2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea. Una función f(x,y) se llama homogénea de grado n con respecto a las variables x. y si para todo ‘t’ se verifica
3. Ejemplo de verificación 1: En este caso: La función f(x,y) — 2x3 — 5xy2+ 4y3es una función homogénea de grado tres.
6. Definición Se dice que la ecuación diferencial es homogénea si las funciones M y N son homogéneas y del mismo grado. Note que la ecuación diferencial será homogénea si / es una función homogénea de grado cero.
7. Método de Solución Una ecuación diferencial homogénea M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0, se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables separables, usando cualquiera de las sustituciones v = y/x o bien v = x/y, donde v es una nueva variable. v = y/x v = x/y
8. Consejo… Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anteriores reduce una ecuación homogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar • y = xv si N es de estructura "más simple" que M. • x = yvsi M es de estructura "más simple" que N.
9. Ejemplo 1: Como son funciones. N es de estructura algebraica más simple que M, la sustitución más conveniente es y = xv para reducir a una ecuación de variables separables. Hacemos: