en dodicocéfalos cuando el índice longitud-anchura es menor que 75, mesocéfalos si está entre 75 y 80, y branquicéfalos si es superior a 80. Hallar la media y la desviación típica de una serie en la que el 65% son dodicocéfalos, el 34% mesocéfalos y el 1% branquicéfalos. Suponiendo que la distribución es normal. X = { Indice longitud-anchura }, X → N ( µ; σ ) ( ) ( )1 75 75 0.65 X P X P P Z z µ µ σ σ − −  • ≤ = ≤ = ≤ = ÷   ⇒ ( ) ( )1 1 11 1 0.65 0.35 0.385P Z z P Z z z≥ = − ≤ = − = =⇒ ( ) ( )2 80 80 0.01 X P X P P Z z µ µ σ σ − −  • ≥ = ≥ = ≥ = ÷   2 75 80 2.325 ; 0.385 ; 2.325z µ µ σ σ − − = = =⇒ 75 0.385 ; 80 2.325µ σ µ σ= + = + 80 75 2.325 0.385 ; 5 1.94 2.577σ σ σ σ− = − = ⇒ = 75 0.385 75 0.385 2.577 74.0078µ σ ×= − = − =

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