1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
SI11 LÓGICA
MÓDULO III
Tautologia, Contradição e Contingência
Equivalência Lógica
Professor Newton Marquez Alcantara
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2. 1. Tautologia, Contradição e Contingência
1.1. Tautologia – Uma proposição composta é dita uma tautologia ou, de outra forma, uma
proposição composta é tautológica, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última
linha da sua tabela-verdade é toda ela verdadeira.
Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’ + q’) Esta proposição é tautológica
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples).
resultado final
p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) + (p’ + q’)
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1
Ex: P (p, q, r) = [(p → q)  r] ↔ [r  (q + p’)] Esta proposição é uma tautologia
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples).
resultado final
p q r p’ p → q (p→q)  r q + p’ r  (q+p’) [(p → q)  r] ↔ [r  (q + p’)]
1 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1
1.2. Contradição – Uma proposição composta é dita uma contradição ou, de outra forma, uma
proposição composta é contraditória, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última
linha da sua tabela-verdade é toda ela falsa.
Ex: P (p, q) = (p . q) . (p’ + q’) Esta proposição é contraditória
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples).
resultado final
p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) . (p’ + q’)
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0
2

3. Ex: P (p, q, r) = [(p → q)  r]  [(p’ + q)  r] Esta proposição é uma contradição
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples).
resultado final
p q r p’ p → q (p→q)  r p’ + q (p’+q)  r [(p → q)  r]  [(p’+q)  r]
1 1 1 0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 0
1.3. Contingência – Uma proposição composta é dita uma contingência ou, de outra forma, uma
proposição composta é contingente, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a última
linha da sua tabela-verdade tem valores verdadeiros e falsos.
Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’  q’) Esta proposição é contingente
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples).
resultado final
p q p’ q’ p.q p’  q’ (p . q) + (p’  q’)
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 0
Ex: P (p, q, r) = [(p → q)  r] → [(p’ + q) . r] Esta proposição é uma contingência
A notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples).
resultado final
p q r p’ p → q (p→q)  r q + p’ (p’+q) . r [(p → q)  r] → [(p’ + q) . r)]
1 1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 0 0
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4. 2. Equivalência Lógica
2.1. Definição. Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se têm a mesma tabela
verdade.
2.2. Simbologia. Se duas proposições P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) são logicamente equivalentes,
então, simbolicamente, representaremos este fato, por “P (p,q,r,s,...)  Q (p,q,r,s,...)” e leremos
como “a proposição P (p,q,r,s,...) é logicamente equivalente à proposição Q (p,q,r,s,...)” ou “a
proposição P (p,q,r,s,...) e a proposição Q (p,q,r,s,...) são logicamente equivalentes”.
OBSERVAÇÃO: Os símbolos “↔” e “” são completamente distintos. O primeiro (“↔”)
representa a bicondicional, que é um conectivo. O segundo (“”) representa a relação de
equivalência lógica que pode ou não existir entre duas proposições.
2.3. Verificação se duas proposições são logicamente equivalentes. O processo de verificação
decorre diretamente da definição. Basta construir as tabelas-verdade para ambas as proposições e
verificar se o resultado final é o mesmo. Se o resultado final for o mesmo, as proposições são
logicamente equivalentes. Caso contrário, não são logicamente equivalentes.
Exemplo: Verificar se P(p,q) = p → q e Q (p,q) = p’ + q são logicamente equivalentes.
Observação: por questão de conveniência, sempre que possível, iremos construir as duas tabelas-
verdade na mesma tabela.
P(p,q) Q(p,q)
p q p’ p→q p’ + q
1 1 0 1 1 As duas últimas colunas são iguais. Logo as
1 0 0 0 0 proposições P (p,q) e Q (p,q) são logicamente
0 1 1 1 1 equivalentes.
0 0 1 1 1
iguais
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5. Exemplo: Verificar se P(p,q,r) = p ↔ (qr) e Q(p,q,r) = q + (p→r)’ são logicamente equivalentes.
P(p,q,r) Q(p,q,r)
p q r q r p ↔ (q r) p→r (p→r)’ q + (p→r)’
1 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0
diferentes
As colunas que representam o resultado final para as tabelas-verdade de P(p,q,r) e Q(p,q,r) são
diferentes. Logo as proposições P(p,q,r) e Q(p,q,r) não são logicamente equivalentes.
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