Newton

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Newton

  1. 1. Método de Newton Raphson para raíces múltiples. Introducción El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz. Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0 . Observe que no requiere construir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado. Fórmula descripcion del metodo el metodo de newton es conocido como el metodo de newton-raphson o newton -fourier este4 un metodo abierto , en el sentido de que no garantiza la convergencia en general.la unica manera de alcanzar la convergencia general seria encontrar la raiz de la misma y eligir un valor menor inicial lo suficiente cercano a la raiz buscada.se re4alizan diversas iteraciones hasta que el metodo haya convergido lo suficiente. algo muy recurrente es que este metodo de aplicacion es exclusiva para funciones de una sola variable con forma analitica o implicita conocible. Teorema de Convergencia Local del Método de Newton[editar] Sea . Si , entonces existe un r>0 tal
  2. 2. que si ,, entonces la sucesión xn con verifica que: , para todo n y xn tiende a p cuando n tiende a infinito. Si además ,entonces la convergencia es cuadrática. Teorema de Convergencia Global del Método de Newton[editar] Sea verificando1 : Entonces existe un único tal que f(s)=0 por lo que la sucesión converge a s. Estimación del Error Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si raíz, entonces: es para una cierta constante C. Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error: Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:
  3. 3. Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente. Algoritmo Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente m= f prima (xi) Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y- f(xi)= f prima(x1i(x-xi) Hacemos y=0: -f(x1)=f prima(xi)(x-xi) Y despejamos x: x=x1/(f(x)/f prima(xi)) Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

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