Universidad T´cnica Federico Santa Mar´             e                          ıa    Programa Preliminar para Ingenier´   ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´               e                      ıaDepartamento de Matem´tica                 ...
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Material MAT021
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Material MAT021

2.400 visualizaciones

Publicado el

Material construido por Pedro Pablo Montero (supermechon), profesor Szanto para MAT021 USM

0 comentarios
3 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
2.400
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
5
Acciones
Compartido
0
Descargas
162
Comentarios
0
Recomendaciones
3
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Material MAT021

  1. 1. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Programa Preliminar para Ingenier´ ıa Cuaderno de Estudio Patricio Guzm´n Mel´ndez a e Alumno de Ingenier´ Civil Matem´tica ıa a Pedro Montero Silva Alumno de Licenciatura en Ciencias menci´n Matem´tica o a Iv´n Sz´nt´ Narea a a o Profesor del Departamento de Matem´tica a Marzo de 2009
  2. 2. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa ´ INDICE´Indice1. Introducci´n o 32. Preliminares 43. L´gica Simb´lica y Teor´ de Conjuntos o o ıa 6 3.1. L´gica Simb´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 6 3.2. Teor´ de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 84. Funciones 10 4.1. Propiedades de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2. Estudio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3. Problemas de Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. Geometr´ Anal´ ıa ıtica 18 5.1. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2. C´nicas . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.2. Par´bola . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2.4. Hip´rbola . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.3. Lugares Geom´tricos . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246. N´ meros Naturales u 25 6.1. Inducci´n . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.3. Progresiones Aritm´ticas e y Geom´tricas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.4. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317. N´ meros Reales u 33 7.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.2. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.3. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.4. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.5. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408. Trigonometr´ ıa 42 8.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.2. Identidades Trigonom´tricas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 8.3. Ecuaciones Trigonom´tricas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.4. Problemas con Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.5. Miscel´neo . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499. N´ meros Complejos u 51 9.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.3. Miscel´neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 a10.L´ ımites y Continuidad 57 10.1. L´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.3. Miscel´neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a 1
  3. 3. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa ´ INDICE11.La Derivada 63 11.1. Operatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.3. Miscel´neo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 a12.Aplicaciones de la Derivada 76 12.1. Problemas de Raz´n de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 o 12.2. Problemas de Optimizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 o 12.3. Estudio de Funciones y Trazado de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2
  4. 4. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa1. Introducci´n o El Programa Preliminar para Ingenier´ es un programa que se imparte a los alumnos destacados de IV◦ ıaMedio de la Regi´n de Valpara´ que sienten inter´s en el ´rea de la Ingenier´ Ciencias y Tecnolog´ en o ıso, e a ıa, ıa;donde se les inicia en la vida y exigencia universitaria, cursando la asignatura de Matem´tica I (MAT-021) e In- atroducci´n a la Ingenier´ (IWI-101); ambos cursos del primer semestre acad´mico de Ingenier´ y Ciencias en la o ıa e ıaUniversidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa. Este Cuaderno de Estudio est´ destinado a las clases activas de Matem´tica I, que en la pr´ctica, es una de a a alas partes m´s importantes de la asignatura. Su prop´sito es orientar el aprendizaje a lo largo del curso apuntando a a oidentificar los conceptos claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dar´ al estudiante una visi´n global a ode las herramientas entregadas en la asignatura. Este cuaderno est´ dividido en los temas que se ver´n a lo largo del curso, y el n´mero de actividades por temas a a ues variable dependiendo de la importancia del mismo. La metodolog´ a seguir consiste en que el estudiante resuelva los problemas en clases pr´cticas en donde bajo ıa ala supervisi´n del profesor y los ayudantes, el estudiante aplicar´ los conceptos y m´todos entregados en la clase o a ete´rica, y as´ podr´ resolver los diferentes tipos de problemas y aplicaciones. o ı a Esta metodolog´ ayudar´ al estudiante a seguir y a entender mejor los contenidos de la asignatura, pues de esta ıa aforma se concreta lo explicado en las clases te´ricas y adem´s se ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos. o aEl hecho de que el estudiante encuentre dificultades en este cuaderno es un indicador de que no ha alcanzado elnivel de aprendizaje esperado. Se espera ir perfeccionando este cuaderno en todos los sentidos posibles: formato, edici´n del texto, redacci´n y o oniveles de dificultad de los problemas, etc. Este Cuaderno de Estudio, en su segunda versi´n, no habr´ sido posible sin las valiosas recomendaciones o ıay discusiones con el Departamento de Matem´tica de nuestra universidad. Adem´s, parte importante de las a amejoras de esta versi´n se deben a las cr´ o ıticas y comentarios de los alumnos del Programa Preliminar para Ingenier´ ıadel a˜o 2008. n Ayudantes del Departamento de Matem´tica: a Patricio Guzm´n Mel´ndez a e Pedro Montero Silva Profesor del Departamento de Matem´tica: a Iv´n Sz´nt´ Narea a a o Marzo de 2009 3
  5. 5. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 2 PRELIMINARES2. Preliminares 1. A Constanza se le pregunta su edad y ella responde: ”Si se a˜aden 13 a˜os al cu´druple de mi edad, se tendr´ n n a ıa lo que falta para tener 98 a˜os”. ¿Cu´l es la edad de Constanza? n a 2. La edad de Ricardo, padre de Pablo, es el triple. La edad de Ricardo hace cuatro a˜os era el doble de la edad n que tendr´ Pablo en siete a˜os. ¿Cu´l es la suma de ambas edades? a n a 3. De dos resistencias en paralelo que difieren en 33 Ω se sabe que la resistencia equivalente es de 22 Ω. Calcular el valor de cada resistencia. 4. Patricio vende a Diego la tercera parte de un terreno, m´s el 45 % del resto; en total vende 5700 m2 . ¿Cu´nto a a mide el terreno que le queda a Patricio?. 5. En un tri´ngulo rect´ngulo los catetos son entre si como 15:35 y la hipotenusa mide 65 cm. Calcular el ´rea a a a del tri´ngulo. a 6. El per´ ımetro de cierto rect´ngulo es de 112 cm y su diagonal mide 40 cm. Calcular el ´rea del rect´ngulo. a a a 7. Si cada lado de un tri´ngulo is´celes disminuye en un 18 %, ¿en cu´nto % disminuye su ´rea?. a o a a 8. Un trazo AC ha sido dividido interiormente en el punto B de modo que AB : BC = 17 : 12. Sea M el punto medio de BC. ¿Qu´ tanto % de AM mide BM ?. e 9. Un cilindro tiene 15 cm de di´metro y 80 cm de altura. Encontrar el radio de un c´ a ırculo cuya ´rea sea igual a al 50 % de la superficie total del cilindro. 10. Suponga que el radio basal de un cono circular recto aumenta en un 15 %, mientras que su altura disminuye en un 20 %. ¿En cu´nto % var´ la superficie basal, total y el volumen del cono?. a ıa 11. El ancho de un anillo circular mide 8 % m´s que el radio de la circunferencia interior. ¿Qu´ tanto % del ´rea a e a del anillo es el ´rea del c´ a ırculo interior si el di´metro del c´ a ırculo interior es de 70 cm?. 12. Suponga que el di´metro de un c´ a ırculo mide 30 % menos que el de otro c´ ırculo conc´ntrico. Expresar el ´rea e a del anillo en tanto % del ´rea del c´ a ırculo interior. 13. El volumen de cierto cono es igual a la mitad del volumen de una esfera de 18 cm de radio. Calcular el radio basal del cono si su altura mide el 35 % del radio de la esfera. 14. Considere el rect´ngulo cuya base y altura est´n en la proporci´n b : a = 27 : 21. Si la base ”b” aumenta a a o en 1 m y la altura ”a” en 3 m el rect´ngulo se transforma en un cuadrado. ¿Cu´nto mide la diagonal del a a rect´ngulo? a 15. Considere el s´lido formado por una semiesfera en la parte superior, un cilindro en el centro y un cono en la o parte inferior. El radio de la semiesfera, el cilindro y el cono es de x. La altura del cono es de x y del s´lido o es de 5x. Si el volumen del s´lido es de 256π, encuentre el valor de x. o 16. Un auto y un tren se mueven juntos a lo largo de trayectorias paralelas a 25 m/s, con el auto adyacente a la parte trasera del tren. Debido a una luz roja el auto adquiere una aceleraci´n uniforme de -2,5 m/s2 (el auto o est´ desacelerando) y llega al reposo. Permanece en reposo durante 45 s y luego acelera hasta llegar a una a rapidez de 25 m/s. ¿A qu´ distancia de la parte posterior del tren se encuentra el auto cuando este alcanza la rapidez de 25 m/s, e suponiendo que la rapidez del tren permanece constante?. 4
  6. 6. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 17. Un adolescente tiene un auto que acelera a 3 m/s2 y desacelera a 4 m/s2 . En un viaje a una tienda acelera desde el reposo hasta los 12 m/s, maneja con rapidez constante durante 5 s y luego se detiene en una esquina. Acelera despu´s hasta los 18 m/s, maneja con rapidez constante durante 20 s, desacelera durante 2 s, continua e durante 4 s a esta rapidez y luego se detiene al llegar a la tienda. a) ¿Cu´nto dura el recorrido y cu´nta distancia recorre? a a b) Si usted camina a 1,5 m/s ¿cu´nto tardar´ en llegar a la tienda? a ıa 18. La l´ ınea de Watt’s S.A., productora de mermeladas requiere determinar el n´mero de m´quinas a utilizar u a durante los siguientes tres a˜os para su producci´n de mermelada de frambuesa. n o La demanda de mermelada de frambuesa para los siguientes tres a˜os, en toneladas, es: n A˜o 1 n A˜o 2 n A˜o 3 n 30 50 40 En la siguiente tabla se pueden ver los ingredientes en la producci´n de una tonelada de mermelada, y tambi´n o e la velocidad de procesamiento de cada ingrediente en la m´guina que cuesta $15.000.000 que se desea comprar: a Ingredientes Pulpa de Frambuesa Agua Otros Procesamiento 0,5 ton/hr 0,1 ton/hr 0,7 ton/hr La m´quina es capaz de procesar 0,6 ton/hr. Por otro lado, las condiciones operacionales son: ocho horas por a turno, cinco d´ a la semana y cuatro semanas al mes. Se debe operar doce meses al a˜o. ıas n Para los siguientes tres a˜os determine el n´mero de m´quinas requeridas y el costo de adquirilas. n u a 19. Forestal Minin S.A. es una empresa forestal que opera en la octava regi´n. Esta requiere determinar el n´mero o u de m´quinas para un nuevo aserradero que permitir´ explotar un fundo forestal en la zona de Tehualco. a a El fundo cuenta con 1.100 hect´reas las cuales ser´n explotadas en los siguientes tres a˜os seg´n el siguiente a a n u plan: A˜o 1 n A˜o 2 n A˜o 3 n Demanda (Hect´reas) a 300 360 440 El rendimiento esperado por hect´rea es de 15 toneladas por madera procesada. a Las m´quinas existentes en el mercado tienen una capacidad de procesamiento de 0,7 ton/hr. Cada m´quina a a tiene un costo de $20.000.000 y requiere para su operaci´n un operario capacitado por turno cuyo costo total o anual es de $3.000.000. Los costos operacionales asociados a insumos, energ´ y personal son proporcionales a ıa las toneladas de madera procesada y se han estimado en $1.500 por tonelada procesada. Por otro lado, las condiciones operacionales del aserradero son: ocho horas por turno, cinco d´ a la semana ıas y cuatro semanas al mes. El aserradero deber´ operar los doce meses al a˜o. a n Para los siguientes tres a˜os determine: n a) N´mero de m´quinas requeridas u a b) Costo total considerando los gastos de inversi´n y operaci´n. o o 5
  7. 7. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS ´ ´ IA3. L´gica Simb´lica y Teor´ de Conjuntos o o ıa3.1. L´gica Simb´lica o o 1. Demuestre, utilizando tablas de verdad y/o propiedades, las siguientes equivalencias. a) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) b) (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] c) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ p d) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p e) [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ (p ∧ q) f) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ (p ∨ q) g) (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) h) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ q) ⇒ F ] i) [p ∧ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] j) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] k) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)] l) [p ∨ q ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] 2. Demuestre que las siguientes expresiones son tautolog´ ıas. a) p ⇒ (p ∨ q) b) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) d) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)] 3. Simplifique las siguientes expresiones. a) [p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ (p ⇒ q) b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)] c) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p d) p ⇒ [q ⇒ (p ⇒ q)] 4. Sean p y q proposiciones l´gicas. Se define p × q por la siguiente tabla. o p q p×q V V F V F V F V V F F V Demuestre que se cumple que: a) p ≡ p × p. b) p ∨ q ≡ (p × q) × (p × q). c) p ∧ q ≡ (p × q) × (q × q). 5. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera, q es verdadera y r es falsa. Hallar el valor de verdad de [(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q) 6. Si p ∧ q ⇒ r es falsa, determinar el valor de verdad de (p ∨ q) ⇔ (r ∨ p) 6
  8. 8. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3.1 L´gica Simb´lica o o 7. Si la proposici´n p ⇒ q es falsa. Determine el valor de verdad de la proposici´n o o [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ r) ∧ q] 8. Encontrar el valor de verdad de la proposici´n: o [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ⇒ [q ∨ (p ⇒ r)] sabiendo que p ⇒ (q ∨ r) es falsa. 9. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r si se sabe que la proposici´n compuesta o {[(p ⇔ q) ⇔ (p ∨ r)] ∧ [p ⇒ (q ∧ r)]} es verdadera. 10. Sean p, q, r y s proposiciones l´gicas. Se definen los conectivos o y de la siguiente forma: p q≡p⇒q r s≡r∨s Encuentre el valor de verdad de la siguiente proposici´n: o [p ∧ (p r)] ∨ [(p q) ∨ (s p)] 11. Para cada una de las siguientes definiciones obtenga su negaci´n. o a) S ⊂ R es acotado si: (∃M ∈ R+ )(∀x ∈ S)(|x| ≤ M ). b) Una funci´n f : I ⊆ R −→ R es inyectiva en I si: o (∀x, y ∈ I)(f (x) = f (y) ⇒ x = y). c) Una funci´n f : A −→ B es sobreyectiva si: o (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)(y = f (x)). d ) Una funci´n f : R −→ R es continua en x0 ∈ R si: o (∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ). 12. Dadas las siguientes funciones proposicionales p(x) : x2 + y ≤ xy q(x) : x+y ≤1 a) Determine el valor de verdad de la proposici´n (∀x ∈ N)(∃y ∈ Z)(p(x, y) ⇒ q(x, y)). o b) Escriba la negaci´n de la proposici´n anterior. o o 13. Para x ∈ R considere las siguientes funciones proposicionales: p(x) : x2 − 3x − 10 ≥ 0 q(x) : 3x + 1 ≥ 13 Determine todos los x ∈ R de modo que la proposici´n p(x) ∨ q(x) sea verdadera. o 7
  9. 9. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3 LOGICA SIMBOLICA Y TEOR´ DE CONJUNTOS ´ ´ IA3.2. Teor´ de Conjuntos ıa 1. Sean A, B, C ⊆ U. Demuestre que: a) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c b) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) d) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) e) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac f) A⊂B ⇒ A∩B =A y A∪B =B 2. Sean A, B, C ⊆ U.Simplifique utilizando propiedades. a) [A ∩ (A ∩ B)c ] ∪ [B ∪ (B ∩ C c )]c ∪ B c b) [A ∩ (A − B)] ∪ B c) [(A ∩ B c ) ∩ (A − B c )]c ∪ Ac 3. Sean A, B, C ∈ U. Demuestre lo que: a) A − B = A − (A ∩ B). b) A ∩ B = ∅ ⇔ (A ∪ B) ∩ B c = A. c) A ∩ C = ∅ ⇔ (A − B) − C = A − (B − C). d) A ∩ B ∩ C = ∅ ⇔ [(A − B) − (B − C) − (C − A)] = A ∪ B ∪ C. 4. Considere los conjuntos: a) A = {x ∈ R / 5 ≤ |x|} b) B = {x ∈ R / x2 + 6 = 7x} c) C = {x ∈ R / − 7 ≤ x ≤ 3} d) D=∅ e) E=R Determine: B ∩ C, A ∩ C, A ∪ B, B ∪ C, A ∪ E, B ∩ E, D − A y A − C. 5. Considere los conjuntos P = {x N / 2x2 − 3x + 1 = 0} y C = {x Z / x ≥ −3 ∧ x < 7}. a) Determine expl´ ıcitamente los conjuntos P y C. b) Calcule |P | + |C| y |P ∪ C|. 6. Dadas las siguientes funciones proposicionales p(x) : 2x − 10 ≥ 20 q(x) : |x| < 40 a) Determine expl´ ıcitamente los conjuntos A = {x ∈ R / p(x) ∧ q(x) es Verdadero } B = {x ∈ R / p(x) ⇒ q(x) es Falso } b) Encuentre A − B. 8
  10. 10. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 3.2 Teor´ de Conjuntos ıa 7. Sean A, B ⊂ U. Se define la diferencia sim´trica entre A y B como A B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}. Observar e que el conjunto A B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B pero no a los dos. Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre las siguientes propiedades: a) A B = (A − B) ∪ (B − A) b) A B = (A ∪ B) − (A ∩ B) c) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) d) (A B) (B C) = A C e) A B=C⇔A C=B 8. Sea A ⊂ U un conjunto. Se define el conjunto potencia de A, denotado por P(A), como el conjunto cuyos ımbolos viene dado por P(A) = {B ⊂ U / B ⊂ A}. elementos son todos los subconjuntos de A. Escrito en s´ Sean A, B ⊂ U. Entonces se cumple que: a) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B). b) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B). c) P(A) = P(B) ⇔ A = B. 9. Se entender´ por |P | como el n´mero de elementos del conjunto P. Sean A y B conjuntos disjuntos, es decir, a u conjuntos que cumplen con A ∩ B = ∅, entonces se tendr´ que |A ∪ B| = |A| + |B|. a Sean A, B, C ⊂ U. Demuestre que: a) Si A ∩ B = ∅ entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. b) Si A ∩ B ∩ C = ∅ entonces |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. Indicaci´n: Para a) escriba los conjuntos A ∪ B y B como uni´n de conjuntos disjuntos. o o 10. Se realiz´ una encuesta a 160 Sansanos de primero a˜o respecto a la lectura de libros de ciencias: Matem´tica o n a (M ), F´ısica (F ) y Qu´ ımica (Q), obteniendo los siguientes resultados: 65 leen M , 70 leen F , 73 leen Q, 30 leen M y F , 109 leen F o Q, 106 leen M o Q, 105 leen M o F y finalmente 40 no leen (no porque no sepan leer, sino porque no tienen inter´s). e Determine: a) N´mero u de Sansanos que leen los 3 libros. b) N´mero u de Sansanos que lee 1 solo libro. c) N´mero u de Sansanos que leen libros de Matem´tica o F´ a ısica, pero no ambas. d) N´mero u de Sansanos que leen libros de F´ ısica y Qu´ ımica. 11. Una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes favoritos revel´ que 50 practican f´tbol, 79 prac- o u tican f´tbol o tenis, 68 practican f´tbol o handball, 68 practican tenis o handball, 35 practican handball, 45 u u practican tenis y finalmente 6 personas practican los tres deportes. Determine: a) N´mero u de personas que practican f´tbol. u b) N´mero u de personas que practican f´tbol y tenis. u c) N´mero u de personas que practican handball o tenis pero no f´tbol. u d) N´mero u de personas que a lo menos practican tres de estos deportes e) N´mero u de personas que no practican tenis. 9
  11. 11. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES4. Funciones4.1. Propiedades de Funciones 1. Sea p > 0 e I = [−p, p]. Considere la funci´n f : I ⊆ R −→ R. Obtenga la negaci´n de las siguientes o o definiciones. a) Una funci´n f se dice par en I si: o (∀x ∈ I)(f (−x) = f (x)). b) Una funci´n f se dice impar en I si: o (∀x ∈ I)(f (−x) = −f (x)). 2. Considere la funci´n f : I ⊆ R −→ R y A ⊆ I. Obtenga la negaci´n de las siguientes definiciones. o o a) Una funci´n f se dice creciente en A si: o (∀x, y ∈ A)(x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)). b) Una funci´n f se dice decreciente en A si: o (∀x, y ∈ A)(x ≥ y ⇒ f (x) ≥ f (y)). 3. Sea f : A −→ B, A0 ⊆ A y B0 ⊆ B . Demostrar las siguientes propiedades: a) [f (A0 )]c = f (Ac ). 0 b) [f −1 (B0 )]c = f −1 (B0 ). c 4. Sea f : A −→ B una funci´n. Sean A0 ⊆ A y B0 ⊆ B. Demostrar las siguientes propiedades: o a) A0 ⊆ f −1 (f (A0 )) y que se da la igualdad si f es inyectiva. b) f (f −1 (B0 )) ⊆ B0 y que se da la igualdad si f es sobreyectiva. Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades considere las funciones f (x) = x2 y g(x) = x, y luego haga o los c´lculos para ambas funciones con los conjuntos A0 = [0, 1] y B0 = [−1, 1]. a 5. Sea f : A −→ B y B0 , B1 ⊂ B. Demostrar las siguientes propiedades: a) B0 ⊆ B1 ⇒ f −1 (B0 ) ⊆ f −1 (B1 ). b) f −1 (B0 ∪ B1 ) = f −1 (B0 ) ∪ f −1 (B1 ). c) f −1 (B0 ∩ B1 ) = f −1 (B0 ) ∩ f −1 (B1 ). d ) f −1 (B0 − B1 ) = f −1 (B0 ) − f −1 (B1 ). Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´n (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos o o a con B0 y B1 elegidos adecuadamente. 10
  12. 12. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.1 Propiedades de Funciones 6. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades: a) A0 ⊆ A1 ⇒ f (A0 ) ⊆ f (A1 ). b) f (A0 ∪ A1 ) = f (A0 ) ∪ f (A1 ). Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija una funci´n (como f (x) = x) y luego haga los c´lculos o o a con A0 y A1 elegidos adecuadamente. 7. Sea f : A −→ B y A0 , A1 ⊆ A. Demostrar las siguientes propiedades: a) f (A0 ∩ A1 ) ⊆ f (A0 ) ∩ f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva. b) f (A0 − A1 ) ⊆ f (A0 ) − f (A1 ). La igualdad se tiene si f es inyectiva. Recomendaci´n: Para ilustrar estas propiedades elija dos funciones, una inyectiva y otra no, y luego haga o todos los c´lculos con A0 y A1 elegidos adecuadamente. a 8. Sean f y g funciones biyectivas. Demuestre que: a) f ◦ g y g ◦ f son biyectivas. b) (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 . 9. Sea f : I ⊆ R −→ R. Muestre: a) Si f es una funci´n estrictamente creciente en I entonces la funci´n es inyectiva. o o b) Si f es una funci´n estrictamente decreciente en I entonces la funci´n es inyectiva. o o 11
  13. 13. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES4.2. Estudio de Funciones 1. Para las siguientes funciones: grafique y determine si presenta alg´n tipo de paridad; determine su dominio u y recorrido; ¿es biyectiva la funci´n? si no lo es, encuentre un intervalo maximal de modo que lo sea; y, si es o posible, determine su funci´n inversa y luego graf´ o ıquela. 5x + 3 a) f (x) = −x2 + 3x + 10 b) g(x) = x2 + 4x + 5 c) h(x) = x−4 4 x−2 4x − 2 d) f (x) = 2(x − 1) + e) g(x) = | | f) h(x) = x−1 x+7 x+2 x g) f (x) = h) g(x) = x 1 − x2 i) h(x) = 2− 2 − x2 |x| − 1 √ 1 x x j) f (x) = √ k) g(x) = √ l) h(x) = √ 3 + x2 − 4 1+ x x+1−1 x2 + x + 1 m) f (x) = |x − 2| + 2 n) g(x) = |x2 − 8x + 7| − 2 o) h(x) = x − 1 + |x|    x|x| , |x| < 1  x−1 , x<1 p) f (x) = q) g(x) =  √ x/|x| , |x| ≥ 1 x−1 , x≥1  2. Halle las composiciones f ◦ g y g ◦ f de las siguientes funciones, y luego indique sus dominios y recorridos. √ a) f (x) = x2 g(x) = x. b) f (x) = 1 − x g(x) = x − x2 .   2  3x + 4 , 0≤x≤2  x , 2≤x≤5 c) f (x) = g(x) = x+1 , 2<x<4 4 , 5 < x < 12      2x − 2 , −3≤x≤6  x , − 10 ≤ x ≤ 7 d ) f (x) = g(x) = 10 , 6 < x ≤ 10 x2 , 7 < x ≤ 15   3. Encuentre f ◦ f ◦ f de las siguientes funciones. 1 1 x a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = √ x 1+x 1 + x2 4. Para cada problema encuentre la funci´n y = f (x) que satisface la condici´n dada: o o a) f (x + 1) = x2 − 3x + 2. 1 1 b) f (x + ) = x2 + 2 con x = 0. x x 1 c) f ( ) = x + 1 + x2 con x > 0. x 12
  14. 14. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.2 Estudio de Funciones 1 x 5. Sean f (x) = y g(x) = funciones. Sea x2 +1 1+x f (x + h) − (f ◦ g)(x + h) P (h) = f (x+h) (f · g)(x + h) − g(x+h) a) Calcule A(h) en funci´n de h y x. o b) Calcule A(1) y A(−1). 6. Sea U el conjunto universo. Considere la funci´n que a un conjunto finito le asigna el n´mero de elementos. o u a) Escriba esta funci´n en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada o e b) ¿Es biyectiva esta funci´n? o 7. Considere la funci´n que a un elemento de los n´meros reales le asigna su valor absoluto. o u a) Escriba esta funci´n en t´rminos de f : Conjunto de Entrada −→ Conjunto de Llegada o e b) ¿Es biyectiva esta funci´n? o 8. Sea p > 0 y f : [0, p] ⊆ R −→ R una funci´n. Se define: o a) La extensi´n par de f como: o   f (x) , 0≤x≤p Pf (x) = f (−x) , − p ≤ x < 0  b) La extensi´n impar de f como: o   f (x) , 0≤x≤p If (x) = −f (−x) , − p ≤ x < 0  Pruebe que la extensi´n par de f es una funci´n par, y que su extensi´n impar es una funci´n impar. o o o o 9. Para a, b, c, d ∈ R considere la funci´n definida por: o ax + b f (x) = cx + d a) ¿Qu´ condiciones deben satisfacer los par´metros a, b, c, d ∈ R para que f tenga inversa? e a b) Halle el dominio de f −1 y determine una expresi´n para ella. o c) Las funciones de esta forma reciben el nombre de Transformaciones de M¨bius. Pruebe que la com- o posici´n de transformaciones de M¨bius es una transformaci´n de M¨bius. o o o o 13
  15. 15. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES ex − e−x 10. El Seno Hiperb´lico de x viene dado por sinh x = o y el Coseno Hiperb´lico viene dado por o 2 ex + e−x cosh x = . Demuestre las siguientes propiedades: 2 a) cosh x > 0 ∀x ∈ R y sinh x ≥ 0 si y solo si x ≥ 0. b) El seno hiperb´lico es una funci´n impar y el coseno hiperb´lico es una funci´n par. o o o o c) cosh x + sinh x = ex y cosh x − sinh x = e−x . d ) cosh2 x − sinh2 x = 1. e) sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y. f ) cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y. g) Sea n ∈ N, entonces (cosh x + sinh x)n = cosh nx + sinh nx. 11. Una funci´n f se dice convexa en I ⊆ R si o f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ I ∀λ ∈ [0, 1] f se dice c´ncava si −f es convexa. Muestre que las siguientes funciones son convexas en R: o a) f (x) = x b) g(x) = |x| c) h(x) = |x|2 Adem´s muestre que las funciones lineales son convexas. a 12. Sean f (x) = ax + b y g(x) = cx + d con a, c = 0. Muestre que f · g es convexa si a y c tienen el mismo signo, y si tienen el signo contrario son c´ncavas. o 14
  16. 16. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.3 Problemas de Modelado4.3. Problemas de Modelado 1. Una hoja tiene un ´rea de impresi´n de 25 cm2 rodeados por m´rgenes de 2 cm a cada lado y 4 cm en la a o a parte superior e inferior. Exprese el ´rea total de la hoja. a 2. Encuentre el ´rea de un rect´ngulo inscrito en la semielipse x2 + 4y 2 = 4 con y ≥ 0, si un lado debe estar a a sobre el eje x. 3. Encuentre la capacidad de una canaleta para aguas de lluvia construida en una plancha de lat´n de 6 m de o largo y 80 cm de ancho. 4. Se ha fabricado un envase de lata (un cilindro con tapas) con capacidad de 1 litro. Determine en funci´n del o radio basal la cantidad de material utilizado en su fabricaci´n. o 5. Considere un cilindro recto con tapa cuyo radio basal mide R cm y su altura mide H cm. Determine el volumen del cilindro en funci´n de su radio sabiendo que su superficie lateral es de 15 cm2 . o 6. Un rect´ngulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un v´rtice en el origen, uno en el eje x positivo, a e uno en el eje y positivo y su cuarto v´rtice en el primer cuadrante sobre la recta 2x + y = 100. ¿Cu´l es el e a a ´rea m´xima de dicho rect´ngulo? a a 7. Un hotel que cobra 80 d´lares diarios por habitaci´n hace promociones a grupos que reserven entre 30 y 60 o o habitaciones. Si se reservan entre 30 y 60 habitaciones el precio disminuye un d´lar por cada cuarto. En estas o condiciones ¿cu´ntas habitaciones producen el ingreso m´ximo? a a 8. Un nadador est´ en un punto A en la orilla de un estanque circular de centro O, de 200 m de di´metro. El a a nadador desea llegar a un punto B que est´ diametralmente opuesto a ´l. Para hacerlo, camina hasta el punto a e P de la orilla de modo que el ´ngulo AOP = 60◦ , y despu´s nada en l´ a e ınea recta de P a B. El nadador camina con una rapidez de ´ngulo de 50 m/min y nada con una rapidez de 100 m/min. Determine la distancia a recorrida como funci´n del tiempo. o 9. Un empleado dispone de dos opciones para ocupar un puesto en una empresa de la uni´n europea. En un o puesto le pagan 12, 5 euros en una hora m´s 0, 75 euros por unidad producida. En el otro puesto le pagan a 9, 20 euros en una hora m´s 1, 30 euros por unidad producida. a a) Exprese los salarios en una hora en t´rminos de el n´mero de unidades producidas para cada una de las e u opciones. b) ¿C´mo usar´ esta informaci´n para seleccionar la opci´n correcta si su objetivo fuera obtener el mayor o ıa o o sueldo por hora? 10. Considere un alambre de largo L. A una distancia x de uno de sus extremos, al alambre se le hace un corte dej´ndolo en dos partes. Con una parte se forma una circunferencia. A la otra parte, a un distancia y de uno a de sus extremos, se le hace un corte dej´ndolo en dos partes. Con una parte de hace un tri´ngulo equil´tero a a a y con la otra un cuadrado. a) Encuentre una f´rmula, A(x, y), que calcule la suma de las ´reas. o a b) Si y = x, determine el dominio y recorrido de la funci´n A(x). o c) Grafique A(x). 15
  17. 17. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4 FUNCIONES 11. Considere la siguiente figura: a) Encuentre el volumen, V (x), del s´lido en funci´n de la altura x. o o b) Determine el dominio y recorrido de V (x). c) Grafique V (x). 12. Considere la siguiente figura: a) Encuentre el ´rea achurada, A(x), en funci´n de la base x. a o b) Determine el dominio y recorrido de A(x). c) Grafique A(x). 13. Considere la siguiente figura: a) Encuentre el volumen del cono, V (x), en funci´n de la altura x. o b) Determine el dominio y recorrido de V (x). c) Grafique V (x). 16
  18. 18. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 4.3 Problemas de Modelado 14. Para a, b > 0 considere la siguiente figura: a) Encuentre el ´rea, A(x), del rect´ngulo inscrito en el tri´ngulo en funci´n de x. a a a o b) Grafique la funci´n A(x) cuyo dominio es el intervalo [0, 2a]. ¿Cu´l es su recorrido? o a c) ¿Cu´l es el ´rea m´xima del rect´ngulo inscrito? a a a a 17
  19. 19. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5. Geometr´ Anal´ ıa ıtica5.1. La Recta 1. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente 2. o 2. Hallar la ecuaci´n de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intercepci´n con el eje Y es −2. o o 3. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por los puntos C(4, 2) y B(−5, 7). o 4. Los v´rtices de un cuadril´tero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar la ecuaci´n de la recta de sus e a o lados. 5. Encontrar la recta que pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(−2, 2) y C(3, −4). 6. Hallar la ecuaci´n de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de intersecci´n de las rectas o o 2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0. 7. Determine el valor de las constantes A y B de modo que los puntos (−3, 1) y (1, 6) pertenezcan a la recta Ax − By + 4 = 0. 8. Halle el valor de la constante k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0. 9. Determine el valor de la constante k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x − 2y − 11 = 0. 10. Grafique que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 9 = 0, 2x − y − 8 = 0 y x − 8y + 3 = 0, y luego pruebe forman un paralel´gramo. o 11. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuaci´n de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar la distancia o del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos: a) Halle la pendiente de L. b) Halle la ecuaci´n de la recta L que pasa por P y es perpendicular a L. o c) Determine las coordenadas del punto P que es el punto de intersecci´n entre L y L . o d ) Calcule la distancia entre el punto P y P . 12. Hallar la distancia de la recta 4x − 5y + 10 = 0 al punto (2, −3). 13. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x − 8y + 9 = 0. 18
  20. 20. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5.1 La Recta 14. Hallar la ecuaci´n de la recta paralela a la recta 5x + 12y = 12 que es 4 unidades distante de ella. ¿Es unica o ´ esta soluci´n? Justifique geom´tricamente. o e 15. Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto (3, 1) tal que la distancia, de esta recta, al punto (−1, 1) √ o es 2 2. ¿Es unica esta soluci´n? Justifique geom´tricamente. ´ o e 16. Determine el ´rea del tri´ngulo cuyos v´rtices son los puntos A(1, 1), B(5, 4) y C(3, 7). a a e 17. Considere el tri´ngulo cuyos v´rtices son C(−2, 1), L(4, 7) y G(6, −3). a e a) Hallar la ecuaci´n de la recta de sus lados. o b) Determine el valor de sus alturas. c) Determine su centro de gravedad. d ) Encuentre su ´rea. a e) ¿Qu´ tipo de tri´ngulo es? e a 18. Hallar el ´rea del tri´ngulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuaci´n es 5x + 4y + 20 = 0. a a o 19. Determinar el valor de la constante k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un 5 tri´ngulo rect´ngulo de ´rea 2 unidades cuadradas. a a a 20. El tri´ngulo ABC con v´rtice C = (3, 4) tiene un ´rea de 10 cm2 . Los otros dos v´rtices est´n sobre la recta a e a e a L1 : x − 2y = 0. Si se sabe que L2 , que pasa por C y tiene pendiente m2 = −2, es una transversal de gravedad del tri´ngulo ABC, determine los v´rtices A y B. a e 21. Demuestre que el ´rea del tri´ngulo formado por el eje Y y las rectas y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2 , con a a m1 = m2 , viene dada por: 1 (b2 − b1 )2 A= 2 |m2 − m1 | 19
  21. 21. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5.2. C´nicas o5.2.1. Circunferencia 1. Determine la ecuaci´n de las siguientes circunferencias: o a) Centro es el punto (2, −6) y su radio es 6. b) El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un di´metro. a c) El centro est´ en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1, −1). a d ) La circunferencia es tangente a la recta 3x − 4y = 32 y el centro est´ en el punto (0, 7). a 2. Hallar la ecuaci´n de las siguientes circunferencias. o a) La circunferencia pasa por los puntos (0, 0), (3, 6) y (7, 0). b) La circunferencia pasa por los puntos (2, −2), (−1, 4) y (4, 6). c) La circunferencia pasa por los puntos (4, −1), (0, −7) y (−2, −3). 3. Halle la ecuaci´n de la recta tangente a las siguientes circunferencia en los puntos dados. o a) x2 + y 2 − 2x − 6y − 3 = 0 P0 = (−1, 6) 2 2 b) x + y + 2x − 2y − 39 = 0 P0 = (4, 5) 4. Demostrar que las circunferencias C1 : x2 + y 2 − 3x − 6y + 10 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 5 = 0 son tangentes. Hallar la ecuaci´n de la circunferencia tangente a C1 y C2 en su punto en com´n y que pasa por el punto (7, 2). o u Adem´s compruebe que el centro de esta circunferencia est´ sobre la recta de los centros de C1 y C2 . a a 5. Hallar la ecuaci´n de la cirunferencia que para por el punto (−10, −2) y por las intersecciones de la circun- o ferencia x2 + y 2 + 2x − 2y − 32 = 0 y la recta x − y + 4 = 0. 6. Hallar los valores de a ∈ R de modo que la circunferencia de ecuaci´n x2 + y 2 − 2ax + a2 − 1 = 0 y la recta o con interceptos en los puntos (0, 2) y (2, 0): a) Se corten en un unico punto. ´ b) Se corten en dos puntos. c) No se corten. 20
  22. 22. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5.2 C´nicas o5.2.2. Par´bola a 1. Escriba la definici´n de la Par´bola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n. o a e o 2. Hallar la ecuaci´n de las siguientes par´bolas. o a a) V´rtice en el origen y foco en el punto (3, 0). e b) V´rtice en el origen y que tiene como directriz la recta y − 5 = 0. e c) Foco en el punto (3, 4) y tiene como directriz la recta x − 1 = 0. d ) V´rtice en el punto (2, 0) y foco en el origen. e 3. En los siguientes ejercicios lleve la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determine: coordenadas del v´rtice y o o e del foco, ecuaciones de la directriz y del eje, y la longitud del lado recto. a) 4y 2 − 48x − 20y = 71 b) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 c) y 2 + 4x = 7 d ) 4x2 + 48y + 12x = 159 e) y = ax2 + bx + c 4. Hallar la ecuaci´n de la par´bola cuyo eje es paralelo al eje x y que pasa por los puntos (0, 0), (8, −4) y (3, 1). o a 5. Determine la ecuaci´n de la par´bola cuyo v´rtice est´ en el punto (4, −1), como eje la ecuaci´n y + 1 = 0, y o a e a o que pasa por el punto (−3, 3). 6. Considere la ecuaci´n de la par´bola y 2 = 4px. Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una par´bola o a o a en el punto P0 (x0 , y0 ) es: y0 y = 2p(x + x0 ). 7. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes par´bolas: o a a) y 2 − 4x = 0 P0 (1, 2) 2 b) y + 4x + 2y + 9 = 0 P0 (−6, 3) 2 c) x − 6x + 5y − 11 = 0 P0 (−2, 1) 21
  23. 23. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5.2.3. Elipse 1. Escriba la definici´n de la Elipse como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n. o e o 2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los v´rtices y focos, la longitud de los ejes mayor y e menor, y finalmente grafique. a) 9x2 + 4y 2 = 36 b) 4x2 + 9y 2 = 36 c) 16x2 + 25y 2 = 400 d ) x2 + 3y 2 = 6 3. Hallar la ecuaci´n de la elipse cuyos v´rtices son los puntos (4, 0) y (−4, 0), y sus focos son los puntos (3, 0) o e y (−3, 0). 4. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuaci´n sabiendo que √ √ o pasa por los puntos ( 6, −1) y (2, 2). √ 5. Hallar la ecuaci´n de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 − o 3/2) y (−3, 3); y tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados. 6. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determinar: coordenadas o o de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique. e a) x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0 b) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0 c) x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0 d ) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0 7. Considere la ecuaci´n de la elipse b2 x2 + a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una o o elipse en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2 . 8. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes elipses: o a) 2x2 + 3y 2 = 5 P0 (1, −1) 2 2 b) 6x + 2y = 14 P0 (1, 2) 2 2 c) 3x + y = 21 P0 (2, 3) 22
  24. 24. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5.2 C´nicas o5.2.4. Hip´rbola e 1. Escriba la definici´n de la Hip´rbola como un lugar geom´trico y luego deduzca su ecuaci´n. o e e o 2. En los siguientes ejercicios determine las coordenadas de los focos, v´rtices y centro, longitudes del lado e transverso y conjugado, y finalmente grafique. a) 9x2 − 4y 2 = 36 b) 4x2 − 9y 2 = 36 c) 16x2 − 25y 2 = 400 d ) x2 − 3y 2 = 6 3. Determine la ecuaci´n de las siguientes hip´rbolas y luego graf´ o e ıquelas. a) Focos en los puntos (−7, 3) y (−1, 3) y su longitud del lado transverso es de 4 unidades. b) Los v´rtices de una hip´rbola vienen dados por los puntos (2, 0) y (−2, 0), y sus focos son los puntos e e (3, 0) y (−3, 0). c) La hi´rpola pasa por el punto (3, −1), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje x y e √ a a la ecuaci´n de una de sus as´ o ıtotas es 2x + 3 2y = 0. d ) La hi´rpola pasa por el punto (2, 3), su origen est´ en el centro, su eje transverso est´ sobre el eje y y la e √ a a ıtotas es 2y − 7y = 0. ecuaci´n de una de sus as´ o 4. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuaci´n a su forma can´nica y luego determinar: coordenadas o o de los v´rtices, focos y centro, longitudes de los ejes transverso y conjugado, ecuaci´n de sus as´ e o ıntotas y finalmente grafique. a) x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0 b) x2 − 4y 2 − 2x + 1 = 0 c) 9x2 − 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0 d ) 3x2 − y 2 + 30x + 78 = 0 5. Considere la ecuaci´n de la elipse b2 x2 − a2 x2 = a2 b2 . Demuestre que la ecuaci´n de la recta tangente a una o o hip´rbola en el punto P0 (x0 , y0 ) es: b2 x0 x − a2 y0 y = a2 b2 . e 6. Determine la ecuaci´n de la recta tangente y normal en el punto indicado de las siguientes hip´rbolas: o e a) 3x2 − y 2 = 2 (1, 1) 2 2 b) x − 9y = 7 (4, −1) 2 2 c) x − y = 5 (3, 2) 23
  25. 25. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 5 GEOMETR´ ANAL´ IA ITICA5.3. Lugares Geom´tricos e 1. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta x + y + 1 = 0 es siempre igual a su distancia al punto (-2,-1). Hallar la ecuaci´n de su lugar geom´trico. o e 2. Hallar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta o e x − 2 = 0 es siempre 3 unidades mayor que su distancia al punto (−1, −3). 3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2, −2) es siempre igual a un tercio de la distancia del punto (4, 1). Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico. o e 4. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1, 2) es siempre igual al doble de su distancia de la recta 3x + 4y − 1 = 0. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico. o e 5. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia o e de la recta x + 3 = 0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1, 1). 6. Haller e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico del centro de una circunferencia que es siempre tangente o e a la recta y = 1 y a la circunferencia x2 + y 2 = 9. 7. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia o e de la recta y + 8 = 0 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0, −2). 8. Hallar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de un punto que se mueve tal manera que su distancia al o e punto (6, 0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x − 3 = 0. 24
  26. 26. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa6. N´ meros Naturales u6.1. Inducci´n o 1. Demuestre que el producto de 3 naturales consecutivos es siempre divisible por 6. 2. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 1 1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2) = n(3n − 1) 2 3. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 1 2 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = n (n + 1)2 4 4. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 1 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = n(4n2 − 1) 3 5. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o 5 + (4n − 1)5n+1 1 · (5) + 2 · (5)2 + 3 · (5)3 + . . . + n · (5)n = 16 6. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se tiene que: o 1 1 1 n(n + 3) + + ... + = 1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 7. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que [n(n + 1)]2 es divisible por 4. o 8. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que (xn − y n ) es divisible por (x − y). o 9. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N mayor que 2 y par se tiene que (2n − 1) es divisible por 3. o 10. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 4n3 + 8n es divisible por 12. o 11. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 8n3 + 10n es divisible por 6. o 12. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 32n − 1 es divisible por 8. o 13. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7. o 25
  27. 27. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6 ´ NUMEROS NATURALES 14. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que 22n+1 − 9n2 + 3n − 2 es divisible por 54. o 15. Demuestre que la desigualdad n2 ≥ 6n + 5 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 . 16. Demuestre que la desigualdad 5n > n2 + 25 es verdadera a partir de cierto n0 ∈ N; encuentre dicho n0 . 17. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que n2 + n + 2 es un n´mero par. o u 18. Calcule la suma 3 + 9 + 33 + ... + (22n−1 + 1) y demuestre que ∀n ∈ N la suma de los t´rminos es siempre e divisible por 3. 19. Sea {un }n∈N una sucesi´n definida por recurrencia tal que u1 = 0 y un+1 = (1+x)un −nx en donde x ∈ R{0}. o 1 Probar que un = [1 + nx − (1 + x)n ] ∀n ∈ N. x 20. Demuestre utilizando inducci´n que ∀k ∈ N se cumple que: o 1 1 1 k+1 + ... + + = 1·2 k · (k + 1) (k + 1) · (k + 2) k+2 21. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o n k+j−1 n+j = j j+1 k=1 22. Considere que una funci´n f : R → R tiene la propiedad f (xy) = f (x) + f (y). Demostrar por inducci´n que o o f (an ) = nf (a) ∀n ∈ N. 1 1 1 1 √ 23. Demuestre que para todo n´mero natural mayor o igual que 2 se cumple √ + √ + √ + · · · + √ > n u 1 2 3 n n 1 1 1 24. Demuestre que para todo n´mero natural n vale la siguiente desigualdad u < 1 + + + ··· + n ≤ n. 2 2 3 2 −1 25. Sea {un }n∈N la sucesi´n de Fibonacci. Es decir u1 = 1, u2 = 1 y un+1 = un + un−1 para n = 2, 3, . . . o n a) Calcule uk . k=1 b) Demuestre que un+2 · un = u2 + (−1)n+1 . n+1 26. Demuestre utilizando inducci´n que ∀n ∈ N se cumple que: o n (−1)k nk 1 = (k + 2)(k + 3) (n + 2)(n + 3) k=0 26
  28. 28. Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıaDepartamento de Matem´tica aPrograma Preliminar para Ingenier´ ıa 6.2 Sumatorias6.2. Sumatorias 1. Calcule las siguientes sumatorias. n n n n a) k b) k2 c) k3 d) k4 k=1 k=1 k=1 k=1 n 2. Calcular f (k) si: k=1 3 a) f (k) = 2k−1 + 8k 3 − 6k 2 b) f (k) = k 3 + k 2 3. Si para k = 1, . . . , 200 se tiene que ak viene dado por  1 k  (3) , k = 1, . . . , 99 ak = (k + 1)2 , k = 100, . . . , 200  200 calcule ak k=1 n 2k − 1 4. Calcule usando la identidad: k(k + 2)2 k=1 n 3 1 1 3 2n + 3 = − 2 k(k + 2)2 4 2 (n + 1)(n + 2) k=1 Ayuda: 2k − 1 = 2k − 1 + k 2 + 2k + 5 − k 2 − 2k − 5 5. Calcule las siguientes sumatorias. n n n k 1 a) b) 2 + 2k c) kak , a = 1 (k + 1)! k k=1 k=1 k=1 n n n+1 k · 2k d) e) k · (k!) f) (k + 1)(−3)k (k + 2)! k=1 k=1 k=1 n+1 k n n k+2 1 k4 + k2 + 1 1 g) h) i) √ √ k(k + 1) 2 k4 + k k(k + 1)( k + 1 + k) k=1 k=1 k=1 n n n n (−1)k k+2 n (−1)k j) k) l) k k+1 k(k + 1)2k k (k + 1)(k + 2) k=1 k=1 k=0 27

×