Modulo 6

Módulo 6 – Página 1/15

MÓDULO 6

MODELO PARA COMPONENTES REPARÁVEIS

6.1 – Introdução

De acordo com os desenvolvimentos apresentados no Módulo 5, o modelo mostrado na figura
abaixo torna possível calcular as probabilidades de funcionamento e falha dos componentes
não reparáveis em função do tempo, desde que sua taxa de falha λ seja conhecida e permane-
ça constante durante o período de tempo em que se deseja fazer a análise.

1 2
λ
F F

Observou-se àquela altura, que as probabilidades de funcionamento e falha tendiam, respecti-
vamente, para 0 e 1 quando o tempo tendia para infinito. Esse comportamento reflete o fato de
que, após a falha o componente não mais poderá voltar a funcionar.

Contudo, como já mencionado, a maioria dos componentes de um sistema de potência é repa-
rável. Assim, depois de uma falha, um componente pode sofrer um reparo e transitar do esta-
do de falha para o estado de funcionamento, como mostra o modelo da figura abaixo, onde λ é
a taxa de falha e μ é a taxa de reparo do componente.

λ
1 2
F F
μ

Neste caso, ao longo de sua vida operativa, o componente ocupará sempre um dos 2 possíveis
estados, resultando em um histórico como:

Estado
r1 r2 r3 r4
F
m1 m2 m3 m4
F

Tempo

Podem-se identificar agora duas variáveis aleatórias, TF – tempo de funcionamento e TR –
tempo de reparo. Como a taxa de falha λ e a taxa de reparo μ são admitidas constantes, tem-se
que, tanto o tempo de funcionamento quanto o tempo de reparo podem ser modelados pela
distribuição exponencial.

Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI


Esta premissa é particularmente verdadeira para eventos de falha em componentes que ope-
ram sem entrar na região de envelhecimento. Embora em muitas situações os tempos de repa-
ro possam ser representados pela distribuição exponencial, existem casos em que as taxas de
reparo não são constantes e, então, outros modelos devem ser avaliados. Neste texto, tratare-
mos apenas os casos em que as taxas de falha e reparo são constantes.

Na determinação das taxas (constantes), tem-se:

1 Número de vezes que o componente já falhou
λ= = . (1)
E (TF ) Tempo total de funcionamento do componente

1 Número de vezes que o componente já foi reparado
μ= = . (2)
E (TR ) Tempo total de reparo do componente

O objetivo inicial consiste no cálculo das probabilidades dos estados de funcionamento e
falha do componente ao longo do tempo.

Por simplicidade, o estado de funcionamento será, a partir de agora, chamado de Estado 1 e o
estado de falha (componente em reparo) será chamado de Estado 2, como na figura abaixo:

λ
1 2
F F
μ

A seguir, será desenvolvido o modelo para a determinação de p1(t) e p2(t), i.e. as probabilida-
des de funcionamento e falha a cada instante t. A base matemática para o desenvolvimento é a
teoria dos processos estocásticos (Cadeias e Processos de Markov).

6.2 – Formulação Matemática

Representação em Tempo Discreto

Em um primeiro momento, considere que o problema será resolvido de forma discreta, i.e. em
intervalos regulares de tempo Δt, que pode ser tomado tão pequeno quanto o necessário.

Dos conceitos apresentados no Módulo 5 (veja o Exercício 2), foi possível concluir que o pro-
duto da taxa de falha λ por Δt corresponde à probabilidade do componente falhar durante o
intervalo Δt, dado que o mesmo estava em funcionamento no início do intervalo. Com isso,
foi esquematizado o processo de falha em tempo discreto:

1 P 12(Δt) 2
P 11(Δt) F F



Onde:

P11 (Δt ) = 1 − λΔt (3)
P12 (Δt ) = λΔt . (4)

De maneira análoga, o produto da taxa de reparo μ pelo intervalo de tempo Δt pode ser inter-
pretada como a probabilidade do componente ser reparado durante o tempo Δt, sabendo que
ele se encontrava falhado (sendo reparado) no início do intervalo.

Do exposto anteriormente, pode-se conceber o seguinte modelo de 2 estados em tempo discre-
to para a análise de um componente reparável. Deve-se atentar para o fato de que Δt deve ser
pequeno o suficiente para que não ocorra mais que uma transição no mesmo intervalo.

P 12(Δt)
1 2
P 11(Δt) F P 22(Δt)
F
P 21(Δt)

Onde, além das equações (3) e (4), tem-se:

P21 (Δt ) = μΔt (5)
P22 (Δt ) = 1 − μΔt . (6)

As probabilidades dos estados 1 e 2 em cada instante de tempo discreto podem ser calculadas
exclusivamente em função das probabilidades no instante imediatamente anterior1. Observe:

P1 ( t + Δt ) = P11 (Δt ) × P1 ( t ) + P21 (Δt ) × P2 ( t ) (7)
P2 ( t + Δt ) = P12 (Δt ) × P1 ( t ) + P22 (Δt ) × P2 ( t ) . (8)

Reunindo (7) e (8) em forma matricial:

P1 ( t + Δt ) P2 ( t + Δt ) = P1 ( t ) P2 ( t ) × P11 (Δt ) P12 (Δt )
P21 (Δt ) P22 (Δt )
(9)

Logo, em forma compacta:

P ( t + Δt ) = P ( t ) × P (10)

1
Essa hipótese caracteriza um processo Markoviano. O conhecimento do resultado do último estágio define
completamente o comportamento futuro do processo. Por esta razão, os processos de Markov são chamados de
processos sem memória. Neste caso, tem-se um processo Markoviano com espaço de estados discreto e espaço
paramétrico (tempo) também discreto, denominado Cadeia de Markov.



onde P( t ) é o vetor linha das probabilidades no instante t, e P é a matriz estocástica das pro-
babilidades de transição (que permanece inalterada durante todo o processo).

Com esta equação podemos calcular numericamente, de Δt em Δt, as probabilidades dos esta-
dos 1 e 2 ao longo do tempo, a partir de um instante t qualquer onde as probabilidades são
conhecidas.

Exemplo

Considere, para efeito de realização de um exemplo numérico, um componente com taxa de
falha igual a 8,76 f/ano e tempo médio de reparo de 100 horas.

Assim:

λ = 8,76 f/ano → λ = 8,76/8760 = 0,001 f/hora.
μ = 1/100 → μ = 0,01 r/hora.

Escolhendo, por exemplo, um Δt de 1 hora, têm-se as seguintes probabilidades de transição:

P11 (Δt ) = 1 − λΔt = 0,999
P12 (Δt ) = λΔt = 0,001
P21 (Δt ) = μΔt = 0,01
P22 (Δt ) = 1 − μΔt = 0,99 .

Logo:

P1(t+Δt) P2(t+Δt) = P1(t) P2(t) × 0,9990 0,0010
0,0100 0,9900

Ao fim da primeira hora, tem-se P(1) = P(0) × P , i.e.

P1(1) P2(1) = P1(0) P2(0) × 0,9990 0,0010
0,0100 0,9900

Se no início do processo é sabido que o componente está em funcionamento, então:

P1(1) P2(1) = 1 0 × 0,9990 0,0010 = 0,9990 0,0010
0,0100 0,9900

Ao fim da segunda hora, tem-se P(2) = P(1) × P , i.e.

P1(2) P2(2) = 0,9990 0,0010 × 0,9990 0,0010 = 0,9980 0,0020
0,0100 0,9900



Repetindo este processo um grande número de vezes, tem-se:

t P1(t) P2(t)
0 1 0
1 0,9990 0,0010
2 0,9980 0,0020
3 0,9970 0,0030
: : :
: : :
20 0,9820 0,0180
21 0,9812 0,0188
: : :
: : :
1024 0,9091 0,0909
1025 0,9091 0,0909
: : :
: : :
∞ 0,9091 0,0909

Observe que com o passar do tempo, a probabilidade do estado 1 diminui e a do estado 2 au-
menta até se estabilizarem nos patamares de 0,9091 e 0,0909, respectivamente. Dessa forma,
pode-se notar que após um período de tempo suficientemente grande, as probabilidades de
encontrar o componente em funcionamento ou em reparo tornam-se independentes do tempo.
A figura abaixo ilustra o comportamento das probabilidades dos estados 1 e 2.

1,0

0,9
P1(t)
0,8

0,7
Probabilidade

0,6

0,5 Fase Transitória Fase Estacionária

0,4

0,3

0,2
P2(t)
0,1

0,0
1000
100

200

300

400

500

600

700

800

900
0

Tempo (h)

P1(t) P2(t)



Admitindo agora que o componente estava sendo reparado no instante inicial, têm-se ao fim
da primeira hora, as seguintes probabilidades:

P1(1) P2(1) = 0 1 × 0,9990 0,0010 = 0,0100 0,9900
0,0100 0,9900

Ao fim da segunda hora, tem-se P(2) = P(1) × P , i.e.

P1(2) P2(2) = 0,0100 0,9900 × 0,9990 0,0010 = 0,0199 0,9801
0,0100 0,9900

Repetindo este processo mais vezes, pode-se montar a tabela abaixo e o gráfico da próxima
página.

t P1(t) P2(t)
0 0 1
1 0,01 0,99
2 0,0199 0,9801
3 0,0297 0,9703
: : :
: : :
20 0,1804 0,8196
21 0,1884 0,8116
: : :
: : :
1024 0,9091 0,0909
1025 0,9091 0,0909
: : :
: : :
∞ 0,9091 0,0909

Note que ao contrário do caso anterior, a probabilidade de funcionamento aumenta com o
tempo, enquanto a de falha diminui. Contudo, as probabilidades de encontrar o componente
em funcionamento ou em reparo se estabilizam nos mesmos patamares anteriores, i.e. 0,9091
e 0,0909.

Comparando-se as tabelas e gráficos obtidos nas duas situações, i.e. com as condições inici-
ais: “componente em funcionamento” e “componente em reparo”, pode-se observar que:

• As probabilidades dos estados apresentam uma fase transitória e uma fase estacionária.
• Na fase transitória, as probabilidades dependem fortemente do tempo e das condições ini-
ciais do componente.
Por exemplo, se o componente estiver funcionando em t = 0, a probabilidade de estar fun-
cionando ao fim de t = 1 hora vale P1(1) = 0,9990. Se o componente estiver em reparo em
t = 0, a probabilidade dele estar em funcionamento em t = 1 hora vale P1(1) = 0,0100.



• Na fase estacionária, as probabilidades param de variar com o tempo e são independentes
das condições iniciais.
Para exemplificar, note que a probabilidade do componente ser encontrado em funciona-
mento ao fim de t = 1024 horas vale 0,9091, quer o componente estivesse funcionando,
quer estivesse em reparo em t = 0. Isso acontece pois o instante t = 1024 horas já pertence
à fase estacionária.

1,0

0,9
P1(t)
0,8

0,7
Probabilidade

0,6

0,5 Fase Transitória Fase Estacionária

0,4

0,3

0,2
P2(t)
0,1

0,0

1000
100

200

300

400

500

600

700

800

900
0

Tempo (h)

P1(t) P2(t)

Representação em Tempo Contínuo

O comportamento das probabilidades dos estados de um componente reparável pode ser mais
bem compreendido ao se analisar a representação em tempo contínuo. Neste caso, a formula-
ção matemática é baseada na teoria de processos contínuos de Markov, onde o espaço de es-
tados é discreto, mas o espaço paramétrico (tempo) é contínuo.

Pode-se tomar como suporte, toda a formulação desenvolvida no item anterior, bastando eli-
minar a discretização do tempo. Isto pode ser feito tomando o limite (com Δt → 0) das equa-
ções disponíveis.

Do modelo em tempo discreto (equações 7 e 8):

P1 ( t + Δt ) = P11 (Δt ) × P1 ( t ) + P21 (Δt ) × P2 ( t )

P2 ( t + Δt ) = P12 (Δt ) × P1 ( t ) + P22 (Δt ) × P2 ( t )

onde:



P11 (Δt ) = 1 − λΔt
P12 (Δt ) = λΔt
P21 (Δt ) = μΔt
P22 (Δt ) = 1 − μΔt .

Assim, pode-se escrever:

P1 ( t + Δt ) = (1 − λΔt ) × P1 ( t ) + μΔt × P2 ( t ) (11)

P2 ( t + Δt ) = λΔt × P1 ( t ) + (1 − μΔt ) × P2 ( t ) (12)

De (11):

P1 ( t + Δt ) − P1 ( t ) = −λΔt × P1 ( t ) + μΔt × P2 ( t ) .

Dividindo por Δt:

P1 ( t + Δt ) − P1 ( t )
= −λP1 ( t ) + μP2 ( t ) .
Δt

Tomando o limite com Δt → 0:

&
P1 ( t ) = −λP1 ( t ) + μP2 ( t ) . (13)

Procedendo de forma análoga para (12) chega-se a:

&
P2 ( t ) = λP1 ( t ) − μP2 ( t ) . (14)

Observe que as equações (13) e (14) formam o seguinte sistema de equações diferenciais:

&
P1 ( t ) &
P2 ( t ) = P1 ( t ) P2 ( t ) × −λ λ (15)
μ −μ

Assim, para se conhecerem as expressões analíticas que permitem o cálculo das probabilida-
des dos estados do modelo ao longo do tempo, deve-se resolver o sistema (15) cuja solução é:

μ P (0)λ − P2 (0)μ − (λ + μ) t
P1 ( t ) = + 1 e (16)
μ+λ μ+λ

λ P (0)λ − P2 (0)μ − (λ + μ) t
P2 ( t ) = − 1 e (17)
μ+λ μ+λ

onde P1(0) e P2(0) são as probabilidades dos estados 1 e 2 no instante inicial da análise.



As figuras a seguir mostram os gráficos das soluções P1(t) e P2(t) para duas possíveis condi-
ções iniciais. Na primeira condição, o componente está em funcionamento em t = 0, e, na se-
gunda, o componente se encontra em reparo em t = 0.

Observe que fazendo o tempo tender ao infinito, as probabilidades dos estados 1 e 2 tendem a
se estacionar nos valores:

μ
P1 (∞) = (18)
μ+λ

λ
P2 (∞) = (19)
μ+λ

1
Solução para P1(0) = 1 e P2(0) = 0
μ
μ+λ P1(t)

P2(t)
λ
μ+λ
Fase Transitória Fase Estacionária
0

1
Solução para P1(0) = 0 e P2(0) = 1
μ
μ+λ P1(t)

P2(t)
λ
μ+λ
Fase Transitória Fase Estacionária
0



Para o caso do exemplo numérico anterior, onde λ = 0,001 falhas/hora e μ = 0,01 repa-
ros/hora, as probabilidades estacionárias são:

μ 0,01
P1 (∞) = = = 0,9091
μ + λ 0,01 + 0,001

λ 0,001
P2 (∞) = = = 0,0909 .
μ + λ 0,01 + 0,001

Questão

Analisar e interpretar o significado das expressões obtidas para as probabilidades estacioná-
rias dos estados de funcionamento e falha de um componente reparável.

Generalização para Componentes ou Sistemas com mais de 2 Estados

O sistema de equações diferenciais do item anterior pode ser escrito em forma matricial:

&
P( t ) = P( t ) × A (20)

&
onde P( t ) é o vetor (1 × 2) com as derivadas das probabilidades dos estados 1 e 2 com relação
ao tempo, P( t ) é o vetor (1 × 2) com as probabilidades dos estados 1 e 2 no instante t, e A é a
matriz (2 × 2) montada em função das taxas de transição λ e μ (equação 15).

Se um sistema ou componente possuir “n” estados como na figura abaixo, a mesma formula-
ção desenvolvida para 2 estados continua válida, bastando alterar as dimensões dos vetores e
matrizes do problema.

λ12
1 2
λ21

λij
m i j

λ1k

k n
λkn

Assim, tem-se:

&
P( t ) = P( t ) × A . (21)



Onde

& &
P( t ) = P1 ( t ) &
P2 ( t ) ... &
Pn ( t )

P( t ) = P1 ( t ) P2 ( t ) ... Pn ( t )

e a matriz A tem dimensão (n × n), sendo montada por inspeção, de acordo com a regra:

A ij = λ ij (22)
n
A ii = − ∑ A ij (23)
j=1
j≠i

O termo designado por λij representa a taxa de transição do estado i para o estado j. Trata-se
de uma generalização dos conceitos de taxa de falha e taxa de reparo. Deve-se lembrar que as
taxas são dados do problema e podem ser determinadas numericamente, com base na análise
do histórico de operação do componente ou sistema em questão. Neste caso:

Número de vezes que o componente transitou do estado i para o estado j
λ ij = . (24)
Tempo total em que o sistema ocupou o estado i

Exemplo

Obter, por inspeção, o sistema de equações diferenciais que permite o cálculo das probabili-
dades dos estados do modelo abaixo:
b
1 a 2
f
h

g c

3 e 4
d

& & &
O sistema tem a forma: P( t ) = P( t ) × A . Onde: P( t ) = P1 ( t ) & & &
P2 ( t ) P3 ( t ) P4 ( t )

− (b + g) b g
a − (a + c) c
P( t ) = P1 ( t ) P2 ( t ) P3 ( t ) P4 ( t ) e A=
f − (e + f ) e
h d − (d + h )



6.3 – Cálculo das Probabilidades

O cálculo das probabilidades dos estados de qualquer modelo representado por um processo
de Markov exige a solução do sistema de equações diferenciais. Contudo, para modelos com
mais de 4 estados a solução analítica torna-se inviável, sendo necessária a utilização de algum
método numérico.

A solução analítica obtida para o modelo de 2 estados mostrou que a evolução das probabili-
dades no tempo caracteriza duas fases distintas: fase transitória (para t pequeno, onde as pro-
babilidades variam no tempo) e fase estacionária (pata t suficientemente grande, onde as pro-
babilidades se tornam constantes e independentes das condições iniciais). O mesmo compor-
tamento é encontrado no cálculo das probabilidades de modelos com mais de 2 estados. As-
sim, o cálculo das probabilidades transitórias e estacionárias pode ser feito separadamente,
como mostrado a seguir.

Cálculo das Probabilidades Transitórias

As probabilidades transitórias podem ser calculadas numericamente de Δt em Δt unidades de
tempo através da equação matricial:

P( t + Δt ) = P( t ) × P (25)

Onde P( t + Δt ) é o vetor (1 × n) com as probabilidades dos estados no instante (t + Δt), P( t ) é
o vetor (1 × n) com as probabilidades dos estados no instante t, e P é a matriz estocástica das
probabilidades de transição (em um intervalo Δt), que deve ser calculada por:

Pij = λ ij × Δt (26)
n
Pii = 1 − ∑ λ ij × Δt (27)
j=1
j≠i

Note que a relação entre a matriz P (usada no cálculo das probabilidades) e a matriz A (mon-
tada por inspeção do espaço de estados) é

P = Δt × A + I (28)

onde Δt é o intervalo de tempo2 escolhido para fazer a discretização do problema e I é a ma-
triz identidade de dimensão (n × n).

Uma vez calculada a matriz de probabilidades de transição, pode-se usar a equação (25) re-
cursivamente para calcular as probabilidades dos estados desde o instante 0 até o instante de-
sejado, usando o passo Δt escolhido.

2
A escolha do intervalo de tempo Δt deve ser feita de forma cuidadosa. Neste caso, deve-se lembrar que no
processo de discretização, o produto entre uma taxa e intervalo Δt representa uma probabilidade de transição.



Cálculo das Probabilidades Estacionárias

Na fase estacionária (t → ∞) as probabilidades dos estados tornam-se constantes (não variam
com o tempo). Assim, note que:

&
P( t ) = P( t ) × A ⇒ 0 = Ps × A . (29)

onde 0 é um vetor (1 × n) de elementos nulos e Ps um vetor (1 × n) com as probabilidades
estacionárias (não dependem mais do tempo).

Observe que o sistema de equações diferenciais torna-se um sistema linear de equações algé-
bricas, onde as incógnitas são as probabilidades estacionárias. Contudo, este sistema não pode
ser resolvido de forma única, pois suas equações são linearmente dependentes entre si (o de-
terminante da matriz de coeficientes é nulo).

Para resolver o problema, pode-se eliminar qualquer equação “j” do sistema (29) e adicionar:

n
∑ Pis = 1 . (30)
i =1

Assim, o sistema poderá (verifique!) ser reescrito como,

0m = Ps × Am (31)

onde 0m é um vetor de elementos nulos, exceto na coluna “j” onde deve valer 1, Ps é o vetor
de probabilidades estacionárias e Am é idêntica à matriz de taxas de transição, exceto na co-
luna “j” em que todos os elementos devem valer 1. Com isso, a solução do sistema é dada por:

Ps = 0m × Am −1 (32)

Exemplo

Determine as probabilidades estacionárias do modelo abaixo, onde as taxas estão em transi-
ções por ano.

1
20
10

2 1

2 3
1



Na região estacionária, tem-se originalmente o sistema:

0 = Ps × A .

Onde, neste caso:

−3 2 1
A= 10 − 11 1
20 0 − 20

Assim:

−3 2 1
0 0 0 = P1S P2S P3S × 10 − 11 1
20 0 − 20

As equações extraídas deste sistema são:

0 = –3 P1S + 10 P2S + 20 P3S
0 = 2 P1S – 11 P2S
0= P1S + P2S – 20 P3S

Observe que o sistema é realmente LD, pois o determinante da matriz A é nulo. Então, para
poder conhecer as probabilidades, deve-se eliminar qualquer equação e adicionar a seguinte:

P1S + P2S + P3S = 1.

Eliminando, por exemplo, a segunda equação, o sistema fica composto pelas equações,

0 = –3 P1S + 10 P2S + 20 P3S
1= P1S + P2S + P3S
0= P1S + P2S – 20 P3S

que, se reorganizadas em forma matricial, tornam-se:

−3 1 1
0 1 0 = P1S P2S P3S × 10 1 1
20 1 − 20

Note então que o sistema já está na forma 0m = Ps × Am . Logo a solução pode ser obtida fa-
zendo-se Ps = 0m × Am −1 , que resulta em:

P1S P2S P3S = 0,8059 0,1465 0,0476 .



6.4 – Exercícios Propostos

1) Considere o espaço de estados mostrado na figura abaixo, onde as taxas estão em transi-
ções por hora.

0,002
1 0,02 2
0,015

0,001 0,003 0,01

3 0,02 4 5
0,01 0,002
Pede-se:

a) Obter, por inspeção, o sistema de equações diferenciais que permite o cálculo das pro-
babilidades instantâneas dos estados do modelo.
b) A partir do resultado anterior, deduzir o sistema de equações que permite o cálculo das
probabilidades estacionárias dos estados. Resolva o sistema.

2) Considerando o modelo do exercício anterior, pede-se:

a) Obter o espaço de estados para análise em tempo discreto com intervalo de 1 hora (de-
senhar os estados e calcular os parâmetros).
b) A partir do resultado anterior, deduza o sistema de equações que permite calcular as
probabilidades transitórias dos estados do modelo.
c) Calcule as probabilidades de cada estado ao fim de cada hora para as primeiras 10 ho-
ras, sabendo que o sistema inicia no estado 1.

6.5 – Trabalho Proposto

Elabore um programa em linguagem de sua escolha para o cálculo de probabilidades transitó-
rias e estacionárias de uma cadeia de Markov, observando as seguintes condições:

• O programa deverá ser genérico para qualquer número de estados;
• Dados de entrada: número de estados, taxas de transição entre estados (matriz A).
• Tipo de cálculo desejado, i.e. probabilidades transitórias, estacionárias ou ambas.
• No caso de se desejar probabilidades transitórias, ainda devem ser lidos o instante tempo
desejado, o intervalo de discretização Δt e as condições iniciais.
• Feitos os cálculos, o programa deverá apresentar os resultados e gráficos mostrando a evo-
lução das probabilidades ao longo do tempo.

Para a entrega do trabalho, deverá ser montado um relatório contendo um resumo teórico so-
bre o assunto, o programa fonte (que será lido e estará sujeito a defesa) e resultados de aplica-
ções com espaços de estados criados pelos próprios alunos do grupo.


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