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Circunferencia 4to año egb-2012
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Circunferencia 4to año egb-2012

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elementos de la circunferencia, ángulos en el círculo y propiedades básicas, así como algunas aplicacionees.

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  • 1. CIRCUNFERENCIA TEORÍAPROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS ABRAHAM GARCÍA ROCA agarciar@correo.ulima.edu.pe
  • 2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométricode un conjunto de infinitos puntos queequidistan de un punto situado en el centro.
  • 3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q NCuerda PQ Recta M P secante Radio A B Arco BQ Centro Diámetro ( AB ) T Recta Punto de tangencia tangente
  • 4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. L R R ⊥L
  • 5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P N M R Q R ⊥ PQ ⇒ PM = MQ
  • 6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B   C D Si : AB // CD ⇒ mAC = mBD
  • 7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A C Cuerdas congruentes Arcos congruentes B Las cuerdas D equidistan del centro Si : AB = CD ⇒ mAB = mCD
  • 8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. R r d = Cero ;; d :: distancia d = Cero d distancia
  • 9. 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. R r R r Distancia entre los centros (d) d>R+r d>R+r
  • 10. 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + rr d = R +
  • 11. 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R -- r d=R r d: Distancia entre los centros
  • 12. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) (( R – r )) < d < (( R + r )) R–r <d< R+r
  • 13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. r R Distancia entre los centros (d) d22 = R22 + r22 d =R +r
  • 14. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. R r d d < R -- r d<R r d: Distancia entre los centros
  • 15. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A R α α P R B AP = PB AP = PB
  • 16. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes A B R r r R D C AB = CD AB = CD
  • 17. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. A R D r r R B C AB = CD AB = CD
  • 18. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la sumade longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusamas el doble del inradio. Inradio b Circunradio a r R R c a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 (( R + rr )) a + b = 2 R+
  • 19. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a unacircunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los ladosopuestos son iguales. b Cuadrilátero circunscrito c a d a + c = b + d a + c = b + d
  • 20. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A r C α r B α = mAB α = mAB
  • 21. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos A D β C B mAB + mCD β= 2
  • 22. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B θ C mAB θ= 2
  • 23. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A C δ B mAB δ= 2
  • 24. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A ε C B mABC ε= 2
  • 25. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A mACB - mAB α= 2 C α O B α + mAB = 180° α + mAB = 180°
  • 26. b B C β O D A mAB - mCD β= 2
  • 27. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. B θ O C A mAB - mBC θ= 2
  • 28. Problema Nº 01Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RSmide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule lamedida del ángulo PSQ.RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x mQRSSe traza la cuerda SQ m∠PQS = 2 Q P Reemplazando: 50° 140 º +2x 70º+x 2X m∠PQS = = 70º + x 2 En el triángulo PQS: R X + (X+70) + 50° = 180° X Resolviendo la ecuación: S 140° X = 30° X = 30°
  • 29. Problema Nº 02Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arcoQR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendiculara la cuerda QS, si m∠HRS=20º; calcule la m∠QPR.RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS PSQ = x m ∠ S = 70º Q Por ángulo inscrito mQR 70º = mQR = 140° 2 HS 70° 140° Es propiedad, que: X 20° P 140° + X = 180° R Resolviendo: X = 40° X = 40°
  • 30. Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior APD = x A 130° + mBC = 90° mBC = 50° 2 B Medida del ángulo exterior130° 130° − 50° 50° X= x P 2 Resolviendo: C D X = 40° X = 40°
  • 31. Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m∠APN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: N APN = x Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles 54° M Ángulo central igual al arco xA x x o B P Medida del ángulo exterior 54° − X X= 2 Resolviendo: X = 18° X = 18°
  • 32. Problema Nº 05En un triángulo ABC se inscribe una circunferenciatangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide70º. Calcule la m∠PRQ.RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior B formado por dos tangentes: PRQ = x 70° 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 110° Q Medida del ángulo inscrito: P 110° X= 2 x Resolviendo: X = 55° X = 55°A R C
  • 33. Problema Nº 06Calcule la medida del ángulo “X”. A 70° X P B Resolución
  • 34. RESOLUCIÓN A C 70° 140º X P B mAB Medida del ángulo inscrito: 70 º = mAB=140º 2 Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
  • 35. Problema Nº 07Calcular la medida del ángulo “x” A 130º X P B Resolución
  • 36. A RESOLUCIÓN 260º X P 130º C B mABMedida del ángulo inscrito: 130 º = mAB = 260º 2En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mACB = 100ºPor la propiedad del ángulo exterior mACB + x = 100º X = 80º formado por dos tangentes:
  • 37. Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC. B 2A C 5 5 Resolución
  • 38. RESOLUCIÓN B a 2 b A C 5 5 Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 (1) Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2)Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10 (2p) = 24
  • 39. Problema Nº 09Desde un punto “P” exterior a una circunferenciase trazan la tangente PQ y la secante PRS demodo que los arcos SQ y SR sean congruentes.Si el arco QR mide 80º, calcular m∠QPR .PLANTEAMIENTO Qa 80º X P RS Resolución a
  • 40. RESOLUCIÓN Qa 80º X P R En la circunferencia:S 2a + 80º = 360º a a = 140º Medida del ángulo exterior: a − 80º 140º −80º X= = X = 30º 2 2
  • 41. Problema Nº 10En un cuadrilátero ABCD m∠Q = m∠S = 90º se trazala diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR yPRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si elperímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule lalongitud de PR QPLANTEAMIENTO 3 R P 2 Resolución S
  • 42. QRESOLUCIÓNDato: a 3 ba + b + c + d = 22cm R P 2 c dTeorema de Poncelet: SPQR  a + b = PR+2(3) +PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm