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Cálculo Multivariable  Anton Howard
Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a
una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de orden superior
comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas
veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría
diferencial.
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Para graficar una función tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina:
Teorema de schwarz (igualdad de las derivadas mixtas).
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Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden y muestre que las
derivadas mixtas son iguales:
Función:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
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Derivada de orden superior respecto de x.
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Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x.
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función (𝑓(𝑥;𝑦)) en y,
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Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑥𝑦):
Función:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
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Paso 2: Derivar parcialmente la función
respecto y.
El resultado de la derivada parcial de
segundo orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en xy,
“(𝑓𝑥𝑦)” es:
Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑦𝑥):
Solución:
Paso 1: Derivar la función respecto
de y.
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El resultado de la derivada parcial de segundo orden de
la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en yx,
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Finalmente, tomando en cuenta las derivadas parciales
de orden superior mixtas, se puede afirmar que son
iguales. Lo que se comprueba el teorema de schwarz
siendo la función continua.
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  • 2. Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de orden superior comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. Representación:
  • 3. Utilidad: Para graficar una función tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina:
  • 4. Teorema de schwarz (igualdad de las derivadas mixtas).
  • 5. Ejercicios de aplicación: Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden y muestre que las derivadas mixtas son iguales: Función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 Derivada de orden superior respecto de x.
  • 6. Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x. Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x. Siendo 𝑢 = 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 Simplificar
  • 7. Paso 2: Derivar parcialmente la función a segundo orden respecto de x. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en x, “(𝑓𝑥𝑥)” es:
  • 8. Derivada de orden superior respecto de y. Solución: Paso 1: Derivar la función de primer orden respecto de y. Paso 2: Derivar la función de segundo orden respecto y.
  • 9. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en y, “(𝑓𝑦𝑦)” es: Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑥𝑦): Función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2
  • 10. Paso 2: Derivar parcialmente la función respecto y. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en xy, “(𝑓𝑥𝑦)” es: Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑦𝑥):
  • 11. Solución: Paso 1: Derivar la función respecto de y. Paso 2: Derivar la función respecto de X. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en yx, “(𝑓𝑦𝑥)” es: Finalmente, tomando en cuenta las derivadas parciales de orden superior mixtas, se puede afirmar que son iguales. Lo que se comprueba el teorema de schwarz siendo la función continua. 𝑓𝑦𝑥 = 𝑓𝑥𝑦