Lajes lisas análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
ESCOLA POLITÉCNICA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

ETTORE BUSSOLIN NETTO

LAJES LISAS – ANÁLISE DE OTIMIZAÇÃO DE QUANTITATIVOS COM BASE NO
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL

CURITIBA
2013

ETTORE BUSSOLIN NETTO

LAJES LISAS – ANÁLISE DE OTIMIZAÇÃO DE QUANTITAIVOS COM BASE NO
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL

Trabalho
de
Conclusão
de
Curso
apresentado ao Curso de Graduação em
Engenharia Civil, da Pontifícia Universidade
Católica do Paraná, como requisito parcial à
obtenção do título de Engenheiro Civil.
Orientador: Prof. Wilson Gorges.

CURITIBA
2013

AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus amigos e familiares, àqueles que sempre estiveram do meu
lado neste último ano, nos piores e nos melhores momentos. Eu jamais teria
conseguido chegar onde cheguei até agora se eu não tivesse a certeza que poderia
contar com suas amizades nos momentos difíceis.
Agradeço aos professores por compartilhar seus conhecimentos, especialmente
àqueles que se empenharam em algo que vai além de transmitir informações, mas
em formar seres humanos críticos, conscientes de seu papel na sociedade e na
engenharia civil.
Agradeço à VLB Engenharia por ter me dado a oportunidade de estagiar na área de
estruturas e adquirir experiência para desenvolver este trabalho, especialmente aos
engenheiros que me orientaram nestes dois anos, que investiram grande parte de
seu tempo para contribuir com meu crescimento profissional.
Agradeço ao meu orientador, professor Wilson Gorges, pela confiança depositada
no meu trabalho e por compartilhar tanto conhecimento e experiência durante este
período.
Agradeço à minha mãe por ter me dado todo o apoio necessário para que eu
pudesse me dedicar integralmente aos estudos. Não é possível atingir objetivo
algum sozinho, e eu jamais teria conseguido atingir os objetivos que atingi até agora
se não tivesse seu apoio durante este período.

“So close no matter how far,
Couldn’t be much more from the heart,
Forever trusting who we are,
And nothing else matters...”

James Hetfield (Metallica)

RESUMO
Nos últimos anos, o uso de lajes lisas em obras de engenharia vem aumentando de
forma considerável, sobretudo em edificações comerciais. Com base nesta
tendência, o estudo do fenômeno da punção em lajes lisas de concreto armado
torna-se mais importante para que a expansão de seu uso ocorra sem o
comprometimento da segurança das estruturas. A punção, por ser a principal fonte
de manifestações patológicas em lajes lisas e cogumelo, além de possuir um tipo de
ruptura abrupta, deve ser estudada e entendida. A segurança da estrutura, no
entanto, deve ser mantida de forma que o projeto continue viável economicamente.
Alinhar economia e segurança nos projetos de lajes lisas é um dos desafios atuais
da engenharia civil. O presente estudo visa, atendendo às prescrições das normas
brasileiras que tratam de projetos de lajes lisas, realizar uma série de
dimensionamentos a partir de um projeto arquitetônico de um pavimento tipo de um
edifício comercial. Cria-se um pré-projeto estrutural contendo uma laje lisa e, a partir
deste, são realizadas alterações na seção transversal dos pilares e na espessura da
laje, gerando novos pré-projetos estruturais. Para cada novo pré-projeto, resultantes
dessas alterações, são calculadas as armaduras de flexão negativa na região dos
pilares, armadura de punção e armadura de combate ao colapso progressivo. Do
ponto de vista de quantitativos, busca-se avaliar a interferência das alterações de
volume de concreto na quantidade de aço necessária para que a laje esteja
protegida aos esforços solicitantes. Do ponto de vista da segurança, espera-se que
o atendimento das prescrições das normas tornem os resultados obtidos praticáveis
em projetos reais de engenharia, para que sejam confiáveis e possam servir de
referência para análises posteriores. O trabalho tem como objetivo, portanto, avaliar
a influência que as alterações nas seções dos pilares e na espessura da laje
exercem sobre o quantitativo de concreto e aço, servindo como base para tomadas
de decisões em projetos reais de engenharia.
Palavras-chave: Tensões. Punção. Lajes lisas.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 -

Panorama de fissuração da laje na ocasião da ruptura ....................... 21

Figura 2 -

Cone de ruptura em uma laje de fundação .......................................... 21

Figura 3 -

Cone de ruptura de uma laje cogumelo. .............................................. 22

Figura 4 -

Modelo de engenharia para punção ..................................................... 23

Figura 5 -

Punção excêntrica – Método tradicional............................................... 25

Figura 6 -

Sistema tridimensional de tensões simplificado ................................... 26

Figura 7 -

Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander – Hipótese de ruptura. ..... 27

Figura 8 -

Contorno dos esforços cortantes em lajes ........................................... 28

Figura 9 -

Diagramas de momento conforme proximidade dos apoios ................ 31

Figura 10 -

Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos
múltiplos ............................................................................................... 32

Figura 11 -

Disposição da armadura de punção ..................................................... 34

Figura 12 -

Superfície de controle .......................................................................... 36

Figura 13 -

Distribuição das tensões de cisalhamento devido ao momento Msd .... 39

Figura 14 -

Efeito de aberturas próximas ao pilar. .................................................. 39

Figura 15 -

Perímetros de controle recomendados pela norma NBR6118:1980 .... 41

Figura 16 -

Perímetro crítico em pilares internos retangulares ............................... 42

Figura 17 -

Perímetro crítico em pilares de borda. ................................................. 42

Figura 18 -

Perímetro crítico em pilares de canto. .................................................. 42

Figura 19 -

Perímetro crítico junto à abertura na laje. ............................................ 43

Figura 20 -

Distância para cálculo das taxas de armadura negativa de flexão ....... 46

Figura 21 -

Representação de Asw e Sr. ................................................................. 48

Figura 22 -

Disposição da armadura de punção em corte. ..................................... 49

Figura 23 -

Projeto arquitetônico – Pavimento tipo de uma edificação
comercial .............................................................................................. 50

Figura 24 -

Pré-projeto estrutural gerado ............................................................... 52

Figura 25 -

Modelo tridimensional desenvolvido no software SAP 2000 ................ 54

Figura 26 -

Parâmetros do concreto armado. ......................................................... 55

Figura 27 -

Definição da combinação de carregamentos criada. ........................... 56

Figura 28 -

Esforços resultantes de momento fletor na direção x (Unidade:
kN.m/m)................................................................................................ 57

Figura 29 -

Reação de apoio do pilar P8. Subtraindo-se o peso do pilar destes
valores, obtém-se FSD (Unidade: kN) ................................................... 58

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 -

Valores de K ......................................................................................... 38

Tabela 2 -

Dimensões mínimas de projeto ............................................................ 51

Tabela 3 -

Planilha modelo para cálculo de armadura de flexão ........................... 59

Tabela 4 -

Planilha modelo para cálculo de armadura de punção e colapso
progressivo ........................................................................................... 59

Tabela 5 -

Lajes calculadas ................................................................................... 60

Tabela 6 -

Valores de dX, dY e d para cada laje calculada .................................... 63

Tabela 7 -

Quantitativos ........................................................................................ 64

Tabela 8 -

Comparativo de resultados em relação à Laje 1 .................................. 66

Tabela 9 -

Redução do peso total de aço conforme alteração nos pilares. ........... 68

Tabela 10 - Valores de R para as alterações nas seções dos pilares. .................... 69
Tabela 11 - Percentual de aço economizado com as alterações realizadas. .......... 70
Tabela 12 - Redução do peso total de aço conforme alterações nas
espessuras das lajes. ........................................................................... 70
Tabela 13 - Valores de R para as alterações das espessuras das lajes. ................ 71
Tabela 14 - Percentual de aço economizado com as alterações realizadas. .......... 72
Tabela 15 - Relação entre a quantidade de armadura de punção e flexão ............. 73
Tabela 16 - Dimensionamento à flexão – Laje 1 ..................................................... 79
Tabela 25 - Dimensionamento à flexão – Laje 10 ................................................... 88

Tabela 37 - Dimensionamento à flexão – Laje 22 ................................................. 100
Tabela 41 - Dimensionamento à punção – Laje 1 ................................................. 104
Tabela 50 - Dimensionamento à punção – Laje 10 ............................................... 113

LISTA DE SÍMBOLOS


–

Diâmetro de uma barra de aço



–

Taxa de armadura de flexão

f

–

Coeficiente de majoração das forças

RD1

–

Resistência da diagonal de tração do contorno crítico calculado sem
armadura de punção

RD2

–

Resistência da diagonal de compressão do contorno crítico calculado;

RD3

–

Resistência da diagonal de tração do contorno crítico calculado com
armadura de punção

sd

–

Tensão nominal de cisalhamento atuante no contorno crítico calculado

V

–

Coeficiente de minoração da resistência característica à compressão do
concreto

AS

–

Área da armadura de flexão

Asw

–

Área das barras da armadura de punção

C

–

Contorno crítico correspondente ao perímetro do pilar

C’

–

Contorno crítico distante 2d do pilar

C’’

–

Contorno crítico distante 2d do contorno C’

c1

–

Dimensão do pilar paralela à excentricidade responsável por transmitir
momento da laje ao pilar

c2

–

Dimensão do pilar perpendicular à excentricidade responsável por
transmitir momento da laje ao pilar

d

–

Altura útil da laje

fbd

–

Resistência de aderência de cálculo entre aço e concreto

fck

–

Resistência característica do concreto

FSD

–

Força de cálculo de reação do pilar, para cálculo da tensão nominal de
cisalhamento no contorno crítico calculado

fyd

–

Resistência de cálculo à tração da armadura de flexão

fyk

–

Resistência característica à tração do aço

fywd

–

Resistência de cálculo da armadura de punção

h

–

Espessura das lajes calculadas

H

–

Pé direito

K

–

Coeficiente que fornece a tensão nominal de cisalhamento em virtude do
momento transferido da laje ao pilar

L

–

Vão livre entre dois apoios

lb

–

Comprimento básico de ancoragem

LPilar

–

Dimensão dos pilares quadrados das lajes calculadas

MSD

–

Momento transmitido da laje ao pilar

R

–

Coeficiente que relaciona o peso de aço economizado a cada metro
cúbico de concreto gasto

Sr

–

Espaçamento radial entre as linhas de armadura de punção

u

–

Comprimento do contorno crítico calculado

u*

-

Comprimento reduzido do contorno crítico calculado

WP

–

Módulo de resistência plástica

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 14
1.1 JUSTIFICATIVA .................................................................................................. 14
1.2 OBJETIVO........................................................................................................... 14
2 REFERENCIAL TEÓRICO..................................................................................... 16
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .............................................................................. 16
2.1.1 Requisitos das lajes lisas .............................................................................. 17
2.1.2 Participação no contraventamento ............................................................... 18
2.2 PUNÇÃO ............................................................................................................. 19
2.2.1 Modo de ruptura ............................................................................................. 20
2.2.2 Outros Estudos realizados ............................................................................ 24
2.2.2.1 Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander ................................................... 26
2.2.2.2 Influência da retangularidade dos pilares ...................................................... 27
2.2.2.3 Influência do momento .................................................................................. 28
2.2.2.4 Pilares de borda e de canto ........................................................................... 29
2.2.2.5 Contribuição da armadura de flexão.............................................................. 29
2.2.3 Métodos de cálculo dos esforços ................................................................. 30
2.2.4 Armadura de combate à punção ................................................................... 32
2.3 ASPECTOS ABORDADOS PELAS PRINCIPAIS NORMAS............................... 34
2.3.1 Superfície de controle .................................................................................... 36
2.3.2 Efeito dos momentos ..................................................................................... 37
2.3.3 Outros parâmetros ......................................................................................... 39
2.4 DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO SEGUNDO A NBR 6118:2003 .................... 40
2.4.1 Superfícies de controle .................................................................................. 41
2.4.2 Tensões solicitantes ...................................................................................... 43
2.4.3 Tensões resistentes ....................................................................................... 45
2.4.4 Requisitos da armadura de punção .............................................................. 48
2.4.5 Outras verificações ........................................................................................ 49
3 METODOLOGIA .................................................................................................... 50
3.1 ELABORAÇÃO DO PRÉ-PROJETO ESTRUTURAL .......................................... 50
3.2 MODELO ESTRUTURAL .................................................................................... 53
3.3 CÁLCULO DOS ESFORÇOS .............................................................................. 56
3.4 DIMENSIONAMENTO ......................................................................................... 58

3.5 LAJES CALCULADAS ........................................................................................ 59
3.6 DETALHAMENTO ............................................................................................... 60
3.7 ANÁLISES REALIZADAS.................................................................................... 61
4 RESULTADOS OBTIDOS ..................................................................................... 63
5 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................. 65
5.1 ANÁLISE COMPARATIVA COM A LAJE 1 ......................................................... 65
5.2 AVALIAÇÃO DAS ALTERAÇÕES DAS SEÇÕES DOS PILARES ...................... 68
5.3 AVALIAÇÃO DAS ALTERAÇÕES DAS ESPESSURAS DAS LAJES ................. 70
5.4 INFLUÊNCIA DO DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO NO QUANTITATIVO ....... 72
6 CONCLUSÕES ...................................................................................................... 74
6.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................................................. 75
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 77
APÊNDICE A - RESULTADOS DOS DIMENSIONAMENTOS À FLEXÃO ............. 79
APÊNDICE B - RESULTADOS DOS DIMENSIONAMENTOS À PUNÇÃO........... 104

14

1 INTRODUÇÃO

1.1 JUSTIFICATIVA

O corrente aumento do uso de lajes lisas em edificações, atingindo, inclusive,
o Brasil, torna imprescindível o estudo e o desenvolvimento de estudos envolvendo
o fenômeno da punção, bem como o desenvolvimento de métodos para um correto
dimensionamento da armadura transversal, destinada a combater esse tipo de
rompimento. Diversos campos precisam ser explorados, desde o comportamento do
concreto quando sujeito às forças que provocam punção, como a elaboração de
prescrições, por parte das normas, que possibilitem o uso de uma quantidade
segura e econômica de armadura, além de seu correto posicionamento, para
possibilitar que os efeitos previstos sejam efetivamente cumpridos.
Sob o ponto de vista econômico, deve ser feita uma busca por otimizações
dos projetos de lajes lisas, buscando relações ideais entre a quantidade de concreto
e a de aço utilizada. Essas otimizações só podem ser encontradas por meio de
estudos que envolvam a definição de uma adequada quantidade dos materiais
financeiramente mais dispendiosos em um projeto de concreto armado, onde incluise o concreto e o aço. A busca pelo menor custo deve ser realizada sem abrir mão
da segurança, a qual deve ser garantida com o cumprimento de todas as
prescrições da norma brasileira, que, para isso, deve estar em constante
aprimoramento e garantindo, em suas prescrições, a melhoria de fatores como
conforto, segurança e uma adequada usabilidade da estrutura. Possibilitar que,
mesmo após toda a otimização, a estrutura não comprometa a construção no ponto
de vista arquitetônico deve ser outro aspecto levado em conta durante o
desenvolvimento de um projeto estrutural com lajes apoiadas diretamente sobre
pilares.

1.2 OBJETIVO

Reconhecendo a necessidade de um maior aprofundamento no conhecimento
sobre lajes lisas, devido ao seu crescente uso, o presente trabalho tem como
objetivo levantar possibilidades de pré-projeto estrutural partindo de um projeto
arquitetônico de um pavimento tipo com laje apoiada diretamente sobre pilares. O

15

estudo consiste em definir, para esse pavimento, diversas relações entre volume de
concreto e aço, analisando a influência da variação do volume total de concreto, que
se dará pela variação da seção transversal dos pilares ou pela variação da
espessura da laje, no total de aço utilizado. Os projetos gerados por tais variações
não devem comprometer a segurança da estrutura, ou seja, devem atender as
prescrições da ABNT NBR 6118:2003, além de possibilitar que a mesma permaneça
favorável no ponto de vista arquitetônico.
Os seguintes parâmetros serão analisados: volume de concreto, armadura de
punção, armadura de combate ao colapso progressivo e armadura de flexão
negativa na região do pilar. Será analisada a interferência que a variação da
quantidade de concreto possui na quantidade de aço necessária. Espera-se garantir
que a segurança não seja comprometida ao seguirem-se as prescrições da ABNT
NBR 6118:2003. Após serem realizados os dimensionamentos, com diferentes
seções de pilares e espessuras de lajes, os resultados serão analisados de acordo
com uma relação a qual, para este trabalho, será denominada “R”, que analisará o
peso de aço reduzido por metro cúbico de concreto acrescido.
As principais finalidades deste trabalho são apresentar os resultados obtidos,
analisar os efeitos das alterações realizadas mediante o fator “R” e servir de
consulta para projetistas que busquem quais alterações no pré-projeto estrutural são
interessantes para encontrar

a

relação aço/concreto mais econômica no

desenvolvimento de seus projetos. Estima-se que a variação da seção do pilar e da
espessura da laje produzirão impactos dignos de atenção na quantidade total de aço
necessária para manter a segurança estrutural da edificação e, com a análise destes
impactos, haver subsídios para que decisões que conciliem adequadas condições
de segurança e economia possam ser tomadas.

16

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

De acordo com a bibliografia, as principais vantagens das lajes lisas são:


As lajes lisas possibilitam economia de fôrmas, em virtude dos menores
detalhes decorrentes da ausência de vigas. A facilidade de montagem das
fôrmas facilita sua execução;



A execução das armaduras também é facilitada;



A presença de vigas, de acordo com Cunha e Souza (1994), diminui a
circulação de ar e a entrada de luz, as lajes lisas, portanto, possibilitam
maior ventilação e iluminação do ambiente;



O pé direito da laje é diminuído em virtude da ausência de vigas, e essa
redução é permitida sem dificultar a passagem de dutos de instalação
pela face inferior da laje;



Em virtude da diminuição do pé direito dos pavimentos, as lajes lisas
permitem a diminuição da altura total de uma edificação ou, no caso da
manutenção de sua altura, a inserção de um número maior de
pavimentos;



No caso de diminuição da altura do edifício, a área de exposição ao vento
é menor, diminuindo os esforços horizontais na edificação;



Outros

aspectos

a

serem

mencionados

são

a

facilidade

para

posicionamento das divisórias que é possibilitado, diminuição dos
revestimentos e a possibilidade do uso de telas soldadas para armadura
de flexão, permitindo um detalhamento mais simples.
Sobre os aspectos executivos, Dias e Rios (2010) comentam que o sistema
tradicional (laje-viga-pilar) apresenta dificuldades de acesso ao vibrador e, neste
aspecto, o sistema com lajes lisas ou cogumelo apresenta dificuldades menores.
Cunha e Souza (1994) complementam que as simplificações na execução de fôrmas
e armaduras proporcionadas pelas lajes lisas permitem menores prazos de
execução, diminuindo, consequentemente, os custos financeiros.
Em relação à capacidade de carga, as lajes lisas podem vencer vãos
relativamente grandes e suportar grandes carregamentos, além de serem mais

17

econômicas que a solução tradicional quando há cargas de grande intensidade
(CUNHA; SOUZA, 1994).
A principal desvantagem das lajes lisas é a possibilidade da punção – uma
ruptura decorrente de grandes tensões de cisalhamento desenvolvidas na laje, ao
redor do pilar. Este fator, pela sua complexidade, é considerado por Ferreira e
Oliveira (2007) o propulsor de grandes controvérsias entre os critérios de projeto.
Para Dias e Rios (2010), as lajes lisas e cogumelo nem sempre são vantajosas
devido ao fato de a carga necessária para rompimento por punção ser menor que a
carga necessária para rompimento por flexão. Ngo (2010) comenta que o número de
acidentes envolvendo este tipo de laje é motivo de preocupação entre os
engenheiros, o uso do High Strength Concrete é uma possibilidade de obter
estruturas mais seguras futuramente, capazes de suportar cargas maiores, mas,
para que seu uso seja disseminado, faz-se necessário um número maior de estudos
sobre o assunto. Outra desvantagem das lajes lisas, comentada por Cunha e Souza
(1994), é que para edifícios muito altos, sujeitos a fortes solicitações de ventos, o
desempenho de uma estrutura constituída pelo sistema tradicional – laje-viga-pilar –
é mais eficiente do que uma estrutura com um sistema laje-pilar.

2.1.1 Requisitos das lajes lisas

Devido à possibilidade de redistribuição de momentos em combinação com
tensões de membrana, as lajes apoiadas diretamente sobre pilares, como as lajes
lisas, possuem uma grande reserva de capacidade à flexão. A capacidade resistente
das lajes apoiadas diretamente sobre pilares é ditada pela resistência ao
cisalhamento, e não pela flexão, e, segundo Cunha e Souza (1994, p.226) “a ligação
laje-pilar é geralmente o ponto crítico nas lajes cogumelo, podendo ocorrer ruptura
por punção”.
Em relação aos apoios, Cunha e Souza (1994) comentam que os apoios
diretos sobre pilares não são uma solução adequada para extremidades de lajes,
Fusco (1995 apud ARAÚJO, 2010) recomenda que vigas sejam projetadas para
serem utilizadas como apoio nesta região, pois garantem maior segurança neste
local crítico. As extremidades das lajes necessitam suportar a alvenaria de fachada
do edifício e, dependendo das dimensões da viga, a punção nos pilares de borda e
de canto pode ser evitada, visto que são regiões críticas para o efeito da punção

18

(ARAÚJO, 2010). Caso não haja a possibilidade de uso de apoios contínuos para as
extremidades da laje, Cunha e Souza (1994) recomendam que elas fiquem livres,
posicionando-se os pilares próximos às bordas, mas com um afastamento.
Quanto às espessuras, a NBR 6118:2003 exige uma espessura mínima de 16
cm para lajes maciças lisas. Polillo (1976) comenta que há a recomendação de
alguns autores de utilizar espessura equivalente a L/36, sendo L o vão entre dois
apoios, enquanto Araújo (2010) recomenda um valor de L/30 para espessura da laje,
desde que essa relação resulte maior que 16 cm.
A dimensão dos pilares deve ser obtida fazendo-se a relação H / 15 e L / 20
(onde H é o pé-direito da edificação), adotando-se o maior valor. Para a outra
dimensão do pilar, adota-se o mesmo procedimento, utilizando-se, para o valor de L,
o vão na direção paralela à dimensão calculada. Os comprimentos de vãos nas duas
direções devem ser medidos pela distância de eixo a eixo dos pilares (ARAÚJO,
2010).
As vantagens das lajes lisas não podem ser aproveitadas por qualquer tipo de
estrutura. Em estruturas residenciais, há grande variabilidade da disposição dos
pilares, não há regularidade, o que pode torná-las antieconômicas, além de possuir
um comportamento estrutural desfavorável. Aliado a isso, as lajes lisas possuem
grande deformabilidade, fator que pode causar trincas e rachaduras em alvenarias,
que são fortemente presentes em edificações residenciais (CUNHA; SOUZA, 1994).
Cunha e Souza (1994) comentam que as lajes apoiadas diretamente sobre
pilares em concreto armado podem ser consideradas competitivas economicamente
para vãos de cerca de 7 a 8 metros. Para vãos maiores, “possivelmente uma
solução com laje cogumelo protendida, laje nervurada ou em grelha poderá ser mais
indicada” (p.229).

2.1.2 Participação no contraventamento

Em

estruturas

onde

não

são

projetadas

paredes

para

garantir

o

contraventamento, os pórticos formados pelos pilares e lajes lisas devem ser
responsáveis pela resistência às ações horizontais, ou seja, responsáveis pelo
contraventamento da estrutura. Portanto, devem ser considerados na laje, além dos
esforços verticais, os esforços horizontais (CUNHA; SOUZA, 1994).

19

Embora, em estruturas com sistema laje-pilar, esses elementos possam
auxiliar no contraventamento, a ausência de viga torna as lajes muito deformáveis
frente às ações horizontais, e se isso torna um problema maior para edifícios altos.
Além disso, o método de cálculo de esforços na laje, quando ela deve auxiliar no
contraventamento da estrutura, utiliza pórticos equivalentes com baixa rigidez e de
difícil detalhamento para a ligação laje-pilar. Em estruturas com lajes lisas,
preferencialmente, o contraventamento deve ser garantido por elementos como
paredes estruturais ou pilares-parede nas caixas dos elevadores a fim de garantir a
estabilidade horizontal da edificação e tornar as lajes responsáveis por receber
apenas esforços verticais (ARAÚJO, 2010).

2.2 PUNÇÃO

Punção é a denominação dada à ruptura transversal decorrente de esforços
de cisalhamento na laje. A punção é a condição dimensionante de lajes apoiadas
diretamente sobre pilares (CUNHA; SOUZA, 1994), é um estado limite último,
atingido quando a laje é submetida à carga de punção, Araújo (2010) define punção
como “o estado limite último por cisalhamento no entorno de forças concentradas
(cargas ou reações)” (p.225). Qualquer laje que receba carregamentos localizados
fica sujeita à punção. A ruptura por punção caracteriza-se por ser frágil, tipo de
ruptura decorrente de o material não passar por um estágio de plastificação antes de
romper, ou seja, não possui nenhum “aviso prévio” de rompimento.
Embora o termo “punção” seja utilizado amplamente em lajes de concreto
armado, Cordovil (1997, p.17) define que a punção, entendida como uma ruptura por
deslizamento, não existe em materiais granulares como o concreto, em virtude de
sua resistência ao cisalhamento ser maior que a resistência à tração. O aço, por se
tratar de um material dúctil e homogêneo, ao sofrer punção, forma um “tronco de
cone semelhante à cabeça de um rebite”, e este modo de ruptura é possibilitado
pelo fato de o aço possuir uma resistência à tração superior ao cisalhamento. O
concreto, por sua vez, é definido como uma rocha artificial formada pelos agregados
envoltos e rigidamente ligados por uma massa de cimento endurecida, por ser um
material heterogêneo. Esse “tronco de cone” não se forma com tanta nitidez, e a
ruptura se estende por grandes distâncias a partir da periferia do pilar, na ordem de
duas vezes a espessura da laje. Além dos aspectos mencionados sobre a

20

heterogeneidade do concreto, o uso do concreto armado, que adiciona as barras de
aço ao material, aumenta significativamente sua heterogeneidade, agravando a
dificuldade de prever seu comportamento. Tendo-se conhecimento dessa dificuldade
de compreensão do comportamento do concreto, a solução para a construção de
hipóteses

teóricas aceitáveis

é

a

realização

de

pesquisas

experimentais

(CORDOVIL, 1997).
Entre os elementos que possibilitam maior resistência da laje ao
puncionamento, Theodorakopoulos e Swamy (2002) mencionam a relação lado
maior / lado menor do pilar, seu formato geométrico e a altura efetiva da laje como
fatores relevantes. Para Park et al. (2011), a resistência à tração do concreto
(calculada com base em sua resistência à compressão), a taxa da armadura de
flexão, as dimensões da seção do pilar, a altura efetiva da laje e a altura da zona de
compressão, que é desenvolvida com a atuação do sistema tridimensional de
tensões decorrentes dos carregamentos, são os principais influenciadores da
resistência da laje à punção.
Quanto ao período de ocorrência da punção, Coelho (1999 apud DIAS;RIOS,
2010) comenta sobre a possibilidade de ocorrência do puncionamento durante a
fase de execução da estrutura:
Cargas excessivas aplicadas durante a concretagem, retirada precipitada do
escoramento, mau posicionamento da armadura negativa ou da localização
de aberturas na laje, utilização de materiais de baixa qualidade ou erro de
projeto são algumas das causas que podem resultar numa ruptura por
puncionamento e eventualmente levar a um colapso generalizado da
estrutura, por colapso progressivo (DIAS; RIOS, 2010, p.2).

2.2.1 Modo de ruptura

De acordo com ensaios realizados, ao receber o carregamento, a laje
apresenta, em virtude da atuação de momentos radiais e tangenciais, deformações
circunferenciais (também chamadas de deformações tangenciais) inicialmente
maiores que as deformações radiais, o que ocasiona a aparição de fissuras radiais,
inicialmente em sua superfície, provocadas por tensões tangenciais – as fissuras
partem do pilar para as bordas da laje. Uma fissura quase circular (provocadas por
tensões radiais), que limita o contorno do topo do cone ao redor do pilar, ocorre na
superfície somente na ocasião da ruptura, ou seja, com elevados estágios de carga,

21

criando conexões entre as fissuras radiais e delimitando o perímetro crítico – este
círculo imperfeito é mostrado na Figura 1, junto às fissuras radiais desenvolvidas
previamente. Quanto à intensidade dos momentos desenvolvidos antes da ruptura,
Leonhardt e Mönnig (1978) comentam que, em lajes de fundação submetidas a
carregamentos de pilares (Figura 2), como as forças de compressão se distribuem
nos bordos do pilar, os momentos tangenciais são maiores que em outros tipos de
lajes, enquanto os momentos radiais são menores.
Figura 1 -

Panorama de fissuração da laje na ocasião da ruptura

Fonte: Cordovil, 1997, p.38

Figura 2 -

Cone de ruptura em uma laje de fundação

Fonte: Leonhardt e Mönnig, 1977, p.80

Durante este processo, em que o pilar punciona a laje, são desenvolvidas, ao
longo da profundidade da laje, fissuras inclinadas. A distância horizontal da fissura
circular superficial indica até onde as fissuras inclinadas se estendem. Essas
fissuras, que partem da face inferior da laje em contato com o pilar, possuem ângulo
de, aproximadamente, 30º em relação ao plano da laje, e esse ângulo, de acordo
com Theodorakopoulos e Swamy (2002), pode variar para lajes puncionadas
executadas com High Strength Concrete (HSC). Leonhardt e Mönnig (1977)
mencionam que, para lajes de fundação que recebem carregamentos de pilares, tal

22

ângulo normalmente fica próximo de 45º (Figura 2). Theodorakopoulos e Swamy
(2002) comentam que essas fissuras são irregulares e, para cada caso, podem
assumir formas diferentes. Após o rompimento, no qual ocorre um descolamento da
laje e do pilar, o sólido que continua ligado ao pilar possui um aspecto físico
semelhante a um cone (delimitado pelas fissuras circulares no plano da laje e pelas
fissuras inclinadas ao longo de sua espessura), o qual possui irregularidade
acentuada (Figura 3). Sua superfície é definida como a superfície de ruptura, ou
perímetro crítico.
Figura 3 -

Cone de ruptura de uma laje cogumelo.

Fonte: Leonhardt e Mönnig, 1977, p.80

A distância da fissura circular até a face do pilar, quando não há armadura de
cisalhamento, varia entre 2d e 3d (sendo “d” a altura útil da laje). Com armadura de
cisalhamento, essa fissura pode ocorrer em três posições: na zona entre o pilar e a
primeira camada de armadura de cisalhamento (ruptura do concreto adjacente ao
pilar), na zona com armadura de cisalhamento (rompimento do concreto e da
armadura transversal) e na zona situada além da armadura de cisalhamento (ruptura
do concreto). O local ideal de ruptura é a zona que possui armadura de
cisalhamento, pois a armadura entraria em escoamento plástico e essa ruptura seria
dúctil (CORDOVIL, 1997). O rompimento por punção se dá no momento em que as
tensões

de

cisalhamento

atingem

a

resistência

à

tração

do

concreto

(THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002). De acordo com Carvalho (2008), os
ensaios diversos reunidos por meio de uma extensa pesquisa bibliográfica mostram
que a ruína de punção está sempre relacionada ao rompimento da diagonal

23

tracionada, não tendo sido registrados casos de rompimento por esmagamento do
concreto.
Com

a

realização

de

ensaios

aplicando-se,

progressivamente,

um

carregamento vertical concentrado em uma laje (Figura 4), observam-se os
seguintes fenômenos: desenvolvimento de uma zona de compressão (acima das
fissuras inclinadas), desenvolvimento de fissuras de flexão, formação de fissuras
circulares nas regiões periféricas ao pilar e formação de fissuras inclinadas, iniciadas
a meia altura da laje, que se desenvolvem até a zona de compressão (encontro da
face superior da laje com o pilar) e até a região das fissuras circulares (superfície
inferior da laje). No entanto, a propagação dessas fissuras inclinadas é impedida,
antes do rompimento, por dois mecanismos: no primeiro, a zona de compressão
próxima à face do pilar (próximo ao Ponto A), que é mais rígida neste trecho, impede
a propagação da fissura. O segundo mecanismo ocorre na região inferior da laje, e a
armadura de flexão impede esta propagação das fissuras. No último estágio, o
rompimento ocorre por descolamento do concreto ao longo das linhas AA’ e/ou BB’
na maioria dos experimentos realizados. Não há registros de rompimento por
esmagamento, o que caracteriza a punção, essencialmente, como um rompimento
por

tensões

de

tração

no

concreto,

decorrentes

do

cisalhamento

(THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002).
Figura 4 -

Modelo de engenharia para punção

Fonte: Theodorakopoulos e Swamy, 2002, p.511

Qualquer laje, por possuir uma grande relação entre extensão e altura, possui
grande dependência das deformações decorrentes da flexão, em conexões laje-pilar
– essas deformações de flexão ocorrem antes da punção. Após o desenvolvimento

24

das fissuras de flexão, a força cortante é resistida apenas pela zona de compressão;
o concreto da zona de compressão não é danificado pelas fissuras de flexão (PARK
et al., 2010; THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002).

2.2.2 Outros Estudos realizados

Por ser a principal fonte de manifestações patológicas em lajes lisas e
cogumelo, é importante entender o fenômeno da punção. Aliado a isso, sua forma
de ruptura, abrupta, torna seu estudo mais importante. Muitos estudos têm sido
realizados neste nível, e métodos de combate à punção têm sido desenvolvidos em
cima desses estudos. Todavia, os estudos realizados sobre o tema são dispersos e,
mesmo com a crescente utilização de lajes apoiadas diretamente sobre pilares, não
há um texto que aborde de forma didática ou prática este tipo de ligação, e sim uma
série de trabalhos realizados com base em pesquisas, sendo que cada um enfoca
um aspecto particular do problema. Além disso, embora haja um número razoável de
pesquisas realizadas no Brasil e no exterior, é necessário um número maior para
que se tenha um quadro de resolução do problema (CORDOVIL, 1997). Cunha e
Souza (1994) comentam que, apesar de haver vários estudos e procedimentos para
prevenção da punção, foram registrados muitos casos de rompimentos de lajes por
esse fenômeno.
Os ensaios de punção costumam apresentar fissuras radiais antes da ruptura.
Fissuras circulares, não perfeitamente definidas, ocorrem na ocasião da ruptura da
laje. Os ensaios de punção centrada são os ensaios realizados sem excentricidade
de carga, ou seja, apenas com carregamentos verticais, situação ilustrada na Figura
5 (CORDOVIL, 1997).

25

Figura 5 -

Punção excêntrica – Método tradicional


Outro aspecto que tem sido fonte de muitos estudos é o estudo da punção em
lajes executadas com o uso de concreto tipo High Strength Concrete (HSC), que são
concretos com resistência acima de 50 MPa. Park et al. (2010) comentam, no
entanto, que o aumento da resistência à compressão do concreto, que aumenta sua
resistência à tração, diminui a altura da zona de compressão da laje durante o
carregamento (quanto menor a altura da zona de compressão, menor a resistência
da laje à punção) e, desta forma, o aumento da resistência do concreto aumenta a
resistência da laje à punção, mas não de forma completamente proporcional.
Em relação ao estado de tensões desenvolvido desde o carregamento da laje
até a ocasião da punção, e qual estado de tensões provoca a punção, há uma
grande dificuldade em estimar este comportamento. Hallgren (1996 apud PARK et
al., 2010) e Ožbolt (1999 apud PARK et al., 2010) comentam que há um complexo
estado de tensões de natureza tridimensional que provocam a ruptura de uma
conexão laje-pilar. As tensões mostradas na figura 6 se desenvolvem na zona de
compressão da seção crítica (seção onde se desenvolvem as fissuras inclinadas),
sendo duas tensões de compressão normais (u1 e u2) e duas tensões de
cisalhamento (vu1 e vu2). A zona de compressão é submetida a uma combinação
dessas tensões normais de compressão e tensões de cisalhamento. No entanto, o
complexo

sistema

tridimensional

pode

ser

simplificado

para

um

sistema

bidimensional, pois o efeito das combinações das tensões normais e de

26

cisalhamento não são significativamente maiores que apenas o efeito da tensão
normal u1 e da tensão de cisalhamento vu1 (PARK et al., 2010).
Figura 6 -

Sistema tridimensional de tensões simplificado

Fonte: Park et al, 2010, p. 1065

2.2.2.1 Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander

Kinnunen e Nylander (1960 apud CORDOVIL, 1997) apresentaram uma
hipótese de equacionamento elaborada com base em um modelo mecânico de uma
laje circular apoiada sobre um pilar com seção circular. Nesse modelo, a ruptura da
laje ocorre a partir do pilar, com o deslocamento de um sólido interno, com formato
cônico. A inclinação do cone em relação ao plano da laje varia entre 25 e 30º, o
sólido descolado possui aspecto físico semelhante a um cogumelo.
No entorno do cone, a laje seria dividida em elementos rígidos iguais,
limitados pela superfície inclinada do cone e por fissuras radiais. Esses elementos
rígidos iriam produzir um trabalho decorrente da rotação em torno do centro de
rotação, denominado CR. As fissuras que limitam a superfície inclinada e as fissuras
radiais seriam formadas antes da ruptura da laje. No instante da ruptura da laje,
seriam formadas fissuras entre o CR e a periferia do pilar. As condições de equilíbrio
entre os esforços internos e externos mostrados na Figura 7 são possibilitadas por
estas

hipóteses

CORDOVIL, 1997).

de

funcionamento

(KINNUNEN;

NYLANDER,

1960

apud

27

Figura 7 -

Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander – Hipótese de ruptura.


Nessas circunstâncias, é possível estabelecer uma teoria próxima da
realidade, aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, supondo a rotação do
elemento. Todavia , a teoria foi desenvolvida com base em uma laje circular apoiada
em um pilar de seção circular, “quando se tenta estender essa teoria para formas
quadradas ou retangulares, não há como definir uma formulação confiável”
(CORDOVIL, 1997, p.37).

2.2.2.2 Influência da retangularidade dos pilares

O índice de retangularidade é dado pela relação entre o maior lado e o menor
do pilar; um pilar com alto índice de retangularidade possui grande relação lado
maior / lado menor. De acordo com Ferreira e Oliveira (2007), há muitos estudos
sobre o comportamento de lajes apoiadas sobre pilares quadrados e/ou circulares,
mas não há muito conhecimento sobre o comportamento de lajes apoiadas em
pilares alongados.
A forma como as tensões se distribuem em volta do pilar varia conforme seu
índice de retangularidade. De acordo com Mouro, Gomes e Guimarães (2010), tanto
a resistência à punção como a resistência à flexão da laje diminuem conforme a
relação lado maior / lado menor aumenta. Em pilares muito retangulares, há uma
polarização das tensões de cisalhamento, ou seja, concentrações maiores de
tensões de cisalhamento em volta dos lados menores dos pilares (Figura 8),
enquanto as outras regiões sofrem tensões menores do que sofreriam se o pilar
fosse menos retangular. O mesmo ocorre com os momentos fletores. Os pilares
retangulares sofrem maiores esforços de momento fletor em regiões específicas.

28

Este comportamento não linear de distribuição de momentos e tensões de
cisalhamento altera a forma de ruptura das lajes apoiadas sobre pilares com alto
índice de retangularidade, que tem sua resistência última à punção reduzida
(FERREIRA; OLIVEIRA, 2007).
Figura 8 -

Contorno dos esforços cortantes em lajes

Fonte: Ferreira e Oliveira, 1997, p.624

Ferreira e Oliveira (2007) comentam que, para pilares com alto índice de
retangularidade, as fissuras radiais desenvolvidas se concentram nas extremidades
dos pilares (em volta dos lados menores), e as fissuras circulares, que conectam as
fissuras radiais, se desenvolvem, também, nesta região, não atingindo a periferia
das regiões intermediárias do pilar. Em experiências realizadas aplicando-se
carregamentos tanto nos bordos paralelos aos maiores lados do pilar quanto nos
bordos paralelos ao menor lado do pilar.
Observou-se que as fissuras radiais, ao nível do menor lado do pilar,
impediram a propagação das fissuras tangenciais para as regiões
intermediárias dos maiores lados, levando a laje ao puncionamento com a
superfície de ruptura percorrendo um perímetro consideravelmente reduzido
(FERREIRA; OLIVEIRA, 2007, p.625).

2.2.2.3 Influência do momento

Quando a laje transmite momento ao pilar, ou seja, quando há excentricidade,
uma parte do momento é transmitida na forma de tensões de cisalhamento, as
tensões de cisalhamento transmitidas por momento são somadas às tensões de
cisalhamento transmitidas pela força normal. De acordo com Cordovil (1997), uma
parte do momento é transmitida por flexão e outra por torção, e a parcela de
momento transmitida por torção ocorre em função de uma distribuição desigual do

29

cisalhamento em volta da área carregada. Cunha e Souza (1994) comentam que,
dependendo da magnitude dos momentos transmitidos ao pilar, sua consideração no
dimensionamento à punção não deve ser ignorada.

2.2.2.4 Pilares de borda e de canto

Para pilares posicionados nas bordas ou cantos da laje, Cordovil (1997)
comenta que a resistência de uma ligação entre esses elementos depende de
fatores semelhantes às ligações entre laje e pilar interno. Embora a rigidez entre o
pilar e a laje possua uma importância maior em ligações com pilares de canto e de
borda, essa maior dependência da rigidez, segundo Leonhardt e Mönnig (1978),
será determinante para definição dos momentos fletores desenvolvidos na laje.
Em pilares de canto e borda, sempre há excentricidade, e os esforços se
concentram, predominantemente, na direção desta excentricidade. Cunha e Souza
(1994) afirmam que os pilares extremos recebem significativas tensões de
cisalhamento decorrentes dos momentos. Para Cordovil (1997) é possível encontrar,
na literatura internacional, considerações teóricas baseadas no modelo mecânico de
Kinnunen e Nylander, que são considerações feitas com base no que foi deduzido
para pilares internos, estendidas aos pilares de borda.

2.2.2.5 Contribuição da armadura de flexão

A armadura de flexão possui importante contribuição para a resistência de
lajes sujeitas à punção (DIAS; RIOS, 2010). Theodorakopoulos e Swamy (2002)
comentam que a armadura de flexão auxilia na resistência à punção quando a
estrutura está próxima ao colapso, além de influenciar no modo de ruptura da laje
puncionada. De acordo com Ferreira e Oliveira (2007), em lajes apoiadas sobre
pilares com alto índice de retangulardade, a armadura de flexão contribui
consideravelmente na resistência à punção. Segundo Park et al. (2010) há uma
grande dificuldade para estimar a parcela resistente da armadura de flexão na
resistência à punção, no entanto o aumento da taxa da armadura de flexão aumenta
a altura da zona de compressão da laje, o que aumenta sua resistência à punção.
De acordo com Cunha e Souza (1994), o cálculo da armadura de flexão deve
ser realizado pelos métodos tradicionais de dimensionamento à flexão.

30

2.2.3 Métodos de cálculo dos esforços

Para lajes, em geral, segundo Cunha e Souza (1994), há três tipos de apoios:
1) apoio contínuo sobre uma linha (sobre alvenaria ou parede de concreto);
2) apoio discreto (diretamente sobre pilares) e;
3) apoio de um trecho maior de sua área, em contato com o solo (exemplo:
Radiers).
Para cálculo de esforços de lajes apoiadas sobre pilares, modelos recentes
como a “Analogia de treliça”, “Análise de fratura”, “Análise de elementos finitos” e o
“Modelo de Kinnunen e Nylander modificado” são propostos. Há uma grande
dificuldade em elaborar um modelo simples para o estudo de puncionamento em
lajes devido ao comportamento tridimensional de distribuição dos esforços e das
incertezas existentes sobre a forma de transferência de tensões de cisalhamento
para a laje (THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002). Há a possibilidade do cálculo
de esforços com o uso de tabelas, no entanto Araújo (2010) observa que o uso de
tabelas é voltado para situações muito específicas.
Polillo (1980) menciona, para cálculo de flexão, o método de cálculo baseado
no estudo de Marcus, que demonstra os esforços em um módulo qualquer de uma
laje lisa, entre 4 pilares. A Figura 9 mostra que, quanto mais próximo dos apoios,
mais significantes são os momentos negativos e positivos. De acordo com os valores
obtidos para este módulo, é possível obter valores médios de momentos, que são
valores próximos aos valores obtidos para um cálculo de esforços em uma viga
contínua:
Comparando-se estes valores médios encontrados para o módulo com os
valores dos momentos negativos de vigas contínuas com um número
infinitos de vãos iguais a , sujeitas a um carregamento uniformemente
distribuído, nota-se uma grande semelhança (POLILLO, 1980. p.355).

No entanto, não é possível realizar um dimensionamento à flexão seguro com
base no cálculo de valores médios de esforços e, por isso, propõe-se a divisão dos
diferentes valores de momentos em faixas, algumas mais rígidas, que, por estarem
mais próximas dos apoios, fornecerão valores médios maiores, e outras menos
rígidas, com valores menores. Embora o cálculo dos esforços feito por esta
metodologia, onde se obtêm os esforços na laje a partir do diagrama de momentos

31

de uma viga, possa parecer preciso, pode não ser adequado, sobretudo em
situações nas quais as sobrecargas mais desfavoráveis atuantes na laje são
significativas, e esse tipo de situação possui grande influência nos esforços
desenvolvidos quando se considera a ligação entre o pilar e a laje. Por esta razão,
para o caso mais geral, é necessário calcular os esforços na laje pelo regime
elástico ou rígido plástico. Para lajes que não possuam simetria de forma ou
carregamento em relação ao pilar, a ligação do pilar com a laje deve ser estudada
com especial atenção (POLILLO, 1980). Em casos de sobrecargas significativas,
deve-se analisar criteriosamente o ponto de aplicação desta carga, procurando as
posições mais desfavoráveis, análogo ao que é feito com vigas contínuas. Pilares
com regularidade entre si possibilitam um melhor comportamento estrutural da laje
(ARAÚJO, 2010).
Figura 9 -

Diagramas de momento conforme proximidade dos apoios

Fonte: Polillo, 1980, p.354

A ABNT NBR 6118:2003, em seu item 14.7.8, recomenda que a análise
estrutural de lajes lisas e cogumelo seja realizada pelo emprego de procedimento
numérico adequado, tais como diferenças finitas, elementos finitos e elementos de
contorno. Em situações em que os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais,
de maneira regular e com vãos pouco diferentes, o cálculo dos esforços pode ser
realizado pelo processo elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em
adotar, para cada direção, pórticos múltiplos para obtenção dos esforços
solicitantes. Após o cálculo dos momentos fletores nas faixas adotadas, esses
momentos devem ser redistribuídos. A distribuição dos momentos, obtida em cada
direção, segundo as faixas indicadas na Figura 10, deve ser feita da seguinte
maneira:

32



45% dos momentos positivos para as duas faixas internas;



27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas;



25% dos momentos negativos para as duas faixas internas;



37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas internas.

A ligação entre laje e pilar deve ser estudada cuidadosamente, sobretudo em
situações nas quais não haja simetria de forma ou carregamento.
Figura 10 - Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos

Fonte: ABNT NBR 6118, 2003, p. 68

A verificação da variabilidade dos vãos pode ser feita pelo seguinte
procedimento: Verifica-se a diferença entre o maior e o menor entre todos os vãos —
essa diferença não pode ser maior que 30% para que este método sugerido pela
norma brasileira possa ser utilizado. Em lajes onde não há uniformidade dos vãos, é
indicado que o cálculo dos esforços seja realizado pelo método dos elementos finitos
(ARAÚJO, 2010).
Quanto à verificação da flecha, apesar da grande resistência à flexão que
lajes apoiadas diretamente sobre pilares costumam apresentar, é comum ocorrerem
grandes flechas, mormente em lajes muito esbeltas, onde as altas deflexões podem
ocasionar fissuração nas alvenarias (THOMÁZ, 1988 apud CUNHA; SOUZA, 1994).

2.2.4 Armadura de combate à punção

A armadura de punção é colocada transversalmente na região sujeita ao
puncionamento e pode ser constituída por estribos, barras dobradas, pinos ou perfis
laminados. A colocação de armaduras em posições inclinadas, de acordo com
Cordovil (1997), não oferece nenhuma vantagem ao dimensionamento ou à
execução da laje, sendo, portanto, a adoção de barras verticais, a melhor prática.

33

Estribos não são indicados para lajes de pouca espessura porque possuem,
segundo Cunha e Souza (1994), eficiência duvidosa, e a dificuldade de obter uma
barra perfeitamente reta prejudica sua eficiência. Contudo, para lajes mais
espessas, esse tipo de armadura pode apresentar bom comportamento, a exemplo
do que ocorre em vigas.
Para Cordovil (1997), a armadura de maior eficácia é o tipo pino com chapa
de ancoragem nas extremidades, e ela é composta por uma haste reta (o pino que
irá resistir à punção) com uma extremidade soldada em uma chapa de aço
horizontal que realiza a ancoragem da armadura transversal com a armadura de
flexão. Na parte inferior da haste, a ancoragem, por meio de outra chapa horizontal,
ocorre na região comprimida da laje. De acordo com Araújo (2010), as chapas
horizontais conectadas aos pinos garantem boa ancoragem, elemento fundamental
para a resistência à punção, afirmação comprovada por experiências realizadas.
Conforme Cunha e Souza (1994) declaram que, em alguns países, a proteção à
punção é realizada com o uso de perfis metálicos.
Fusco (1985), apud Cordovil (1997), publicou, na Universidade de São Paulo,
um boletim técnico que descreve experimentações realizadas com a armadura de
cisalhamento tipo pino com chapa de ancoragem, e confirmou-se o que estudos
anteriores já haviam apontado: Este tipo de armadura aumenta a resistência das
lajes com grande eficiência, inclusive lajes delgadas. A forma perfeitamente reta da
haste é o fator que permite a eficiência desse tipo de armadura.
A armadura de punção tem como objetivo primário o aumento de resistência
da laje submetida a carregamentos verticais concentrados em pequena área.
Cordovil (1997) comenta que, apesar do objetivo primário da armadura transversal
ser relacionado ao aumento de resistência da laje, ela também colabora para
diminuir a fragilidade da ruptura da laje, tornando-a mais dúctil, aspecto que
colabora para a segurança global da estrutura.
Em pilares de borda e de canto, onde o perímetro crítico normalmente é
reduzido, costuma-se utilizar armadura na região não abrangida pelo perímetro
crítico, que não deve ser contabilizada como parcela da armadura calculada, pois os
cálculos são válidos para contornos paralelos ao perímetro crítico. Araújo (2010)
salienta que tal armadura, embora adicional, é obrigatória (Figura 11).

34

2d

2d

s

s

c

0,5c  1,5d

Figura 11 - Disposição da armadura de punção

s

un,ef

2d

s

2d

Armadura exigida pelo cálculo
Armadura adicional

2d

s

c

0,5c  1,5d

un,ef

un,ef
Fonte: Adaptado de Araújo, 2010, p.233

Os perímetros externos às regiões armadas devem possuir tensões
resistentes do concreto maiores que as tensões solicitantes. Em situações nas quais
não se deseja utilizar armadura de combate à punção, o aumento de resistência da
laje pode ser obtido com aumento das dimensões do pilar, aumento da espessura da
laje ou aumento da resistência do concreto (CUNHA; SOUZA, 1994).

2.3 ASPECTOS ABORDADOS PELAS PRINCIPAIS NORMAS

De acordo com Cunha e Souza (1994), as principais normas mundiais
começaram a dar atenção à punção somente a partir dos anos 70. Araújo (2010)
afirma que a análise de punção é diferente da análise realizada para o estado limite
último de força cortante e, por esta razão, necessita de critérios específicos. Os
critérios utilizados atualmente em projetos foram estabelecidos com base em
pesquisas experimentais realizadas em instituições localizadas em países da
Europa, nos Estados Unidos e no Canadá; já para o desenvolvimento da norma

35

brasileira, algumas experiências realizadas na Universidade de São Paulo foram
levadas em conta (CORDOVIL, 1997).
As formulações das principais normas internacionais no dimensionamento à
punção, como o código ACI 318 e EUROCODE 2, além da norma brasileira, ABNT
NBR 6118:2003, são, de forma geral, seguras, embora as normas americana e
europeia apresentem resultados mais seguros que a norma brasileira. No entanto,
as três normas possuem prescrições que conduzem a resultados antieconômicos,
além de as prescrições para concreto protendido, especificamente, serem
excessivamente conservadoras e geradoras de grandes desperdícios de material.
No que se refere ao modo de ruptura, no entanto, as normas são precisas em
estimar que a ruptura à punção deve ocorrer na diagonal de tração (CARVALHO,
2008).
Park et al. (2010) afirmam, com base em resultados de experimentos
coletados, que a norma americana atual superestima a resistência das lajes à
punção. De acordo com Dias e Rios (2010), as diferenças que ocorrem entre os
modelos existentes para cálculo de resistência à punção de uma laje decorrem,
basicamente, da superfície de controle considerada por cada norma.
Quanto ao tipo de concreto estudado, a maioria dos critérios de
dimensionamento foram desenvolvidos com base em estudos de concreto de baixa
resistência. À medida que o uso do concreto de alto desempenho (HSC) aumenta,
um número maior de estudos é realizado, mas há ainda pouco conhecimento sobre
o comportamento deste tipo de concreto, o que não possibilita, neste momento, uma
aceleração de seu uso (NGO, 2001). Embora os critérios da norma brasileira não
tenham sido desenvolvidos para concreto de resistência superior a 50 MPa,
Carvalho (2008) considera os resultados de resistência obtidos pelos critérios da
norma brasileira utilizáveis para o High Strength Concrete.
Os critérios da NBR 6118:2003 para punção foram elaborados com base nos
critérios do CEB-FIP MC 90 e, por isso, os resultados de perímetro da superfície
crítica, resistência da superfície crítica e área de armadura transversal costumam
estar próximos aos resultados da norma europeia (DIAS; RIOS, 2010).

36

2.3.1 Superfície de controle

As abordagens dos critérios de dimensionamento existentes baseiam-se na
determinação de uma tensão nominal de cisalhamento, que é estabelecida como
atuante em uma superfície de controle com ângulo de 90º em relação ao plano da
laje. De acordo com Araújo (2010), as tensões tangenciais de punção que ocorrem
em volta dos pilares de apoio são determinantes para definir a resistência das lajes
apoiadas sobre pilares, mas as tensões nominais determinadas pelas normas não
possuem significado físico, pois são adotados métodos empíricos para seus
cálculos; não obstante representam de forma satisfatória os ensaios experimentais
realizados. Esta superfície de controle, mostrada na Figura 12, também conhecida
como perímetro de controle, possui perímetro e distância da face do pilar variável
conforme o critério estudado. A ABNT NBR 6118:2003 refere-se ao perímetro de
controle como C’, com distância 2d da face do pilar, enquanto o EUROCODE 2
utiliza a denominação “contorno básico de controle”, distante 2d da face do pilar,
representado por u1. O ACI 318 utiliza a denominação “perímetro efetivo”, com
distância 0,5d da face e representado por bo.
Figura 12 - Superfície de controle

Fonte: Cordovil,1997, p.29

A superfície de controle definida por cada critério deve ser considerada como
uma grandeza de referência, “A abordagem baseada na superfície de controle não
significa o entendimento de que a ruptura ocorra nessa superfície. A superfície real
de ruptura é mais parecida com a de um tronco de cone” (CORDOVIL, 1997, p.30).
Para Ngo (2010), embora os critérios não apresentem resultados compatíveis com o
que ocorre na realidade, é possível estimar o comportamento da laje sujeita à
punção com razoável precisão, utilizando as prescrições das normas.

37

Em relação à distância horizontal da superfície de controle à face do pilar,
Cordovil (1997) entende que a distância ideal encontra-se na ordem de 1,25d, visto
que o valor de 0,5d — fornecido por algumas normas, de acordo com estudos
realizados utilizando extensômetros elétricos nas armaduras para monitoramento da
distribuição das tensões tangenciais — coloca a superfície de controle em uma
região onde as tensões desenvolvidas estão em torno de um terço da resistência do
aço. Por outro lado, o valor de 2d, recomendado por várias normas, embora
localizado em uma região onde há tensões expressivas, tem uma mobilização da
armadura retardada. Na posição distante de 1,25d da face do pilar, “além das
tensões serem maiores, a mobilização da armadura, uma vez constituída por pinos,
ocorre desde o início do carregamento” (CORDOVIL, 1997, p.93).
A resistência da superfície de controle varia conforme cada critério e é
calibrada conforme seu perímetro, que depende da distância horizontal da superfície
até a face do pilar. A ABNT NBR 6118:2003 leva em conta o valor de fck (calculado
com raiz cúbica), a taxa da armadura de flexão e o valor da altura útil para definir a
resistência. O EUROCODE 2 leva em conta os mesmos parâmetros da norma
brasileira, mas possui a variável k, limitada ao valor de 2, que depende do valor da
altura útil da laje. Essa limitação no valor de k torna os resultados obtidos mais
conservadores, sobre este coeficiente, Carvalho (2008) considera que a não
limitação do valor de k conduziria a resultados mais econômicos os quais não
comprometeriam a segurança. O ACI 318 considera a raiz quadrada da resistência
característica à compressão do concreto, além de levar em conta o índice de
retangularidade do pilar ao qual a laje está apoiada. Essas normas prescrevem o
uso de armadura de punção somente na constatação de uma tensão nominal maior
que a tensão resistente da superfície de controle.

2.3.2 Efeito dos momentos

O efeito de momentos na punção é abordado pelas normas brasileira e
europeia levando em conta haver uma distribuição linear de tensões de
cisalhamento na superfície de controle, conforme Figura 13. A norma americana, por
outro lado, considera a variabilidade existente das tensões de cisalhamento
decorrentes do momento. Cada norma apresenta uma formulação para o efeito de
momento, mas todas partem do princípio de que o momento fornece uma parcela de

38

tensão nominal de cisalhamento que deve ser somada à parcela de tensão
calculada por meio da força normal, resultando na tensão nominal total. A parcela do
momento atuante no pilar, que contribui para a tensão nominal de cisalhamento na
superfície de controle, pode ser obtida pela multiplicação do momento total pelo
coeficiente representado pela letra “k”, representação utilizada no EUROCODE 2 e
na ABNT NBR 6118:2003. Já a norma americana utiliza, para esse coeficiente, a
denominação v, e apresenta uma formulação para obtenção do seu valor o qual
depende da maior e da menor dimensão do pilar. O coeficiente K depende do índice
de retangularidade do pilar, para índices altos, quando o momento possui direção
perpendicular ao menor lado, e há uma grande parcela de tensão deste momento
transmitido por tensão de cisalhamento, devido aos altos valores de “k” (ou, no caso
da norma americana, V) — esta parcela tende a diminuir à medida que o índice de
retangularidade diminui. Por outro lado, quando o momento possui direção
perpendicular ao maior lado do pilar, o valor de “k” é menor à medida que o índice
de retangularidade aumenta. A tabela 1, que possui os valores utilizados para a
norma brasileira e europeia, ilustra esta análise.
Tabela 1 -

Valores de K

C1 / C 2
0,50
1,00
2,00
3,00
K
0,45
0,60
0,70
0,80
Onde:
C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força;
C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.
Fonte: ABNT NBR 6118, 2003, p.113

As normas, de forma geral, admitem que a força Fsd, normal, produz tensões
de cisalhamento uniformes na superfície crítica, ao passo que as tensões de
cisalhamento devidas ao momento (Msd . K) são distribuídas da forma representada
na Figura 13.

39

Figura 13 - Distribuição das tensões de cisalhamento devido ao momento Msd

Fonte: Araújo, 2010, p.229

2.3.3 Outros parâmetros

Em projetos que possuam aberturas localizadas próximas ao pilar, as normas
consideram a perda de resistência decorrente dessas aberturas. Há diferentes
critérios para considerar esta perda de resistência, geralmente dada pela redução da
superfície de controle, como mostra a Figura 14.
Figura 14 - Efeito de aberturas próximas ao pilar.


Quanto à armadura de flexão, as normas definem uma distância de
distribuição mínima, a partir da face do pilar, suficiente para a armadura de flexão
superior ser considerada no cálculo da taxa da armadura de flexão.
O cálculo do valor da reação do pilar — o valor necessário para o cálculo da
tensão nominal atuante na superfície de controle — é realizado subtraindo-se da
carga total de um pilar a carga decorrente dos pavimentos superiores. Para cálculo

40

dos momentos transferidos da laje ao pilar, o procedimento é análogo (ARAÚJO,
2010).
Em relação aos pilares de borda ou de canto, as abordagens existentes
definidas pelos critérios para dimensionamento de lajes sujeitas à punção não são
vistas como adequadas pelos pesquisadores, e não há estudos experimentais
suficientes para que a questão possa ser abordada de uma forma segura
(CORDOVIL, 1997).

2.4 DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO SEGUNDO A NBR 6118:2003

Os critérios de dimensionamento à punção sofreram uma revisão no Brasil,
em 2003, com a publicação da ABNT NBR 6118:2003. Mudanças que podem ser
destacadas são: mudança da distância entre a superfície crítica e a face do pilar, de
0,5d para 2d; Inclusão da verificação da influência do momento transmitido ao pilar
nas tensões de cisalhamento atuantes na laje; ausência da redução do perímetro
crítico para pilares com índice de retangularidade superior a 3; e Inclusão da
recomendação de armadura de combate ao colapso progressivo.
De acordo com Carvalho (2008), os critérios apresentados pela ABNT NBR
6118:2003, em termos globais, apresentam-se mais satisfatórios em termos de
segurança, precisão e economia, quando comparados aos critérios das normas
europeia e americana.
Um aspecto faltante nos critérios da atual norma brasileira, e em muitas
normas mundiais, é a ausência da consideração do índice de retangularidade na
definição do perímetro de controle, o que torna esses critérios passíveis de
imprecisões referentes à tensão nominal para pilares muito retangulares, pois o
perímetro crítico deveria ser reduzido. A antiga norma brasileira, NBR 6118:1980,
estabelecia limites para os valores do perímetro crítico quando o pilar possuísse
índices de retangularidade superiores a 3 (Figura 15), procedimento não realizado
na atual norma. A ausência da redução do perímetro crítico para pilares com alto
índice de retangularidade torna a tensão atuante em um pilar, com mesmo
perímetro, idêntica se seu índice de retangularidade for, por exemplo, 1 ou 5
(FERREIRA; OLIVEIRA, 2007).

41

Figura 15 - Perímetros de controle recomendados pela norma NBR6118:1980

Fonte: Ferreira e Oliveira, 2007, p.622

A ABNT NBR 6118:2003 prevê, em suas recomendações, a adoção de
armadura de flexão para combate ao colapso progressivo o qual, de acordo com
Dias e Rios (2010), é responsável por um colapso total da estrutura, e a armadura
de proteção contra o colapso progressivo permite evitar que isso ocorra na estrutura
numa situação de rompimento por punção. Segundo Mitchell (1984 apud CUNHA;
SOUZA, 1994), o colapso brusco é evitado pelos esforços de membrana cujo
desenvolvimento adequado é possibilitado por uma apropriada ancoragem das
barras de flexão de momentos positivos (inferiores) da laje no pilar.

2.4.1 Superfícies de controle

O dimensionamento de lajes sujeitas à punção pelos critérios da NBR
6118:2003 consiste na verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies de
controle, e cada superfície corresponde a uma área dada pela altura útil da laje e
pelo contorno crítico. Na primeira superfície, dada pelo contorno crítico C,
correspondente ao contorno do pilar, verifica-se a tensão de compressão diagonal
atuante no concreto, mediante a tensão de cisalhamento. Na superfície de contorno
C’, distante 2d da face do pilar, verifica-se a capacidade da ligação à punção,
associada à resistência à tração diagonal do concreto, que é verificada por meio da
tensão de cisalhamento atuante nessa superfície. Uma terceira superfície crítica,
com contorno C’’, distante 2d do contorno C’, é verificada apenas em situações de
necessidade de armadura transversal.

42

O contorno C é dado pelo perímetro do pilar, o contorno C’, distante 2d da
face do pilar, é medido conforme a Figura 16.
Figura 16 - Perímetro crítico em pilares internos retangulares

Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118, 2003, p.112

Para pilares de borda e pilares de canto, há uma redução do contorno crítico
C’, que deve ser calculado conforme Figuras 17 e 18.
Figura 17 - Perímetro crítico em pilares de borda.

C’

C


Figura 18 - Perímetro crítico em pilares de canto.

C
C’


43

Quando há aberturas próximas ao pilar, de distância inferior a 8d da face, o
contorno crítico C’ deve ser desconsiderado do trecho compreendido entre as duas
retas que passam pelo centro de gravidade do pilar (ou área de aplicação da força) e
que tangenciam o contorno da abertura, vide Figura 19.
Figura 19 - Perímetro crítico junto à abertura na laje.

Fonte: ABNT NBR 6118, 2003, p.115

2.4.2 Tensões solicitantes

Em pilares internos, com carregamento simétrico, a tensão solicitante pode
ser calculada pela expressão:


, onde:

[

].

(1)



d é a altura útil da laje entre os contornos C e C’ (m);



dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais, entre os
contornos críticos C e C’ (m);



u é o comprimento do contorno crítico que está sendo calculado (m);



“u . d” corresponde à área da superfície de controle que está sendo
calculada (m²);



Fsd, é a força ou reação concentrada de cálculo do pilar (kN);



sd é a tensão solicitante na superfície de controle que está sendo
calculada (kN/m²).

Em pilares quadrados ou retangulares internos, com efeito de momento, o
cálculo da tensão solicitante, no qual o efeito da assimetria deve ser considerado, é
realizado pela expressão:

44



, onde:

(2)
.



“u . d” é a área da superfície de controle que está sendo calculada (m²);



Msd é o momento de cálculo (kN.m) em uma determinada direção;



WP é o módulo de resistência plástica (m²), possuindo um valor para cada
direção;



c1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força (m);



c2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força (m);



d é a altura útil da laje entre os contornos críticos C e C’ (m);



K é o coeficiente que possibilita o cálculo da parcela de tensão nominal de
cisalhamento transmitida à laje por meio da excentricidade, possuindo um
valor para cada direção, e que assume os valores da Tabela 1.



sd é a tensão solicitante na superfície crítica de controle que está sendo
calculada (kN/m²).

Em pilares de borda, quando não há atuação de momento no plano paralelo à
borda livre, o cálculo é feito pela expressão:




, onde: Msd1 = Msd – Msd*.

(3)

u* é o comprimento reduzido do contorno crítico que está sendo calculado
(m);



reduzido (m);



“u* . d” é a área reduzida da superfície de controle que está sendo
calculada (m²);



Msd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro u *
em relação ao centro do pilar (kN.m);



Msd é o momento de cálculo (kN.m);



WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre,
calculado para o perímetro u (m²);



O coeficiente K assume os valores da Tabela 1.

45






calculada (kN/m²).

Em pilares de borda, quando houver ação de momento paralelo à borda livre,
utiliza-se a expressão:




.

(4)

Os valores de K1, Msd1 e W P1 são os mesmos utilizados para o cálculo de
pilares de borda sem ação de momento paralelo à borda livre;



“u* . d” é a área reduzida da superfície de controle que está sendo
calculada (m²);






O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos na Tabela 1, mas a
relação c1 / c2 é substituída pelo uso da relação



.

WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre,
calculado pelo perímetro u (m²);



Msd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre, calculado de
forma análoga ao Msd1 (kN.m);



calculada (kN/m²).

Em pilares de canto, como há duas bordas livres, calcula-se a tensão
solicitante, para cada borda, de forma análoga ao cálculo de pilares de borda sem
atuação de momento paralelo à borda livre, ou seja, para cada borda, considera-se
que não há momento fletor no plano paralelo.

2.4.3 Tensões resistentes

A resistência da diagonal de compressão, determinada para a superfície de
controle de contorno C, onde C é o perímetro do pilar, é dada pela expressão:

46





, onde: v = 1 – fck / 250 (fck em MPa).

(5)



fck é a resistência característica à compressão do concreto (MPa);



fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto (MPa);



v é o coeficiente de minoração da resistência característica à
compressão do concreto;



RD2 é a resistência da diagonal de compressão da superfície de controle
de contorno C (MPa);

A resistência da diagonal de tração do concreto, verificada na superfície
crítica de contorno C’, quando não há armadura de punção, é calculada pela
expressão:


onde: 

[
√



√ ] [
e



] ,
[

(6)
]



d é a altura útil da laje entre os contornos críticos C e C’ (cm);



x e y são as taxas de armadura negativa de flexão nas duas direções
ortogonais, sendo válidas para a largura igual à dimensão do pilar
acrescida de 3d para cada um dos lados (Figura 20) (adimensional);



 é a taxa geométrica da armadura de flexão aderente (adimensional);



fck é a resistência característica à compressão do concreto (MPa);



RD1 é a resistência da diagonal de tração do contorno C’ (MPa);
Figura 20 - Distância para cálculo das taxas de armadura negativa de flexão

3d

c

Fonte: O autor, 2013

3d

47

A armadura de punção pode ser dispensada se RD1 > sd. Caso contrário, a
armadura de punção deve ser adotada e a resistência da diagonal de tração do contorno
crítico C’ será calculada pela expressão:



[

√ ] [



]



(7)



Os valores de d,  e fck são os mesmos utilizados no cálculo de RD1;



Sr é o espaçamento radial entre as linhas de armadura de punção (Figura
21), sendo limitado ao valor de 0,75d (cm).



fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção (MPa), assumindo
valor de 300 MPa para conectores e 250 MPa para estribos (de aço CA50 ou CA-60). Para lajes com espessura entre 15 e 35 cm, f ywd pode
variar entre 250 MPa e 435 MPa, sendo permitida interpolação linear para
obtenção deste valor.



sen() = 1 para o caso de barras dispostas com inclinação de 90º;



u é o comprimento do contorno crítico ou, para pilares de borda ou canto,
comprimento do contorno crítico reduzido (cm);



Asw é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo à
C’ (Figura 21) (cm²);



RD3 é a tensão resistente da diagonal de tração da superfície crítica de
contorno C’, quando há armadura de punção, e deve ser maior que sd
(MPa).

48

Figura 21 - Representação de Asw e Sr.

Asw

Sr

Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118: 2003, p.117

2.4.4 Requisitos da armadura de punção

A ABNT NBR 6118:2003 recomenda o uso de conectores tipo pino com
extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro do pilar, e cada
uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da armadura de flexão
correspondente. A armadura de punção deve ter, preferencialmente, três ou mais
linhas de armadura.
A armadura deve ser estendida em contornos paralelos a C’, com linhas a
distâncias Sr entre si, até atingir o limite do contorno C’, ficando a uma distância 2d
do contorno C’’. A distância radial entre o contorno C’ e C’’ é 2d.
A primeira linha de armadura deve estar, no máximo, 0,5d distante da face do
pilar. As demais linhas possuem espaçamento máximo de 0,75d.

49

Figura 22 - Disposição da armadura de punção em corte.

Fonte: NBR 6118, 2003, p.117.

2.4.5 Outras verificações

Caso haja necessidade de armadura de punção, deve-se verificar o contorno
crítico C’’ após o cálculo da armadura, calculando a tensão solicitante com uso da
equação 3. Este valor deve ser comparado com a tensão resistente da diagonal de
tração, calculada pela equação 6.
No caso da estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à
punção, deve ser prevista armadura de punção, mesmo que sd seja menor que RD1.
Esta armadura deve possuir força resistente mínima de 50% de Fsd.
Para garantir a ductilidade local e a consequente proteção contra o colapso
progressivo, a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C (face do pilar)
deve estar suficientemente ancorada além do contorno C’. Essa armadura deve ser
tal que: AS . fyd > Fsd.


AS é a soma das áreas de todas as barras inferiores que cruzam cada
uma das faces do pilar.

O comprimento mínimo dessas barras inferiores deve ser maior que 2d + lb,
sendo lb calculado por:




.

(8)

 é o diâmetro das barras de flexão inferiores, responsáveis por combate
ao colapso progressivo (cm);



fyd é a resistência de cálculo à tração das barras (kN/cm²);



fbd é a resistência de aderência de cálculo entre aço e concreto (kN/cm²);



lb é o comprimento básico de ancoragem (cm).

50

3 METODOLOGIA

3.1 ELABORAÇÃO DO PRÉ-PROJETO ESTRUTURAL

Para elaboração do modelo estrutural utilizado para dimensionamento, foi
desenvolvido, mediante o software Autocad 2012, um projeto arquitetônico,
hipotético, de um pavimento tipo de uma edificação comercial, com dimensões de
32 x 32 m, totalizando 1.024 m².
Figura 23 - Projeto arquitetônico – Pavimento tipo de uma edificação comercial
W.C. W.C.

W.C.

1075

936

W.C.

183

168

3200

165

W.C.

W.C.

601

Sala de
Reunião

227

601

Recepção
586

998

Recepção
Sala de
Reunião

500

494

3200

220

165

270

165

500

500
353

Depósito

351

200

W.C. W.C.

163

730

155

155


730

Depósito

Copa

200

351

W.C.
163

183

Copa
W.C.

168

74

908

934

353

51

Com base no projeto arquitetônico apresentado na figura 23, foi desenvolvido
o pré-projeto estrutural deste pavimento tipo. Para o vão central, onde ficam
localizadas as escadas, elevadores e acesso aos escritórios, o pré-projeto estrutural
foi desenvolvido com características convencionais, e é composto por lajes, vigas e
pilares, não sendo esta região, portanto, objeto de estudo deste trabalho. O préprojeto dos escritórios, que deve possuir lajes apoiadas diretamente sobre pilares,
atendeu as recomendações de Araújo (2010) no que se refere às dimensões dos
pilares e espessura da laje de acordo com o vão entre os pilares e o pé-direito da
edificação, e os parâmetros calculados e as dimensões definidas são apresentados
na Tabela 2, onde o pé-direito adotado foi de 2,80 metros. Seguidas essas
recomendações e fazendo-se os ajustes necessários para compatibilização com o
projeto arquitetônico, chegou-se ao pré-projeto estrutural da figura 24. As dimensões
iniciais dos pilares foram 40 x 40 cm, enquanto a espessura inicial definida da laje foi
de 22 cm. O posicionamento dos pilares de canto da edificação, a aproximadamente
1 metro das paredes, foi definido com o objetivo de cumprir a recomendação de não
posicionar o pilar na extremidade de uma laje sem vigas.
Tabela 2 - Dimensões mínimas de projeto
Dimensões mínimas de projeto
Vão entre apoios

624

cm

Pé direito

280

cm

Dimensão mínima dos pilares
Dimensão adotada para os pilares

31,2
40

cm
cm

Espessura mínima da laje
Espessura adotada para a laje

20,8
22

cm
cm

52

Figura 24 - Pré-projeto estrutural gerado
608

608

470

608

608

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

624

P1

20
465

285

616

236

P14

P15

P16

713

611

P13

P17

P18

P19

360

P20

504

360

608

470

608

P22

P23

P24

P25

P26

P27

P28

P29

P30

P31

P32

170

504

P21


É importante ressaltar que a norma brasileira permite uma espessura de 16
cm para lajes lisas, mas os cálculos preliminares realizados indicaram que haveria,
para essa espessura, uma quantidade excessiva de armadura de flexão necessária
para armar a laje na região dos pilares, além de deixar a linha neutra a uma altura
superior à metade da altura útil da seção transversal no dimensionamento à flexão,
procedimento contrarrecomendado pela norma. Por esse motivo, optou-se por criar
um modelo estrutural com 20 cm de espessura de laje, mas a realização do
dimensionamento apresentou novamente o problema. Com a espessura a partir de

53

22 cm, foi possível obter resultados aceitáveis para a posição da linha neutra no
dimensionamento à flexão e, por isso, esse valor foi estabelecido como valor mínimo
de espessura das lajes calculadas neste trabalho. Os carregamentos aplicados
foram de 5 kN/m² para solicitações variáveis e 2 kN/m² para solicitações
permanentes. O carregamento de peso próprio é calculado automaticamente pelo
software utilizado para cálculo dos esforços.
A distribuição dos pilares foi feita de forma aproximadamente simétrica nas 4
direções, conforme recomendado pela norma e pela literatura. A perfeita simetria
não foi possível devido às diversas necessidades de adaptação ao projeto
arquitetônico, mas as assimetrias foram mantidas dentro de limites aceitáveis.
Quanto à retangularidade, as prescrições da norma são de melhor aplicação para
pilares pouco retangulares; além disso, a adoção de pilares quadrados torna o
cálculo mais simplificado, razão pela qual adotaram-se pilares com seção quadrada.
Somado a esses fatores, destaca-se que a pesquisa sobre a influência da
retangularidade não é objeto de estudo deste trabalho.

3.2 MODELO ESTRUTURAL

Com base no pré-projeto estrutural da figura 24, foi desenvolvido o modelo
estrutural da figura 25, no software SAP 2000. O SAP 2000 calcula os esforços das
estruturas pelo método dos elementos finitos.

54

Figura 25 - Modelo tridimensional desenvolvido no software SAP 2000


A modelagem da laje foi feita com o uso de shells — os elementos planos de
dimensões finitas do software —, e as dimensões das shells foram mantidas com
valores próximos aos da espessura da laje. A modelagem dos pilares foi feita com o
uso do recurso solids do software. Os parâmetros físicos dos materiais foram
definidos dentro da guia “Materials”, onde foram definidos o peso específico, módulo
de elasticidade e coeficiente de Poisson (figura 26). O módulo de elasticidade
definido, de 23,8 GPa, foi calculado com base na formulação fornecida pela NBR
6118:2003, e o fck utilizado do concreto foi de 25 MPa. Os pilares foram
considerados engastados na base, de forma a simular o vínculo desses elementos
no pavimento inferior. Os carregamentos variáveis e permanentes foram aplicados
em toda a área da laje, e também houve aplicação de carregamento de alvenaria em
todas as regiões nas quais o projeto arquitetônico apresenta a presença desses
elementos e, posteriormente, com o recurso “Load combinations”, foi criada a
combinação de carregamentos que sobrepõe os efeitos de peso próprio,
carregamentos permanentes, carregamentos variáveis e alvenaria (figura 27),
permitindo o cálculo dos esforços na estrutura quando esses quatro carregamentos
atuam em conjunto. Dentro de “Load combinations” foi atribuído o coeficiente de

55

majoração de forças f = 1,4, conforme indicado pela norma para edificações dessa
categoria. A definição das dimensões dos pilares foi feita na modelagem dos
elementos solids, enquanto a dimensão das lajes foi definida de forma numérica na
guia “Area sections”.
Após o cálculo dos esforços, novos modelos foram criados, com alteração da
espessura da laje e das dimensões dos pilares. O procedimento para criação dos
novos modelos consistiu na alteração das dimensões dos solids e adaptação das
shells ao novo contorno desses elementos. A espessura da laje foi alterada na guia
“Area sections” para cada mudança de espessura necessária. Desta forma, o
modelo apresentado na figura 25 serviu como base para geração de todos os
modelos subsequentes.
Figura 26 - Parâmetros do concreto armado.


56

Figura 27 - Definição da combinação de carregamentos criada.


Em relação aos carregamentos apresentados na figura 27, o SAP atribui a
nomenclatura “DEAD” aos carregamentos devidos ao peso próprio da estrutura.

3.3 CÁLCULO DOS ESFORÇOS

Uma vez definidos os parâmetros apresentados na seção 3.2, o software está
apto a calcular os esforços atuantes na estrutura. A figura 28 apresenta um exemplo
de diagrama de momento fletor resultante, válido para o modelo da figura 25 com os
carregamentos apresentados na figura 27 aplicados.

57

Figura 28 - Esforços resultantes de momento fletor na direção x (Unidade: kN.m/m).


Os esforços calculados pelo software indicaram, como previsto, que os
esforços mais significativos de momentos fletores e, portanto, os maiores gastos
com armadura de flexão, deveriam ocorrer nas armaduras superiores das regiões
próximas aos pilares. O aumento da seção transversal do pilar pouco interferiu nos
esforços de flexão, tanto negativo quanto positivo. Para realização dos cálculos,
portanto, optou-se por quantificar apenas a armadura de flexão negativa (superior)
nas regiões próximas aos pilares. Destaca-se que a taxa de armadura de flexão
negativa em relação à área de concreto interfere diretamente no cálculo da
resistência da diagonal de tração do contorno C’, apresentando importante influência
de acordo com as mudanças de seus valores, motivo pelo qual foi indispensável a
quantificação dos esforços de flexão e cálculo das armaduras negativas nas regiões

58

dos pilares. O dimensionamento das armaduras de flexão foi realizado segundo as
prescrições da ABNT NBR 6118:2003.
O esforço necessário para cálculo da armadura de punção da laje apoiada
diretamente sobre os pilares é a reação de apoio do pilar. Como a modelagem com
o uso de solids não possibilita conhecer a reação de apoio do topo do pilar, na
elevação da laje, o cálculo foi feito pela subtração do peso próprio do pilar da reação
de apoio da base do pilar. A figura 27 exemplifica as reações de apoio do pilar P8.
Figura 29 - Reação de apoio do pilar P8. Subtraindo-se o peso do pilar destes valores, obtém-se FSD
(Unidade: kN)


O dimensionamento à punção foi realizado conforme as prescrições da norma
brasileira, citadas na seção 2.4. Devido à pouca expressividade dos esforços de
momentos transferidos das lajes aos pilares, gerando baixos valores de SD, optouse por não considerar esse efeito nos cálculos da armadura de punção.

3.4 DIMENSIONAMENTO

Por meio do software Microsoft Excel, o dimensionamento das armaduras de
flexão, punção e combate ao colapso progressivo, além da verificação dos contornos
críticos, foram calculados mediante uma rotina de cálculo pré-estabelecida (Tabelas

59

3 e 4). Para cada laje calculada, foram quantificados os esforços de momentos
fletores nas direções x e y na face dos pilares e a reação de apoio de topo do
respectivo pilar. Obtidos os resultados, os dados foram exportados para as planilhas
com a lista de resultados, apresentadas na seção 4.
Tabela 3 - Planilha modelo para cálculo de armadura de flexão
fck
25
MPa
h
22
cm
FLEXÃO
Direção x
132,00 kNm
Msd
0,4543
x
d
17,1
cm
0,8183
z
As
21,70 cm²
Direção y
133,00 kNm
Msd
x
0,3671
d
18,7
cm
z
0,8531
As
19,17 cm²

Tabela 4 -

Planilha modelo para cálculo de armadura de punção e colapso progressivo
PUNÇÃO
Fsd
kN sd-C 2,34 MPa
670,14
LPilar
cm RD2 4,34 MPa
40
d
cm sd-C' 0,97 MPa
17,9

RD1 0,76 MPa
0,00927
u
cm Sr 10,00 cm
384,9
A
6.890,39 cm² Asw 3,37 cm²
fywd 300 MPa
Há necessidade de
0,98 MPa
armadura de Punção RD3

Ok

As
u
A

Colapso Progressivo
lb
15,41
cm²
37,67
Verificação do Contorno C''
sd
0,61
609,88
cm
Ok
10916,78 cm²

cm
MPa

3.5 LAJES CALCULADAS

Os procedimentos descritos nas seções 3.1 a 3.4 foram realizados para um
total de 25 lajes, variando-se, para cada laje, apenas a espessura da laje e a seção
transversal de todos os pilares. A tabela 3 apresenta os parâmetros de cada laje
calculada, além da nomenclatura atribuída para cada uma. Todos os pilares

60

possuem seções quadradas, e seu lado é representado por “LPilar”. A espessura de
cada laje é denominada “h”.
Tabela 5 Laje
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

Lajes calculadas
h
LPilar
22 cm
40 cm
24 cm
40 cm
26 cm
40 cm
28 cm
40 cm
30 cm
40 cm
22 cm
45 cm
24 cm
45 cm
26 cm
45 cm
28 cm
45 cm
30 cm
45 cm
22 cm
50 cm
24 cm
50 cm
26 cm
50 cm
28 cm
50 cm
30 cm
50 cm
22 cm
55 cm
24 cm
55 cm
26 cm
55 cm
28 cm
55 cm
30 cm
55 cm
22 cm
60 cm
24 cm
60 cm
26 cm
60 cm
28 cm
60 cm
30 cm
60 cm

3.6 DETALHAMENTO

Para levantamento do quantitativo das armaduras de flexão negativa, foi
necessário definir, inicialmente, após o cálculo de AS, o diâmetro das barras,
espaçamento, comprimento de cada barra e a largura de distribuição. O
comprimento das barras foi definido como o comprimento necessário para proteger a
laje nas regiões de tensões de tração, somado à decalagem do diagrama de
momentos fletores e o comprimento de ancoragem necessário para proteger a barra
contra o deslizamento. Quanto ao diâmetro, para simplificação dos cálculos, todas
as barras adotadas foram definidas com diâmetro de 16 mm, sendo necessárias,
para atendimento do valor calculado, a alteração apenas do espaçamento entre as
barras. Com essa simplificação e com a definição de um cobrimento de 2,5 cm,

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