Slides de présentation de dédramathisons. (colloque mathématique) Retrouvez l'intégralité du travail à l'adresse suivante : http://uclouvain.be/cps/ucl/doc/fsa/documents/Travail_Complet.pdf

1. Les séries de Fourier

2. Plan
Introduction
Approche avec des séries trigonométriques
Exemple : Fonction carrée
Approche avec les séries complexes
Convergence des séries de Fourier

3. Superposition d’ondes

4. Superposition d’ondes
Harmoniques
• Différences de
fréquences
• Décallages de
phase
• Différences
d’amplitude

5. Comment retrouver les différentes
fréquences et décalages qui
composent un signal harmonique?

6. Expression générale du mouvement
harmonique
y(x, t) = A sin( 2πx −
λ
2πt
T + φ)
o` y est le d´placement p´riodique de la vibration de l’objet , λ la p´riode dans
u e e e
l’espace , T la p´riode dans le temps et φ la phase. Fixons la variable x, nous
e
avons ici une fonction f (t) p´riodique de p´riode T .
e e
f (t) = A sin( 2πn t + φ)
T

7. Somme d’harmoniques
La somme finie, constitu´e des harmoniques de la p´riode fondamentale T
e e
N
2πn
est An sin( t + φn )
n=1
T
2πn 2πn 2πn
An sin( t + φn ) = An (sin( t) cos(φn ) + cos( t) sin(φn ))
T T T
2πn 2πn
= An sin(φn ) cos( t) + An cos(φn ) sin( t)
T T
on pose an = An sin(φn ) et bn = An cos(φn )
2πn 2πn
= an cos( t) + bn sin( t)
T T
a0
Et un terme constant
2
N
a0 2πn 2πn
+ (an cos( t) + bn sin( t))
2 n=1
T T

8. Périodicité
Une fonction est p´riodique de p´riode p s’il existe un nombre r´el positif le
e e e
plus petit possible p tel que f (x) = f (x + p)
Est-ce que la somme des fonctions p´riodiques est une fonction p´riodique ?
e e
Si oui, quelle est sa p´riode ?
e
Exemple 1:
1
s(x) = sin(4x) + sin(x) + sin( x) est bien p´riodique de 4π.
e
4
Exemple 2 :
s(x) = sin x + sin(πx) n’est pas p´riodique.
e

9. Lemme sur la périodicité à propos de l’intégrale
Soit f une fonction continue par morceau p´riodique de T .
e
a+T
L’int´grale
e f (x) dx ne d´pend pas du r´el a.
e e
a
En autres mots,
a+T T T
2
f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx = · · ·
−T
a 0 2
D´monstration : Par l’additivit´ de l’int´grale,
e e e
a+T 0 T a+T
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx
a a 0 T
Posons x = y + T ⇒ dx = dy
a+T a a
f (x) dx = f (y + t) dy = f (y) dy
T 0 0
0 a
Constatons que f (x) dx + f (y) dy = 0,
a+T a T 0
Donc f (x) dx = f (x) dx qui est ind´pendante de a
e
a 0

10. Série de Fourier d’une fonction périodique 2π
N
a0
f (x) = 2 + (an cos(nx) + bn sin(nx))
n=1
Quelles sont les expressions de a0 , an et bn ?
Pour les trouver, calculons d’abord (o` n, k ∈ Z)
u
π
• cos nx cos kx dx
−π
π
• sin nx sin kx dx
−π
π
• cos(nx) sin(kx) dx
−π

11. Si n = k:
π π
cos nx cos kx dx = 2 cos nx cos kx dx
−π 0
π
1
=2 (cos((n + k)x) + cos((n − k)x) dx
0 2
1 1
=( sin((n + k)x) + sin((n − k)x))|π
0
n+k n−k
1 1
=( sin((n + k)π) + sin((n − k)π)
n+k n−k
=0
π π
sin nx sin kx dx = 2 sin nx sin kx dx
−π 0
π
−1
=2 (cos((n + k)x) − cos((n − k)x) dx
0 2
−1 −1
=( sin((n + k)x) − sin((n − k)x))|π
0
n+k n−k
−1 −1
=( sin((n + k)π) − sin((n − k)π)
n+k n−k
=0

12. Si n = k
π π
cos nx cos kx dx = 2 cos2 nx dx
−π 0
π
1 + cos(2nx)
=2 dx
0 2
1 1
= 2( x + sin(2nx))|π
0
2 4n
1 1
= 2( π + sin(2nπ))
2 4n
=π
π π
sin nx sin kx dx = 2 sin2 nx dx
−π 0
π
1 − cos(2nx)
=2 dx
0 2
1 1
= 2( x − sin(2nx))|π
0
2 4n
1 1
= 2( π − sin(2nπ))
2 4n
=π

13. cos(nx) sin(kx) est impaire car
cos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx)
π
cos(nx) sin(kx) dx = 0
−π

14. En r´sum´, pour n, k ∈ Z
e e
π
0 si n = k
cos nx cos kx dx =
π si n = k
−π
π
0 si n = k
sin nx sin kx dx =
−π π si n = k
π
cos(nx) sin(kx) dx = 0
−π

15. N
a0
Supposons que f (x) = + (an cos(nx) + bn sin(nx))
2 n=1
π π π N
a0
f (x) dx = dx + (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx
−π −π 2 −π n=1
π
N π
N π
a0
= dx + an cos(nx) dx + bn sin(nx) dx
−π 2 n=1 −π n=1 −π
N
an N
−bn
a0 π
= x|−π + sin(nx)|π +
−π cos(nx)|π
−π
2 n=1
n n=1
n
a0
= × 2π
2
= a0 π
π
1
a0 = f (x) dx
π −π

16. Pour an , multiplions par cos(kx) o` k est un entier positif, puis prenons
u
l’int´grale.
e
N
a0
f (x) cos(kx) = cos(kx) + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx))
2 n=1
π π π N
a0
f (x) cos(kx) dx = cos(kx) dx + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx
−π −π 2 −π n=1
π
N π
N π
a0
= cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx
−π 2 n=1 −π n=1 −π
π N
π N
π
a0
= cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx
2 −π n=1 −π n=1 −π
parmi les termes n, il existe un n ´gal ` k tel que
e a
π
N N π π
an cos(nx) cos(kx) dx = an cos(nx) cos(kx) dx+ak cos2 (kx) dx
n=1 −π n=1,n=k −π −π
π
f (x) cos(kx) dx = ak π
−π π
1
an = f (x) cos(nx) dx
π −π

17. Pour bn , faisons le mˆme proc´d´ mais avec sin(kx) o` k est un entier positif
e e e u
N
a0
f (x) sin(kx) = sin(kx) + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx))
2 n=1
π π π N
a0
f (x) sin(kx) dx = sin(kx) dx + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx
−π −π 2 −π n=1
π
N π
N π
a0
= sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx
−π 2 n=1 −π n=1 −π
π N
π N
π
a0
= sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx
2 −π n=1 −π n=1 −π
N
π N
π π
puisque bn sin(nx) sin(kx) dx = bn sin(nx) sin(kx) dx+bk sin2 (kx) dx
n=1 −π n=1,n=k −π −π
π
Alors f (x) sin(kx) dx = bk π
−π π
1
bn = f (x) sin(nx) dx
π −π

18. En résumé
Soit f une fonction p´riodique de p´riode 2π, si elle peut s’´crire sous forme
e e e
de s´rie de Fourier,
e
N
a0
+ (an cos(nx) + bn sin(nx))
2 n=1
Alors,
1 π
a0 = f (x) dx
π −π
π
1
an = f (x) cos(nx) dx
π −π
π
1
bn = f (x) sin(nx) dx
π −π

19. Exemple concret : la
fonction carrée

20. Fonction carr´e p´riodique de 2π, d´finie dans R comme :
e e e
1 si 2kπ ≤ x (2k + 1)π
f (x) =
−1 si (2k + 1)π ≤ x 2kπ

21. Calculons les coefficients

22. N
a0
+ (an cos(nx) + bn sin(nx)).
2 n=1
0 π
1
a0 = ( f (x) dx + f (x) dx)
π −π 0
0 π
1
= ( −1 dx + 1 dx)
π −π 0
1
= (π − π) = 0
π
1 π
an = f (x) cos(nx) dx
π −π
0 π
1
= ( − cos(nx) dx + cos(nx) dx)
π −π 0
1 −1 1
= ( sin(nx)|−π + sin(nx)|π )
0
0
π n n
1 −1 1
= ( (sin(0) − sin(−nπ)) + (sin(nπ) − sin(0)))
π n n
=0

23. π
1
bn = f (x) sin(nx) dx
π −π
0 π
1
= ( − sin(nx) dx + sin(nx) dx)
π −π 0
1 1 0 −1
= ( cos(nx)|−π + cos(nx)|π )
0
π n n
1 1 −1
= ( (cos(0) − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − cos(0)))
π n n
1 1 −1
= ( (1 − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − 1))
π n n
2
= (1 − cos(nπ))
nπ
bn d´pend de la parit´ de n.
e e
2 1
Si n = 2k alors (1 − cos(nπ)) = (1 − cos(2kπ)) = 0
nπ kπ
2 2 4
Si n = 2k+1, alors (1−cos(nπ)) = (1−cos((2k+1)π)) =
nπ (2k + 1)π (2k + 1)π
0 si n est un entier pair
Donc on a bn = 4
si n est un entier impair
nπ

24. Nous avons donc trouv´ que la s´rie de Fourier de f (x) est
e e
N
4
sin((2k + 1)x)
(2k + 1)π
k=0
Deux questions se posent :
Combien de termes doit-on additionner afin d’obtenir exactement le graphe de
la fonction d´sir´e?
e e
Comment peut-on construire une fonction discontinue ` chaque x = kπ (o` k
a u
est un entier) ` l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R?
a

25. N=1
N=5
N=11
N= 49

26. Phénomène de Gibbs

27. Conclusion
Plus le nombre N croˆ plus la fonction a l’air de coller au graphe de la
ıt,
fonction carr´e. De cette id´e intuitive, on peut d´duire que la s´rie de Fourier
e e e e
∞
4
associ´e ` cette fonction carr´e f (x) est
e a e sin((2k + 1)x)
(2k + 1)π
k=0

28. Pourquoi la s´rie est compos´e seulement de termes de sinus?
e e
Si une fonction est paire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de cosinus.
e
Si une fonction est impaire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de sinus.
e

29. D´monstration : Si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx
e
est paire.
π
2
a0 = f (x) dx
π 0
π
2
an = f (x) cos(nx) dx
π 0
π
1
bn = f (x) sin(nx) dx = 0
π −π
Si f (x) est impaire, alors f (x) sin nx est paire et f (x) cos nx est impaire.
π
1
a0 = f (x) dx = 0
π −π
π
1
an = f (x) cos(nx) dx = 0
π −π
π
2
bn = f (x) sin(nx) dx
π 0

30. Par cons´quent,
e
∞
a0
Si f (x) paire, la s´rie =
e + an cos(nx)
2 n=1
∞
Si f (x) impaire, la s´rie =
e bn sin(nx)
n=1

31. Une ´criture plus g´n´rale.
e e e
Si une fonction f (x) p´riodique de p´riode 2π peut ˆtre ´crite sous forme de
e e e e
s´rie de Fourier, alors cette s´rie est ´gale `
e e e a
∞
a0
+ (an cos(nx) + bn sin(nx))
2 n=1

32. Et pour une période quelconque ?
Soit une fonction f (x) p´riodique de p´riode T quelconque, quelle est sa
e e
s´rie de Fourier ?
e
T T
changement de variable x = u tel que f ( u) soit p´riodique de periode 2π.
e
2π 2π
Ainsi on a
∞
T a0
f ( u) = + (an cos nu + bn sin nu)
2π 2 n=1
T T
On applique le changement de variable x = 2π u ⇒ dx = 2π du
π
1 T
a0 = f ( u) du
π −π 2π
T
1 2 2π
= f (x) dx
π −T 2
T
T T
2 2 2
= f (x) dx = f (x) dx
T −T 2
T 0

33. 1 π T
an = f ( u) cos(nu) du
π −π 2π
T
1 2 2πnx 2π
= f (x) cos( ) dx
π −T 2
T T
T T
2 2 2πnx 2 2πn
= f (x)cos( ) dx = f (x) cos( ) dx
T −T 2
T T 0 T
1 π T
bn = f ( u) sin(nu) du
π −π 2π
T
1 2 2πnx 2π
= f (x) sin( ) dx
π −T 2
T T
T T
2 2 2πnx 2 2πn
= f (x) sin( ) dx = f (x) sin( ) dx
T −T 2
T T 0 T
Et la s´rie de Fourier d’une fonction de p´riode quelconque T est
e e
∞
a0 2πn 2πn
+ (an cos x + bn sin x)
2 n=1
T T

34. Démonstration logicielle

35. Approche complexe des
séries de Fourier

36. Une autre ´criture de la s´rie de Fourier
e e
La relation d’Euler: eiπ + 1 = 0
De mani`re plus g´n´rale,
e e e
eiθ = cos θ + i sin θ
Comme corollaire
eiθ + e−iθ
cos θ =
2
eiθ − e−iθ
sin θ =
2i

37. a0
Sans se pr´occuper du terme constant , on peut remplacer ces expressions
e
2
dans la s´rie de Fourier trigonom´trique.
e e
∞
∞
einx + e−inx einx − e−inx
(an cos(nx) + bn sin(nx)) = (an + bn )
n=1 n=1
2 2i
∞
an
−inx ibn inx
= ( (e inx
+e )− (e − e−inx ))
n=1
2 2
∞
∞
inx an ibn −inx an ibn
= e ( − )+ e ( + )
n=1
2 2 n=1
2 2
∞
−1
inx an ibn inx a−n ib−n
= e ( − )+ e ( + )
n=1
2 2 n=−∞
2 2

38. Puisque la s´rie trigonom´trique donne une fonction r´elle, alors la somme
e e e
de ces deux sommes doit aussi donner quelque chose de r´el. La somme des
e
deux doit donc satisfaire la sym´trie complexe:
e
si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombre r´el il faut
e
alors que si l’un est z, l’autre soit son conjugu´ z.
e
an − ibn a−n − ib−n
On pose que Cn = , donc C−n = , alors on a besoin que
2 2
an + ibn
le terme correspondant de Cn soit Cn = et que celui de C−n soit
2
a−n + ib−n
C−n =
2

39. La relation entre les constantes trigonom´triques et a−n et b−n .
e
π
1
a−n = f (x) cos(−nx) dx
π −π
π
1
= f (x) cos(nx) dx
π −π
= an
π
1
b−n = f (x) sin(−nx) dx
π −π
π
1
=− f (x) sin(nx) dx
π −π
= −bn

40. Par ces deux relations, nous pouvons constater que,
a−n − ib−n
C−n =
2
an + ibn
=
2
an − ibn
=
2
= Cn
Ceci nous montre bien que la somme des deux est bien r´elle puisqu’elles satis-
e
font Cn = C−n .
il nous manque le terme n = 0.
Puisqu’on sait que Cn = C−n , alors C0 = C−0 = C0 . Ca montre que C0 est un
a0
terme toujours r´el :
e
2

41. Finalement, continuons notre raisonnement, et posons
an − ibn a−n + ib−n
Cn = et Cn =
2 2
∞
∞
−1
a0 a0 inx an − ibn inx a−n + ib−n
+ (an cos(nx) + bn sin(nx)) = + e ( )+ e ( )
2 n=1
2 n=1
2 n=−∞
2
∞
−1
a0
= + Cn einx + Cn einx
2 n=1 n=−∞
et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0 , donc
∞
= Cn einx
n−∞

42. Nous avons donc que si une fonction peut ˆtre ´crite sous forme de s´rie de
e e e
Fourier exponentielle, alors sa s´rie de Fourier serait
e
∞
Cn einx
n=−∞

43. Quelle est l’expression du coefficient Cn ?
an − ibn
Cn =
2
an − ibn
Cn =
2 π
π
1 1 i
= ( f (x) cos(nx) dx − f (x) sin(nx) dx)
2 π −π π −π
π
1
= f (x)(cos(nx) − isin(nx)) dx
2π −π
Par la relation d’Euler, on peut voir directement que
cos(nx) − isin(nx) = e−inx , donc
π
1
= f (x)e−inx dx
2π −π

44. Une autre m´thode:
e
Soit f p´riodique de 2π et supposons que
e
∞
f (x) = Cn einx
n=−∞
multiplions par e−ikx o` k est un entier
u
∞
f (x)e−ikx = e−ikx Cn einx
−∞
∞
e−ikx Cn einx = e−ikx (· · · + C−2 e−2ix + · · · + C1 eix + · · · + Ck eikx + · · · )
n=−∞
∞
= Cn ei(n−k)x + Ck
n=−∞,n=k
∞
Ck = − Cn ei(n−k)x + f (x)e−ikx
n=−∞n=k

45. Prenons int´grale sur une p´riode,
e e
π π π ∞
Ck , dx = f (x)e−ikx dx − Cn ei(n−k)x dx
−π −π −π n=−∞,n=k
prenons un terme de la somme que nous devons int´grer,
e
π π
Cn eix(n−k) dx = Cn eix(n−k) dx
−π −π
Cn
= ei(n−k)x |π
−π
i(n − k)
Cn
= (eiπ(n−k) − e−iπ(n−k) )
i(n − k)
= 0 (car eiπm = 1 pour un nombre m entier)

46. Finalement,
π π
Ck dx = f (x)e−ikx dx
−π −π
π
πCk = f (x)e−ikx dx
−π
∞
Si f (x) = Cn einx
−∞
π
1
Cn = f (x)e−inx dx
2π −π

47. Pour une p´riode quelconque ?
e
La s´rie de Fourier d’une fonction f (x) de p´riode quelconque T .
e e
T T
On pose x = u pour rendre f ( u) p´riodique de 2π.
e
2π 2π
∞
2πinx
Cn e T
n=−∞
o` le coefficient de Fourier
u
T
1 2 −2πinx
Cn = f (x)e T dx
T −T
2
ou
T
1 −2πinx
Cn = f (x)e T dx
T 0

48. Convergence
Simple

49. Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I, et
e
f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la
e
suite (fn (x)) converge vers f (x). Autrement dit :
∀x ∈ I, ∀ 0, ∃n0 (, x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)|
O` la notation (, x) signifie que le choix du n0 d´pend et de , et du x
u e
d´termin´.
e e

50. Exemple 1 : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fn
converge simplement vers la fonction d´finie par f (x) = 0 si x est dans [0, 1[ et
e
f (1) = 1.
MAIS la continuit´ n’est pas toujours pr´serv´e par la convergence simple. 1`re
e e e e
insuffisance.

51. Exemple 2 Soit la suite de fonctions d´finie sur [0,1] par
e
 2 1

fn (x) = n x, 0 ≤ x ≤ 2n
 fn (x) = n2 ( 1 − x), 1
≤x≤ n  1
n 2n
1
fn (x) = 0, x≥ n
1
Soit x 0. n → 0 lorsque n → ∞, donc ` partir d’un certain rang N ,
a
1
on a : n x. Donc ` partir du mˆme rang N , fn (x) = 0 et donc fn (x) → 0
a e
lorsque n → ∞.
Ainsi, la suite (fn (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].

52. 1 1
2n
1
n
fn (x) = n2 xdx + n − n2 xdx = 1/4 (Ind´pendant de n)
e
1
0 0
1 1 2n 1
→ lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f (x)dx = 0.
n→∞ 0 0 n→∞ 0
Ces deux insuffisances motivent une nouvelle notion : la convergence uni-
forme.

53. Convergence
Uniforme

54. D´finition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions
e
d´finies sur I, et f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge uniform´ment vers f
e e e
sur I si :
∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| .

55. Toute suite de fonctions qui converge uniform´ment converge simplement.
e
R´solution de la seconde insuffisance :
e
Majoration par la d´finition de convergence uniforme :
e
b
|fn x − f (x)|dx ≤ (b − a)max|fn − f |
a
Quand n tend vers l’infini, le second membre tend vers 0, d’o` le premier
u
´galement - du fait de la valeur absolu - et
e
b b
lim fn (x)dx = f (x)dx
n→∞ a a

56. R´solution de la premi`re insuffisance :
e e
Nous savons que
∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)|
Prenons x0 ∈ I (n’importe lequel), qui r´pond donc ` l’in´galit´, et fixons un
e a e e
nombre entier N qui caract´rise la fonction fN . Nous savons d’autre part que
e
(fN ) est continue en x0 , donc
∀x ∈ I, ∃δ(, x) 0, |x − x0 | δ ⇒ |fN (x) − fN (x0 )|
Et par l’in´galit´ triangulaire :
e e
|f (x) − f (x0 )| |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN x0 − f (x0 )| 3.

57. Convergence
Normale

58. Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I.
e
∞
On dit que (fn ) converge normalement sur I si la s´rie
e sup|fn (x)|, x ∈ I est
n≥0
convergente.
La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uni-
forme, dans le sens o` toute fonction qui converge normalement converge uni-
u
form´ment. Nous ne le d´montrerons pas.
e e

59. Séries trigonométriques
Proposition 1 Si les s´ries num´riques
e e |an | et |bn | convergent, alors la
2πn 2πn
s´rie trigonom´triques S(t) =
e e an cos( t) + bn sin( )t) converge nor-
T T
n≥0
malement (et donc uniform´ment) sur R
e
Preuve
Cela d´coule directement de l’in´galit´ : |an cos( 2πn t) + bn sin( 2πn )t)| ≤
e e e T T
|an | + |bn |
Corollaire
Si les s´ries num´rique |an | et |bn | convergent, alors la s´rie trigonom´trique
e e e e
S(t) est continue R.sur
Si les s´ries n |an | et n |bn | convergent, alors la somme S(t) est continue
e
sur R, ` d´riv´e continue.
a e e

60. Proposition 2
Si les suites num´riques (an )et(bn ) sont d´croissantes et tendent vers 0, alors
e e
la s´rie trigonom´trique S(t) est convergente pour t = k.T o` k ∈ Z
e e u
Nous ne d´montrons pas cette proposition.
e

61. Théorème de Dirichlet

62. Quelques notations et d´finitions
e
Notation
Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite ` droite en a et f (b− ) la limite
a
a
` gauche en b.
Fonction continue par morceau
Une fonction f : [a, b] → C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est
continue sur [a,b] sauf ´ventuellement en un nombre fini de points qui admettent
e
des limites ` gauche et ` droite. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.
a a
Fonction lisse par morceaux
Une fonction f : [a, b] → C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f sont
continues par morceaux sur [a,b]. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.

63. Introduction au th´or`me
e e
n
ikx
Expression du noyau de Dirichlet : Dn (x) = e
k=−n
ix
Suite de raison e ; modifions l’´criture dans un cas g´n´ral :
e e e
n
2n
q 2n+1
qk = q −n q k = q −n
q−1
k=−n k=0
−1
Multiplions num´rateur et d´nominateur par q
e e 2 :
−n− 1 2n+1 n+ 1 −n− 1
q 2 q −1 q 2 −q 2
−1 = 1 −1
q 2 q−1 q2 − q 2
Et en r´injectant eix :
e
i(n+ 1 )x 1
−i(n+ 2 )x
e 2 −e
i( 1 )x
e 2 − −i( 1 )x
e 2

64. D’autre part, grˆce aux formules d’Euler, on trouve :
a
sin((n + 1 )x)
2
sin( x )
2
Et finalement, fort de savoir que le noyau est r´el, nous pouvons, en ne
e
conservant que les parties r´elles de l’expression complexe du noyau, trouver
e
une derni`re expression :
e
k=n
Dn (x) = 1+2 cos(kx) , qui nous permet de calculer facilement l’int´grale
e
k=1
de −π ` π (ce qui est quasi insoluble avec les autres expressions), ce qui nous
a
sera fort utile pour la d´monstration!
e
En r´sum´ :
e e
n
n
sin((n + 1 )x)
Dn (x) = eikx = 1 + 2 cos(kx) = 2
sin( x )
2
k=−n k=1
Et son int´grale de 0 ` π ´quivaut ` π.
e a e a

65. Th´or`me(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-p´riodique et lisse par
e e e
morceau sur R, alors :
f 1
lim SN (x) = (f (x+ ) + f (x− )) pour tout x
N →∞ 2
En particulier,
f
lim SN (x) = f (x)
N →∞
f
pour tout x o` f est continue, avec
u SN (x) la s´rie de Fourier correspondant `
e a
la fonction.
Remarque : C’est donc des conditions pour une convergence simple vers la
fonction. Il peut exister des fonctions continues qui divergent en certains points
de x.

66. Preuve
p
Soit Sp (x) = ck eikx la somme partielle de la s´rie de Fourier en un
e
k=−p
point x fix´.
e
1
1. Calcul de Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− ))
2
2π
p
ikx 1
Sp (x) = e e−ikt f (t)dt
2π 0
k=−p
2π p
1
= eik(x−t) f (t)dt
2π 0
k=−p
2π
1
= Dp (x − t)f (t)dt
2π 0
2π−x
1
= Dp (u)f (u + x)du
2π −x
π
1
= Dp (u)f (u + x)du
2π −π

67. Nous pouvons alors ´crire, en se souvenant que l’int´grale du noyau sur la
e e
p´riode est 2π :
e π π
1 + − 1 1
Sp (x)− (f (x )+f (x )) = Dp (u)f (u+x)du− Dp (u)f (x+ )du−
π 2 2π −π 4π −π
1
Dp (u)f (x− )du
4π −π
Par la parit´ du noyau et l’additivit´ de l’int´grale :
e e e
π π 0
1 1 1
Dp (u)f (u + x)du − +
Dp (u)f (x )du − Dp (u)f (x− )du
2π −π 2π 0 2π −π
0 π
=
1
2π
( −π
Dp (u)(f (u + x) − f (x− ))du +
0
Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du )

68. π
+
Calcul de lim Dp (u)((f (u + x) − f (x ))du
p→∞ 0
Exploitons le lemme suivant :
Lemme
Toute fonction f lisse par morceau sur [a, b] v´rifie :
e
b
lim f (x)sin(nx)dx = 0
n→∞ a
b
lim f (x)cos(nx)dx = 0
n→∞ a

69. Preuve
Int´gration par partie :
e
b
f (x)sin(nx)dx
a
n−1 αk+1
= f (x)sinxdx
k=0 αk
n−1
αk+1 n−1
1 − 1
= +
(f (αk )cos(nαk ) − f (αk+1 )) + f (x)cos(nx)dx
n n αk
k=0 k=0
Lorsque n → ∞, l’expression → 0. ( Rappelons nous de l’hypoth`se de e
d´part : f est lisse par morceau → f et f sont continues, donc born´es.)
e e
Fort de ce lemme, nous pouvons prouver ce qui nous int´resse, en nous
e
rappelant que par l’hypoth`se du th´or`me de Dirichlet, la fonction f est lisse
e e e
sin((p+ 1 )x)
par morceau, et que Dp (x) = sin( x2) .
2
+
f (x+u)−f (x )
Posons g(u) = ,
qui est lisse par morceau sur [0, π]
sin( u )
2 π
1
Donc, par le lemme pr´c´dent, lim
e e g(u)sin((p + )u) = 0
p→∞ 0 2
Ce que l’on cherchait ` d´montrer.
a e

70. 3.Synth`se de la d´monstration du th´or`me de Dirichlet.
e e e e
Nous avons donc d´montr´ que :
e e
1
lim Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = 0
p→∞ 2
pour une fonction f lisse par morceau et de p´riode 2π.
e

71. x
f (x) = e si x ∈] − π; π[

72. Calcul de a0
π
1 eπ − e−π
a0 = ex dx =
π −π π
Calcul de an
Soit I = ex cos(nx)dx. Apr`s la premi`re int´gration par partie, nous
e e e
trouvons :
x
e sin(nx) 1
I= − ex sin(nx)
n n
Int´grons maintenant par partie J = ex sin(nx); nous trouvons :
e
x π
−e cos(nx) 1
J= + ex cos(nx)
n n −π
ex sin(nx) 1 −ex cos(nx) 1
Ainsi, I = − ( + I)
nx n x
n n
1 e sin(nx) e cos(nx)
⇔ I(1 + 2 ) = +
nx n x n2
n.e sin(nx) + e cos(nx)
⇔I=
π n2 + 1
eπ .cos(nπ) e−π .cos(nπ) cos(nπ) π
D`s lors,
e x
e cos(nx)dx = − = 2 (e − e−π )
−π n2 + 1 n2 + 1 n +1
1 cos(nπ) π
Et finalement, an = ( 2 (e − e−π ))
π n +1

73. Calcul de bn
π π
1 x 1
bn = e sin(nx)dx = ( ex(ni+1) )
π −π π −π
1 π x(ni+1) eπ(ni+1) e−π(ni+1)
⇒ e = −
π −π ni + 1 ni + 1
−ni + 1 π nπi
= 2 (e e − e−π e−nπi )
n +1
En prenant uniquement la partie imaginaire, en consid´rant bien que sin(nπ)
e
est de toute fa¸on nul, nous trouvons :
c
1 −n
bn = ( 2 (eπ cos(nπ) − e−π cos(nx)))
π n +1
1 ncos(nπ) −π
Et finalement, bn = ( 2 (e − eπ ))
π n +1
Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la s´rie. (En con-
e
sid´rant bien que suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) ´quivaudra ` 1 ou
e e a
-1)

74. S´rie de Fourier associ´e ` la fonction
e e a
π −π ∞
e −e (−1)n
f (x) = + (eπ − e−π )(cos(nx) − nsin(nx))
2π n=1
π(n2 + 1)
π −π ∞
e −e 1 (−1)n
= ( + 2 + 1)
(cos(nx) − nsin(nx))
π 2 n=1 π(n

75. Merci pour votre
attention

76. Fréquence
Une seconde

77. Applications en
téléphonie
Multiplexing
Compression
Numérotation
Suppression de l’écho

78. Structure:
- Approche son (fred)
- Séries trigonométriques (jie fang)
- Calculs des coefficients (Antoine) +
fonction carrée (jie fang)
- Application logicielle (fred) (gibbs)
- Complexes (Jie-Fang)
- convergence (antoine)

79. Le timbre
Qualité spécifique du son produit par un
instrument, indépendante de la hauteur et
l’amplitude
Cor
Trombone ténor
Clarinette