40 EJERCICIOS PARAAPROBARMATEMÁTICASEJERCICIOS ESCOGIDOS PARA MATEMÁTICAS I DE PRIMERO DE ADE                             ...
¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio vectorial?   a)   R(0,1,0)   b)   R3   c)   {(0,0,0)}   d) ...
¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio vectorial?   a)   R3   b)   (1, 2, -1) + R(0, 0, 1)   c)   ...
Dado a de R, los vectores (1,a,2), (3,0,1) y (5,-2,5) no forman un sistema degeneradores de R3 si y sólo si:   a)   a=0   ...
¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio afín de R3?   a)   {(1,1,1)}   b)   {(x1,x2,x3) de R3 / x12...
Si en R3 el vector (2,3,0) es igual a una combinación afín de los vectores (a,0,0),(0,1,1) y (0,a,1), entonces:   a)    a=...
Considérese los subespacios vectoriales de R3 siguientes:F1 = {(x,y,z) de R3 / z = 0}, F2 = R(1,1,0). Se verifica:   a)   ...
Sean los subespacios vectoriales: F1 = {(x1, x2, x3) de R3 / x1 = 0}, F2 = R(2, 1, 0).Se verifica:   a) F1 ≤ F2 y así F1 +...
Sea F el subespacio vectorial de R3 generado por los dos vectores v1 = (1, 1, 0) yv2 = (2, 2, 1). El vector (1, c, 1), con...
Dados a, b de R, el vector (a,b) de R2 es igual a una combinación afín de losvectores (1,2) y (0,-3) si y solamente si:   ...
Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R 3 generadopor los vectores (2, 3, 0), (0, 1, 2) y (4, 7,...
Sea la base B = {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1)} de R3 y f la aplicación lineal de R3 en R2tal que:f(1,0,0) = (1,2), f(0,1,0) =...
Sea f la aplicación lineal de R3 en R2 tal que:f(1,0,0) = (1,1), f(0,1,0) = (0,-1), f(0,0,1) = (1,2)Se considera la base B...
1 1 0                         Sea A la matriz  2 3  1 y sea f la aplicación lineal de R3 en R3 cuya matriz         ...
Sea f la aplicación lineal de R3 en R2 tal que:f(1,0,0) = (1,2), f(0,1,0) = (-1,1), f(0,0,1) = (0,-2)Las dimensiones respe...
Considérese la aplicación lineal f: R3→R2, tal que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x – 6y+ 4z).Las dimensiones respectivas de los...
Considérese la aplicación lineal f: R3→R2, tal que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x – 6y+ 4z).El subespacio vectorial Kerf es ig...
Considérese la aplicación lineal f: R3→R2, tal que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x – 6y+ 4z).La aplicación lineal f es:   a)   ...
Sea f la aplicación lineal de R4 en R3 cuya matriz asociada en las bases canónicas    1 0 1 1               es: 1 1 2...
Sea f la aplicación lineal de R4 en R3 cuya matriz asociada en las bases canónicas    1 0 1 1               es: 1 1 2...
Una base de la Imf es:   a)   ((1,0,-2),(3,2,0))   b)   ((1,1,1),(0,3,1))   c)   ((0,1,3))   d)   ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)...
La aplicación lineal f: R3 R3, cuya matriz asociada en las bases canónicas es:     1 0  1            A =  0 2 1  ,...
La aplicación lineal f: R3 R2, definida por f(x, y, z) = (x+y, x-z) es:    a)   Una aplicación inyectiva.    b)   Un endo...
Sea f la aplicación lineal de R3 en R2 de matriz asociada en las bases canónicas 1 0 1 0  2 1                 Y c...
1 1 0                                 La inversa de la matriz  0 2  1 es:                        1 0 1           ...
1 1 0                                     La inversa de la matriz A =  2 3  1 es:                             0 2 ...
 b a  b 1  1                                     Considérese la matriz  0   b    1 1  donde a, b son parámetros r...
1 aLa matriz A =                    es invertible si:                                  b 2   a)   ab = 2   b)   a=...
a b                             1 3Sea          la inversa de la matriz                                         2...
Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x–y+z=2x – 2y + z = 7x–y=-2Se verifica:   a)   Tiene infinitas sol...
Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x – 2y - 2z = 2x + 2y + z = -32x – z = - 2Se verifica:   a)   Tien...
Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x–y–z=02x + y – 5z = 03x + 2y – 8z = 0Se cumple:                  ...
Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:2x – y = 23x + y = 17x - y = 5Para este sistema se cumple:   a) No...
El conjunto de los números reales x tales que I x – 2 I ≤ 3 es:   a)   Conjunto vacío   b)   [1, 5]   c)   {5}   d)   [-1,...
El conjunto de los números reales x tales que I x – 2 I = 3 es:   a)   Conjunto vacío   b)   [1, 5]   c)   {-1, 5}   d)   ...
¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene a -1 de supremo?A) (-∞, 6) ∩ [3, 7)B) (-∞ -7)C) [-12, -8) U (-5, -1)D) (-10, 10) ∩...
¿Cuál de los siguientes conjuntos de números reales no tiene mínimo?A) (-∞, 5) ∩ [2, +∞).B) (-2, 5) ∩ [-1, 6).C) (-4, 7) ∩...
La sucesión ((-n3 + 2n2)/(n2 - n)) tiene límite igual a:   a)   +∞   b)   -1   c)   -∞   d)   0Tenemos que calcular el lím...
La sucesión ((n3 + n2 - n)/(2n3 + 2)) tiene límite igual a:   e)   +∞   f)   1/2   g)   -∞   h)   0Tenemos que calcular el...
4n 2  1El límite lim(            ) es igual a:                  n 1   a)   2   b)   +∞   c)   0   d)   No existeEl grado...
2n 4  3El límite de la sucesión (             ) es igual a:                             3n 2  10   a) +∞   b) 2 / 3   c)...
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  1. 1. 40 EJERCICIOS PARAAPROBARMATEMÁTICASEJERCICIOS ESCOGIDOS PARA MATEMÁTICAS I DE PRIMERO DE ADE GALOIS 2012
  2. 2. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio vectorial? a) R(0,1,0) b) R3 c) {(0,0,0)} d) {(1,-1,0)}Para responder a este tipo de preguntas recordad que un subconjunto de laforma R(a,b,c) siempre es un subespacio vectorial de R3, igual que R(a,b)siempre lo es de R2. Da igual cuál sea el vector que vaya a continuación de R.Por lo tanto la opción a) no es cierta.R3 es un espacio vectorial que contiene mucho subespacios, en particularcontiene a dos especiales: el subespacio que es igual a todo el espacio, es decirR3, y el subespacio nulo formado sólo por el vector (0,0,0).Luego las opciones b) y c) no son ciertas.Recordad que cuando aparece un vector entre llaves eso representa al conjuntoformado sólo por el vector que está dentro de las llaves.La respuesta correcta debe ser la d?. ¿Por qué?El conjunto {(1,-1,0)} no puede ser un subespacio vectorial. Para serlo, al sumardos elementos del conjunto se debería obtener otro elemento del conjunto. Eneste caso, sumando (1,-1,0) + (1,-1,0) el resultado es (2,-2,0) que no está en elconjunto. 2
  3. 3. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio vectorial? a) R3 b) (1, 2, -1) + R(0, 0, 1) c) R(1, 0, 1) d) {(0,0,0)}R3 es un espacio vectorial, pero todo espacio vectorial es un subespaciovectorial también. La opción a) no es válida.Todo conjunto de la forma R(x, y, z), sea (x, y, z) el vector que sea, es unsubespacio vectorial. Por lo tanto R(1, 0, 1) lo es. La opción c) no es válida.El conjunto formado sólo por el vector nulo {(0, 0, 0)} es un subespacio vectorial.La opción d) no es válida.Sólo queda la opción b). Esa es la correcta. El conjunto (1, 2, -1) + R(0, 0, 1) no esun subespacio vectorial, es un subespacio afín.Recuerda que un conjunto de la forma del b), es decir formado por la suma deun vector y un subespacio vectorial, es un subespacio afín. 3
  4. 4. Dado a de R, los vectores (1,a,2), (3,0,1) y (5,-2,5) no forman un sistema degeneradores de R3 si y sólo si: a) a=0 b) a ≠ -1 c) a = -1 d) Ninguna de las anterioresPara responder a esta pregunta hay que recordar que un sistema degeneradores de R3 estará formado al menos por 3 vectores (y una baseexactamente por 3) independientes.Si colocamos los tres vectores en filas y formamos un determinante, al calcularloobtenemos: det(A) = - 12 + 5a – 15a + 2 = - 10a -10.Si este determinante vale cero los tres vectores no serán independientes y noserán un sistema de generadores.¿Cuándo vale cero? - 10a -10 = 0  - 10a = 10  a = - 1.Por lo tanto los tres vectores no forman un sistema de generadores si a = - 1.Si a = 0 el determinante no vale cero, luego los tres vectores seríanindependientes y sí formarían un sistema de generadores. Esto descarta a).Si a ≠ - 1 el determinante tampoco vale cero, estamos igual que en el párrafoanterior. No es válida la opción b).Evidentemente c) sí es válida. Por lo tanto d) no lo es. 4
  5. 5. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio afín de R3? a) {(1,1,1)} b) {(x1,x2,x3) de R3 / x12 + x22 + x32 = 0} c) {(x1,x2,x3) de R3 / x12 = 0} d) {(0,0,0)}Un subespacio afín de un espacio vectorial es un subconjunto no vacío delespacio que puede escribirse como suma de un vector y un subespacio.Recordad que el conjunto formado por un solo vector del espacio siempre es unsubespacio afín, ya que es la suma de dicho vector y del subespacio vectorialformado sólo por el vector nulo. Por lo tanto a) y d) son subespacios afines.El conjunto del apartado b) está formado por todos los vectores cuyas trescoordenadas cumplen la condición de que la suma de sus cuadrados es igual acero. Pero sólo hay un vector que cumpla eso, el (0,0,0). Cualquier otro vectorno lo cumple. Por ejemplo: (0,-1,1): 02 + (-1)2 + 11 = 2.Así que {(x1,x2,x3) de R3 / x12 + x22 + x32 = 0} = {(0,0,0)} es también un subespacioafín.Sólo queda el conjunto del apartado c). No es un subespacio afín. Esa es lasolución. 5
  6. 6. Si en R3 el vector (2,3,0) es igual a una combinación afín de los vectores (a,0,0),(0,1,1) y (0,a,1), entonces: a) a=½ b) a=2 c) a=1 d) Ninguna de las anteriores.Recordad que una combinación afín de los vectores (a,0,0), (0,1,1) y (0,a,1) serácualquier vector que se pueda obtener de la forma: x(a,0,0) + y(0,1,1) + z(0,a,1),donde x + y + z = 1.Tendremos entonces que: (2,3,0) = x(a,0,0) + y(0,1,1) + z(0,a,1), donde x + y + z =1.Así que: (2,3,0) = (xa, y + za, y + z), donde x + y + z = 1. Luego tenemos lasecuaciones:2 = xa3 = y + za0=y+zx + y + z = 1.De la tercera sale que y = - z.Sustituyendo en la cuarta: x – z + z = 1  x = 1.Sustituyendo este valor de x en la primera nos queda: 2 = a.Solución: la opción b). 6
  7. 7. Considérese los subespacios vectoriales de R3 siguientes:F1 = {(x,y,z) de R3 / z = 0}, F2 = R(1,1,0). Se verifica: a) F1 ≤ F2, y así F1 + F2 = F2. b) Son subespacios vectoriales independientes. c) Son subespacios vectoriales suplementarios en R3. d) F2 ≤ F1, y así F1 + F2 = F1.El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.La clave de este tipo de ejercicios está en recordar que si se suman dossubespacios, y uno está incluido en el otro, entonces la suma es igual al mayorde los dos subespacios.¿Está F1 incluido en F2 en este ejercicio o viceversa (o ninguna de las dos cosas)?Un vector de F1 cumple que su tercera coordenada es cero. ¿Pertenece a F2? Porejemplo, (1,2,0) está en F1, ¿está también en F2? Para estar en F2 debería sermúltiplo del vector (1,1,0), es decir, debería ser (1,2,0) = a(1,1,0) para algúnnúmero a. Pero este número a no existe, luego F1 no está incluido en F2.Al revés, un vector de F2 es un múltiplo de (1,1,0). ¿Cumple la condición paraestar en F1? Sí, ya que todos los múltiplos de (1,1,0) tienen de terceracoordenada un cero.Así pues, en este ejercicio, F2 está incluido en F1.Eso quiere decir que la suma de ambos subespacios es igual al mayor de los dos,es decir, a F1: F1 + F2 = F1. La respuesta correcta es pues la d).Los subespacios no son independientes pues el vector (1,1,0) pertenece aambos. Esto descartaría las opciones b) y c). 7
  8. 8. Sean los subespacios vectoriales: F1 = {(x1, x2, x3) de R3 / x1 = 0}, F2 = R(2, 1, 0).Se verifica: a) F1 ≤ F2 y así F1 + F2 = F2 b) Son subespacios vectoriales independientes, pero no son suplementarios en R3. c) La suma directa de F1 y F2 es igual a R3. d) F2 ≤ F1 y así F1 + F2 = F1El símbolo ≤ representa “está incluido o es igual a”.Un vector cualquiera de F1 es de la forma (x, y, z) con x = 0, es decir, es: (0, y, z) =(0, y, 0) + (0, 0, z) = y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Esto nos dice que F1 = R(0, 1, 0) + R(0, 0,1).Por los tanto {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de F1, y (2, 1, 0) es una base de F2.Los tres vectores anteriores son independientes porque el determinante queforman vale 2 (no vale 0).Por los tanto la suma R(0, 1, 0) + R(0, 0, 1) + R(2, 1, 0) es un subespacio dedimensión 3 de R3, es decir: F1 + F2 = R3. Esto ya nos indica que la solución es lac). 8
  9. 9. Sea F el subespacio vectorial de R3 generado por los dos vectores v1 = (1, 1, 0) yv2 = (2, 2, 1). El vector (1, c, 1), con c de R, pertenece a F si y sólo si: a) c = 0 b) c ≠ -2 c) c = -2 d) c = 1El vector (1, c, 1) pertenece a F si es combinación lineal de los dos vectores quegeneran F:(1, c, 1) = a(1, 1, 0) + b(2, 2, 1)Es decir: (1, c, 1) pertenece a F si se cumplen las ecuaciones:1 = a + 2bc = a + 2b1=bDe la última ya sabemos que b = 1. Despejando este valor en la primera queda:1 = a + 2  a = -1-Sustituyendo los valores obtenidos para a y b en la segunda:c = -1 + 2  c = 1La solución es, pues, la d). 9
  10. 10. Dados a, b de R, el vector (a,b) de R2 es igual a una combinación afín de losvectores (1,2) y (0,-3) si y solamente si: a) a + b = 1 b) 5a – b = 3 c) a = 0 y b = 1 d) 2a – 3b = 0Para que (a,b) sea combinación afín de (1,2) y (0,-3) se tiene que cumplir que:(a,b) = x(1,2) + y(0,-3), con x + y = 1.De lo anterior quedan las ecuaciones: a = x, b = 2x – 3y. (I)Si intentamos la opción a): a + b = 1  b = -a. Sustituyendo b por –a en lasecuaciones (I) nos queda: a = x, -a = 2x – 3y. Como a = x  -x = 2x – 3y  -3x =3y  x = -y.Se tiene que cumplir que x + y = 1, pero si x = -y  x + y = 0 ≠ 1. La opción a) noes válida.Si intentamos la c): a = 0, b = 1 0 = x, 1 = 2x – 3y  1 = - 3y  y = -1/3.Se tiene que cumplir que x + y = 1, pero si x = 0, y = -1/3  x + y = -1/3 ≠ . Laopción c) no es válida.Si intentamos la opción b): 5a – b = 3  b = 5a - 3. Sustituyendo b por 5a - 3 enlas ecuaciones (I) nos queda: a = x, 5a – 3 = 2x – 3y. Como a = x  5x - 3 = 2x –3y  3x - 3 = -3y  3x = -3y + 3  x = - y + 1.Se tiene que cumplir que x + y = 1, pero si x = - y + 1  x + y = - y + 1 + y = 1. Laopción b) es válida. Como sólo una es correcta, la opción d) no puede ser válida. 10
  11. 11. Dado un número real a, la dimensión del subespacio vectorial de R 3 generadopor los vectores (2, 3, 0), (0, 1, 2) y (4, 7, a) es igual a 2 si y solamente si: a) a=2 b) a≠2 c) a=0 d) a≠1La dimensión del subespacio generado por un conjunto de vectores es igual alrango de la matriz formada con ellos.En este caso sería una matriz cuadrada de orden 3. Calculamos sudeterminante:2 3 00 1 2 = 2a + 24 – 28 = 2a – 44 7 aEl rango de la matriz será menos de 3 si el determinante vale 0, es decir, si 2a –4 = 0  a = 2.Como el determinante formado con las dos primeras filas y columnas de lamatriz no vale 0:2 3 = 2,0 1Entonces el rango de la matriz y, por lo tanto, la dimensión del subespacio quenos piden, es 2 si y solamente si a = 2.La solución es la opción a). 11
  12. 12. Sea la base B = {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1)} de R3 y f la aplicación lineal de R3 en R2tal que:f(1,0,0) = (1,2), f(0,1,0) = (-1,1), f(1,1,1) = (0,1)La matriz asociada a f en las bases canónicas es:  1 2  1 1  2  1 1 0 1 1 0    a)  2 1  b)   c)   d)   1 1   0    2 1 1    2 1  2    0 1  La matriz asociada de una aplicación lineal de R3 en R2, en las bases canónicas,es una matriz cuyas columnas están formadas por los vectores de R2 que son lasimágenes de los vectores de la base canónica de R3.Es decir, hay que calcular las imágenes de (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), que son losvectores de la base canónica de R3.El ejercicio ya nos da dos de esas imágenes: las de (1,0,0) y de (0,1,0). Por lotanto la matriz asociada tendrá en su primera columna la imagen de (1,0,0), quees (1,2), y en su segunda columna la imagen de (0,1,0), que es (-1,1). Es decir, lamatriz asociada que nos piden empieza así:1 1 2 1  . Esto descarta la opción d), que es imposible.  ¿Cómo calcular la imagen que falta? f(0,0,1).Para ello primero hay que expresar el vector (0,0,1) en la base B de R 3, hallandosus coordenadas en esa base:(0,0,1) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,1,1).De aquí salen las ecuaciones: 0 = a + c, 0 = b + c, 1 = c. La solución de este fácilsistema es: a = -1, b = -1, c = 1.Ahora calculamos la imagen del vector así: f(0,0,1) = af(1,0,0) + bf(0,1,0) +cf(1,1,1) = a(1,2) + b(-1,1) + c(0,1) = -1(1,2) -1(-1,1) + 1(0,1) = (0,-2).La tercera columna de la matriz asociada corresponde al vector (0,-2). La matriz 1 1 0 es:    y la solución correcta es la c).   2 1  2 12
  13. 13. Sea f la aplicación lineal de R3 en R2 tal que:f(1,0,0) = (1,1), f(0,1,0) = (0,-1), f(0,0,1) = (1,2)Se considera la base B = {(1,1), (1,0)} de R2.Los términos de la 3ª columna de la matriz asociada a f en las bases canónica deR3 y B de R2 son: a) 1 y 2 b) 2 y -1 c) 1 y 1 d) 1 y 0.La matriz asociada de la aplicación lineal de R3 en R2 que nos piden, es unamatriz cuyas columnas están formadas por los vectores de R2, expresados en labase B, que son las imágenes de los vectores de la base canónica de R3.Es decir, hace falta coger los vectores que son imagen de los tres vectores de labase canónica de R3 y hallar sus coordenadas en la base B de R2.Realmente no hace falta hacer esto para los tres vectores, ya que sólo nos pidenla 3ª columna de la matriz asociada, así que sólo hace falta hallar lascoordenadas en la base B de la imagen del tercer vector de la base canónica deR3, es decir, de (1,2).Si las coordenadas de (1,2) en B son x, y, entonces se tiene que:(1,2) = x(1,1) + y(1,0) = (x,x) + (y,0). De aquí salen las ecuaciones:1 = x + y, 2 = x.Luego x = 2, y = -1Solución: la 3ª columna está formada por los números 2 y -1. Respuestacorrecta: la b). 13
  14. 14. 1 1 0   Sea A la matriz  2 3  1 y sea f la aplicación lineal de R3 en R3 cuya matriz  0 2  1  asociada en las bases canónicas es A.Dada la base B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,1,1)} de R3, los términos de la terceracolumna de la matriz asociada a la aplicación lineal f en las bases B de R 3 y B deR3 (misma base en los espacios inicial y final) son: a) 0, 0 , -1 b) 0, 1, 1 c) 1, 1, 1 d) 1, 0, 1Cada columna de la matriz asociada que nos piden será la imagen de cadavector de la base B expresada en coordenadas respecto de dicha base B.La imagen de (1,0,0), primer vector de B, como es también el primer vector de labase canónica de R3, es la primera columna de A: f(1,0,0) = (1,2,0).De forma similar, la imagen del segundo vector de B, (0,1,0), es la segundacolumna de A: f(0,1,0) = (1,3,2).La imagen del tercer vector de B es más complicada, ya que (0,1,1) no pertenecea la base canónica. Para hallarla se razona así:f(0,1,1) = 0*f(1,0,0) + 1*f(0,1,0) + 1*f(0,0,1) = 0*(1,2,0) + 1*(1,3,2) + 1*(0,-1,-1) =(1,3,2) + (0,-1,-1) = (1,2,1).Esta imagen que hemos calculado del tercer vector de la base B será la terceracolumna que nos piden de la matriz asociada, pero aún falta expresar dichaimagen en coordenadas respecto de la base B:(1,2,1) = a*(1,0,0) + b*(0,1,0) + c*(0,1,1).De aquí salen las ecuaciones: 1 = a, 2 = b + c, 1 = c. Es decir: a = 1, b = 1, c = 1.Por lo tanto: (1,2,1) = (1,1,1)B. Este vector que hemos obtenido es la terceracolumna de la matriz que nos piden: 1, 1, 1.Solución: la opción c). 14
  15. 15. Sea f la aplicación lineal de R3 en R2 tal que:f(1,0,0) = (1,2), f(0,1,0) = (-1,1), f(0,0,1) = (0,-2)Las dimensiones respectivas de los subespacios vectoriales Kerf e Imf son: a) 0 y 3 b) 1 y 2 c) 2 y 1 d) 3 y 0Podemos empezar calculando kerf o calculando Imf. Vamos a hacerlo con laimagen:Las imágenes de una base del espacio inicial de una aplicación lineal f generanImf.Así, las imágenes de los tres vectores de la base canónica de R3 serángeneradores de Imf: {(1,2), (-1,1), (0,-2)}.Estos tres vectores generan Imf pero,¿son una base de Imf? Para ello deberíanser independientes, lo cual es imposible porque en R2 más de dos vectoressiempre son linealmente dependientes.Si escojo dos de ellos, por ejemplo (1,2) y (-1,1), ¿son independientes? Sí ya queninguno es múltiplo del otro (o porque el determinante que forman no vale 0).Esos dos vectores: (1,2) y (-1,1) forman una base de Imf, ya que songeneradores e independientes. Por ello Dim (Imf) = 2.Y el ejercicio está acabado, la única respuesta posible ya es la b).Recordad que la dimensión del kerf se podría calcular ahora con la fórmula:Dim (kerf) + Dim (Imf) = Dim(Espacio inicial)Como en este caso la dimensión del espacio inicial (que es R 3) es 3 y la de Imf es2, entonces Dim (Kerf) = 1. 15
  16. 16. Considérese la aplicación lineal f: R3→R2, tal que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x – 6y+ 4z).Las dimensiones respectivas de los subespacios vectoriales Kerf y Imf son: a) 1 y 2 b) 0 y 3 c) 2 y 1 d) 2 y 2Para hallar la dimensión de la imagen calculamos primero las imágenes de lostres vectores de la base canónica de R3, utilizando que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x –6y + 4z).f(1, 0, 0) = (1, 2); f(0, 1, 0) = (-3, -6); f(0, 0, 1) = (2, 4).Ahora nos fijamos en que el vector (-3, -6) es (-3)*(1, 2), es decir, (-3, -6) esmúltiplo de (1, 2).De la misma forma (2, 4) = 2*(1, 2), es decir, (2, 4) es múltiplo de (1, 2).Por lo tanto el rango de los tres vectores (1, 2), (-3, -6) y (2, 4) es 1 (sólo hay unvector independiente).El rango de esos tres vectores (que son las imágenes de los vectores de la basecanónica) es igual a la dimensión de la imagen de f. Así: Dim(Imf) = 1.Se debe cumplir que Dim(Kerf) + Dim(Imf) = Dim(R3) = 3. Esto nos dice, comoDim(Imf) = 1, que Dim(Kerf) = 2.Solución: la opción c). 16
  17. 17. Considérese la aplicación lineal f: R3→R2, tal que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x – 6y+ 4z).El subespacio vectorial Kerf es igual a: a) {(0, 0, 0)} b) R(3, 1, 0) c) R(3, 1, 0) + R(-2, 0, 1) d) {(x, y, z) de R3 / x – 3y = 0}En el ejercicio anterior hemos visto que Dim(Kerf) = 2. Esto descarta lasopciones a) y b). En la opción a) la dimensión del Kerf sería 0 y en la opción b)sería 1.Vamos a ver la opción d): Un vector cualquiera (x, y, z) del Kerf cumpliría que x –3y = 0, es decir, cumpliría que x = 3y. Por lo tanto (x, y, z) = (3y, y, z) = (3y, y, 0) +(0, 0, z) = y(3, 1, 0) + z(0, 0, 1). Así que, en esta opción Kerf = R(3, 1, 0) + R(0, 0,1).Veamos si los vectores de las bases en las opciones c) y d) pertenecen al Kerf. Suimagen deberá ser el vector (0, 0). Utilizo que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x – 6y +4z).Empezamos por (3, 1, 0): f(3, 1, 0) = (3 – 3*1 + 2*0, 2*3 – 6*1 + 4*0) = (0, 0).De la misma forma: f(-2, 0, 1) = (-2 – 3*0 + 2*1, 2*(-2) – 6*0 + 4*1) = (0, 0).Ahora f(0, 0, 1) = (0 – 3*0 + 2*1, 2*0 – 6*0 + 4*1) = (2, 4).Luego (0, 0, 1) no pertenece al Kerf, así que R(3, 1, 0) + R(0, 0, 1) no puede ser elKerf. Esto descarta la opción d).Solución: la opción c). 17
  18. 18. Considérese la aplicación lineal f: R3→R2, tal que f(x,y,z) = (x – 3y + 2z,2x – 6y+ 4z).La aplicación lineal f es: a) Suprayectiva, pero no inyectiva. b) Inyectiva, pero no suprayectiva. c) Un isomorfismo. d) Ninguna de las anteriores.En los ejercicios anteriores hemos visto que Dim(Kerf) = 2, Dim(Imf) = 1.Para que sea suprayectiva la dimensión de la imagen de la aplicación debe serigual a la dimensión del espacio final, en este caso R2, de dimensión 2. No secumple para este ejercicio, luego f no es suprayectiva.Para que sea inyectiva la dimensión del núcleo (Kerf) de la aplicación debe serigual a cero. No se cumple tampoco, luego f no es inyectiva.Descartadas pues las opciones a) y b).Para que sea isomorfismo la aplicación debe ser biyectiva, es decir, inyectiva ysuprayectiva a la vez. Tampoco se cumple. Descartada la opción c).Solución: la opción d). 18
  19. 19. Sea f la aplicación lineal de R4 en R3 cuya matriz asociada en las bases canónicas 1 0 1 1   es: 1 1 2 0  Una base de Ker f es: 1 3 4  2   a) ((2, 0,−1,−1), (−6, 0, 3, 3)) , b) ((2, 0,−1,−1), (1,−1, 0,−1), (−6, 0, 3, 3)) , c)((−1,−1, 1, 0), (1,−1, 0,−1)) , d) ((0, 0, 0, 0))La matriz asociada en las bases canónicas nos da la imagen de cada vector de labase canónica de R4: f(1,0,0,0) = (1,1,1), f(0,1,0,0) = (0,1,3), f(0,0,1,0) = (1,2,4),f(0,0,0,1) = (1,0,-2). Observad que cada columna de la matriz nos proporciona laimagen de un vector de la base canónica.Vamos a empezar calculando la dimensión de la imagen. Para ello recordad quelas imágenes de los vectores de la base canónica de R 4 son generadores de R3(el espacio final).Las imágenes de los vectores de la base canónica son: (1,1,1), (0,1,3), (1,2,4) y(1,0,-2).Una base de la imagen de f estará formada por aquellos de los vectoresanteriores que sean independientes.(1,2,4) = (1,1,1) + (0,1,3), luego (1,2,4) depende de (1,1,1) y (0,1,3).(1,0,-2) = (1,1,1) – (0,1,3), luego (1,0,-2) también depende de (1,1,1) y (0,1,3).(1,1,1) y (0,1,3) son independientes ya que no es uno múltiplo del otro.Luego una base de la Imf está formada por dos vectores. Así Dim(Imf) = 2.Por la fórmula Dim(Kerf) + Dim(Imf) = Dim(Espacio inicial), como en este casoDim(Espacio inicial) = 4, deducimos que Dim(Kerf) = 2. Luego una base de Kerfestará formada por dos vectores. Esto descarta las opciones b) y d).La opción a) tampoco es válida pues: 3*(2, 0,−1,−1) = (−6, 0, 3, 3), es decir, losdos vectores son dependientes, así que no pueden ser una base.Sólo queda la opción c). 19
  20. 20. Sea f la aplicación lineal de R4 en R3 cuya matriz asociada en las bases canónicas 1 0 1 1   es: 1 1 2 0  Unas ecuaciones de Imf en las variables reales y1, y2, y3 son: 1 3 4  2    a) y1 + y2 – y3 = 0 b) y1 + y2 – 3y3 = 0 c) 2y1 - 3y2 + y3 = 0 d) 2y1 + 3y2 - y3 = 0Como vimos en el ejercicio anterior, una base de la Imf está formada por losvectores (1,1,1) y (0,1,3).Luego un vector cualquiera (y1, y2, y3) de la imagen será: (y1, y2, y3) = λ(1,1,1) +μ(0,1,3) = (λ, λ + μ, λ + 3μ).De aquí salen las ecuaciones: y1 = λ, y2 = λ + μ, y3 = λ + 3μ.Sustituyendo λ en la segunda por y1: y2 = y1 + μ  μ = y2 – y1.Sustituyendo λ por y1, μ por y2 – y1 , en la tercera: y3 = y1 + 3(y2 – y1) = y1 + 3y2 –3y1  y3 = -2y1 + 3y2  2y1 – 3y2 + y3 = 0.Respuesta correcta: la c). 20
  21. 21. Una base de la Imf es: a) ((1,0,-2),(3,2,0)) b) ((1,1,1),(0,3,1)) c) ((0,1,3)) d) ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))Hemos visto que una base de Imf está formada por dos vectores. Esto descartalas opciones c) y d).En el ejercicio anterior hemos encontrado que la ecuación 2y1 – 3y2 + y3 = 0 lacumplen todos los vectores (y1, y2, y3) de la imagen.De los dos vectores de la base c), el primero (1,1,1) sí la cumple: 2*1 - 3*1 + 1 =0, pero el segundo (0,3,1) no la cumple: 2*0 – 3*3 + 1 = -8 ≠ 0. Luego este vectorno está en la imagen, así que no puede formar parte de una base de la imagen.Esto descarta la opción c). Solución: la a).Los dos vectores de la base de a) cumplen 2y1 – 3y2 + y3 = 0. 21
  22. 22. La aplicación lineal f: R3 R3, cuya matriz asociada en las bases canónicas es:  1 0  1  A =  0 2 1  , es: 1 1 2    a) No es inyectiva. b) No es suprayectiva. c) Es biyectiva. d) No es endomorfismo.La imagen de los vectores de la base canónica de R3 son las columnas de lamatriz:f(1,0,0) = (1,0,1), f(0,1,0) = (0,2,-1), f(0,0,1) = (-1,1,2).Las tres imágenes son generadores de la imagen de f. Veamos si sonindependientes:1 0 10 2 1 = 4 + 2 +1 = 7. Como el determinante no es nulo los tres vectores1 1 2son independientes, y forman una base la imagen de f. Por ello: Dim(Imf) = 3.Como: Dim(kerf) + Dim(Imf) = Dim(R3)  Dim(Kerf) + 3 = 3  Dim(Kerf) = 0.Una aplicación es inyectiva si el núcleo está formado sólo por el vector nulo, esdecir, si su dimensión es cero. Este el caso, así que f es inyectiva.Una aplicación es suprayectiva si la imagen coincide con el espacio final. En estecaso Dim(Imf) = 3 = Dim(Espacio final), luego Imf = R3, y la aplicación essuprayectiva.Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva a la vez. En este caso fes biyectiva. Est es la respuesta, la opción c).Una aplicación es un endomorfismo si los espacios inicial y final coinciden. Por lotanto, f es un endomorfismo. 22
  23. 23. La aplicación lineal f: R3 R2, definida por f(x, y, z) = (x+y, x-z) es: a) Una aplicación inyectiva. b) Un endomorfismo. c) Una aplicación suprayectiva. d) Una aplicación biyectiva.La aplicación f no es un endomorfismo, ya que los espacios inicial y final sondistintos.Podemos hacer este ejercicio calculando quién es el núcleo de f.Un vector cualquiera del núcleo (x,y,z) cumplirá que f(x,y,z) = (0,0).Pero en la definición de f se nos dice que f(x,y,z) = (x+y, x-z). Por lo tanto, unvector cualquiera del núcleo cumplirá que:x + y = 0, x – z = 0.Despejando: y = -x, z = x. Es decir, un vector cualquiera del núcleo (x,y,z) será:(x,y,z) = (x,-x,x) = x(1,-1,1). Por lo tanto hemos obtenido que:Kerf = R(1,-1,1), lo que nos dice además que Dim(Kerf) = 1 y que la aplicación nopuede ser inyectiva (porque para ello la dimensión del Ker sería cero).Si la aplicación no es inyectiva, no puede ser biyectiva.Como: Dim(kerf) + Dim(Imf) = Dim(R3)  1 + Dim(Imf) = 3  Dim(Imf) = 2.Como Dim(Imf) = 2, que es la dimensión del espacio final, R 2, entonces Imf = R2.Esto significa que la aplicación es suprayectiva. 23
  24. 24. Sea f la aplicación lineal de R3 en R2 de matriz asociada en las bases canónicas 1 0 1 0  2 1  Y considérese la base B = (v1, v2) de R2 formada por los vectores v1 = (1,0) y v2 =(1,1).Si (v1*, v2*) es la base dual de la base B, la imagen del vector (1,1,1) por laaplicación v1* ○ f es igual a: a) 3 b) 1 c) -1 d) (2,-1)Lo que nos pide el ejercicio es calcular v1* ○ f (1,1,1).Para ello primero hay que hallar f(1,1,1) y después, calcular v1* del vector de R2que hemos obtenido.¿Cómo calcular f(1,1,1)? Utilizando la matriz asociada.Cada columna de la matriz nos da la imagen de un vector de la base canónica.Por lo tanto, tenemos: f(1,0,0) = (1,0), f(0,1,0) = (0,-2), f(0,0,1) = (1,1).Ahora hallamos f(1,1,1) así: f(1,1,1) = 1*f(1,0,0) + 1*f(0,1,0) + 1*f(0,0,1) =1*(1,0) + 1*(0,-2) + 1*(1,1) = (2,-1).¿Cómo calcular ahora v1* (2,-1)? Primero tengamos en cuenta que el vector (2,-1) tiene sus coordenadas expresadas en la base canónica de R 2 (esto siempre esasí, a no ser que se nos indique que las coordenadas son en otra base). Como(v1*, v2*) es la base dual de la base B, necesitamos hallar las coordenadas de (2,-1) en la base B.Si dichas coordenadas son x, y, se tendrá que: (2,-1) = x(1,0) + y(1,1) = (x+y,y).De aquí salen las ecuaciones: 2 = x + y, -1 = y. Y nos queda que: x = 3, y = -1.Luego las coordenadas de (2,-1) en B son 3 y -1, es decir: (2,-1) = (3,-1)B.Y finalmente, la base dual cumple que: v1* (a,b)B = a, v2* (a,b)B = b. Nosotrosdebemos hallar: v1* (2,-1) = v1* (3,-1)B = 3.Solución: el apartado a). 24
  25. 25. 1 1 0   La inversa de la matriz  0 2  1 es: 1 0 1     2 1  2  2 1 1  2  1  1 1 0 1         a)   1 1 1  b)   1 1 1  c)   1 1 1  d)  1 2 0  1 1 2    2 1  2  2 1 2 0 1 1        Hay dos formas de hacer este ejercicio. Una es calcular la matriz inversa con lafórmula: la inversa es la traspuesta de la matriz adjunta dividida entre eldeterminante. Otra es multiplicar la matriz que nos dan por cada una de las 4que nos dan como posibles inversas: si el resultado es la matriz identidad es queefectivamente esa era la matriz inversa.Posiblemente esta última sea la opción más rápida, ya que al ir multiplicando,en cuanto nos salga un número distinto de 1 en la diagonal principal o 0 en lasdemás posiciones, paramos, esa no será la respuesta válida: 1 1 0   2  1  2   1 0 1     0 2  1   1 1 1 =  , no hace falta calcular más números, el1 0 1  1 1 2       -1 nos dice que esta no es la solución.1 1 0   2 1 1 1 0 0     0 2  1   1 1 1  =  0 1 4  , no hace falta calcular más números, el 41 0 1    2 1  2      nos dice que esta tampoco es la solución. 1 1 0   2  1  1  1 0 0      0 2  1   1 1 1  =  0 1 0  . Esta es la solución, ya que nos ha salido1 0 1   2 1 2  0 0 1    la matriz identidad.No haría falta probar la opción d), pero:1 1 0  1 0 1  2      0 2  1  1 2 0  =   , el 2 nos asegura que esta no era la1 0 1  0 1 1      solución. 25
  26. 26. 1 1 0   La inversa de la matriz A =  2 3  1 es:  0 2  1     1 1  1   1 0  1 1 1 0         2 1 1   2 1 1   2 3  1  4 2 1  4 2 1  0 2  1a)   b)    d) Ninguna de las anteriores.Hay dos formas de resolver el ejercicio. Una, calculando directamente la inversade A. Otra comprobando una por una las matrices que nos dan para ver cuál esla inversa de A. Para ello recuerda que una matriz multiplicada por su inversa decómo resultado la matriz identidad.Utilizaré esta segunda forma. Comienzo con la matriz del apartado a). Lamultiplico por A:  1 1  1  1 1 0  1 0 0     2  1 1   2 3  1 0 1 0 4  2 1   0 2  1 0 0 1  =  Al obtener la matriz identidad como resultado el ejercicio está acabado. Lasolución es la opción a). 26
  27. 27.  b a  b 1  1  Considérese la matriz  0 b  1 1  donde a, b son parámetros reales. Su b b a  a rango verifica: a) No es igual a 2 cualesquiera que sean a y b. b) Es igual a 2 si a = b = 0. c) Es igual a 3 cualesquiera que sean a y b. d) Es igual a 2 si a = b = 1.El rango es el orden del determinante mayor que podamos obtener en la matriz(cogiendo filas y columnas de ella) que no valga cero.El rango nunca puede superar al mayor de los dos números siguientes: elnúmero de filas y el número de columnas.El rango sólo valdrá cero si todos los números de la matriz son ceros.Por lo tanto en este ejercicio el rango podrá ser como mucho 3 y como poco 1.El enunciado de la opción a) es la clave del ejercicio, y es muy confuso.¿Qué significa que “no es igual a 2 cualesquiera que sean a y b? Como no haycoma después del 2, significa que no es igual a 2 siempre. Si hubiese una comadespués del 2 significaría que no es igual a 2 nunca.Calculamos uno de los determinantes de orden tres de la matriz: el formado porlas 3 filas y 1ª, 2ª y 3ª columnas:b a b 10 b  1 = b3 – b(a-b) – b2 + ab = b3 – ba + b2 – b2 + ab = b3. Si esteb a bdeterminante no vale cero el rango sera 3.¿Cuándo vale cero? b3= 0 b = 0.Sólo vale cero en el caso anterior, luego en los demás casos el determinante novale cero y el rango de la matriz es 3.Por lo tanto la respuesta correcta es la a) ya que hay casos en los que el rangoes 3, no es igual a 2.Podéis comprobar además que los otros tres casos son falsos. 27
  28. 28. 1 aLa matriz A =    es invertible si:  b 2 a) ab = 2 b) a=0 c) a = -1 y b = -2 d) a=2yb=1Una matriz es invertible si tiene inversa. Una matriz cuadrada tiene inversa si sudeterminante no vale cero.Calculamos entonces el determinante de A 1 aA = = 2 – ab b 2Igualamos a cero el resultado:2 –ab = 0  ab = 2Esto significa que el determinante vale cero (y por lo tanto A no es invertible) siab = 2. Esto descarta la opción a).En todos los demás casos: ab ≠ 2, la matriz es invertible.En el apartado c) nos dice que a = -1 y b = -2. Luego ab = (-1)(-2) = 2. Tampocosería invertible. Descartamos c).En el apartado d) nos dice que a = 2 y b = 1. Luego ab = 2. Tampoco seríainvertible. Descartamos d).En el apartado b) nos dicen que a = 0. Entonces el producto ab no valdría nunca2 (valiese b lo que valiese). Es decir, en este caso ab ≠ 2. Luego A es invertible.Esta es la solución.Otra opción para hacer este ejercicio es empezar por la opción b). Como a = 0en este caso, sustituimos en la matriz A la a por 0 y calculamos el determinante: 1 0A = = 2 – 0 = 2. Como el determinante no vale 0, la matriz es invertible. b 2Luego la solución es el apartado b). 28
  29. 29. a b   1 3Sea    la inversa de la matriz   2 3  . Entonces:  c d     a) a+d=4 b) a + d = -4/3 c) a=d d) ad – bc = 0  1 3El método más sencillo es calcular la inversa de A =   .   2 31 3 = 3 – 6 = -3.2 3  3  2    3 1  1 2 / 3  A =  -1  =  1  1 / 3 .  3  Ahora veamos cuál de las 4 opciones se cumple:Opción a): a + d = -1 + (-1/3) = -4/3 ≠ 4.Opción b): a + d = -1 + (-1/3) = -4/3.Esta es la solución: opción b). 29
  30. 30. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x–y+z=2x – 2y + z = 7x–y=-2Se verifica: a) Tiene infinitas soluciones. b) Admite una única solución (a, b, c), y esta verifica: a + b + c = -8. c) Admite una única solución (a, b, c), y esta verifica: a + b + c = 16. d) Ninguna de las anteriores.Para resolver el sistema convertimos la matriz ampliada en escalonada reducidaa través de los siguientes pasos:1  1 1 2   1  1 1 2   1  1 1 2  1 1 1 2        1  2 1 7    0  1 0 5    0  1 0 5    0 1 0  5 1  1 0  2   1  1 0  2   0 0  1  4   0 0 1 4         1 0 1  3  1 0 0  7     0 1 0  5   0 1 0  5  .0 0 1 4  0 0 1 4    La última matriz obtenida ya es escalonada reducida. De ella tenemos lasolución: x = -7, y = -5, z = 4. El sistema es compatible determinado con unaúnica solución.La solución cumple que a + b + c = x + y + z = -7 + (-5) + 4 = -8.Respuesta correcta la b). 30
  31. 31. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x – 2y - 2z = 2x + 2y + z = -32x – z = - 2Se verifica: a) Tiene infinitas soluciones. b) Admite una única solución. c) No admite solución. d) Ninguna de las anteriores.Convertimos la matriz ampliada en escalonada reducida a través de lossiguientes pasos:1  2  2 2  1  2  2 2  1  2  2 2      1 2 1  3   0  4  3 5   0  4  3 5   2 0 1  2  2 0 1  2 0 4 3  6     1  2  2 2  0  4  3 5 .0 0 0  1 La última matriz obtenida es escalonada y tiene un pivote en la última columna(la de los términos independientes). Eso significa que el sistema esincompatible, no tiene solución.Respuesta correcta la c). 31
  32. 32. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x–y–z=02x + y – 5z = 03x + 2y – 8z = 0Se cumple: 1  a) Admite como solución todas las matrices columna de la forma  1 1  b) No admite solución. 0  c) Admite una única solución que es 0 0  d) Ninguna de las anteriores.Para resolver el sistema convertimos la matriz ampliada en escalonadareducida:1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0        2 1  5 0 0 3  3 0 0 3  3 0 0 1 1 0 3 2  8 0  2  8 0 0 5  5 0 0 5  5 0   3    1 1 1 0 1 0  2 0   0 1 1 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0    La última matriz del proceso anterior es escalonada reducida y nos da lassoluciones: x = 2λ, y = λ, z = λ. Por ello admite como soluciones todas las  2matrices columna de la forma:    1  1  Respuesta: la opción d). 32
  33. 33. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales:2x – y = 23x + y = 17x - y = 5Para este sistema se cumple: a) No admite solución. a b) Admite una única solución   , y este única solución verifica a + b = -1/5. b   a c) Admite una única solución   , y este única solución verifica a = b. b   d) Ninguna de las anteriores.Convertimos la matriz ampliada en escalonada reducida: 2 1 2  1 2 2  1  2  2  1  2  2 1  2  2         3 1 1   1 3 1   1 3 1    0  5  3  0  5  3 7 1 5  1 7 5  1 7 5  1 7 5  0 5 3           1  2  2  1  2  2   1 0  4 / 5      0  5  3   0 1 3 / 5   0 1 3 / 5 0 0 0  0 0 0  0 0 0      De la última matriz obtenemos que x = 3/5, y = -4/5 es la solución única delsistema.Se tiene que x + y = 3/5 + (-4/5) = -1/5.Solución: la opción b). 33
  34. 34. El conjunto de los números reales x tales que I x – 2 I ≤ 3 es: a) Conjunto vacío b) [1, 5] c) {5} d) [-1, 5]La inecuación I x – 2 I ≤ 3 se resuelve así:I x – 2 I ≤ 3  -3 ≤ x – 2 ≤ 3  -3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2  -1 ≤ x ≤ 5La solución obtenida corresponde al intervalo cerrado [-1, 5].Solución: la opción d). 34
  35. 35. El conjunto de los números reales x tales que I x – 2 I = 3 es: a) Conjunto vacío b) [1, 5] c) {-1, 5} d) [-1, 5]La ecuación I x – 2 I = 3 se resuelve así:I x – 2 I = 3  x – 2 = 3 ó x – 2 = -3.En el primer caso:x = 2 + 3  x = 5.En el segundo caso:x = 2 – 3  x = -1.La solución obtenida es el conjunto {-1, 5}, que sólo contiene a esos dosnúmeros.Solución: la opción c). 35
  36. 36. ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene a -1 de supremo?A) (-∞, 6) ∩ [3, 7)B) (-∞ -7)C) [-12, -8) U (-5, -1)D) (-10, 10) ∩ (-8,0).El conjunto del apartado A es: (-∞, 6) ∩[3, 7) = [3, 6), y el supremo es 6, no -1.El intervalo del apartado B) tiene de supremo a -7.El conjunto de C) es: [-12, -8) U (-5, -1) y está formado por la unión de todos losnúmeros comprendidos entre -12 (incluido) y -8 y los comprendidos entre -5 y -1.Las cotas superiores son todos los números mayores o iguales que -1 (que es elmayor número del conjunto). El supremo es -1.El conjunto del apartado D) es: (-10, 10) ∩ (-8,0) = (-8, 0) tiene a 0 de supremo.Solución: La opción c). 36
  37. 37. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de números reales no tiene mínimo?A) (-∞, 5) ∩ [2, +∞).B) (-2, 5) ∩ [-1, 6).C) (-4, 7) ∩ [0, 3].D) (2, +∞) U [5, 10].El conjunto del apartado A es: (-∞, 5) ∩[2, +∞) = [2, 5), y como el ínfimo es 2,que sí está en A, entonces A sí tiene mínimo, el 2.El conjunto del apartado B es: (-2, 5) ∩[-1, 6) = [-1, 5), que tiene ínfimo y mínimoiguales a -1.El conjunto del apartado C es: (-4, 7) ∩[0, 3] = [0, 3], con ínfimo y mínimo igualesa 0.El conjunto del apartado D es: (2, +∞) U [5, 10] = (2, +∞), cuyo ínfimo es 2, queno está en el conjunto, luego no tiene mínimo. Este es la solución.Solución: La opción d). 37
  38. 38. La sucesión ((-n3 + 2n2)/(n2 - n)) tiene límite igual a: a) +∞ b) -1 c) -∞ d) 0Tenemos que calcular el límite de un cociente de dos polinomios.El grado del numerador es 3, el del denominador es 2.Al ser mayor el grado del numerador el límite es infinito. Falta por decidir si es +ó – infinito.Necesitamos utilizar los términos de mayor grado. En el numerador es -n3, decoeficiente -1 y signo negativo. En el denominador es n2, de coeficiente 1 y signopositivo. Al dividir los signos, negativo entre positivo nos da negativo.Por lo tanto el límite es - ∞.Solución: la opción c). 38
  39. 39. La sucesión ((n3 + n2 - n)/(2n3 + 2)) tiene límite igual a: e) +∞ f) 1/2 g) -∞ h) 0Tenemos que calcular el límite de un cociente de dos polinomios.El grado del numerador es 3, el del denominador es 3 también.Como son iguales necesitamos los términos de mayor grado. En el numerador esn3, de coeficiente 1. En el denominador es 2n3, de coeficiente 2.El límite es la división de los coeficientes: 1/2. Solución: la opción b). 39
  40. 40. 4n 2  1El límite lim( ) es igual a: n 1 a) 2 b) +∞ c) 0 d) No existeEl grado del numerador es 2/2 = 1 y el grado del denominador es 1. En este casolos términos de mayor grado son 4n2 en el numerador, de coeficiente 4, y n enel denominador de coeficiente 1. Hay que calcular la raíz del coeficiente del numerador y dividirlo por elcoeficiente del denominador. Para el 4 hay que hallar su raíz cuadrada, que es 2.Por lo tanto el límite es 2/1 = 2.Solución: la opción a). 40
  41. 41. 2n 4  3El límite de la sucesión ( ) es igual a: 3n 2  10 a) +∞ b) 2 / 3 c) – 3 / 10 d) 0El grado del numerador es 4/2 = 2 y el grado del denominador es 2. En estecaso, ya que los grados coinciden, los términos de mayor grado son 2n4 en elnumerador, de coeficiente 2, y 3n2 en el denominador de coeficiente 3.Hay que calcular la raíz del coeficiente del numerador y dividirlo por elcoeficiente del denominador. Para el 2 hay que hallar su raíz cuadrada, que es 2 . Por lo tanto el límite es 2 /3.Solución: la opción b). 41
  42. 42. 42

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