Fisika kuantum edit

2
BAB 1
PENDAHULUAN
Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses
menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.
Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangat
berhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya.
Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampu
memberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlah
fenomena “berskala-kecil” seperti sifat radiasi dan interaksi
radiasi-materi.
Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulang
lagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagai
pengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.

3
1.1 Radiasi Benda-hitam
Benda-hitam: penyerap semua radiasi
elektromagnet yang mengenainya, atau pengemisi
semua radiasi elektromagnet yang dimiliknya.
Berdasarkan termodinamika, distribusi panjang
gelombang spektrumnya hanya bergantung pada
temperatur tidak pada jenis bahan benda-hitam.
T2
T1
λ
E(λ)
T1>T2
Raleigh-Jean
Wien
Stefan (1879): total energi yang dipancarkan
adalah:
σ adalah konstanta dan c=3x108 m/s adalah
kecepatan cahaya dalam ruang hampa.
4
)/4( TcE σ=
Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimum
berbanding lurus dengan 1/T.
λmaxT=konstan; disebut hukum pergeseran Wien
Eksp

4
Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnet
diemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.
Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalam
benda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:
u(ν)= energi rata-rata osilator dengan frekuensi ν.
Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u(ν)=kBT di mana
kB=1,3806 x 10-23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c=λ ν,
)(
8
)( 3
2
ν
πν
ν u
c
E =
TkE B4
8
)(
λ
π
λ =
Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjang
gelombang yang besar.

5
Max Planck (1900):
Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan dengan
medan radiasi.
Suatu osilator dengan frekuensi ν hanya bisa memiliki energi:
.....,2,1,0; == nnhn νε
h=6,624 x 10-34 Js disebut konstanta Planck, dan hν disebut kuantum
energi.
Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi ν adalah:
∑
∑
=
=
−
−
=
0
0
)/exp(
)/exp(
)(
n
Bn
n
Bnn
Tkε
Tkεε
νu
1)/exp(
)(
−
=
Tkνh
νh
νu
B
Akhirnya diperoleh:
Inilah rumusan Planck yang sesuai kurva
radiasi benda hitam secara lengkap.
1
8
)( /3
2
−
= Tkh B
e
h
c
E υ
νπν
ν

6
Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan
exp(hυ/kBT)=exp[hc/(λ kBT)] ≈1+ hυ /kBT
persamaan dari Raleigh-Jeans.
Persamaan dapat diungkapkan dalam λ sebagai berikut:
Tk
c
πν
B
3
2
8
=
1
8
)( /3
2
−
= Tkh B
e
h
c
E υ
νπν
ν
1
18
)( /5
−
= Tkhc B
e
hc
E λ
λ
π
λ
Misalkan x=hc/λkBT, maka
1
8
)(
5
44
55
−
= x
B
e
x
hc
Tk
E
π
λ
Untuk memperoleh E(λ) maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,
015
1 =−+−
xe x
x=4,9651
λT=hc/(4,9651 kB)=2,8978x10-3 mK. hukum pergeseran Wien

7
1.2 Efek Foto Listrik
Dalam pengamatan ternyata:
(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapat
melepaskan elektron, dan
(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam,
semakin banyak elektron yang dilepaskan.
hv
K
logam

8
1.3 Dualisme Gelombang-Partikel
Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentang
cahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagi
karena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.
hWν /≥ W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).
Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimana
permukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi
Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagai
kuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=hν.
Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatu
partikel diungkapkan sebagai berikut:
222
2
cmp
c
E
o+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ p adalah momentum partikel, dan mo adalah massa
diam partikel bersangkutan
Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya E=hυ,
maka momentum foton adalah
.
λ
h
c
E
p == Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya.

9
Arthur H. Compton (1924)
elektron terhambur
sinar-X terhambur
φ
θ
sinar-X datang
Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan oleh
elektron bebas.
( )θλλ cos1'
−=−
cm
h
e
Jika λ dan λ’ adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur,
dan me adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:
h/mec=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.
λ’>λ energi foton terhambur (E’) lebih kecil daripada energi foton datang (E).
λ
λ’
Dapat dibuktikan dengan hukum kekekalan
momentum dan energi

10
Louis de Broglie :
Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat “mendua”, tetapi juga
partikel.
.
p
h
=λ Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.
Clinton Davisson dan Lester Germer (1927):
Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektron
ketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya.
Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudut
untuk ‘gelap’ pertama adalah θ, maka berlaku
θ
berkas
elektron
Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikel
yang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjang
gelombang:
a sinθ= λ

11
Kecepatan fasa:
vf=λυ=(h/p)(E/h)=E/p=p/2m=½v.
Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.
Momentum p=mv dan energi E=p2/2m=½mv2
Yang penting adalah kecepatan grup, yakni
vg=dω/dk, di mana ω=2πυ dan k=2π/λ.
Dengan E=p2/2m,
vg =dω/dk=dE/dp=p/m=v.
Kecepatan grup dari gelombang partikel
sama dengan kecepatan partikel itu
sendiri.
x
Δx

12
1.2 Spektroskopi Atom Hidrogen
Johann Balmer (1885):
Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garis
spektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= 22
1
2
11
n
R
nλ
dengan R =1.097x107 m-1 disebut konstanta Rydberg.
Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum,
mn
nm
R
n
>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= ;
111
22
λ
Dengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3,
4, … dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, …
Bagaimana sebenarnya struktur atom?
Ernest Rutherford (1911):
Berdasarkan percobaan hamburan partikel-α, menyarankan struktur atom terdiri dari inti
bermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya.
Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuan
Rutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.

13
BAB 2
DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM
2.1 Persamaan Gelombang
Tinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengan
kedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktu
adalah ψ(x,t).
Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:
2
2
22
2
),(1),(
t
tx
vx
tx
∂
∂
=
∂
∂ ψψ
v adalah kecepatan fasa
Misalkan )()(),( txtx φψψ =
2
2
2
2
22
)(
)(
1)(
)(
ω
φ
φ
ψ
ψ
−==
dt
td
tdx
xd
x
v
0)(
)( 2
2
2
=+ t
td
td
φω
φ )(sin)( δωφ += tAt
0)(
)(
2
2
2
2
=+ x
vdx
xd
ψ
ωψ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= xDxCx
λ
π
λ
π
ψ
2
cos
2
sin)(

14
ω=2πυ, υ adalah frekuensi dan δ adalah konstanta; karena v adalah kecepatan
merambat maka panjang gelombang λ=v/υ.
Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas,
pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, ψ(0)=0
maka D=0,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= xCx
λ
π
ψ
2
sin)(
Selanjutnya jika di x=L, ψ (L)=C sin(2πL/λ)=0 maka sin(2πL/λ)=0, sehingga:
.....,2,1;
2
== nn
L
λ
n disebut nomor modus normal.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= x
L
πn
Cxψn sin)(maka:
Akhirnya: )(sinsin),( δtωx
L
πn
Btxψn +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=

15
2.2 Persamaan Schrödinger
Tinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p di
dalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah
jumlah energi kinetik dan potensial:
V
m
p
E +=
2
2
)(2 VEmp −=
Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu
)(2 VEm
E
p
E
v
−
==
Misalkan ψ(x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:
2
2
22
2
),()(2),(
t
tx
E
VEm
x
tx
∂
∂−
=
∂
∂ ψψ
Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensi
tetap. Untuk itu ψ(x,t) memenuhi
ti
extx
ω
ψψ
−
= )(),(

16
),(
)(2),(
22
2
txψ
VEm
x
txψ
h
−
−=
∂
∂
ωE h=Mengingat πh 2/=hdan
Akhirnya diperoleh persamaan:
0)()(
2)(
2
2
=−+
∂
∂
xVE
m
x
x
ψ
ψ
h
Bagian waktu exp(-iωt) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh,
dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrödinger yang tak bergantung
waktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi.
Untuk tiga dimensi persamaan Schrödinger ini adalah:
0),,()(
2
),,( 2
2
=−+∇ zyxVE
m
zyx ψψ
h
V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkan
fungsi gelombang ψ(x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusi
yang harus dicari dari persamaan tersebut.
Persamaan Schrodinger 1-dimensi

17
)()(ˆ xExH ψψ =
V
m
H +∇−= 2
2
2
ˆ h
Persamaan Schrödinger di atas dapat dituliskan sebagai berikut
dengan disebut hamiltonian partikel, yakni operator energi
total dari partikel.
Dalam bahasa matematik, E adalah harga eigen dari operator H dengan fungsi
eigen ψ(x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen.
(*)
Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang ψ(x,t) dalam hal. 14 adalah:
),(
),(
txi
t
tx
ωψ
ψ
−=
∂
∂
Karena E=ħω maka diperoleh
),(
),(
txE
t
tx
i ψ
ψ
=
∂
∂
h
t
tx
itxH
∂
∂
=
),(
),(ˆ ψ
ψ h
Ini disebut persamaan Schrödinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel .

18
Untuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu, ψ(x),
1)()()( 2*
== ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dxxdxxx ψψψ ψ* adalah konjugasi dari ψ.
Fungsi ψ(x) yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi,
sedangkan disebut rapat peluang.
dxxψ 2
)( disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.
Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:
Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni:
• tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, ψ(x)
memiliki hanya satu harga saja.
• fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan
• fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ±∞;
2.3 Sifat-sifat suatu Fungsi Gelombang
2
)( xψ rapat peluang partikel berada di x

19
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= x
L
n
Cx
π
ψ sin)(Contoh:
1sin)(
0
222
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ∫∫
∞
∞−
dxx
L
n
Cdxx
L
π
ψ
sin2θ=(1-cos2θ)/2, maka hasil integral di atas adalah C2(L/2)=1 sehingga LC /2=
Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= x
L
n
L
x
π
ψ sin
2
)(
Jika ψ(x) adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi {ϕn(x)}, maka
penulisannya secara umum adalah seperti:
∑=
n
nn xcx )()( ϕψ cn adalah koefisien bagi fungsi ϕn(x) yang bisa ril atau
kompleks.
dxxxc mm )()(*
ψϕ∫
∞
∞−
= Jika ϕn(x) adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi dan
ortogonal satu sama lain.

20
Jika fungsi-fungsi {ϕn(x)} selain ternormalisasi juga ortogonal (disebut ortonormal)
satu sama lain maka berlaku
mnnm dxxx δϕϕ =∫
∞
∞−
)()(*
=1; m=n
=0; lainnya
Jika ψ(x) fungsi yang dinormalisasi, maka
1)()(*
,
*
=∫∑
∞
∞−
dxxφxφcc nm
nm
nm
1*
=∑n
nncc
1)()(*
=∫
∞
∞−
dxxψxψ
Jadi,
Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket seperti
dan konjugasinya dalam bra seperti
Integral overlap dituliskan seperti:
nφ
nφ
lklk dxxx ϕϕϕϕ =∫
∞
∞−
)()(*
δ disebut kronecker delta
1
,
*
=∑ mn
nm
nm δcc

21
Ortogonalisasi Schmidt
Andaikan φ1 dan φ2 adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadap
lainnya.
Misalkan ϕ1=φ1, lalu pilih ϕ2=φ2+αφ1. Besarnya α dihitung atas dasar ϕ1 dan ϕ2
yang ortogonal satu sama lain.
∫ ∫ ∫ =+= 01
*
12
*
12
*
1 dxdxdx φφαφφϕϕ
∫
∫−=
dx
dx
1
*
1
2
*
1
φφ
φφ
α
2.4 Operator Fisis
Setiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnya
operator bagi energi total adalah Ĥ seperti diperlihat dalam persamaan:
V
m
H +∇−= 2
2
2
ˆ h
Operator energi kinetik
Operator energi potensial

22
Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut:
1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya;
2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai
eigen adalah ril.
)()(ˆ xExH ψψ =
Persamaan harga eigen:
fungsi eigen partikel
nilai eigen; energi partikel
operator energi total; disebut hamiltonian partikel
3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya
memenuhi persamaan
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
=
dxxx
dxxAx
Aav
)()(
)(ˆ)(
*
*
ψψ
ψψ
operator besaran fisis
fungsi keadaan partikel
harga rata-rata besaran fisis

23
∫
∞
∞−
= dxxAxAav )(ˆ)(*
ψψ
Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi
)()(ˆ xaxA nnn ϕϕ =
∑=
n
nn xcx )()( ϕψ
Andaikan:
nn
n
n
mnnn
mn
mnmnn
mn
m
nmn
mn
mav
acc
accdzxxacc
dxxAxccxdxAxA
∑
∑∫∑
∫∑∫
=
==
==
*
***
***
)()(
)(ˆ)()(ˆ)(
δϕϕ
ϕϕψψ
Jika {ϕn} adalah fungsi-fungsi yang ortonormal
Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku
dxxxAdxxAx )(])(ˆ[)(ˆ)( **
ψψψψ∫ ∫=
Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator
hermitian.

24
Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyai
momentum linier px= ħk dengan k=2π/λ. Fungsi gelombang partikel itu adalah .
ikx
aexφ =)(
Bagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen px= ħk ?
Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:
)()(ˆ xkxp x ϕϕ h=
ikx
aexφ =)(
)()(ˆ x
dx
d
ixpx ϕϕ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= h
dx
xd
ixk
)(
)(
ϕ
ϕ hh −=
dx
d
ipx h−≡ˆ
Jadi operator momentum linier adalah:
Secara umum, operator momentum:
∇−= hipˆ
Operator momentum:
Ingat, energi kinetik:
2
222
22
1
2
ˆˆ
dx
d
mdx
d
i
dx
d
i
mm
p
K x h
hh −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==

25
Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornya
seperti
Komutator:
Tinjau dua buah operator: Aˆ Bˆdan
ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ −=
0]ˆ,ˆ[ =BAJika Kedua operator disebut komut.
Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan d/dx ! Gunakan fungsi ϕ(x)
sebagai alat bantu:
)(
)(
)(
)(
)]([]
)(
[)(],[
x
dx
xd
xx
dx
xd
x
xx
dx
d
dx
xd
xx
dx
d
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−=
−−=
−=
1, −=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
dx
d
xJadi: 1, =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
x
dx
d
Buktikan:

26
Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyai
fungsieigen yang sama.
[ ] 0ˆ,ˆ0ˆˆˆˆ
0ˆˆˆ
ˆ;ˆ
=→=−
=−=−
==
BAABBA
abbaABBA
bBaA
ψψψψ
ψψψψ
s

27
2.5 Persamaan Gerak Heisenberg
∫
∞
∞−
= dxtxAtxAav ),(ˆ),(*
ψψ
Secara umum jika Aav adalah harga rata-rata operator besaran fisis dengan fungsi
gelombang ψ(x,t) maka:
Aˆ
Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah
∫
∞
∞−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= dx
t
ψ
AψψA
t
ψ
ψ
t
A
ψ
dt
dAav ˆˆ
ˆ *
*
*
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
= dxψHA
it
A
ψ
dt
dAav
]ˆ,ˆ[
1ˆ*
h
[ ] [ ]ψHAψ
i
ψAHHAψ
i
ψHAψ
i
ψAHψ
it
ψ
AψψA
t
ψ ˆ,ˆ1ˆˆˆˆ1ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ *****
*
hhhh
=−=+−=
∂
∂
+
∂
∂
t
tx
ixH
∂
∂
=
),(
)(ˆ ψ
ψ h [ ] t
txψ
ixψH
∂
∂
−=
),(
)(ˆ
*
*
hdanMengingat:
maka

28
dxψ
dt
Ad
ψ
dt
dAav
ˆ*
∫=Jadi, dengan [ ]HA
it
A
dt
Ad ˆ,ˆ1ˆˆ
h
+
∂
∂
=
dt
Ad ˆ
Operator turunan dari
t
A
∂
∂ ˆ
Turunan dari Aˆ
Aˆ
Jika operator Aˆ komut dengan Hˆ , maka
t
A
dt
Ad
∂
∂
=
ˆˆ
Jika operator Aˆ selain komut dengan Hˆ, juga tak bergantung waktu: 0
ˆ
=
dt
Ad
Besaran fisis seperti itu disebut tetapan gerak dari partikel (kekal dalam
pengertian klasik).

29
2.6 Representasi Matriks
ψψ aA =ˆTinjau persamaan harga eigen:
∑=
=
N
i
iic
1
φψMisalkan:
∑∑ =
j
jjj
j
j caAc φφˆ
∑ ∫∑ ∫ =
j
jijj
j
ij dcadAc τφφτφφ ** ˆ
maka
Kalikan dari dengan
iij
j
j acAc =∑
NNNNNN
NN
NN
NN
accAcAcA
accAcAcA
accAcAcA
accAcAcA
=+++
=+++
=+++
=+++
...........
...............................................
...........
...........
...........
2211
33232131
22222121
11212111
0
...
)(.......
............................................................
..........)(
...............)(
..............)(
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
NNNNNN
N
N
N
c
c
c
c
aAAAA
AaAAA
AAaAA
AAAaA
*
iφ

30
0
)(...................
................................................
...................)(
...................)(
...................)(
321
3333231
2232221
1131211
=
−
−
−
−
aAAAA
AaAAA
AAaAA
AAAaA
NNNNN
N
N
N
Jika elemen-elemen Aij diketahui maka harga a dapat ditentukan sebagai solusi
dari polinom yang diperoleh dari determinan:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
01
10ˆA
Contoh
0
1
1
=
−
−
a
a
a2-1=0, a1=-1 dan a2=1.
0
1
1
2
1
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
c
c
a
a
Dengan a1 diperoleh c1= -c2=1/√2
dengan a2 diperoleh c1=c2=1/√2
)( 212
1
1 φφψ −=
)( 212
1
2 φφψ +=

32
BAB 3
SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANA
Persamaan Schrödinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatu
partikel
3.1 Potensial Tangga
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Di
x=0 elektron itu menghadapi potensial tangga sebesar Vo.
Jika energi total elektron, E< Vo, secara klasik elektron
akan terpantul sepenuhnya.
Bagaimana menurut kuantum?
x
E
V
Vo
0
Di daerah x<0, V=0; misalkan fungsi gelombangnya adalah ψ1(x).
0
2
12
1
22
=+ ψE
dx
ψd
me
h
dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.
2
2
1
2
;)(
h
Em
kBeAex eikxikx
=+= −
ψ
gelombang pantul.gelombang datang
0)(
2 2
22
=−+ ψVE
dx
ψd
m
h
ψψ EV
dx
d
m
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+− 2
22
2
h

33
Di daerah x>0, V=Vo; misalkan fungsi gelombang elektron adalah ψ2(x)
0)(
2
22
2
22
=−+ ψVE
dx
ψd
m
o
e
h
Karena E<Vo, maka solusi bagi fungsi ψ2(x) merupakan fungsi eksponensial menurun
seperti:
Kx
Cexψ −
=)(2
2
22
2 2)(2
k
VmEVm
K oeoe
−=
−
=
hh
Di x=0, ψ1 dan ψ2 harus bersambung agar fungsi gelombang itu kontinu;
);0()0( 21 ψψ =
Syarat kontinu:
0
2
0
1 )()(
==
=
xx dx
xψd
dx
xψd
dan
CBA =+ KCBAik −=− )(
A
iKk
k
CA
iKk
iKk
B
+
=
+
−
=
2
;
0;
2
)(
0;)(
2
1
>
+
=
<
+
−
+=
−
−
xAe
iKk
k
x
xAe
iKk
iKk
Aex
Kx
ikxikx
ψ
ψ
x0
ψ2
ψ1

34
Kerapatan peluang elektron di x>0 dapat dihitung dengan menggunakan ψ2(x):
Kx
o
Kx
eA
V
E
eA
Kk
k
x 2222
22
2
2
2
44
)( −−
=
+
=ψ
Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya,
elektron masih mempunyai peluang berada di x>0.
Peluang itu menuju nol jika Vo>>E, atau di x=∞.
⏐C/A⏐2= 4k/(k2+K2)=4E/Vo adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapat
diramalkan.
3.2 Potensial Tangga Persegi
a
E
V
Vo
0 x
axx
axVxV o
><=
≤≤=
,0;0
0;)(
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-
positif. Eleketron menghadapi potensial tangga
seperti:
Sepanjang perjalanannya energi total elektron, E< Vo.
Karena V=0, fungsi gelombang elektron sebagai solusi persamaan Schrodinger
dalam daerah x<0 sama dengan:
2
2
1
2
;)(
h
Em
kBeAex eikxikx
=+= −
ψ

35
Dalam daerah 0<x<a, karena E<Vo: fungsi gelombang sebagai solusi persamaan
Schrodinger adalah
KxKx
DeCex −
+=)(2ψ
2
22
2 2)(2
k
VmEVm
K oeoe
−=
−
=
hh
Di daerah x>a, V=0; maka fungsi gelombang di sana adalah:
ikx
Fex =)(3ψ Hanya arah ke kanan saja.
Syarat kontinuitas di x=0 dengan menggunakan fungsi-fungsi ψ1(x) dan ψ2(x), akan
memberikan hubungan:
)()( DCKBAik
DCBA
−=−
+=+
dan syarat kontinuitas di x=a dengan menggunakan ψ2(x) dan ψ3(x), memberikan
ikaKaKa
ikaKaKa
ikFeDeCeK
FeDeCe
=−
=+
−
−
)(
Dengan mengeliminasi C dan D, akan diperoleh:
)(4)(sinh
)(sinh
22
22
2
2
EVEKaV
KaV
A
B
oo
o
−+
=
)(4)(sinh
)(4
222
2
EVEKaV
EVE
A
F
oo
o
−+
−
=

36
Ilustrasi fungsi gelombang-fungsi gelombang:
a x0
ψ1(x)
ψ2(x)
ψ3(x)
x=a. Jadi, secara kuantum elektron dapat menerobos potensial penghalang meskipun
energinya lebih kecil daripada potensial penghalang. Fenomena inilah yang disebut
sebagai efek terobosan (tunnel effect).
22
/ AB 22
/ AFmerupakan koefisien pantulan di x=0 dan adalah koefisien transmisi di
Terobosan partikel berlangsung dalam peluruhan radioaktif. Suatu
partikel-α (= inti atom He) mengalami gaya dorong elektrostatik inti
hingga jarak 10-8 μm dari inti Uranium. Kurang dari jarak itu gaya
bersifat tarikan dan berbentuk sumur potensial seperti diperlihat-
kan dalam Gb. Partikel-α dalam sumur itu dapat menerobos
penghalang (tarikan) dan selanjutnya terdorong keluar.
Eksperimen menunjukkan bahwa energi partikel itu lebih kecil
daripada penghalang.
E
V(r)
r

37
3.3 Sumur Potensial Persegi Tak Terhingga
Andaikanlah suatu elektron dalam pengaruh potensial
berbentuk sumur tak terhingga berdimensi-1 seperti
berikut:
axax
axaxV
−≤≥∞=
<<−=
,;
;0)(
V=∞
-a a0 x
Elektron terperangkap dalam daerah –a<x<a, dan sama sekali tak dapat ke luar daerah
itu. Dengan perkata lain peluang elektron berada di x>a dan di x <-a sama dengan nol.
Oleh sebab itu, jika ψ(x) adalah fungsi gelombangnya, maka
0)()( ==− aψaψ
Karena V=0 dalam daerah –a<x<a, maka persamaan Schrödinger bagi elektron
tersebut adalah:
0
2 2
22
=+ ψ
ψ
E
dx
d
me
h
atau 2
22
2
2
2
;0
h
Em
kk
dx
d e
==+ ψ
ψ
Solusinya adalah kxCx cos)( =ψ dan kxDx sin)( =ψ
Dengan syarat batas di x=a diperoleh
( )axnCxn 2/cos)( πψ = untuk n=1,3,5,…
)2/(sin)( axnDxn πψ = untuk n=2,4,6 ...

38
Harga C dan D dihitung melalui normalisasi fungsi, yakni: 1)()(*
=∫−
dxxx n
a
a
n ψψ
Hasilnya adalah C=D=1/√a, sehingga fungsi-fungsi eigen adalah:
......5,3,1;
2
cos
1
)( =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= nx
a
πn
a
xψn .......6,4,2;
2
sin
1
)(. =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= nx
a
πn
a
xψn
ψ3
ψ2
ψ1
-a 0 a x
⏐ψ3⏐2
⏐ψ2⏐2
⏐ψ1⏐2
-a 0 a x
Fungsi-fungsi ini membentuk set ortonormal; artinya: ''
*
)()( nnnn δdxxψxψ =∫
Selanjutnya, diperoleh harga eigen energi:
....,3,2,1;
8 2
22
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= n
am
nE
e
n
hπ
ψ4
ψ3
ψ2
ψ1 E1
E2=4E1
E3=9E1
E4=16E1
Energi ini berharga diskrit (tidak kontinu, tapi
bertingkat-tingkat) ditandai oleh bilangan
kuantum n.

39
3.4 Sumur Potensial Persegi Terhingga
Misalkan elektron terperangkap dalam sumur
potensial terhingga seperti:
axaxV
axaxV
o −<≥=
<<−=
,;
;0)( E<Vo
Vo
V
xa-a
Jika energi E<Vo secara klasik elektron tak dapat ke luar daerah itu. Tetapi secara
kuantum, karena potensial itu terhingga elektron masih berpeluang berada diluar
daerah –a<x<a. Syarat batas hanyalah:
Persamaan Schrödinger untuk daerah –a<x<a adalah:
0)( =±∞ψ
00
2
2
2
2
2
22
=+→=+ ψ
ψ
ψ
ψ
k
dx
d
E
dx
d
me
h
dengan mana diperoleh solusi berikut:
kxx cos)( =ψ kxx sin)( =ψdan
2
2 2
h
Em
k e
=
di mana
Untuk daerah ⎟x⎟≥a, persamaan Schrödinger adalah:
0)(
2 2
22
=−+− ψ
ψ
EV
dx
d
m
o
e
h

40
Jika energi elektron E<Vo maka ψ(x) merupakan fungsi exponensial yang menurun dan
menuju nol di ⎟x⎟=∞. Jadi, untuk ⎟x⎟≥a:
xK
eCx
−
=)(ψ 2
2 )(2
h
EVm
K oe −
=dengan
Syarat kontinu di x=±a :
Ka
Ka
KCekak
Ceka
−
−
−=−
=
sin
cos
Kakatgka =
Ka
Ka
KCekak
Ceka
−
−
−=
=
cos
sin
Kakactgka −=
2
2 2
h
Em
k e
=
2
2 )(2
h
EVm
K oe −
=
2
2
22 2
)()(
h
aVm
Kaka oe
=+
tg (ka)
n=3
n=2
n=1
n=0
ctg (ka)ctg (ka) tg (ka)
Ka
ka2π3π/2π/2 π
2
2
22 2
)()(
h
aVm
Kaka oe
=+
Terlihat, jumlah tingkat energi sangat bergantung pada harga Voa2; misalnya untuk
Voa2≤(πħ2/4me) hanya ada satu, dan Voa2≤(πħ2/2me ) ada dua tingkat energi.

41
ψ3
-a 0 a
x
ψ2
ψo
ψ1
Jelas bahwa meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun karena
E<Vo, energinya tetap diskrit.
Keadaan energi yang diskrit itu merupakan ciri dari partikel yang terikat dalam
sumur potensial.
Karena potensial itu berhingga, fungsi-fungsi eigen mempunyai ekor berbentuk
eksponensial menurun di luar sumur. Artinya, elektron masih mempunyai peluang
berada di luar sumur. Hal ini tidak mungkin secara klasik.
Quantum well, quantum dot, quantum wire adalah pengembangan dari
kasus ini dalam riset-riset laser dan optik.

42
3.5 Sumur Potensial Persegi dengan Dinding
Misalkan pertikel berada dalam sumur potensial
terhingga seperti:
ax
axV
xxV
o
≥=
<<−=
≤∞=
;0
0;
0;)(
E<0
-Vo
0
a
x
V
Di x=0, potensial itu ∞ sehingga elektron tidak mungkin berada di daerah x<0.
Bagaimanakah energi dan fungsi gelombang elektron jika E<0?
Di dalam daerah 0<x<a, persamaan Schrödinger adalah:
0)(
2
12
1
22
=+−+ ψ
ψ
o
e
VE
dx
d
m
h
01
2
2
1
2
=+ ψ
ψ
k
dx
d
)(
2
2
2
EV
m
k o
e
−=
h
ikxikx
BeAex −
+=)(1ψ
Karena ψ1(0)=0, maka A+B=0 atau B=-A
kxCeeAx ikxikx
sin)()(1 =−= −
ψ
Solusinya:

43
Persamaan Schrödinger di daerah x>a adalah:
0
2
22
2
22
=−− ψ
ψ
E
dx
d
me
h
02
2
2
2
2
=− ψ
ψ
K
dx
d
2
2 2
h
Em
K e
=
Kx
eDx −
=)(2ψ
Syarat kontinu di x=a harus memenuhi ψ1=ψ2 dan dψ1/dx=dψ2/dx. Jadi,
Ka
eDkaC −
=sin
Ka
KDekakC −
−=cos 22
2
)2exp(
Kk
Kak
CD
+
=
Kakactgka −=)(dan
2
2
2222 2
h
aVm
aKak oe
=+Di pihak lain:
Dari kedua persamaan ini diperoleh grafik berikut:

44
e
n
no
e
n
n
m
K
EV
m
k
E
2
atau
2
2222
hh
−=−=
Dari rumusan k dan K, tingkat-tingkat energi
elektron adalah:
Bentuk fungsi-fungsi keadaan dapat digambarkan
dengan menggunakan hasil-hasil di atas:
ψ4
ψ3
ψ1
ψ2
0 a x
0
n=2
n=1
Ka
ka2π3π/2π/2 π
2
2
22 2
)()(
h
aVm
Kaka oe
=+
Di mana kn dan Kn diperoleh berdasarkan titik-
titik potong dalam gambar. Jadi, energi
elektron diskrit, karena elektron terperangkap
dalam sumur potensial.
Untuk Voa2<πħ2/4me tidak ada titik potong,
untuk πħ2/4me< Voa2<πħ2/2me hanya ada satu
titik potong, n=1, dan seterusnya.

45
3.6 Osilator Harmonis Sederhana
Dalam mekanika klasik, osilator harmonis sederhana adalah benda yang bergerak
osilasi dengan simpangan kecil dalam pengaruh gaya konservatif:
xmF
rr 2
ω−=
m adalah massa, dan ω adalah 2π x frekuensi; gerak osilasi berbentuk sinusoida
dengan amplitudo A adalah:
tAtx ωsin)( =
Dengan gaya konservatif tersebut, energi
potensial yang dimiliki benda adalah:
22
2
1
0
.)( xωmxdFxV
x
=−= ∫
rr
-A 0 A x
V
V(x)=½mω2x2
K(x)=E-V(x)
E=½mω2A2
Energi total sebagai jumlah energi potensial (V)
dan energi kinetik (K) diperlihatkan dalam:
22
2
1
AmE ω=
Jadi, secara klasik osilator memiliki energi tunggal.

46
Bagaimana pandangan fisika kuantum?
Persamaan Schrödinger untuk suatu partikel berosilasi adalah:
0)()(
2)(
22
2
=−+ xVE
m
dx
xd
ψ
ψ
h
( ) 0)(
2)( 22
2
1
22
2
=−+ xxmE
m
dx
xd
ψω
ψ
h
Lakukan penyederhanaan: axz
E
c
m
a === ;
2
;
ω
ω
hh
0)()(
)( 2
2
2
=−+ zzc
dz
zd
ψ
ψ
Persamaan ini dapat diselesaikan dalam dua tahap.
Tahap pertama: untuk z yang besar c dapat diabaikan: (appr. Asimtotik)
2/2
)( z
ezψ −
∝
Tahap berikutnya, nyatakan fungsi lengkap seperti:
2/2
)()( z
ezHzψ −
=

47
0)1(2
)(
2
2
=−+− Hc
dz
dH
z
dz
zHd
Persamaan Schrodinger menjadi:
merupakan persamaan diferensial Hermite. Solusinya adalah polinom Hermite
sebagai berikut:
( ) ............,2,1,0;)1()(
22
=−= −
ne
dz
d
ezH z
n
n
zn
n ......,2,1,0)1(2
1
=−= cn
2/1
!2
1
;)()(
2
2
1
πn
NezHNzψ nn
z
nnn ==
−
sehingga fungsi-fungsi eigen (keadaan) adalah:
di mana adalah faktor normalisasi dan n merupakan bilangan kuantum .
1)( =zHo
2
2
1
2
1
)(
z
o eπzψ
−−
=
zzH 2)(1 =
2
2
1
2
1
2)(1
z
zez
−−
= πψ
24)( 2
2 −= zzH 2
2
1
2
1
)12()( 2
2
1
2
z
ezπzψ
−−
−=
Contoh fungsi-fungsi keadaan:
Fungsi-fungsi eigen ini membentuk
set yang ortonormal.
)()(
!2
;)()( 2/1
22
2
1
zax
n
a
NeaxHNx nnnn
xa
nnn ψψ
π
ψ ===
−

48
......,2,1,0;)( 2
1
=+= nnEn ωh
diperoleh energi eigen (keadaan) bersangkutan:
Untuk lebih jelasnya, fungsi-fungsi keadaan
diperlihatkan dalam gambar. Fungsi keadaan
)1(2
1
−= cn
ω
E
c
h
2
=Dari dan
2
2
1
2
1
)(
z
o eπzψ
−−
=
disebut keadaan dasar dengan energi Eo=½ħω.
ψ1
ψo
ψ2
z
E1
E2
Eo
V
Terlihat bahwa, karena partikel terperangkap dalam potensial V, maka energinya diskrit.
Frekuensi osilator lebih kurang sama dengan frekuensi bunyi; oleh sebab itu,
ωh disebut fonon. Jadi, fungsi keadaan ψn dikatakan mengandung n buah fonon.

49
Sifat-sifat penting polinom Hermite:
(i). Hubungan rekursif:
)(2)(2)( 11 zHnzHzzH nnn −+ −=
)(2
)(
1 zHn
dz
zdH
n
n
−=
(ii). Sifat ortogonalitas:
mn
n
nm
z
δπndzzHzHe 2/1
!2)()(
2
=∫
∞
∞−
−
)(
1
)(
1
2
)( 11 zψ
n
n
zψz
n
zψ nnn −+
+
−
+
=
)(
2
1
)(
2
)(
11 zψ
n
zψ
n
dz
zψd
nn
n
+−
+
−=
mnnm δdzzψzψ =∫
∞
∞−
)()(
Dengan sifat-sifat di atas, diperoleh sifat-sifat fungsi keadaan:
(i) Hubungan rekursif:
(ii) Sifat ortonormalitas:

50
Contoh:
1. Hitunglah gaya pegas rata-rata.
dzzψzzψωdxxψxxψωmV
xωmV
nnnnave )()()()( 2
2
122
2
1
22
2
1
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
==
=
h
2. Hitunglah harga rata-rata energi potensial.
dzzzzmdxxxxmF
xmF
nnnnave )()()()(2
2
ψψωωψψω
ω
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
−=
h
3. Hitunglah harga rata-rata energi kinetik
dzzψ
dz
d
zψωdxxψ
dx
d
xψ
m
K
dx
d
m
K
nnnnave ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
−=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
)()()()(
2
2
2
2
2
1
2
22
2
22
h
h
h

51
Ungkapan lain dari osilator harmonik
0)()(
)( 2
2
2
=−+ zψzc
dz
zψd
n
n
ω
E
c n
h
2
=
)()(2)( 2
12
2
2
zψnzψz
dz
d
nn +=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
);(
2
1
ˆ);(
2
1
ˆ
dz
d
za
dz
d
za −=+= +
Misalkan:
2
2
2
1ˆˆ21ˆˆ2 z
dz
d
aaaa +−=−≡+ ++
nn
nn
ψnψaa
ψnψaa
)1(ˆˆ
ˆˆ
+=
=
+
+
12
1
)(ˆ −=+= nnn ψnψ
dz
d
zψa12
1
1ˆ +
+
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= nnn ψnψ
dz
d
zψa
Operator aa ˆˆ+
mempunyai nilai eigen n dengan fungsi keadaan ψn; karena n menyatakan
jumlah fonon dalam keadaan ψn maka operator ini disebut operator okupasi.
Selanjutnya,
Terlihat, operator +
aˆ mengubah ψn menjadi ψn+1; artinya menambah jumlah fonon.
Dengan alasan itu operator ini disebut operator kreasi, sedangkan aˆ disebut
operator anihilasi.
)()()()1ˆˆ2( 2
1
2
1
zψnωzψaaω nn +=−+
hhKarena
maka )ˆˆ( 2
1−+
aaωh merupakan operator hamiltonian.

52
3.8 Transisi dan Aturan Seleksi
Suatu medan listrik yang berosilasi, jika berinteraksi dengan elektron, akan menggeser
posisi elektron dari posisi stasionernya. Pergeseran itu akan menimbulkan suatu momen
dipol . Selanjutnya, dipol itu berinteraksi dengan medan menimbulkan Hamiltonian
Misakan medan listrik: E=Eo cos ωt dan dipol listrik elektron: μ=er
Interaksi dipol dan medan menimbulkan Hamiltonian:
trEeEH oD ωμ cos..ˆ rrrr
==
Interaksi itu memungkinkan elektron bertransisi (berpindah keadaan) dari keadaan awal ψi
ke keadaan akhir ψf. Probabilitas transisi diungkapkan sebagai berikut:
zyxM
dvrzyxre
dvrrreP
ifo
fozoyoxi
foiif
,,;
)(].)[(
)(].)[(
2)(2
2
*
2
*
=∝
++∝
∝
∑
∫
∫
α
ψψ
ψψ
α
α
αE
EEE
E
rr
dvrxreM fi
x
if )()(*)(
ψψ∫=di mana disebut komponen-x dari momen transisi.
Transisi dari suatu keadaan ψi ke keadaan ψf disebut terlarang (forbidden) jika Mif=0;
sebaliknya transisi diperbolehkan (allowed) jika Mif≠0.

53
Contoh:
Dalam sistem dengan sumur potensial tak hingga, buktikan bahwa momen transisi
elektron tidak sama dengan nol jika ⏐m±n⏐sama dengan suatu bilangan ganjil.
dxxeM nm
x
mn ∫= ψψ *)(
∫−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
a
mn dxxx
a
n
x
a
m
a
eM
2
sin
2
sin
1 ππ
Misalkan πx/2a=θ
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−== ∫ ∫∫ − −−
2/
2/
2/
2/
2
2/
2/
2
])cos[(])cos[(
2
sinsin
4
π
π
π
π
π
π
θθθθθθ
π
θθθθ
π
dnmdnm
a
ednm
a
eMmn
Periksa m,n=2,4,6…., genapnm =−
00
)(
])cos[(
0
])sin[(])sin[(
])cos[(
2/
2/
2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
=→=
±
±
+=
±
±
−
±
±
=±
−
−−−
∫∫
mn
π
π
π
π
π
π
π
π
M
nm
θnm
θd
nm
θnm
nm
θnm
θθdθθnm
∫−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
a
mn xdxx
a
πn
x
a
πm
a
eM
2
cos
2
cos
1
Periksa m,n=1,3,5…., genapnm =−

54
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−== ∫ ∫∫ − −−
2/
2/
2/
2/
2
2/
2/
2
])cos[(])cos[(
2
coscos
4
π
π
π
π
π
π
mn θdθθnmθdθθnm
π
a
eθdθθnθm
π
a
eM
0
)(
])cos[(
0
])sin[(])sin[(
])cos[(
2/
2/
2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
=
±
±
+=
±
±
−
±
±
=±
−
−−−
∫∫
π
π
π
π
π
π
π
π
nm
θnm
θd
nm
θnm
nm
θnm
θθdθθnm
0=mnM
Periksa m=1,3,5…., n=2,4,6…. ganjilnm =−
∫−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
a
mn xdxx
a
πn
x
a
πm
a
eM
2
sin
2
cos
1
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+== ∫ ∫∫ − −−
2/
2/
2/
2/
2
2/
2/
2
])sin[(])sin[(
2
sincos
4
π
π
π
π
π
π
mn θdθθnmθdθθnm
π
a
eθdθθnθm
π
a
eM
2
2/
2/
2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
)(
2
)(
])sin[(
0
])cos[(])cos[(
])sin[(
nmnm
θnm
θd
nm
θnm
nm
θnm
θθdθθnm
π
π
π
π
π
π
π
π
±
=
±
±
+=
±
±
+
±
±
−=±
−
−−−
∫∫

55
ganjilnm
nmnmπ
a
eM mn =±≠⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
= ;0
)(
1
)(
14
222
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
ψ5
ψ6
Transisi dari keadaan dasar ψ1 ke keadaan lebih tinggi
Contoh:
Periksalah momen transisi antara dua keadaan suatu osilator.
2/1
2
2
1
!2
1
;)()(
π
ψ
n
NezHNz nn
z
nnn ==
−
dxxψxxψeM nmmn )()(∫
∞
∞−
= dzzψzzψ
ωm
eM nmmn )()(∫
∞
∞−
=
h

56
)(
2
)(
2
1
)( 11 zψ
n
zψ
n
zψz nnn −+ +
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
= −
∞
∞−
+
∞
∞−
∫∫ dzzψzψ
n
dzzψzψ
n
ωm
eM nmnm
e
mn )()(
2
)()(
2
1
11
h
ωm
n
eMnmjikadzzψzψ
ωm
n
eMnmjikadzzψzψ
e
nnnm
e
nnnm
2
11)()(
2
)1(
11)()(
,11
,11
h
h
=→−==
+
=→+==
−−
∞
∞−
++
∞
∞−
∫
∫
Jelas, aturan seleksi adalah ⏐m-n⏐=1
dxxxx nm )()( ψψ∫
∞
∞−
Dari contoh di atas jelas bahwa punya harga jika ⏐m-n⏐=1.
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
00
0
00
~
21
1210
01
x
xx
x
x

57
BAB 4
MOMENTUM SUDUT ELEKTRON TUNGGAL
4.1 Operator Momentum Sudut
Dalam mekanika klasik, momentum sudut suatu partikel merupakan perkalian vektor
posisi dan vektor momentum,
Komponen-komponennya merupakan operator-operator dari partikel tersebut:
prL
rrr
x=
xyzzxyyzx pypxLpxpzLpzpyL ˆˆˆˆˆ;ˆˆˆˆˆ;ˆˆˆˆˆ −=−=−=
)(ˆ);(ˆ);(ˆ
x
y
y
xiL
z
x
x
ziL
y
z
z
yiL zyx
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
−= hhh
Selain itu, momentum kuadrat adalah operator juga:
2222 ˆˆˆˆ
zyx LLLL ++=
Dalam koordinat bola berlaku hubungan berikut:
θϕθϕθ cos,sinsin,cossin rzryrx ===
x
y
φtg
zyx
z
θzyxr =
++
=++= ;cos;
222
2222
r
ϕ
θ
yx
z

58
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
=
2
2
2
22
sin
1
sin
sin
1ˆ
ˆ
)sin(cosˆ
)cos(sinˆ
ϕθθ
θ
θθ
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕ
ϕ
ϕθ
θ
ϕ
h
h
h
h
L
iL
ctgiL
ctgiL
z
y
x
yxzxzyzyx LiLLLiLLLiLL ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[ hhh ===
.,,,0]ˆ,ˆ[ 2
zyxjLL j ==
±± ±= LLLz
ˆ]ˆ,ˆ[ h
zLLL ˆ2]ˆ,ˆ[ h=−+
Komutator-komutator:
yx LiLL ˆˆˆ ±=±
Buktikan sendiri !!
Buktikan sendiri !!

59
4.2 Komponen-z
Harga eigen dan fungsi eigen operator dapat ditetapkan sebagai berikut. Misalkan Φ(ϕ)
adalah fungsi eigen bersangkutan dengan harga eigen Lz sehingga:
zLˆ
Φ=Φ zz LLˆ
operator
harga eigen
Φ=
∂
Φ∂
− zLi
ϕ
hˆ
φ
iLz
∂
∂
−= h )/exp( hϕziL∝Φ
)2()( πϕϕ +Φ=ΦKarena
)/2(exp)/exp(]/)2([exp)/(exp hhhh zzzz LπiφiLπφiLφiL =+=
maka
1)/2(sin)/2(cos)/2(exp =+= hhh zzz LπiLπLπi
.....,4,2,0
2
ππ
π
±±=zL
h
Jadi:
.....,2,1,0; ±±== llh mmLz
)exp(
2
1
ϕ
π
ll
imm =Φ adalah faktor normalisasiπ2/1
Lz sebagai komponen momentum sudut pada sumbu-z ternyata merupakan besaran yang
diskrit atau terkuantisasi. Dalam eksperimen, sumbu-z dinyatakan sebagai sumbu di mana
arah medan magnet statik ditetapkan. Oleh sebab itu ml disebut bilangan kuantum
magnetik.

60
4.3 Momentum Sudut Total
Harga eigen dan fungsi eigen operator ditentukan sebagai berikut. Andaikan
Y(θ,ϕ) adalah fungsi eigen dengan harga eigennya L2:
2ˆL
),(),(ˆ 22
θϕθϕ YLYL =
YLY 2
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
ϕθθ
θ
θθ
h
2
2
2
22
2
2
2 sin
cossinsin
ϕ
θ
θ
θθ
θ
θ
∂
∂
−=+
∂
∂
+
∂
∂ Y
Y
LYY
h
Untuk pemisahan variable misalkan )()(),( ϕθϕθ Φ= PY
2
2
2
2
22
2
2
2 1sin
cossinsin
1
l
h
mP
LPP
P
=
∂
Φ∂
Φ
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
+
∂
∂
ϕ
θ
θ
θθ
θ
θ
Persamaan ini identik dengan persamaan Legendre terasosiasi dengan:
0
sin2
2
2
2
2
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
∂
∂
+
∂
∂
P
mLP
ctg
P
θθ
θ
θ
l
h
PmP
LPP 2
2
22
2
2
2 sin
cossinsin l
h
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
+
∂
∂ θ
θ
θθ
θ
θ
llllh mL ≥+= );1(22

61
ℓ adalah bilangan bulat positif 0, 1, 2, …..; bilangan ini disebut bilangan kuantum orbital.
Untuk suatu harga ℓ ada (2 ℓ +1) buah harga mℓ, yakni mℓ = -ℓ , -(ℓ -1),...,-1, 0, 1,..., (ℓ-1),
ℓ. Lz=mℓħ adalah hasil proyeksi L pada sumbu-z..
z
mℓ=-1
mℓ=1
mℓ=0
Lz=ħ
Lz=-ħ
Lz=0
2h=L
Akhirnya, diperoleh fungsi eigen bagi operator:
2ˆL
)()(
)!(
)!(
2
12
),(),(
2/1
ϕθϕθϕθ l
l
l l
l
l
l
l
ll
m
m
m P
m
m
YY Φ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
=≡
yang biasa disebut fungsi harmonik bola (spherical harmonics).
llll llll ''''
0
2
0
*
sin)( mmmm ddYY δδϕθθ
π π
=∫ ∫Sifat ortogonalitas:
( ) θww
dw
d
wwP
m
m
m
m
cos;1)1(
!2
)1(
)( 22 2
1
=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
l
l
ll
l
l
l
l
l
θθP
θθP
θP
o
o
o
sin)(
cos)(
;1)(
1
1
1
−=
−=
=
22
2
1
2
2
2
1
2
)cos1(3)(;sincos3)(
);1cos3()(
θθθθθ
θθ
−==
−=
PP
Po

62
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−+
+
−
−
+
= +− lll l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
mmm Y
m
Y
m
Yθ ,1
22
,1
22
32
)1(
1212
1
cos.2
⎥
⎥
⎦
⎤
+
+±+±
−
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
±+
±−
±
1,1
1,1
32
)1)(2(
12
)1)((
12
1
sin.3
l
ll
l
ll
l
ll
l
l
ll
l
mlml
l
m
m
mm
i
Y
mm
Y
mm
Ye ϕ
θ
Tiga sifat penting dari fungsi ini adalah
ϕ
θ
π
θ
θ
π
θ
π
θ
i
eY
Y
Y
±
± −=
=
=
sin
8
3
)(
;cos
4
3
)(
;
4
1
)(
11
10
00
ϕ
ϕ
θ
π
θ
θ
π
θ
θ
π
θ
i
i
eY
eY
Y
22
22
12
2
20
sin
32
15
)(
2sin
32
15
)(
);1cos3(
16
5
)(
±
±
±
±
=
−=
−=
Beberapa contoh fungsi harmonik bola adalah
llll llll ''''
0
2
0
*
sin)(.1 mmm
π π
m δδφdθdθYY =∫ ∫

63
Dengan fungsi dan harga eigen seperti di atas, persamaan harga eigen adalah:
),......1(,;ˆ
,....2,1,0;)1(ˆ 22
−±±==
=+=
llh
lllh
llll
ll
ll
ll
mYmYL
YYL
mmz
mm
Persamaan-persamaan di atas menunjukkan kuantisasi momentum sudut.
Orbital-orbital elektron dibentuk dari fungsi-fungsi Yℓ mℓ dalam bentuk ril.
ooYs ≡= ;0l
ϕθ
π
ϕθ
π
sinsin
4
3
)(
2
cossin
4
3
)(
2
1
;1
1111
1111
1
=−≡
=+
−
≡
≡=
−
−
YY
i
p
YYp
Yp
y
x
ozl
ϕθ
π
ϕθ
π
ϕθθ
π
ϕθθ
π
22
2222
22
2222
1221
1221
20
sinsin
16
15
)(
2
cossin
16
15
)(
2
1
sincossin
4
15
)(
2
coscossin
4
15
)(
2
1
2
22
2
=−
−
≡
=+≡
=−≡
=+−≡
≡=
−
−−
−
−
YY
i
d
YYd
YY
i
d
YYd
Yd
xy
yx
yz
xz
z
l

64
s pz
y
x
y
z
x
y
z
x
z
x
y
z
x
y
z
z
y
x x
y
z
x
y
z
x
y
z
px
py
dz2 dxy
dyz
dx2-y2 dxy
s untuk ℓ =0,
p untuk ℓ =1
d untuk ℓ =2
Dalam pembentukan molekul dari beberapa atom, ikatan antar atom berlangsung
melalui orbital-orbital tersebut di atas.

65
4.4 Operator Tangga
Sehubungan dengan operator ±Lˆ akan dikemukakan karakteristik operasinya terhadap
fungsi harmonik bola ., ll mY
±± ±= LLLz
ˆ]ˆ,ˆ[ h
lll llll hh mmzmz YLmYLLLYLL ++++ +=+= ˆ)1()ˆˆˆ(ˆˆ
111
ˆ)ˆˆˆ(ˆˆ
+−+−−+− =−= lll llll hh mmzmz YLmYLLLYLL
llmYL+
ˆ adalah fungsi eigen dari zLˆ dengan harga eigen (mℓ+1)ħ. Demikian pula
1,
ˆ
+− ll mYL adalah fungsi eigen dengan harga eigen mℓħ.
1
ˆ
++ = ll ll mm YCYLAndaikan
ll ll mm YCYL =+− 1
ˆ
lll lll mmm YCYLCYLL 2
1
ˆˆˆ == +−+−
dan
lll lllll hllhh mmzzm YmmYLLLYLL ])1()1([)ˆˆˆ(ˆˆ 2222
+−+=−−=+−Tapi

66
)1()1( +−+= llllh mmC 1)1()1(ˆ
++ +−+= ll llll llh mm YmmYL
1)1()1(ˆ
−− −−+= ll llll llh mm YmmYL
Kedua persamaan di atas bukan persamaan harga eigen, karena operator-operator itu
menggeser bilangan kuantum mℓ.
Operator +Lˆ menambah bilangan kuantum mℓ menjadi mℓ+1, sedangkan −Lˆ
menguranginya dari m menjadi mℓ-1. Oleh sebab itu, kedua operator itu disebut
sebagai operator tangga (step operator).
Dengan cara yang sama diperoleh

67
Tentukanlah matriks L+ untuk l=1
( ) 1,',
*
',,'
)1()1(sinˆ~
+++ +−+== ∫ llllll llll llh mmmmmm
mmddYLYL δϕθθ
01'
10'
)adatidak(21'
1,0,1',1
=→=
−=→=
−=→−=
−=→=
ll
ll
ll
lll
mm
mm
mm
mm
( )
( ) 2
2
0,1
)1(
1,0
)1(
h
h
=→
=→
+
−+
L
L
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
020
002
000
h
h
-1 0 1
-1
0
1
=+
)1(~
L

r
-e
+Ze
Hamiltonian (operator energi) elektron adalah
Misalkan ψ(r,θ,ϕ) adalah fungsi gelombangnya, maka persamaan Schrödinger
untuk elektron adalah:
r
Ze
m
H
oe πε42
ˆ
2
2
2
−∇−=
h
0
4
2 2
2
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++∇ ψ
πε
ψ
r
Ze
E
m
o
e
h
Karena potensial ini bersifat sentral maka perlu dilakukan transformasi ke
koordinat bola, yakni
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡∇ 2
2
2222
2
22
2
2
sin
112
ϕθθ
θ
θ rr
ctg
rrrr
3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Atom Hidrogen dan Sejenisnya

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−= 2
2
22
2
22
sin
1ˆ
ϕθθ
θ
θ
ctgL hTetapi,
sehingga
0
2
ˆ
4
22
2
22
22
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++
∂
∂
+
∂
∂
ψ
πε
ψψ
rm
L
r
Ze
E
m
rrr eo
e
h
Misalkan ψ(r,ϕ,θ)= R(r)Y(ϕ,θ) dimana mYY l=),( θϕ
0
2
)1(
4
22
2
22
22
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−++
∂
∂
+
∂
∂
R
rmr
Ze
E
m
r
R
rr
R
eo
e llh
h πε
2
22
2
)1(
4 rmr
Ze
V
eo
eff
+
+−=
llh
πε
Merupakan potensial efektif yang dimiliki elektron, yakni
penjumlahan potensial Coulomb dan kinetik rotasi. Jelas
terlihat, bahwa elektron mengalami sejenis sumur potensial
dengan dinding. Jadi, elektron itu terikat dalam medan inti
sehingga energinya diskrit.
r
r
Ze
oπε4
2
−
2
2
2
)1(
rme
+llh
4

Misalkan oh
A
em
a
Ea
eZ
nr
na
Z
e
o
o
ooo
53,0
4
;
8
;
2
2
222
2
====
πε
πε
ρ
maka
0
)1(
4
12
22
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−−++ R
n
d
dR
d
Rd
ρρρρρ
ll
Misalkan solusinya,
[ ] 0)]1()1()1[()1(22
2
=+−++−−+−++ L
LL
llsssn
d
d
s
d
d
ρ
ρ
ρ
ρ
2/
)()( ρ
ρρρ −s
L
Agar memberikan solusi yang baik dipilih s(s+1)-l (l +1)=0 atau s= l , sehingga
[ ] 0)1()1(22
2
=−−+−++ L
LL
ll n
d
d
d
d
ρ
ρ
ρ
ρ
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan diferensial Laguerre terasosiasi, yang
solusinya merupakan polinom-polinom:
R = e
5

dimana n dan adalah bilangan-bilangan bulat positif yang harus memenuhi
syarat:
.....,3,2,1);1( =+≥ nn l
);()(
12,);()1()(
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−
=
+=+=−=
e
d
d
e
qnp
d
d
p
p
p
p
pq
q
qq
p
L
LL ll
Syarat ini menunjukkan bahwa untuk suatu harga n ada n buah harga l .
Laguerre terasosiasi
Laguerre
6

.120)(;2,3
),4(24)(;1,3
)66(3)(;0,3
,18)(;1,2
),2(2)(;0,2
,1)(;0,1
2
===
−===
+−===
===
−===
===
ρ
ρρ
ρρρ
ρ
ρρ
ρ
5
5
3
4
1
3
3
3
1
2
1
1
L
L
L
L
L
L
l
l
l
l
l
l
n
n
n
n
n
n
( )
12,
!
)!(
12)()( ''
0
1
+=+=
+
++=∫
∞
−+
ll qnp
p
qp
qpde pp
q
p
q
p
q
δρρρρ ρ
LL
Syarat ortogonalitas:
7

'
3
12
'
0
1222
)!1(
])![(2
)()( nnnn
n
nn
de δρρρρ ρ
−−
+
=+
+
∞
+
+
−+
∫ l
ll
l
l
l
l
LL
)()( 122/
ρρρ ρ +
+
−
= l
l
l
ll nnn eNR L
'
0
212
'
122
'
'
2
'
0
)()(
)()(
nnnnnn
nnnn
deNN
dRR
δρρρρρ
δρρρρ
ρ
=
=
∫
∫
∞
+
+
+
+
−
∞
l
l
l
l
l
ll
ll
LL
Sifat ortonormal dari R:
3
3
2
])![(2
)!1(
1
)!1(
])![(2
l
l
l
l
ll
+
−−
=→=
−−
+
nn
n
N
n
nn
N nn
8

)()( 122/
ρρρ ρ +
+
−
= l
l
l
ll nnn eNR L 3
])![(2
)!1(
l
l
l
+
−−
=
nn
n
Nn
Akhirnya diperoleh:
)(
2
)( 12
ρ+
+
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= l
l
l
l
ll n
ona
Zr
o
nn er
na
Z
NrR L
;
3
2/3
])![(2
)!1(2
l
l
l
+
−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
nn
n
na
Z
N
o
n
atau dengan ρ=(2Z/nao)r .
,2)( /
2/3
10
oaZ
o
e
a
Z
rR −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
( )
,
62
1
)(
,2
22
1
)(
2/
2/3
21
2/
2/3
20
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
e
a
Z
rR
e
a
Z
rR
o
o
( )
( )
2/2
2/3
32
2/
2/3
31
2/2
2/3
30
309
1
)(
,4
69
1
)(
,66
39
1
)(
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρρ
−
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
e
a
Z
rR
e
a
Z
rR
e
a
Z
rR
o
o
o
9

)6,13(
8 2
2
2
22
eV
n
Z
na
eZ
E
oo
n −=−=
πε
Energi keadaan:
Untuk atom hidrogen di mana Z=1, rumusan ini sama dengan postulat Bohr.
Bilangan n disebut bilangan kuantum utama. Untuk suatu harga n ada n buah
harga ℓ, yakni ℓ=n-1, n-2,….,0.
nnL )1()1( 222
−=+= hllh Untuk n>>: hnL =
Ini sesuai dengan Bohr; jadi postulat Bohr
berlaku hanya untuk n>>
10

Fungsi gelombang lengkap dari elektron: ),()(),,( ϕθϕθψ ll lll mnmn YrRr =
;2
24
1
;
1
2/
2/3
200
/
2/3
100
o
o
aZr
oo
aZr
o
e
a
Zr
a
Z
e
a
Z
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
π
ψ
π
ψ
;sin
8
1
;cos
24
1
2/
2/3
121
2/
2/3
210
ϕ
θ
π
ψ
θ
π
ψ
iaZr
oo
aZr
oo
ee
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
o
o
±−
±
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
;2
24
1
;
1
2/
2/3
2002
/
2/3
1001
o
o
aZr
oo
s
aZr
o
s
e
a
Zr
a
Z
e
a
Z
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=≡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=≡
π
ψψ
π
ψψ
.sinsin
24
1
;cossin
24
1
;cos
24
1
2/
2/3
2
2/
2/3
2
2/
2/3
2102
ϕθ
π
ψ
ϕθ
π
ψ
θ
π
ψψ
o
o
o
aZr
oo
py
aZr
oo
px
aZr
oo
pz
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
−
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
Untuk hidrogen Z=1.
s
pz
y
x
y
z
x
y
z
x
z
x
y
z
px
py
Disebut orbital atom
11

Jadi keadaan suatu elektron dapat dikarakterisasikan oleh tiga bilangan
kuantum n, ℓ dan mℓ..
Selanjutnya, dengan fungsi-fungsi tersebut di atas, harga rata-rata
besaran fisis elektron dapat ditentukan melalui persamaan berikut:
dvAA mnmnav ll ll ψψ ˆ*
∫=
πϕπθϕθθ 20;0;0;sin2
≤≤≤≤∞≤≤= rdddrrdv
o
ar
o
sssav adddrrre
a
dvrr o
/1sin)/1(
11
)/1()/1(
0
2
0
2
0
/2
3
1
*
11, =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== ∫ ∫∫∫
∞
−
π π
ϕθθ
π
ψψ
Contoh:
2
3
2
!3
44
1
4
4
33
0
/23
1
*
11,
oo
o
ar
osssav
aa
adrreadvrr o
==== −
∞
−−
∫∫ π
π
ψψ
Jelas bahwa (1/r)av≠1/rav.
12

Dalam teori relativitas khusus energi suatu elektron yang bergerak dengan
momentum p dan memiliki energi potensial V dituliskan seperti:
2222
cmVpcmcE ee −++=
Jika momentum p << mec, ekspansi sebagai berikut dapat dilakukan:
..............
82
...............
82 23
42
23
42
+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=++−=
cm
p
V
m
p
V
cm
p
m
p
E
eeee
energi total dalam
pendekatan non-
relativistik
koreksi relativistik
order-1
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=−=Δ
eeee
c
m
p
m
p
cmcm
p
E
222
1
8
22
223
4
E
c
v
vmE
cm
e
e
2
2
4
12
2
1
2
))((
2
1
=−−
Untuk (v/c)2 =10-5 maka ΔEc= 10-5E
13
2.2 Efek Relativitas

Dalam fisika kuantum, koreksi harus dihitung secara rata-rata. Harga
rata-rata misalnya pada keadaan adalah:
llmnψ
dvp
cm
p
cm
E mnmn
e
av
e
c
*4*
23
4
23
8
1
)(
8
1
ll ll ψψ∫−=−=Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−=Δ
2
1
2
1
4
3
lnn
E
E n
c
α
137
1
4
2
≈=
c
e
ohπε
α
Parameter α disebut konstanta struktur halus (fine structure), dan ⎟En⎟ adalah
harga absolut energi elektron.
Terlihat bahwa energi koreksi itu bergantung pada bilangan kuantum n dan ℓ.
Jadi, jika efek relativitas diperhitungkan, maka koreksi energi akan memisahkan
fungsi-fungsi yang terdegenerasi.
14

dvzeM fi
z
if ∫= ψψ *)(
dvzeM mnmn
z
if ∫= ll ll '''
*)(
ψψ
Misalnya,
Mengingat z=r cos θ, maka
ϕθθθϕθϕθ dddrrYrRYrRM mnmn
z
if sincos)],()()][,()([ 3
'''
)(
'll llll∫=
∫
∫
×
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= +
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−∞
ϕθθϕθθ ddYY
drrrre
an
Zr
na
Zr
NNM
mm
n
nna
Zr
oo
nn
z
if
o
sin),(cos
)()(
'
22
''
31'2
'n'
12'
11
0
'
''
)(
ll ll
l
l
l
l
ll
ll LL
Integral di atas mempunyai harga tidak sama dengan nol jika ℓ’=ℓ±1, mℓ’ =mℓ.
1,0
1
.......,2,1,0
±=Δ
±=Δ
=Δ
l
l
m
n
15
2.3 Probabilitas Transisi
Probabilitas transisi sebanding dengan kuadrat transisi momen dipol:

dvxeM mnmn
x
if ∫= ll ll '''
*)(
ψψ
x=r sin θ cos ϕ= ½ r sin θ (eiϕ+e-iϕ),
1'1'2
1'1'11'1'21'1'1'' sin),(cossin '
−+
−−−++−
+
++=∫
ll
llllllll
ll
llllllll
mm
mmmmmmmm ddYY
δδβ
δδβδδαδδαϕθθϕθϕθ
Integral mempunyai harga jika ℓ’=ℓ±1, mℓ’=mℓ±1.
Hal yang sama akan diperoleh untuk
dengan y=r sin θ sin ϕ= (-½ i) r sin θ (eiϕ-e-iϕ).
)(y
ifM
Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa syarat transisi adalah:
1,0
1
.......,2,1,0
±=Δ
±=Δ
=Δ
l
l
m
n
16

r
-e
v
Elektron yang bergerak mengitari inti dengan jari-jari r dan
kecepatan v, menimbulkan arus listrik: revI π2/=
Arus listrik itu menginduksikan momen magnet:
evrrI 2
12
== πμ
Momentum sudut elektron: vmrL e=
Jadi, hubunganantara momen magnet dan momentum sudut: L
m
e
e2
=μ
Dalam bentuk vektor:
L
L
m
e e
e
L
r
hh
r
hr β
μ −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
2
βe=9,2732x10-24 joule/tesla disebut magneton
Bohr elektron.
-e
L
μL
r
17
2.4 Efek Zeeman; Spin Elektron

z
ee
LB
Bo
L
B
BLBH
HHH
ˆ..ˆ
ˆˆˆ
h
rr
h
rr ββ
μ ==−=
+=
Total Hamiltonian elektron di dalam medan magnet B (pada sb-z):
oHˆ = Hamiltonian elektron tanpa medan magnet
= Hamiltonian elektron dalam medan magnet
lll lll mnBmnomn HHH ψψψ ˆˆˆ +=
Dengan fungsi keadaan elektron llmnψ
lll llll
h
mnenmnz
e
mnn BmEL
B
E ψβψ
β
ψ )(ˆ +=+=
adalah pergeseran energi sebagai dampak kehadiran medan B.
U
z
L
rB
r
-e
S
Lμ
r
lBmeβ
Pergeseran ini disebut efek Zeeman.
18

ψ100
ψ200,ψ210, ψ211, ψ21-1
B≠0
ψ210
E1
ψ100
ψ211
ψ21-1
B=0
E2
Contoh,
untuk l=0, ml =0
Untuk l=1, ml =-1,0,1
BE eβ+2
BE eβ−2
E1
1,0
1
.......,2,1,0
±=Δ
±=Δ
=Δ
l
l
m
n
ψ200
E2
Transisi:
Pada B=0 teramati satu transisi saja;
Pada B≠0 termati empat transisi.
berdegenerasi-4
19

Spin elektron
Pengamatan lebih teliti terhadap beberapa garis spektra menunjukkan
garis-garis itu sebenarnya tidak tunggal tetapi doblet.
Karena kecilnya pecahan doblet itu, G.E.Uhlenbeck dan S.Goudsmit
(1926) menyatakan bahwa elektron sendiri memiliki momentum sudut
intrinsik yang disebut spin.
Spin memiliki bilangan kuantum s=½, sehingga bilangan kuantum
magnetiknya ms=½, -½.
Operator-operator spin adalah
α β
−+ SSSSz
ˆdanˆ,ˆ,ˆ 2
dengan fungsi spin dan dengan operasi:
;ˆ
;ˆ
2
4
32
2
1
2
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
β
α
β
α
β
α
β
α
h
h
h
S
Sz
⎩
⎨
⎧
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
0
ˆ
0
ˆ
β
β
α
αβ
α
h
h
S
S
20

Karena spin adalah momentum sudut juga, maka terhadap momentum
sudut spin harus ditambahkan terhadap momentum sudut :L
r
SLJ
rrr
+= Momentum sudut total
Bilangan kuantum bagi momentum sudut total adalah sj ±= l
2
5
2
3
2
3
2
1
2
1
,,2
,,1
,0
==
==
==
j
j
j
l
l
l
.....),........1(, −±±= jjm j
2
5
2
3
2
1
2
1
2
3
2
5
2
5
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
,,,,,
,,,
,
−−−=→=
−−=→=
−=→=
j
j
j
mj
mj
mj
Bilangan kuantum magnetiknya:
21

Momen magnet spin tak dapat diturunkan sebagaimana momen magnet
orbital; sebagai analogi
Sg s
e
S
r
h
r β
μ −=
gs = 2,0024 untuk elektron bebas.
Momen magnet total adalah
)( SgL s
e
SLJ
rr
h
rrr
+−=+=
β
μμμ
)()2( SJSL ee
J
rr
h
rr
h
r
+−=+−≈
ββ
μ
>< Jμ
r
Jμ
r
Lμ
r
L
r
S
r
Sμ
r
J
r
Jg
J
J
JSJ
J
J
J
J
J
e
eJ
J
r
h
r
rrr
h
rrr
r
β
βμ
μ
−=
+
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
>=< 2
).(.
)1(2
)1()1()1(
1
).(
2
+
+−+++
+=
+
=
jj
ssjj
J
JSJ
gJ
ll
rrr
22

zJ
e
JB
JBg
BH
ˆ
.ˆ
h
rr
β
μ
=
><−=
Karena maka fungsi-fungsi eigen dari operator adalahzzz SLJ ˆˆˆ += zJˆ
ss smmsmm YY χll ll ≡
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
β
α
χ ssm
ss smmjsmmz YmYJ ll ll h≡ˆ sj mmm += l
Fungsi harus dilengkapi dengan bilangan kuantum spin menjadi .llmnψ ssmmn llψ
s
ss
sss
smmnjJen
smmnzJ
e
smmnn
smmnBsmmnosmmn
BmgE
Jg
B
E
HHH
l
ll
lll
l
ll
lll
h
ψβ
ψ
β
ψ
ψψψ
)(
ˆ
ˆˆˆ
+=
+=
+=
23

ψ100½-½
ψ210½-½ ψ200½-½
ψ21-1½-½
ψ211½-½
E2
ψ100
ψ200,ψ210, ψ211, ψ21-1
B≠0
ψ210½½ ψ200½½
E1
ψ100½½
ψ21-1½½
B=0
ψ211½½
24

90
BAB 6
TEORI GANGGUAN TAK BERGANTUNG WAKTU
Dalam banyak masalah meskipun Hamiltonian sistem sudah diketahui,
persamaan itu tidak bisa diselesaikan, misalnya karena adanya interaksi
elektron-elektron atau karena adanya medan luar. Untuk masalah seperti itu
harus digunakan teori gangguan.
6.1 Gangguan pada Sistem Tak Berdegenerasi
Andaikan pada awalnya sistem memiliki Hamiltonian dengan fungsi-
fungsi eigen ortonormal yang telah diketahui:
)0(ˆH
{ })0(
nψ
)0()0()0(*)0(
)0()0()0()0(
;
ˆ
mnmnmn
nnn
EEdv
EH
≠=
=
∫ δψψ
ψψ
Sistem nondegenerate

91
Misalkan Hamiltonian sistem mendapat tambahan, misalnya <<Gˆ
GHH ˆˆˆ )0(
γ+= γ=1
{ }nψMisalkanlah fungsi-fungsi eigen dari hamiltonian total H adalah
nnnn EGHH ψψγψ =+= )ˆˆ(ˆ )0(
)0(ˆH
Karena gangguan cukup kecil, maka gangguan itu hanya akan
menimbulkan sedikit perubahan dari menjadi dan menjadi
En. Untuk memperoleh koreksi dapat dilakukan ekspansi sebagai
berikut:
)0(
nE
)0(
nψ nψ
)(
1
)0(
)(
1
)0(
m
n
m
m
nn
m
n
m
m
nn
EE εγ
φγψψ
∑
∑
=
=
+=
+=
superskript (m) menyatakan order koreksi
atau tingkat ketelitian

92
Setiap φ(m) dan setiap ε(m) tidak bergantung pada γ, dan setiap φ(m) dipilih
orthogonal terhadap . Substitusi persamaan (6.4) ke persamaan (6.3)
menghasilkan:
)0(
nψ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ ∑∑∑∑ ====
)(
1
)0()(
1
)0()(
1
)0()(
1
)0()0( ˆ m
n
m
m
n
m
n
m
m
n
m
n
m
m
n
m
n
m
m
n EGH φγψεγφγψγφγψ
( ) 0)0()0()0(
0ˆ.1 γψ =− nnEH
( ) 1)0()1()0()1()0()0( ˆˆ.2 γψεψφ nnnnn GEH +−=−
( ) 2)1()1()0()2()1()2()0()0( ˆˆ.3 γφεψεφφ nnnnnnn GEH ++−=−
( ) 3)2()1()1()2()0()3()2()3()0()0(
.ˆˆ.4 γφεφεψεφφ nnnnnnnnn GEH +++−=−
nnnn EGHH ψψγψ =+= )ˆˆ(ˆ )0(
Samakan kiri dan kanan bagi yang berkoefisien γn yang sama

93
( ){ }
nnnnn
nnnnnn
nnnnnnnn
GdvG
GdvEH
dvdvGdvEH
==
+−=−
+−=−
∫
∫
∫∫∫
)0()0()1(
)1()1(*)0()0()0(
)0()0()1()0()0()1()0()0(*)0(
ˆ
ˆ][.2
ψψε
εφψ
ψψεψψφψ
ditentukanharus
)(
)0()1(
nm
nm
mnmn cc →= ∑≠
ψφMisalkan:
( ) )0()1()0()0()0()0( ˆˆ.2 nnn
nm
mnnm GEHc ψεψψ +−=−∑≠
( )
( ) ∫∫∫∑
∑
+−=−
+−=−
≠
≠
dvdvGdvEEc
GEEc
nknnkmknm
nm
nm
nnnmnm
nm
nm
)0(*)0()1()0(*)0()0(*)0()0()0(
)0()1()0()0()0()0(
ˆ
ˆ
ψψεψψψψ
ψεψψ
Koreksi order-1
Koreksi order-1 bagi En
(o)

94
Fihak kiri mempunyai harga jika m=k, sedangkan suku kedua sebelah kanan
sama dengan nol karena k≠n.
knnknkmnm
nm
nm GEEc δεδ )1()0()0(
)(
][ +−=−∑≠
( ) )0()0(
)0()0(
kn
kn
nkknnknk
EE
G
cGEEc
−
=→−=−
)0(
)(
)0()0(
)1(
k
nk kn
kn
n
EE
G
ψφ ∑≠ −
=
Terlihat, aproksimasi ini tidak berlaku jika
(sistem berdegenarasi).
)0()0(
nk EE =
Koreksi order-1 bagi
ψn
(o)

95
Koreksi order-2
( ) dvdvdvGdvEH nnnnnnnnnnn
)1(*)0()1()0(*)0()2()1(*)0()2()0()0(*)0( ˆˆ.3 φψεψψεφψφψ ∫∫∫∫ ++−=−
{ }
∑∑
∑ ∫
∫∑∫
≠≠
≠
≠
−
=→+−=
+
+−=−
)(
)0()0(
)2()2(
)(
)(
)0(*)0()1(
)2()0(*)0(
)(
)2(*)0()0()0(
0
ˆ][
nm mn
mnnm
nnnm
nm
nm
nm
mnnmn
nmn
nm
nmnnnn
EE
GG
Gc
dvc
dvGcdvEE
εε
ψψε
εψψφψ
)0()0(
kn
kn
nk
EE
G
c
−
=
Koreksi
order-2 bagi
ψn
(o)

96
∑≠
=
)(
)0()2(
nm
mnmn a ψφMisalkan
( ) )1()1()0()2()1()0()0()0(
)(
ˆˆ.3 nnnnnmn
nm
nm GEHa φεψεφψ ++−=−∑≠
( )
τφψετψψε
τφψτψψ
dd
dGdEHa
nlnnln
nlmnl
nm
nm
)1(*)0()1()0(*)0()2(
)1(*)0()0()0()0(*)0(
)(
ˆˆ
∫∫
∫∫∑
++
−=−
≠
lm
nm
nmnlm
nm
nmlmnl
nm
nm cGcEEa δεδ ∑∑∑ ≠≠≠
+−=−
)(
)1(
)(
)0()0(
)(
)(
∑
∑
≠
≠
−
+
−
−=
+−=−
)(
)0()0()0()0(
)(
)1()0()0(
)(
nm ln
nlnn
mn
lmmn
nm
nlnlmnmnlnl
EE
GG
EE
GG
cGcEEa ε
anm harus ditentukan

97
2)0()0()0()0()0()0(
)())(( ln
nlnn
nm lnmn
lmmn
nl
EE
GG
EEEE
GG
a
−
−
−−
= ∑≠
∑ ∑≠ ≠ ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
−−
=
)(
)0(
2)0()0()0()0()0()0(
)2(
)())((nl
l
ln
nlnn
nm lnmn
lmmn
n
EE
GG
EEEE
GG
ψφ
)2()1()0(
)2()1()0(
nnnn
nnnn
EE εε
φφψψ
++=
++=
Fungsi gelombang dan energi sistem terganggu:

98
6.2 Efek Stark
Pengaruh medan listrik statik terhadap tingkat-tingkat energi suatu atom
disebut efek Stark.
Atom hidrogen ditempatkan dalam medan listrik statis F yang diandaikan
sejajar sumbu-z. Interaksi elektron dengan medan itu adalah:
θcos. eFrFreG ==
rr
)0(
1EKoreksi order-1 bagi
dvreF ss 11
)1(
1 cos ψθψε ∫=
0sincos
2
00
3
0
/2
3
== ∫∫∫
∞
−
− ππ
ϕθθθ
π
dddrre
a
eF oaro
dvGG nnnnn
)0()0()1( ˆψψε ∫==
;
1 /2/3
1001
oar
os ea −−
=≡
π
ψψ

99
Koreksi order-1 terhadap )0(
1sψ
( )[ ( )
( ) ( ) ]
pz
o
pzspzpyspy
pxspxssss
EE
eFa
dvrdvr
dvrdvr
EE
eF
2)0(
2
)0(
1
)0(
2
)0(
1
)0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
2
)0(
2
)0(
1
)0(
2)0(
2
)0(
1
)1(
1
745,0
coscos
coscos
ψ
ψψθψψψθψ
ψψθψψψθψφ
−
=
++
+
−
=
∫∫
∫∫
)0(
)(
)0()0(
)1(
k
nk kn
kn
n
EE
G
ψφ ∑≠ −
= )0(
1sψ
)0(
2
)0(
2
)0(
2
)0(
2 ,,, pzpypxs ψψψψ)0(
2E
)0(
1E
;2
24
1 2/2/3
2002
oar
o
os e
a
r
a −−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=≡
π
ψψ
.sinsin
24
1
;cossin
24
1
;cos
24
1
2/
2/3
2
2/
2/3
2
2/
2/3
2102
ϕθ
π
ψ
ϕθ
π
ψ
θ
π
ψψ
o
o
o
aZr
oo
py
aZr
oo
px
aZr
oo
pz
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
e
a
Zr
a
Z
−
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
;
1 /2/3
1001
oar
os ea −−
=≡
π
ψψ
)1(
1
)0(
1 ss φψ +

100
Koreksi order-2 terhadap
)0(
1E
[ ]{ [ ]
[ ] [ ] }2
)0(
2
)0(
1
2
)0(
2
)0(
1
2
)0(
2
)0(
1
2)0(
2
)0(
1)(
2
)0(
1
22
)2(
1
coscos
coscos
∫∫
∫∫
++
+
−
=
dvrdvr
dvrdvr
EE
Fe
pzspys
pxssso
θψψθψψ
θψψθψψε
∑∑ ≠≠ −
=
−
=
)(
)0()0(
2
)(
)0()0(
)2(
nm mn
nm
nm mn
mnnm
n
EE
G
EE
GG
ε
2
)(
2
)0(
1
22
)2(
1 )745,0( oo
a
EE
Fe
−
=ε
Maka energi yang terkoreksi adalah:
2
)0(
1
)0(
2
22
)0(
11
)745,0(
F
EE
ea
EE o
−
−=
Fungsi terkoreksi hingga order-1 adalah )0(
2)0(
1
)0(
2
)0(
11
745,0
pz
o
ss
EE
eFa
ψψψ
−
−=

101
)0(
1sψ
)0(
2
)0(
2
)0(
2
)0(
2 ,,, pzpypxs ψψψψ)0(
2E
)0(
1E
)1(
1
)0(
11 sss φψψ +=
)2(
1
)0(
11 ε+= EE
G=0 G=erF cosθ
Harap dihitung sendiri

102
6.4 Gangguan pada Sistem Berdegenerasi
nmmn HdH =∫ τφφ ˆ*
nmmn Sd =∫ τφφ *
∑=
=
N
n
nnc
1
φψ
Misalkanlah adalah hamiltonian sistem yang terganggu.
Nyatakan suatu fungsi gelombang ψ dari sebagai kombinasi linier dari
fungsi-fungsi yang belum terganggu {φn}.
Hˆ
Untuk sistem yang mengandung fungsi-fungsi berdegenerasi, gangguan
harus diselesaikan dengan metoda variasi sebagai berikut.
Hˆ
di mana kita dapat menghitung:

103
Misalkan E energi sistem, sehingga:
∫
∫=
dv
dvH
E
ψψ
ψψ
*
* ˆ
Untuk memperoleh energi E minimum, variasi terhadap semua koefisien
c harus nol; misalnya turunan terhadap ck:
0=
∂
∂
kc
E
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+ ∑∑∑∑ ≠≠
nmm
mn
nnn
n
n
mn
nmmnnn
n
n SccScEHccHc *2*2
Hasilnya:
∑ ∑≠ ≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+
kn kn
nknkkknknkkk ScScEHcHc

104
( ) ( ) 0=−+− ∑≠kn
nknknkkkkk ESHcESHc
( ) 0=−∑n
nknkn ESHc
Setelah digabubng, hasilnya
0
...
...
.....
.......................................................................................
.......................................................................................
...........
...........
.............
3
2
1
332211
33333332323131
22232322222121
11131312121111
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
NNNNNNNNNNN
NN
NN
NN
c
c
c
c
ESHESHESHESH
ESHESHESHESH
ESHESHESHESH
ESHSHESHESH
Dalam bentuk matriks:
disebut persamaan
sekuler

105
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
.........
..........................................................................
..........................................................................
.........
..........
2211
2222222121
1112121111
=
−−−
−−−
−−−
NNNNNNNN
NN
NN
ESHESHESH
ESHESHESH
ESHESHESH
disebut determinan sekuler.
Karena mempunyai order-N maka dari persamaan tersebut akan diperoleh
N buah harga energi: E1, E2,….,EN.
Selanjutnya, substitusi setiap harga energi Ek ke persamaan sekuler
menghasilkan satu set harga-harga koefisien, yakni ck1, ck2, ….,ckN dengan
mana
∑=
=→
N
n
nknkk cE
1
φψ
Normalisasi: 1
,
*
=∑ nm
mn
kmkn Scc

106
Jika fungsi-fungsi {φn} bersifat ortonormal:
∫ = nmmn dv δφφ*
0
...
...
........
......................................................
......................................................
..........
.............
.............
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
NNNNNN
N
N
N
c
c
c
c
EHHHH
HEHHH
HHEHH
HHHEH
0
........
......................................................
......................................................
..........
.............
.............
321
3333231
2232221
1131211
=
−
−
−
−
EHHHH
HEHHH
HHEHH
HHHEH
NNNNN
N
N
N
disebut determinan sekuler.
disebut persamaan sekuler
∑=
=→
N
n
nknkk cE
1
φψ 1
,
*
=∑ nm
mn
kmkn cc δ

107
Kelanjutan efek Stark
θcosˆˆ )0(
eFrHH +=
pypxpzs 24232221 ,,, ψφψφψφψφ ====
∫ = kllk dv δφφ
( )∫∫ +== dveFrHdvHH lklkkl φθφφφ cosˆˆ )0(
oeFaHH
EHHHH
32112
)0(
244332211
−==
====
Lain-lainnya =0.
0
)(000
0)(00
00)(3
003)(
)0(
2
)0(
2
)0(
2
)0(
2
=
−
−
−−
−−
EE
EE
EEeFa
eFaEE
o
o
Determinan sekuler

108
[ ]
)0(
243
2)0(
2
)0(
22
)0(
21
22)0(
2
22)0(
2
2)0(
2
2)0(
2
24)0(
2
0)(
3,3)3()(
0)3()()(
0)()3()(
EEEEE
eFaEEeFaEEeFaEE
eFaEEEE
EEeFaEE
ooo
o
o
==→=−
+=−=→=−
=−−−
=−−−
Substitusi E1 menghasilkan c1=c2=1/√2
substitusi E2 menghasilkan c1=-c2=1/√2.
Karena E3 dan E4 sama dengan harga
asalnya maka fungsinya juga sama
dengan asalnya. py
px
pzs
pzs
244
233
22212
22211
,
),(
2
1
)(
2
1
),(
2
1
)(
2
1
ψφψ
ψφψ
ψψφφψ
ψψφφψ
==
==
−=−=
+=+=

109
ψ1s
ψ2s ψ2pz ψ2px ψ2py
ψ1
ψ2
ψ3, ψ4
E1=E2
(0)-3eFao
E3=E4=E2
(0)
E2
(0)
E2=E2
(0)+3eFao
E1s
(0)
2
)0(
1
)0(
2
22
)0(
11
)745,0(
F
EE
ea
EE
s
o
ss
−
−=
pz
o
s
EE
eFa
2)0(
1
)0(
2
1
745,0
ψψ
−
−
py
px
pzs
pzs
24
23
222
221
,
),(
2
1
),(
2
1
ψψ
ψψ
ψψψ
ψψψ
=
=
−−=
+=

110
BAB 7
TEORI GANGGUAN BERGANTUNG WAKTU
7.1 Gangguan Bergantung Waktu
),(ˆ)(ˆˆ )0(
trGrHH +=
Gangguan bergantung waktu
)()(ˆ )0()0()0()0(
rErH jjj ψψ =
Keadaan yang tidak terganggu (keadaan stasioner):
Hamiltonian total:
tiE
jjj
j j
ertrtrH
t
tr
i
)0(
)(),(),(
),( )0()0()0()0(
)0(
ψψψ
ψ
=→=
∂
∂
h
Persamaan Schrödinger bergantung waktu:

111
Karena H bergantung waktu, maka energi menjadi tidak stasioner, sehinga
untuk menentukan fungsi gelomang diperlukan cara yang berbeda dengan
persamaan eigen biasa. Misalkan fungsi gelombang bagi H adalah { }),( triψ
),()],(ˆ)(ˆ[
),(ˆ),(
)0(
trtrGrH
trH
t
tr
i
i
i
i
ψ
ψ
ψ
+=
=
∂
∂
h
∑=
k
kiki trtatr ),()(),( )0(
ψψ
Selanjutnya fungsi ψi(r,t) dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi-
fungsi lainnya:
Misalkan )()0(
riψ adalah keadaan awal, dan karena kehadiran gangguan
∑ ∑+
k
k
k
ikkik trtrGtatrHta ),(),()(),(ˆ)( )0()0()0(
ψψ
=
∂
∂
+
∂
∂
∑∑ t
tr
taitr
t
ta
i k
k
ikk
k
ik ),(
)(),(
)( )0(
)0( ψ
ψ hh

112
∑∑ =
∂
∂
k
kikk
k
ik
trtrGtatr
t
ta
i ),(),()(),(
)( )0()0(
ψψh
∑ ∫∫∑ =
∂
∂
k
kfikkf
k
ik
dvtrtrGtrtadvdttrtr
t
ta
i ),(),(),()(),(),(
)( )0(*)0()0(*)0(
ψψψψh
Misalkan pada akhirnya, sistem berada pada ),()0(
trfψ maka
∑ ∫=
∂
∂
k
kfik
if
dvtrtrGtrta
t
ta
i ),(),(),()(
)( )0(*)0(
ψψh
Pada permulaan diandaikan sistem berada sepenuhnya pada keadaan
sehingga aii=1 dan semua aik=0.
Asumsikan, beberapa saat sejak gangguan dimulai, aii masih mendekati 1
sedangkan semua aik << aii. Jadi, suku paling penting dalam persamaan di
atas adalah yang mempunyai indeks k=i, sehingga
)()0(
riψ
∫=
∂
∂
dvtrtrGtr
it
ta
if
if
),(),(),(
1)( )0()0(
ψψ
h

113
Misalkan: )()(),( )0(
trGtrG ϕ=
h
h
hh
h
h
h
/)()0(
/)()0()0(*)0(
/)0()0(/*)0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)(
1
)()()(ˆ)(
1
)()()(ˆ)(
1
tEEi
fi
tEEi
if
tiE
i
tiE
f
if
if
if
etG
i
etdvrrGr
i
dvertrGer
i
−
−
−
=
=
=
∫
∫
ϕ
ϕψψ
ψϕψ
∫=
∂
∂
dvtrtrGtr
it
ta
if
if
),(),(),(
1)( )0()0(
ψψ
h
h
h
/)(
0
)0()0(
)()0()(
tEEi
To
fi
ifif
if
etdt
i
G
aTa
−
∫=− ϕ

114
h
h
/)(
0
)0()0(
)()0()(
tEEi
To
fi
ifif
if
etdt
i
G
aTa
−
∫=− ϕ
=0
∫=
T
ti
o
fi
if dtet
i
G
Ta fi
0
)()(
ω
ϕ
h
h
)0()0(
if
fi
EE −
=ω
Peluang bertransisi dari keadaan stasioner awal ke keadaan
stasioner akhir
)()0(
riψ
)()0(
rfψ
21 )(TaP ifTif =
)()0(
rfψ
)()0(
riψ
G(r,t)
)0(
fE
)0(
iE

115
Gangguan oleh medan EM to ωεε cos
rr
=
Interaksi medan dengan momen dipol:
tretrG o ωθμ εε cos)cos(.),(ˆ ==
rr
ttrerG o ωϕθε cos)(;cos)(ˆ )0(
==
fioifo
o
fi MedvrrreG εε ψθψ == ∫ )(cos)( )0(*)0(
ti
T
fio
if
fi
etdt
i
Me
Ta
ω
ω
ε
cos)(
0
∫=
h
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
+
−
=
−+
ωωωω
ωωωω
ε
fi
Ti
fi
Ti
fio
fifi
ee
i
Me 11
2
)()(
h

116
ψi
ψf
ψf
ψi
(a) (b)
Dalam kasus absorpsi di sekitar ω =ωfi, suku pertama dapat diabaikan.
2
2
2
22
2
]2/)[(
]2/)[(sin
4
)(
1
2
ωω
ωωε
−
−
==
fi
fifio
iffi
T
T
Me
ta
T
P
h
Page 1 of 116

Fisika kuantum edit

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (19)

Similar a Fisika kuantum edit

Similar a Fisika kuantum edit (20)

Último

Último (10)

Fisika kuantum edit