Física pré-vestibular: gravitação e movimento harmônico

FÍSICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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detentor dos direitos autorais.
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
732 p.
ISBN: 978-85-387-0576-5
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

Gravitação e
movimento
harmônico
O estudo físico e histórico é o objetivo deste
módulo; apresentam-se as antigas teorias sobre o
universo e as leis que regem os movimentos dos
astros celestes.
Teorias históricas sobre
o movimento dos astros
Desde a Antiguidade, uma das grandes preo-cupações
do homem era a construção de um modelo
do universo em que vivia.
O astrônomo grego Cláudio Ptolomeu, de Ale-xandria,
construiu um modelo que perdurou quase 14
séculos: era um sistema geocêntrico, isto é, admitia a
Terra como centro imóvel do universo, enquanto que
os demais corpos celestes descreviam órbitas circu-lares
no espaço. A diferença do sistema cosmológico
de Aristóteles era a Terra como o centro de todas as
trajetórias circulares dos corpos celestes; o sistema
de Ptolomeu admitia para os planetas trajetórias
circulares cujos centros não eram o nosso planeta.
Copérnico (Mikolaj Kopernik, polonês), em
1543, publicou um livro que mudaria todo o pano-rama
cultural do mundo. Admitindo a relatividade
do movimento, propôs um sistema cosmológico no
qual o centro dos movimentos planetários era o Sol,
mas continuava a supor circulares as trajetórias dos
corpos celestes.
De acordo com Copérnico, os planetas do siste-ma
solar descreviam trajetórias circulares das quais
010
o Sol ocupava o centro, ou então que descreviam
FIS_trajetórias circulares em torno de pontos que por
V_EM_1 sua vez descreviam circunferências das quais o Sol
ocupava o centro.
Tycho Brahe, diretor do Observatório de Praga,
montou tabelas com observações minuciosas dos
movimentos planetários, que foram usadas por Kepler
para produzir mais um avanço nesse estudo.
Leis de Kepler
a) 1.ª Lei de Kepler: lei das órbitas
Os planetas descrevem órbitas elípticas em
torno do Sol, que ocupa um dos seus focos.
planeta
Sol
b) 2.ª Lei de Kepler: lei das áreas
Um raio vetor varre áreas iguais em tempos
iguais, entendendo-se raio vetor como um vetor
cuja origem é o centro do Sol e a extremidade é um
planeta qualquer.
Sol
A1
A2
 t1
 t2
Se Dt1 = Dt2, obrigatoriamente A1 = A2
A consequência mais importante dessa lei é
determinar em que ponto da órbita a velocidade do
planeta é maior ou menor. Realmente, se supusermos
quatro posições, 1, 2, 3 e 4 para um planeta, para a
mesma velocidade areolar, o Dt1 2 será igual ao Dt3 4,

2
EM_V_FIS_010
ou seja, como a distância entre 1 e 2 é menor do que
a distância entre 3 e 4, significa que, se são gastos
intervalos de tempo iguais, a velocidade média entre
3 e 4 é maior do que entre 1 e 2.
2
Sol 1
3
4
V
V’
c) 3.ª Lei de Kepler: lei dos períodos
Os quadrados dos períodos de revolução dos
planetas em torno do Sol são diretamente propor-cionais
aos cubos dos raios médios das órbitas.
Entende-se raio médio da órbita o semieixo maior
da elipse.
planeta
Sol R
T
R
2
1
3 =
1
T
R
2
2
3 = ... =
2
T
R
2
n
3 = constante
n
Na resolução de exercícios, para facilidade dos
cálculos, podemos considerar as órbitas aproximada-mente
circulares, já que, para os planetas e satélites,
as elipses são de pequena excentricidade.
Lei de Newton
para gravitação
A Lei da Gavitação foi estabelecida por Newton
a partir das Leis de Kepler. Newton descobriu que
a força de interação entre dois corpos era proporcio-nal
às suas massas e inversamente proporcional ao
quadrado da distância entre elas.
Podemos então escrever:
entendendo-se que a distância d é a distância
entre os centros de massa.
Matematicamente, teremos:
F = G
onde G é a constante de gravitação universal,
constante esta medida por Cavendish com cujo valor,
6,67 . 10–11 unidades SI, trabalharemos hoje.
Aceleração da gravidade
Se supusermos um corpo na superfície da Terra,
poderemos dizer que a força gravitacional exercida
pela Terra é a força peso e escrever
P = F grav. ou m.g =
GM m
R
T
2
em que m é a massa do corpo, MT é a massa da
Terra, R é o raio da Terra e, eliminando a massa do
corpo, g =
GM
R
T
2 . Obviamente, se estivermos a uma
altura h do solo, a nossa expressão será:
gh =
indicando que a gravidade diminui com a altitude.
Como podemos notar pela expressão acima, só
sentiremos variação sensível de g para grandes alti-tudes,
já que o raio da Terra é de, aproximadamente,
6 370km. Também podemos notar que devido ao acha-tamento
polar, nos polos o valor da aceleração da gravi-dade
é ligeiramente maior, ou seja, g varia com altitude
e latitude, além de outras variações anômalas.
Cuidado! Mesmo que a Terra fosse perfeitamen-te
esférica, o peso de um corpo seria maior nos polos
que no equador, em função da rotação da Terra. É por
isso que as bases lançadoras de foguetes espaciais
ficam localizadas perto do equador.
Energia potencial de órbita
Vimos em módulos anteriores que, quando um
campo realiza trabalho, ocorre diminuição da energia
potencial desse corpo. Se admitirmos que a energia
potencial de um corpo no infinito é nula, ao ser atraído
por qualquer outro corpo, ele ficará com uma energia
potencial menor do que zero, e essa energia potencial
é expressa por:
E
GMm
d p = −
onde M é a massa geradora de campo e m é a massa
do corpo que sofre ação do campo.
Velocidade de escape
Consideremos um satétilte em órbita de raio d
em torno da Terra; a força gravitacional exerce ação
centrípeta, ou F grav = F c p. Como a força centrípeta

é dada por:
Fc p =
igualando teremos:
ou, simplificando,
que é a sua velocidade orbital. Se quisermos saber
o período desse satélite, substituiríamos v por
e teríamos:
T =
Se quisermos lançar uma nave da superfície da
Terra, com uma velocidade inicial v0, para que ela
escape do campo gravitacional, teremos, dentro do
princípio de conservação da energia:
ou , onde:
Simplificando,
que é chamada velocidade de escape. Substituin-do
os valores G = 6,67 . 10-11, M = 5,98 . 1024 e R =
6,37 . 106, descobrimos que, para sair da órbita da
Terra, uma nave deve ter uma velocidade mínima
de 11,2km/s. Para mantê-la em órbita rasante na
superfície da Terra usamos:
e temos o valor v = 7,9km/s, isto é, se a velocidade é
inferior a 7,9km/s, a nave volta para a Terra; se está
entre 7,9 e 11,2km/s, permanece em órbita; e se es-tiver
a mais de 11,2km/s, ela foge da Terra.
Pêndulo
010
FIS_V_Define-se pêndulo como todo corpo pesado,
EM_móvel em torno de um eixo fixo, chamado eixo de
3 suspensão, que não passa por seu centro de gravi-dade
e que lhe permite tomar a posição de equilíbrio
estável.
Tem-se o pêndulo simples ou matemático – um
pêndulo teórico cuja massa oscilante se supõe conden-sada
em um ponto material, ligado ao centro de sus-pensão
por um fio inextensível e sem peso, oscilando
sem atrito ou resistências que perturbem o movimento,
imaginando-se, portanto, que este se efetua no vácuo.
Esse conjunto ideal, irrealizável na prática, pode ser
substituído por uma pequena esfera de metal, suspen-sa
por um fio de seda a um ponto fixo, aproximando-se,
dessa forma, das condições teóricas.
Movimento pendular
O movimento do pêndulo é oscilatório, ou seja,
periódico e alternativo. Periódico porque, ao fim do
mesmo intervalo de tempo, retoma a mesma posição
com velocidade igual em módulo, direção e sentido;
alternativo porque o sentido do movimento troca de
sinal, sucessivamente.
Afastando-se o pêndulo de sua posição de
equilíbrio M para a esquerda em M1 e largando-se,
pode-se observar que o peso se decompõe em duas
componentes:
rF
1 na direção do fio e que é anulada
pela resistência deste e
rF
2, que solicita o pêndulo a
descer por um arco de círculo.
Na descida, a partir de M1, a velocidade do
pêndulo vai aumentando, de modo que, ao chegar à
posição M, ele se encontra possuído de energia ciné-tica
que o fará chegar até M2, posição simétrica de M1.
Em M2 o fenômeno se repete em sentido contrário.
No pêndulo simples, em que não há resistências
ao movimento, isso permanece indefinidamente. No
pêndulo composto em que a resistência do meio se
opõe ao movimento, este diminui regularmente e,
ao fim de certo tempo, o pêndulo para (movimento
pendular amortecido).

4
EM_V_FIS_010
Pode-se então apreciar as seguintes situações:
•• aceleração normal (centrípeta): máxima em
M (nula em M1 e M2).
•• aceleração tangencial: máxima em M1 e M2 (nula
em M).
•• energia cinética: máxima em M (nula em M1
e M2)
•• energia potencial: máxima em M1 e M2 (nula em
M – nível)
Elementos
do movimento pendular
Os principais elementos são:
a) elongação (e): é a distância da massa pendu-lar,
em um instante dado, à posição de equilíbrio ou
centro da trajetória.Essa distância pode ser medida
sobre o arco de círculo ou então pelo ângulo entre
as direções do fio, no instante considerado, e na
posição central;
b) amplitude ( ): é a elongação ou deslocamen-to
máximo;
c) oscilação simples: é o percurso entre uma
posição extrema e a outra;
d) oscilação completa ou dupla ou ciclo: é um
percurso de ida e volta, compreendendo, portanto,
duas oscilações simples sucessivas;
e) frequência (f): é o número de oscilações com-pletas
executadas em uma unidade de tempo;
f) período (T): é o tempo gasto para se efetuar
uma oscilação completa. Para pêndulos simples, exe-cutando
pequenas oscilações (a ≤ 5°), tem-se:
onde é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração
de gravidade local, para oscilações pequenas, mas
não na faixa mencionada acima. Tem-se:
Leis do pêndulo simples
Considera-se quatro leis para os pêndulos
simples:
a) Lei do Isocronismo: as oscilações de peque-na
amplitude são isócronas.
b) Lei da Independência da Substância: a dura-ção
da oscilação não depende da substância,
da massa ou da forma do pêndulo.
c) Lei do Comprimento: a duração da oscilação
é diretamente proporcional à raiz quadrada
do comprimento.
d) Lei da Aceleração da Gravidade: o período de
oscilação é inversamente proporcional à raiz
quadrada da aceleração da gravidade no local.
A Lei do Isocronismo foi descoberta por Galileu,
mas Mersenne demonstrou que ela era verdadeira
apenas para as pequenas oscilações.
Pêndulo composto
Para um pêndulo composto, o período é dado por:
onde I é momento de inércia, m é a massa pendular,
g é a aceleração da gravidade e L é a distância do
centro de massa até o ponto de suspensão.
Movimento periódico
Já se viu que um fenômeno é periódico quando
se repete identicamente em iguais intervalos de
tempo. Matematicamente obedece à relação f(t)= f
(t+T), onde t é tempo e T o período (menor intervalo
de tempo de repetição do fenômeno).
A frequência (f), cuja unidade no SI é o hertz
(Hz)= s– 1, é conceituada como o número de repetições
do fenômeno na unidade de tempo.
Um ponto em MCU executa um
movimento periódico. Se o ponto dá
60 voltas completas em 30 segundos,
sua frequência é f= 60/30 s – 1 = 2,0Hz
(ou seja, duas voltas por segundo).

Isso equivale a dizermos que o corpo gasta 0,5s para
executar uma volta completa; ou seja, seu período é
T= 0,5s = (1/2)s = 1/f. Sua velocidade angular é =
2 /T = 4 rad/s.
Movimento oscilatório
ou vibratório
É todo movimento constituído de vaivém si-métrico
em torno de uma posição de equilíbrio. A
figura abaixo mostra dois exemplos de movimento
vibratório.
Pêndulo simples
É um dispositivo
formado por uma partí-cula
pesada, suspensa
por um fio ideal e que
pode oscilar periodi-camente
em torno de
uma posição de equi-líbrio,
como mostrado
na figura por um fio.
v = nula
a = máxima
O ângulo é a amplitude do pêndulo. O compri-mento
do fio é .
Componentes da força peso: peso normal (PN);
e peso tangencial (Pt), tais que:
Pt = P sen e PN = P cos .
É importante notar que, nas posições extremas,
a velocidade é nula, o afastamento da posição de
equilíbrio é máximo e, em consequência, a tendência
de fazer o corpo retornar (aceleração) é máxima. Na
posição de equilíbrio a velocidade da massa pendular
é máxima e a aceleração é nula.
Posteriormente, o pêndulo simples será analisado
quanto aos aspectos dinâmicos de seu movimento.
No exercício resolvido 1 demonstra-se que o pe-ríodo
de oscilação do pêndulo simples é dado por:
T = 2
010
g
FIS_V_EM_5 v = máxima
a = nula
v = nula
a = máxima
onde T é o período, o comprimento do fio e g a ace-leração
da gravidade local.
Movimento harmônico
simples (MHS)
Diz-se que um ponto material efetua um movi-mento
harmônico simples quando ele oscila periodi-camente
em torno de uma posição de equilíbrio sob a
ação de uma força FR (chamada força restauradora),
tal que FR=– kr, onde k é uma constante de propor-cionalidade
e r é a distância do ponto à posição de
equilíbrio, justificando-se o sinal negativo pelo fato
de FR, que sempre está voltada para a posição de
equilíbrio, sempre ser contrária ao sentido do movi-mento.
Na figura do pêndulo simples, mostrada no
item anterior, a força restauradora tem módulo igual
ao do componente tangencial da força peso: FR = – Pt
= – P sen = – mg sen = – mgk1 r = – kr, em que
k1 é a constante de proporcionalidade entre sen e r,
sendo mgk1 = k.
Relação entre o MCU e o MHS
(Equações do MHS)
Já se disse que, estando um ponto material
em MCU, sua projeção sobre o eixo central executa
um MHS.
Enquanto o ponto
móvel desloca-se de
P0 a P1 em MCU, sua
projeção E desloca-se
no sentido de A para B
em MHS.
A abscissa x cor-respondente
ao ponto e
chama-se elongação. A
elongação máxima é a
amplitude A do MHS, que iguala o raio R da trajetória.
Na figura, usando as equações do MCU, tem-se:
aN= 2R, aN=aceleração normal, =velocidade
angular, = 0+ t, =espaço angular no instante
t, 0=espaço angular em t=0 (fase inicial).
Função horária do MHS
Na figura, o triângulo P1OE, retângulo em E, nos
dá: x=R cos . Sendo R=A e = 0+ t, tem-se
x=Acos( 0+ t)
que é a função horária do MHS.
0

6
EM_V_FIS_010
A velocidade angular do MCU é dita ser a
pulsação ou frequência angular do MHS.
Velocidade escalar do MHS
No triângulo P1MT da figura, o ângulo em P1 é
igual ao ângulo em P1 do triângulo P1OE, pois são
agudos e de lados mutuamente perpendiculares;
como este é o complementar de , aquele também
o é. Voltando ao triângulo P1MT, a projeção do vetor
v na horizontal é o vetor P1M, de sentido negativo e
de módulo igual a v.cos(90° – ) ou v sen . Pode-se
então escrever que:
vMHS= – v sen = – .a.sen ( 0 + t)
que é a equação da velocidade escalar no MHS.
O sinal negativo indica que, nesse caso, o sentido
da velocidade é oposto ao sentido positivo do eixo
horizontal.
Na posição de equilíbrio (ponto O), tem-se:
0 + t = 90° e, por ser sen90° = 1, vem:
vMHS = – A = – R, que é o máximo valor de
velocidade escalar do MHS.
Aceleração escalar do MHS
Já se viu que, no triângulo P1OE da figura, o ân-gulo
do vértice P1 é 90°– . Se projetarmos o vetor aN
na direção horizontal, obteremos um vetor de sentido
contrário ao sentido positivo de x e de módulo
aN sen(90° – )=aNcos
que é o módulo da aceleração escalar do MHS.
Como: aN= 2R= 2A, vem que:
=– 2 A cos ( 0 + t)
Resumo das funções do MHS:
•• Posição: x = A cos( 0 + t)
•• Velocidade escalar: vMHS= – A sen( 0+ t)
•• Aceleração escalar:
= – 2A cos( 0+ t)= – 2x
É importante não esquecer os sinais de seno
e cosseno de = 0+ t:
Seno Cosseno
1. (UFGO) Um satélite descreve uma órbita circular no
plano do Equador. Sendo R o raio da Terra, a acelera-ção
centrípeta do satélite, numa órbita de raio igual a
3R, é:
g∃x
9
a)
g∃
3
b)
c) 3 g
d) g
e) 9 g
`` Solução:
Sendo aC P = agrav. teremos aC P = g3 R ou aC P
= GM
T
( 3R )
2 = GM
9R
=
1
9
GM
R
T
2
T
2 ; e como g = GM
R
T
2 aC P =
g
9
(opção A).
2. (Mogi) Um satélite artificial está descrevendo uma órbita
elíptica em torno da Terra e esta ocupa um dos focos.
Assinale a alternativa correta, levando em consideração
a figura abaixo.
A
A1 B 1
B
O
Terra
a) A velocidade linear do satélite em B é menor do
que em A.
b) As áreas varridas em OBB1 e OAA2 são iguais,
quaisquer que sejam os intervalos de tempo gastos
em varrê-las.
c) A velocidade linear do satélite na posição B1 é maior
do que em A1.
d) A razão entre o quadrado do período de revolução
do satélite em torno da Terra e o cubo do segmento
de reta OB é constante.
e) Nenhuma das anteriores é correta.
`` Solução: C
a) Errada: na posição mais perto da Terra a velocidade
é maior.
b) Errada: as áreas só serão iguais se for o mesmo

intervalo de tempo.
c) Correta: como OB1 é menor do que AO1 a veloci-dade
em B1 é maior do que em A1 (2.ª Lei de Ke-pler).
d) Errada: o segmento OB não é o raio médio.
e) Errada: porque (C) está correta.
3. (Aman) Designado por R o raio médio da órbita de um
planeta e por T o período de sua revolução em torno do
Sol, a expressão
R
T
= k
traduz, matematicamente, a 3.ª
2 3
Lei de Kepler, em que k é uma constante comum a todos
os planetas. Determinar o número de anos necessários
para Marte completar uma revolução completa ao redor
do Sol, sabendo que a distância média de Marte ao Sol
é 1,5 vezes a da Terra ao Sol.
a) 3,2 anos.
b) 1,5 anos.
c) 1,84 anos.
d) 10 anos.
e) 5,2 anos.
`` Solução: C
Aplicando-se a 3.ª Lei para a Terra:
R
T
3
= k T
2 e para
T
Marte:
R
T
3
= k M
2 ; igualando teremos
M
R
T
3
= T
2
T
R
T
3
M
2 , e como
M
RM = 1,5R T e T T = 1 ano, vem:
3
R
1
= T
(1,5R )
T
T
3
2 ou
M
2
T =
3
1,5 . R
R M
3
T
3 ⇒ TM = 1,84 anos.
T
4. (PUC) Medidas astronômicas revelam que a massa de
Marte é, aproximadamente, um décimo da massa da
Terra e que o raio da Terra é cerca de duas vezes maior
que o raio de Marte. Pode-se então concluir que a razão
entre as intensidades do campo gravitacional (isto é,
as acelerações da gravidade) nas superfícies de Marte
(gM) e da Terra (gT) vale:
gM
gT
a) = 0,05
gM
gT
b) = 0,1
gM
gT
c) = 0,2
2 e g =
2 , portanto,
M
2 , isto é, g T = 2,5 gM ⇒
1
3 = T
3 ou T
2
2
3
010
FIS_gV_d) M
= 0,4
EM_gT
7 gM
gT
e) = 0,8
`` Solução: D
g = GM
R M
M
M
GM
R T
T
T
g =
G .10M
( 2R )
=
2,5G M
R T
M
2
M
M
g
g
= 0,4 m
T
.
5. (Cesgranrio) O raio médio da órbita de Marte em torno
do Sol é aproximadamente quatro vezes maior do que
o raio médio da órbita de Mercúrio em torno do Sol.
Assim, a razão entre os períodos de revolução, T1 e T2,
de Marte e de Mercúrio, respectivamente, vale:
T1
T2
a) =
1
4
T1
T2
b) =
1
2
T1
T2
c) = 2
T1
T2
d) = 4
T1
T2
e) = 8
`` Solução: E
Aplicando a 3.ª Lei de Kepler para Marte (1) e para
Mercúrio (2), vem: T
R
2
1
R
2
2
T
=
( 4R )
R
1
2
2
2
3
2
⇒
T
T
= 64 = 8 1
2
.
6. (PUC) Dois pêndulos simples têm comprimentos iguais
a 100cm e 36cm, respectivamente. Para pequenas os-cilações
(5.º aproximadamente), a razão entre os seus
períodos é:
5
4
a)
5
3
b)
c) 25
6
15
16
d)
25
9
e)
`` Solução: B

8
EM_V_FIS_010
Aplicando a equação do período para pequenas osci-lações
; para os dois pêndulos
e . Dividindo-se membro a membro as
expressões, teremos: . Substituindo os
valores e eliminando-se os termos possíveis, temos:
.
7. (UFF) Para pêndulos simples com oscilações de peque-na
amplitude, o período é dado por:
Nessa expressão, representa o comprimento do
pêndulo e g representa a intensidade do campo
gravitacional. Se quadruplicarmos o comprimento desse
pêndulo e reduzirmos sua massa à metade, o novo
período T1 passará a ser de:
a) 4T
b) 2T
c) T
d)
T
4
T
2
e)
`` Solução: B
Como e , dividindo-se mem-bro
a membro, temos: ou T 1 = 2T.
(Unificado) As questões 8 e 9 referem-se ao seguinte
enunciado:
Uma esfera de massa m, suspensa por um fio a um
ponto 0, é solta, a partir do repouso, de um ponto A,
descrevendo um arco de circunferência e passando a
oscilar entre as posições extremas A e E. A figura abaixo
ilustra esse movimento.
8. Tendo em vista os esforços a que o fio fica submetido,
a posição em que ele terá mais probabilidade de se
romper será:
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
`` Solução: C
Como no ponto C a velocidade é máxima, e sabendo-se
que a força centrípeta vale , nesse ponto tem-se
a força centrípeta máxima, pois m e R são constantes.
Nesse ponto C, a força centrípeta tem módulo Fcp = T – P,
e o peso também é constante se Fcp máxima ⇒ T máxima .
9. Com base nas opções apresentadas na figura abaixo, o
vetor que representa a aceleração da esfera, ao passar
pelo ponto D, é:
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
`` Solução: C
No ponto D, a massa pendular estará submetida à força
peso ( I ) e à força de tração do fio (IV).
10. (EN) Um pêndulo simples é constituído por uma esfera
de metal, de diâmetro desprezível, suspensa por um fio
cujo coeficiente de dilatação linear é 2,0 . 10–5 °C–1. Um
relógio desse pêndulo é correto a 20ºC e seu período é
de 2s. Quando a temperatura for mantida a 30ºC, o atraso
do relógio em uma hora é, aproximadamente, de:

Considere: p = 3,14 1,0002 @ 1,0001
1,0004 @ 1,0002 1,0008 @ 1,0004
a) 30s
b) 18s
c) 8,0s
d) 1,0s
e) 0,36s
`` Solução: E
Aplicando-se a equação do período para as duas tem-peraturas
dadas:
Simplificando e substituindo pelos valores dados, temos:
⇒ ou:
2
T30
=
1
1,0001
T30 = 2,0002s
Então T30 atrasa 0,0002s ou 0,01 % em relação a T20 .
Podemos montar uma regra de três, para uma hora:
1h ≡  3,600s
0,01%h ≡  y ; portanto y = 0,36s.
11. Em uma das missões científicas do Programa Apolo, os
astronautas determinaram o período de oscilação de um
pêndulo simples na superfície da lua.
As figuras das opções a seguir reproduzem a oscilação
desse pêndulo desde um dos pontos mais altos de sua
trajetória (M) até um outro ponto (N).
Em qual dessas opções está corretamente representada a
resultante
r
R de todas as forças que atuam sobre a massa
do pêndulo simples quando esta passa pelo ponto N?
a)
b)
010
FIS_c)
V_EM_9 d)
e)
`` Solução: B
As forças que atuam na massa pendular em N são o
peso e a tração.
R
T
N
P
M
A velocidade no ponto N é diferente de zero, pois o
ponto N se encontra abaixo do ponto M. Desse modo,
no movimento resultante haverá componentes centrípe-ta
e tangencial da aceleração. A soma vetorial dessas
componentes dá resultado a um vetor que só pode ser
representado pela alternativa B.
12. (UFC - Adap.) Um carrinho desloca-se com velocidade
constante V0, sobre uma superfície horizontal sem atrito
(veja figura a seguir).
O carrinho choca-se com uma mola de massa desprezível,
ficando preso à mesma. O sistema mola+carrinho
começa, então, a oscilar em movimento harmônico
simples, com amplitude de valor A. Pede-se:
a) Determine o período de oscilação do sistema.
b) Institua analogamente uma fórmula para o período
de oscilação de um pêndulo simples.
`` Solução:
Antes devemos instituir alguns conceitos que serão vistos
em Dinâmica:
1) Todo corpo em movimento tem a si associada uma

10
EM_V_FIS_010
energia chamada energia cinética e que obedece à
seguinte relação: Ec = mv2/2.
2) Quando a mola passa a executar o MHS solidária
ao carrinho, percorrendo a amplitude A, o carrinho
perde energia cinética e a mola ganha energia po-tencial
elástica (aumenta a potencialidade de frear
o carrinho, enquanto ela se comprime). Assim, o
que o carrinho perde em energia cinética, a mola
ganha em energia potencial elástica. A fórmula da
energia potencial elástica é EM = kx2/2, onde K é a
constante elástica da mola e x a sua deformação.
Passemos, então, à solução:
a) A força restauradora da mola é dada por F = – kx.
Pela 2.a Lei de Newton, no entanto, F = mα , onde
m é a massa do conjunto corpo oscilante-mola e
é a aceleração desse conjunto (aceleração es-calar
do MHS). Daí, = – kx/m. Tal aceleração,
no entanto, como se trata de MHS, vale = – 2x.
Dessas duas igualdades, vem 2 = k
m
e = k
m
.
Como = 2
T
, tem-se finalmente que o período do
conjunto massa-mola em MHS, chamado oscilador
harmônico, é dado por T= 2 m
k
.
No exercício considerado, como já se disse, a va-riação
de energia cinética do carrinho representa
a variação da energia potencial elástica da mola.
Daí: 1
2
kA2 = 1
2
mV0
2 ou m
k
= A2
V0
2. Substituindo na
fórmula do período do oscilador harmônico, vem T =
2 . A
V0
b) No caso do pêndulo simples, a força restauradora é
– mg sen , onde é o ângulo formado pelo fio com
a vertical, e, portanto, pela 2.a Lei de Newton, tira-se
que = – g sen . Para pequenas oscilações, no
entanto, sen , donde = – g . Por tratar-se de
MHS, tem-se também = - 2x = - 2 . Igualando
as duas expressões de , tem-se: g = 2 ou
= g ou 2
T
= g T = 2 g .
13. (UFES) Um projétil de massa m = 50g colide frontal-mente
com um bloco de madeira de massa M = 3,95kg,
ficando alojado em seu interior. O bloco está preso
a uma mola de constante elástica k = 1,0N/m, como
mostra a figura.
Antes da colisão, o bloco estava na posição de
equilíbrio da mola. Após a colisão, o sistema realiza um
movimento harmônico simples de amplitude A = 30cm.
A resistência do ar e o atrito entre a superfície e o bloco
são desprezíveis.
O módulo da velocidade do projétil, pouco antes de
atingir o bloco, e a frequência das oscilações valem,
respectivamente,
a) 10m/s e (2 )-1Hz
b) 10m/s e (4 )-1Hz
c) 12m/s e (2 )-1Hz
d) 12m/s e (4 )-1Hz
e) 16m/s e (3 )-1Hz
`` Solução: D
O período T do conjunto bala-bloco-mola vale
T = 2 m
k
= 2 3,95 + 0,05
1,0
= 4 . Como a frequên-cia
f é o inverso do período, vem f = (4 )-1Hz e, assim, a
resposta correta ou é a da letra B ou a da letra D.
Antes de a bala atingir o bloco, a quantidade de movi-mento
do conjunto era devida somente ao movimento
da bala e valia Qantes = mb . vb = 0,05vb.
Imediatamente após o choque, todo o conjunto inicia
MHS a partir da posição de equilíbrio, onde a veloci-dade
escalar tem módulo máximo e igual a VA = 2
T
A
=
2
4
. 0,30 = 0,15m/s. A quantidade de movimento
do conjunto logo após o impacto da bala vale, pois,
Qdepois= mc . vc = 4,0 . 0,15 = 0,60kg . m/s.
Durante um choque, as forças internas desenvolvidas
no sistema são muito maiores que as externas; assim, o
sistema pode ser considerado isolado da ação de forças
externas, que são as que têm potencialidade para alterar-lhe
o estado de repouso ou de movimento. Isso impõe
a condição de ser Q antes = Qdepois, donde 0,05vb = 0,60 e,
portanto, vb = 12m/s.
A resposta correta, portanto, é a da letra D.
14. (Mackenzie)
Um corpo de 50g, preso à extremidade de uma mola
ideal (constante elástica = 3,2N/m) comprimida de
30cm, é abandonado do repouso da posição A da figura.
A partir desse instante, o corpo inicia um movimento
harmônico simples. Despreze os atritos e adote o eixo
x com origem no ponto de equilíbrio do corpo (ponto
O) e sentido para a direita. A função que mostra a
velocidade desse corpo em função do tempo, no sistema
internacional, é:

v = –2,4 sen (8.t + )
a) v = –0,3 sen (3,2.t + /2)
b) v = –7,2 sen (4. .t + )
c) v = –2,7 sen (4.t + )
d) v = –1,2 sen (2.t + /4)
`` Solução: A
Dados: m = 50g = 0,050kg; k = 3,2N/m; A = 30cm
= 0,30m.
Deseja-se: equação da velocidade escalar do MHS.
No MHS: vMHS = – A sen (φ 0+ t).
O período T é dado pela expressão T = 2 m
k
.
Sendo =
2/
T
, substituindo nessa expressão a do
período, tem-se = m
k
= 3,2
0,050
= 8,0rad/s
Substituindo na equação da velocidade escalar do MHS
os valores disponíveis, vem:
vMHS= – A sen (φ 0+ t) = – 8 . 0,30 sen ( + 8t) ou
vMHS= – 2,4sen ( + 8t), o que nos conduz à alternativa
da letra A.
15. (Unicamp-Adap.) Durante muito tempo, desde que
surgiram, os relógios eram construídos baseados nas leis
do pêndulo simples: o ajuste fino era dado por meio de
uma rosca na extremidade livre da haste do pêndulo, que
permitia alterar o seu comprimento e, por conseguinte,
o período de oscilação, facultando adiantar ou atrasar o
relógio. Com as grandes navegações dos séculos XV e
XVI, no entanto, surgiu a necessidade de um relógio mais
aperfeiçoado que permitisse a determinação da longitu-de
com mais precisão, pois o balançar das embarcações
equivalia a variações no campo gravitacional terrestre,
alterando significativamente o período de oscilação e,
por conseguinte, a precisão do relógio, gerando erros
grosseiros na determinação das posições durante as
navegações e nas demarcações de territórios. Surgiu en-tão,
em decorrência disso, o relógio náutico a balancim,
baseado no sistema massa-mola que, independendo
da gravidade terrestre, não era afetado pelo jogo dos
navios, permitindo uma navegação mais precisa. Foram
os precursores dos relógios de pulso que, por sua vez,
evoluíram para os relógios a cristal de quartzo, usados
até os dias de hoje.
A figura mostra um antigo relógio de pêndulo:
Sabendo que esse relógio foi calibrado no frio
inverno gaúcho, responda e justifique:
a) Ele atrasará ou adiantará se for transpor-tado
010
FIS_para o quente verão nordestino?
V_EM_11 b) Se o relógio for transportado do nordeste para a Lua,
nas mesmas condições de temperatura, ele atrasará
ou adiantará?
`` Solução:
Como já se viu, o período T de oscilação de um pêndulo
simples é determinado pela fórmula T = 2
g
: comprimento de onda
g: aceleração da gravidade.
a) No verão do nordeste brasileiro, bem mais quente
que o frio inverno gaúcho em que o relógio foi ca-librado,
o comprimento do pêndulo aumentará por
dilatação térmica. Isso fará aumentar o período de
oscilação e, portanto, diminuir a frequência, o que
fará que o relógio atrase, em virtude de os movi-mentos
dos ponteiros serem em função da quan-tidade
inteira de ciclos realizados (podemos dizer
que tais movimentos são discretos ou quantizados,
e não contínuos).
b) A aceleração da gravidade na Lua é menor que o
valor da gravidade na Terra. Tal diminuição de g fará
aumentar o período e o relógio igualmente atrasa-rá,
pelos motivos expostos no item a acima.
1. (PUC-Rio) Um certo cometa se desloca ao redor do Sol.
Levando-se em conta as Leis de Kepler, pode-se com
certeza afirmar que:
a) a trajetória do cometa é uma circunferência, cujo
centro o Sol ocupa.
b) num mesmo intervalo de tempo ∆t, o cometa des-creve
a maior área entre duas posições e o Sol,
quando está mais próximo do Sol.
c) a razão entre o cubo de seu período e o cubo do
raio médio da sua trajetória é uma constante.
d) o cometa, por ter uma massa bem maior do que a
do Sol, não é atraído por ele.
e) o raio vetor que liga o cometa ao Sol varre áreas
iguais em tempos iguais.
2. (UERJ) A figura ilustra o movimento de um planeta em
torno do Sol.

12
EM_V_FIS_010
Se os tempos gastos para o planeta se deslocar de A
para B, de C para D e de E para F são iguais, então as
áreas A1, A2 e A3 apresentam a seguinte relação:
a) A1 = A2 = A3
b) A1 > A2 = A3
c) A1 < A2 < A3
d) A1 > A2 > A3
3. (Fuvest) Considere um planeta em órbita elíptica em
torno do Sol. O ponto A é o ponto da órbita mais próximo
do Sol e o ponto B é o mais distante. Com base nessas
informações, no ponto A temos:
a) a velocidade de rotação do planeta é máxima.
b) a velocidade de translação se anula.
c) a velocidade de translação do planeta é máxima.
d) a força gravitacional sobre o planeta se anula.
e) a velocidade de rotação do planeta é mínima.
4. (Mackenzie) Dois satélites de um planeta tem períodos
de revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente.
Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 1 unidade,
então o raio do segundo terá:
a) 4 unidades.
b) 8 unidades.
c) 16 unidades.
d) 64 unidades.
e) 128 unidades.
5. (PUC-SP) Sabe-se que um planeta gira em torno do Sol
com raio de órbita 4 vezes maior que a distância da terra
ao Sol. Quantos anos terrestres leva esse planeta para
dar uma volta completa em torno do Sol? (Considere as
órbitas circulares).
a) 64 anos.
b) 8 anos.
c) 4 anos.
d) 2 anos.
e) 1 ano.
6. (AFA-SP) De acordo com Johannes Kepler (1571-1630),
“o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional
ao cubo do semieixo maior de sua órbita”. Com respeito à
órbita da Terra em relação ao Sol, sabe-se que o período
é de um ano e o semieixo maior é de 15 . 1010metros.
A partir dessas informações, pode-se afirmar que a
ordem de grandeza da constante de proporcionalidade,
em s2/m3, é:
a) 10-12
b) 10-15
c) 10-19
d) 10-23
7. (UERJ) Se um corpo fosse levado para a superfície de
um astro de forma esférica, cuja a massa fosse oito vezes
maior que a da Terra e cujo o raio fosse quatro vezes maior
que o raio terrestre, qual seria a relação entre o seu peso
naquele astro e o seu peso na Terra.
a) 0,5
b) 2
c) 4
d) 8
e) 16
8. (Cesgranrio) Qual é, aproximadamente, o valor do
módulo da aceleração de um satélite em órbita circular
em torno da Terra, à uma altitude igual a cinco vezes o
raio da Terra?
a) 25m/s2
b) 5m/s2
c) 6m/s2
d) 2m/s2
e) 0,3m/s2
9. (FEI-SP) No sistema solar, um planeta em órbita circular
de raio R demora 2 anos terrestres para completar uma
revolução. Qual o período de revolução de outro planeta
em órbita de raio 2R?
10. (Fuvest) Um satélite artificial move-se em órbita circular
ao redor da Terra, ficando permanentemente sobre a
cidade de Macapá.
a) Qual o período do satélite?
b) Porque o satélite não cai sobre a cidade?
11. (Unitau) Indique a alternativa que preenche corretamen-te
as lacunas da questão a seguir.
a) Um pêndulo simples está animado de um movi-mento
harmônico simples. Nos pontos extremos
da trajetória, a velocidade da bolinha do pêndulo
é ________, a aceleração é ________, e a ener-gia
potencial é ________. À medida que a bolinha
se aproxima do centro da trajetória, a velocidade

________, a aceleração ________ e a energia po-tencial
_______.
b) nula, máxima, máxima, diminui, aumenta, diminui.
c) máxima, nula, máxima, diminui, aumenta, diminui.
d) máxima, máxima, nula, diminui, aumenta, diminui.
e) nula, máxima, máxima, aumenta, diminui, diminui.
f) nula, mínima, mínima, diminui, diminui, diminui.
12. (Unesp) Período de um pêndulo é o intervalo de tempo
gasto numa oscilação completa. Um pêndulo executa 10
oscilações completas em 9,0s. Seu período é:
a) 0,9s
b) 1,1s
c) 9,0s
d) 10,0s
e) 90,0s
13. (Fatec–SP) O período de oscilação de um pêndulo
simples pode ser calculado por T= 2π
L
g , onde L é o
comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade
(ou campo gravitacional) do local onde o pêndulo se
encontra.
Um relógio de pêndulo marca, na Terra, a hora exata.
É correto afirmar que, se esse relógio for levado para
a Lua:
a) atrasará, pois o campo gravitacional lunar é diferen-te
do terrestre.
b) não haverá alteração no período de seu pêndulo,
pois o tempo na Lua passa da mesma maneira que
na Terra.
c) seu comportamento é imprevisível sem o conheci-mento
de sua massa.
d) adiantará, pois o campo gravitacional lunar é dife-rente
do terrestre.
e) não haverá alteração no seu período, pois o campo
gravitacional lunar é igual ao campo gravitacional
terrestre.
14. (UECE) Um pêndulo simples oscila com pequena am-plitude
na vizinhança da posição de equilíbrio. Podemos
afirmar que a grandeza, referente à partícula oscilante,
que permanece invariável durante o movimento pen-dular,
é a:
a) velocidade linear.
b) frequência de oscilação.
c) aceleração centrípeta.
d) energia cinética.
15. (Mackenzie) Um pêndulo simples tem comprimento L e
massa m. Quando este pêndulo oscila num local onde
a aceleração gravitacional é
rg
, o período do movimento
é T. Se quadruplicarmos seu comprimento e reduzirmos
sua massa 1/4 da inicial, o novo período do movimento
será:
T
4
a)
T
2
b)
c) T
d) 2T
e) 4T
16. (Mackenzie) Comenta-se que o célebre físico e matemá-tico
Galileu Galilei, ao observar a oscilação do lampadário
da catedral de Pisa, na Itália, concluiu tratar-se de um
movimento periódico, semelhante ao que hoje chamaría-mos
de pêndulo simples. Para tal conclusão, teria medido
o período do movimento, utilizando, como unidade de
medida para o tempo, seu próprio batimento cardíaco. Se
considerarmos um grande pêndulo simples, de compri-mento
10m, oscilando num local onde g=10m/s2, e que
a frequência dos batimentos cardíacos é de 86 batidas
por minuto, o período do movimento desse pêndulo será
de aproximadamente:
a) 3 batidas.
b) 6 batidas.
c) 9 batidas.
d) 12 batidas.
e) 15 batidas.
17. (PUCRS) Um pêndulo simples está oscilando, e os atritos
com o ar e no ponto de fixação reduzem gradualmente a
amplitude de seu movimento. Afirma-se que:
I. A velocidade escalar média do pêndulo está dimi-nuindo.
II. A aceleração escalar média do pêndulo está au-mentando.
III. O período de oscilação e a amplitude diminuem na
mesma proporção.
Analisando as afirmativas acima, deve-se concluir que:
a) somente I é correta.
b) somente II é correta.
c) somente III é correta.
d) I e II são corretas.
e) I e III são corretas.
13 EM_V_FIS_010

14
EM_V_FIS_010
(Unesp) O período de oscilação de 18. um pêndulo simples,
que oscila com amplitude muito pequena, é dado por
T = 2π
L
g , onde L é o comprimento do pêndulo e g
a aceleração da gravidade. Se esse comprimento fosse
quadruplicado:
a) O que ocorreria com seu período?
b) O que ocorreria com sua frequência?
19. (Cesgranrio) Dois pêndulos apresentam comprimentos
diferentes. Sendo L1 o comprimento do primeiro e L2 o do
segundo, pode-se afirmar que sendo L1 > L2 a relação
entre os períodos T1 e T2 é:
a) T1 = T2
b) T1 = 2 T2
c) T1 < T2
d) T1 > T2
e) T1 = 2T2
20. Regulamos, num dia frio e ao nível do mar, um relógio
de pêndulo de cobre. Esse mesmo relógio, e no mesmo
local, num dia quente, deverá:
a) não sofrer alteração no seu funcionamento.
b) adiantar.
c) atrasar.
d) aumentar a frequência de suas oscilações.
21. (Fuvest) Considere três pêndulos, conforme indica a
figura.
As massas de A e B são iguais a 1kg e a massa de C é
igual a 2kg. Quando os mesmos são postos a oscilar,
com pequenas amplitudes, podemos afirmar que:
a) os três pêndulos possuem a mesma frequência.
b) a frequência do pêndulo B é maior que as dos pên-dulos
A e C.
c) os pêndulos B e C possuem a mesma frequência.
d) os pêndulos A e C possuem a mesma frequência.
e) o pêndulo C possui a maior frequência.
22. (Mackenzie) O pêndulo a seguir é constituído de um fio
ideal e a massa suspensa m oscila periodicamente, gas-tando
um tempo mínimo de 2,0s para ir da extremidade
A à extremidade C. Supondo g = 10m/s2, então o com-primento
do fio em metros é de, aproximadamente:
a) 8,0
b) 4,0
c) 3,0
d) 2,0
e) 1,0
23. (Fuvest) Um trapezista abre as mãos e larga a barra
de um trapézio ao passar pelo ponto mais baixo da
oscilação. Desprezando-se o atrito, podemos afirmar
que o trapézio:
a) para de oscilar.
b) aumenta a amplitude de oscilação.
c) tem seu período de oscilação aumentado.
d) não sofre alteração na sua frequência.
e) aumenta sua energia mecânica.
24. (Mackenzie) Uma partícula descreve um movimento
harmônico simples segundo a equação X= 0,3cos(
π
3
+2t), no S.I. O módulo da máxima velocidade atingida por
essa partícula é:
a) 0,3m/s
b) 0,1m/s
c) 0,6m/s
d) 0,2m/s
e) π /3m/s
25. (Cesgranrio) Uma partícula descreve um movimento
harmônico simples, com equação horária, escrita em
unidades do Sistema Internacional, x(t)= 4sen (2t). A
frequência, em Hz, desse movimento é igual a:
a) 2π
b) π
c) 1
1
π
d)
1
2
e) π
26. Um móvel executa um Movimento Harmônico Simples
π
+ π , no Sistema
de função horária: x = 4 cos ( 3 t)
5
Internacional. Determine:

a) a fase inicial.
b) a pulsação.
c) a velocidade máxima.
27. (UFRGS) Um corpo em Movimento Harmônico Simples
desloca-se entre as posições –50cm e 50cm de sua
trajetória, gastando 10s para ir de uma a outra.Conside-rando
que, no instante inicial, o móvel estava na posição
de equilíbrio, determine:
a) a amplitude do movimento.
b) o período.
c) a frequência.
d) a pulsação.
e) a equação horária do movimento.
28. (UFGO) Seja uma partícula em Movimento Harmônico
Simples regida pela função: x = 0,1cos (2πt), para x em
metros e t em segundos. Responda:
a) O que representa as constantes 0,1 e 2π.
b) Qual a frequência em Hz, do movimento.
c) Em que posição se encontra a partícula em t = 0s?
Qual a velocidade nesse instante.
d) Em que posição a energia cinética é máxima? Em
que instantes isso acontece.
1. (UFRGS) O módulo da força de atração gravitacional
entre duas pequenas esferas de massa m iguais, cujos
centros estão separados por uma distância d é F.
Substituindo-se uma das esferas por outra de massa 2m
e reduzindo-se a distância entre os centros das esferas
para d/2, resulta uma força gravitacional de módulo:
a) F
b) 2F
c) 4F
d) 8F
e) 16F
2. (Fuvest) No Sistema Solar, o planeta Saturno tem massa
cerca de 100 vezes maior do que a da Terra e descreve
uma órbita, em torno do Sol, a uma distância média 10
vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol
(valores aproximados). A razão (Fsat/FT) entre a força
gravitacional com que o Sol atrai Saturno e a força
gravitacional com que o Sol atrai a Terra é de aproxi-madamente:
a) 1 000
b) 10
c) 1
d) 0,1
e) 0,001
3. (UFF) O tempo (T) necessário para que um planeta
qualquer complete uma volta em torno do Sol, conside-rando
sua órbita como sendo circular, pode ser relacio-nado
com raio (r) de sua órbita pela expressão:
Onde G é uma constante e M, a massa do Sol.
Para obter-se tal expressão, é suficiente a aplicação
conjunta das seguintes leis da física:
a) Lei dos Períodos de Kepler e Primeira Lei de
Newton.
b) Lei da Conservação de Energia e Lei da Ação e
Reação.
c) Lei da Gravitação Universal e Segunda Lei de
Newton.
d) Lei da Ação e Reação e Lei da Gravitação Universal.
e) Lei da Conservação do Momento Linear e Lei dos
Períodos de Kepler.
4. (UFOP) A figura seguinte mostra a órbita de um planeta
em seu movimento em torno do Sol.
Afirma-se que:
I. Se o tempo que o planeta gasta para se deslocar
de A até B é igual ao tempo que ele gasta para se
deslocar de C até D, então as áreas hachuradas da
figura são iguais.
II. A velocidade do planeta no ponto A é maior do que
no ponto D.
III. A energia mecânica do planeta no ponto A é maior
do que no ponto D.
Assinale a opção correta.
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
15 EM_V_FIS_010

16
EM_V_FIS_010
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) Apenas I e III são verdadeiras.
e) I, II e III são verdadeiras.
5. (Unirio) Um satélite de telecomunicações está em sua
órbita ao redor da Terra com período T. Uma viagem do
ônibus espacial fará a instalação de novos equipamentos
nesse satélite, o que duplicará sua massa em relação
ao valor original. Considerando que permaneça com a
mesma órbita, seu novo período T’ será:
a) T’ = 9T
b) T’ = 3T
c) T’ = T
d) T’ = 1/3T
e) T’ = 1/9T
6. (UFRJ) A tabela abaixo ilustra uma das leis do movi-mento
dos planetas: a razão entre o cubo da distância
D de um planeta ao Sol e o quadrado do seu período de
revolução T em torno do Sol é constante. O período é
medido em anos e a distância em unidades astronômicas
(UA). A unidade astronômica é igual à distância média
entre o Sol e a Terra. Suponha que o Sol esteja no centro
comum das órbitas circulares dos planetas.
Plane-ta
Mercúrio Vênus Terra Marte
Júpi-ter
Satur-no
T2 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
D3 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
Um astrônomo amador supõe ter descoberto um
novo planeta no sistema solar e o batiza como planeta
X. O período estimado do planeta X é de 125 anos.
Calcule:
a) a distância do planeta X ao Sol em Unidades As-tronômicas.
b) a razão entre a velocidade orbital do planeta X e a
velocidade orbital da Terra.
7. (UFMG) Um satélite brasileiro é lançado ao espaço de
tal forma que entra em órbita circular em torno da linha
do Equador terrestre.
a) Considerando que a única força que age no satéli-te
é a força gravitacional terrestre, devido a Lei da
Gravitação Universal, determine a relação entre a
velocidade angular do satélite ω e a sua distância R
ao centro da Terra.
b) Satélites de telecomunicação são, na maioria, geo-estacionários,
ou seja, uma antena parabólica fixa
na Terra o “veria” parado no céu. Considerando que
o período de rotação deste tipo de satélite é 24 ho-ras,
calcule o valor aproximado de sua distância em
relação ao centro da Terra. (Sugestão: use a res-posta
do item anterior)
8. (UFSCar) Suponha que uma das Luas de Júpiter, de
massa m, descreva uma órbita circular durante um
período T. Determine o raio R da órbita dessa Lua se a
massa de Júpiter é M.
9. (UFF) Em certo sistema planetário alinham-se em um
dado momento, um planeta, um asteroide e um satélite,
como representa a figura.
Sabendo-se que:
— a massa do satélite é 1 000 vezes menor que a mas-sa
do planeta;
— o raio do satélite é muito menor que o raio R do
planeta.
Determine a razão entre as forças gravitacionais
exercidas pelo planeta e pelo satélite sobre o aste-roide.
10. (Fuvest) Se fosse possível colocar um satélite em órbita
rasante em torno da Terra, o seu período seria T. Sendo
G a constante de gravitação universal, expresse a massa
específica média da Terra em função de T e G.
11. (UFRJ) Considere a órbita da Terra em torno do Sol
circular, de raio igual a 1,5 × 1011m. Sendo a constante
de gravitação universal aproximadamente 6,7 × 10-11
N.m2/kg2 e um ano aproximadamente π × 107s, estime
a ordem de grandeza em kg, da massa do Sol.
12. (UFRRJ) Dois pêndulos simples, A e B, estão oscilando
num mesmo local. Enquanto A faz uma oscilação em um
segundo, B faz duas. Pode-se afirmar, sobre cada um
dos pêndulos, que:
a) o comprimento de B é quatro vezes mais curto que
o de A.
b) o comprimento de A é quatro vezes mais curto que
o de B.
c) os comprimentos de A e de B são iguais, só suas
velocidades é que são diferentes.
d) a massa de A é menor que a massa de B.
e) a massa de B é menor que a massa de A.
13. (UFRRJ) Em 1581, na Catedral de Pisa, Galileu
teve sua atenção despertada para um candelabro que
oscilava sob a ação do vento, descrevendo arcos de
diferentes tamanhos.
Reproduzindo esse movimento com um pêndulo simples
de comprimento L e massa m, como o representado na

figura a seguir, Galileu constatou que o tempo de uma
oscilação pequena (para a qual senθ≅θ) era função:
A frequência de oscilação do pêndulo depende:
a) do comprimento do pêndulo, de sua massa e da
aceleração da gravidade.
b) apenas do comprimento do pêndulo.
c) do comprimento do pêndulo e da aceleração da
gravidade.
d) apenas da aceleração da gravidade.
e) apenas da massa do pêndulo.
14. (UERJ)
O tempo de
oscilação de um
pêndulo não depen-de
do peso do corpo
suspenso na extre-midade
do fio.
Galileu
Com base nesse conhecimento, Galileu, antes mesmo
de realizar seu famoso experimento da torre de Pisa,
afirmou que uma pedra leve e outra pesada, quando
abandonadas livremente de uma mesma altura, deveriam
levar o mesmo tempo para chegar ao solo.
Tal afirmação é um exemplo de:
a) lei.
b) teoria.
c) modelo.
d) hipótese.
15. (UFSM) Um corpo de massa m é preso a um fio de
comprimento L, constituindo um pêndulo que passa a
oscilar em movimento harmônico simples com amplitude
A. Em meio período, o corpo percorre uma distância de,
aproximadamente:
a) A
b) 2A
c) 2A
d) 3A
e) 4A
16. (ITA) Dois pêndulos de comprimento L1 e L2, conforme
a figura, oscilam de tal modo que os dois bulbos se en-contram
sempre que decorrem seis períodos do pêndulo
menor e quatro períodos do pêndulo maior.
A relação L2/L1 deve ser:
a) 9/4
b) 3/2
c) 2
d) 4/9
e) 2/3
17. (UFMA) Dois relógios (A e B) de pêndulo estão no
mesmo local e foram acertados às 17h.
Os pêndulos têm comprimentos iguais a 30cm, porém
suas massas são: mA = 60g e mB = 90g. Após 12h,
podemos afirmar que:
a) o relógio A estará atrasado em relação ao relógio B.
b) o relógio B estará atrasado em relação ao relógio A.
c) o relógio A marcará a mesma hora do relógio B.
d) o relógio A estará adiantado 30min em relação ao
relógio B.
e) o relógio B estará adiantado 30min em relação ao
relógio A.
18. (ITA) Dois pêndulos simples são abandonados a
partir de uma posição P em que eles se tocam, como
ilustra a figura. Sabendo-se que os comprimentos dos
pêndulos estão na razão L2/L1 = 4/9 e que os períodos
são T1 e T2, depois de quanto tempo t eles se tocarão
novamente?
a) t = 3T1
b) t = 2T1
c) t = 4T2
d) t = 9T1
e) Eles nunca se tocarão outra vez.
17 EM_V_FIS_010

18
EM_V_FIS_010
19. (ITA) Um pêndulo simples oscila com um período de
2,0s. Se cravarmos um pino a uma distância 3
L do
4
ponto de suspensão e na vertical que passa por aquele
ponto, como mostrado na figura, qual será o novo pe-ríodo
do pêndulo?
Despreze os atritos. Considere ângulos pequenos tanto
antes quanto depois de atingir o pino:
a) 1,5s
b) 2,7s
c) 3,0s
d) 4,0s
e) o período de oscilação não se altera
20. (Fuvest) O pêndulo de Foucault – polarizado pela famosa
obra de Umberto Eco – consistia de uma esfera de 28kg,
pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio
de 67m de comprimento. Sabe-se que o período T de
oscilação de um pêndulo simples é relacionado com o
seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g
pela seguinte expressão:
T = 2π
L
g
a) Qual o período de oscilação do pêndulo de Fou-cault?
Despreze as frações de segundos.
b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se
dobrássemos a sua massa?
(Adote g = 10m/s2 e 10 = )
21. (EN) A frequência de um pêndulo simples de 1 milímetro
de comprimento, ao nível do mar, é 16Hz. A frequência,
em Hz, de um outro pêndulo simples de 4 milímetros de
comprimento, num local em que a extremidade fixa do
mesmo encontra-se a uma distância, do centro da Terra,
de 4 vezes o raio terrestre é:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32
22. (AMAN) Um pêndulo simples de comprimento 100cm
efetua em 2,00 segundos uma oscilação completa. Cal-cular
o valor da aceleração local da gravidade em m/s2.
a) 9,10
b) 8,99
c) 9,80
d) 9,86
e) 9,14
23. O período de um pêndulo simples é de 12s. No mesmo
local, determinar o período de um segundo pêndulo,
cujo comprimento é a quarta parte do comprimento
do primeiro.
24. (ITA) Uma técnica muito empregada para medir o valor
da aceleração da gravidade local é aquela que utiliza
um pêndulo simples. Para se obter a maior precisão no
valor de g deve-se:
a) usar uma massa maior.
b) usar um comprimento menor para o fio.
c) medir um número maior de períodos.
d) aumentar a amplitude das oscilações.
e) fazer várias medidas com massas diferentes.
25. (Fuvest) Uma peça, com a forma indicada, gira em um eixo
horizontal P, com velocidade angular constante e igual
a πrad/s. Uma mola mantém uma haste sobre a peça,
podendo a haste mover-se na vertical. A forma da peça é
tal que, enquanto a extremidade da haste sobe e desce,
descreve, com passar do tempo, um movimento harmônico
simples como indicado no gráfico.
Assim, a frequência do movimento da extremidade da
haste será de:
a) 3,0Hz
b) 1,5Hz
c) 1,0Hz
d) 0,75Hz
e) 0,5Hz
26. (UFSC) A equação de um movimento harmônico simples
π
), onde x está expresso em
é: x = 10 cos (100πt+ 3
centímetro e t em segundos. Determine o valor numé-rico
da razão entre a frequência e a amplitude deste
movimento em Hz/cm.
27. (Faap) Um móvel com movimento harmônico simples
obedece à função horária x = 7 cos (0,5πt), onde x é
medido em cm e t em s. Determine o tempo necessário
para que esse móvel vá da posição de equilíbrio para a
posição de elongação máxima.

28. (Acafe) O gráfico abaixo mostra a elongação em função
do tempo para um movimento harmônico simples.
Determinar a função horária do movimento.
29. O gráfico abaixo mostra a posição em função do tempo
de uma partícula em Movimento Harmônico Simples no
intervalo de tempo entre 0 e 10s. Determinar:
a) a frequência.
b) a pulsação.
c) a velocidade máxima.
30. (Fuvest) Um ponto P percorre uma circunferência de raio
R com velocidade angular constante ω. No instante t = 0,
o ponto se encontra na posição A, indicada na figura.
a) Qual a equação horária do movimento do ponto Q,
projeção de P sobre o eixo x?
b) Para que valor de x a velocidade de Q é máxima?
31. (Unesp) A distância entre as posições extremas ocu-padas
por um pistão, no decorrer de seu movimento de
vaivém, é igual a 0,5m e a velocidade média do pistão,
quando se desloca de uma posição extrema para a outra,
é 0,4m/s. A partir destes dados, determine:
a) o período.
b) a frequência desse movimento.
32. (Unicamp) Enquanto o ponto P se move sobre uma
circunferência, em movimento circular uniforme com
velocidade angular = 2 rad/s, o ponto M (projeção
de P sobre o eixo x) executa um movimento harmônico
simples entre os pontos A e A’.
a) Qual é a frequência do MHS executado por M?
b) Determine o tempo necessário para o ponto M
deslocar-se do ponto B ao ponto C.
Nota: B e C são os pontos médios de AD e A’D,
respectivamente.
33. (ITA) Uma partícula em movimento harmônico simples
oscila com frequência de 10Hz entre os pontos L e – L
de uma reta. No instante ta partícula está no ponto
1 L 3
caminhando em direção a valores inferiores, e
2
atinge o ponto
L 2
2
− no instante t2. O tempo gasto
nesse deslocamento é:
a) 0,021s
b) 0,029s
c) 0,15s
d) 0,21s
e) 0,29s
19 EM_V_FIS_010

20
EM_V_FIS_010
1. E
2. A
3. C
4. A
5. B
6. C
7. A
8. E
9. Aplicando
T1
2
R1
3
=
T2
2
R2
3
⇒
22
R3
=
T2
2
(2R)3
∴4 . 8 = T2
2 e
T2 = 32 = 4 2 anos.
10.
a) Como a órbita é estacionária, 24h.
b) A força de atração é igual a força centrípeta.
11. D
12. A
13. A
14. B
15. D
16. C
17. A
18.
a) o período é proporcional: ∴ 4 = 2 . O
período dobra.
b) Temos que a frequência é inversamente proporcio-nal
ao período ⇒ a frequência cai pela metade.
19. D
20. C
21. D
22. B
23. D
24. C
25. D

26.
a) θ0 =
5
rad
b) ω = 3π rad/s
c) v = ωA = 3π . 4 = 12πm/s
27.
a) A = 50cm
b) T = 20s
c) f = 0,05Hz
d) ω =
10
rad/s
e) x = 50 cos
2
+
10
t ou x = 50 cos
3
2
+
10
t
28.
a) A amplitude e a pulsação
b) ƒ = 1Hz
c) v = 0
d) t = 2k + 1
4
s, k ∈ N
1. D
2. C
3. C
4. B
5. C
6.
a) Tx
3 ⇒ (53)2 = Dx
2 = Dx
3 ⇒ Dx = 25UA
b) Vx= 2 . . 25UA
125
=
2
5 e
VT= 2 1
1
⇒
Vx
VT
= 2
5
. 1
2
e
Vx
VT
= 1
5
= 0,2
7.
a) FC = F
ATRAÇÃO ⇒ mω2r =
GMm
r2 ∴ ω2 =
GM
r3
⇒ ω =
GM
r3
b) Da questão anterior: ω2 = GM
⇒ r3 = GM
r 3 ω2
⇒ ω = 2
T
S . A
3 ( )2
1
2
π
R ∴v 2 = GM
3
2 2
R
3
GT 4
R
. M =
π
GT
π R
T G
π t)
010
FIS_GMT2
6,7 . 10-11 . 6 . 1024 . (8,64 . 104)2
∴ r3 =
=
V_4 2 4 . 10
EM_21 r3 = 3 000 . 1021
40
= 75.1021m
r = 3 75 . 1021 = 4,2 . 107m
8. FC = FA ⇒ v2 = GM
R
∴
2
T
P
2
= GM
R
R3 = GMT2
4 2 ∴ R =
GMT2
4 2
3
9. Temos F = G Mm
d 2
F1 = G e F2 = Gm m
R
∴ F
F
= 90
r r
10. FC = FA v =
2
T
R
, mas
4 2
2
π R
2
T
GM
R
=
⇒ M=
4π2
π
3
2
11. ∴
2 R
T
2
=
GM
R
∴ M =
4 2 2
2
. Substituindo
OG[M] = 1030kg
12. A
13. C
14. D
15. C
16. A
17. C
18. B
19. A
20.
a) T = 2π = 2 10.
67
10 =2 67 ≅ 16,4s
b) Permanece constante.
21. A
22. D
23. T1= 6s
24. C
25. B
26. A razão é igual a 5Hz/cm
27. t =1s
28. x = 2 cos (π +
2
29.
a) f = 0,1Hz

22
EM_V_FIS_010
b) ω =
5
rad/s
c) v = 4pcm/s
30.
a) = Rcos (
π + ωt)
4
b) x = 0
31.
a) T = 2,5s
b) f = 0,4Hz
32.
a) f = 1Hz
b) = 1
6
s
33. B

23 EM_V_FIS_010

24
EM_V_FIS_010

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