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Ikeph 1-appendix2
- 2. ● まず、調和振動子(と自由粒子の場合も)の場合、すべて
左辺に移項して = 0の形にすると
と書けることに注意して下さい。これは、
[x(t)を含まない演算]*x(t)という形です。
– この演算の部分には、定数、任意の具体的に与えられたtの関数、
微分操作、それらの加減乗除による組み合わせが有り得ます。
● 一方、重力/静電気力の場合、逆二乗の項のせいでこうは書
けないことに注意して下さい。
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- 3. ● 1. 単体での物理的意味を考える必要はありませ
ん。数学的には広く「微分演算子」というくくりになりま
す。
● 2. すみません、これは上の式が下の式になるという意味で
はありません。上の式が調和振動子(f = - kx) の場合、下の
式が自由粒子(f = 0)の場合です。第一回の資料と見比べて下
さい。自由粒子の式はここでは「必要」ではありません
が、調和振動子の場合と同じく線形であるという特徴を持
つことから言及しておきました。
● 3. これはおそらく、納得するには自分で[x(t)を含まない演
算]*x(t)の形に書こうとしてみることが必要です。「書ける
じゃん!」と思ったらやってみて、私に見せてください。
それはどこか違うはずなので、指摘します。そのとき始め
て、ああ、これはやってはいけない操作なのか、それじゃ
無理だな、と納得できるでしょう。
- 6. ● 5. ここは理解が逆です。x1、x2をそれぞれこのDx(t) = 0の解とすると、
と言っているので、先にDx1(t) = 0、Dx2(t) = 0が与えられており、そこ
からD(αx1(t) + βx2(t)) = 0を導いています。
● 6. 「ベクトル空間」というのが、「足し算とスカラー倍について閉じて
いる集合」のことなので、論理的にはここは単なる同値な言い換えにす
ぎません。
そういう意味では、ベクトル空間について知らないとこう言ったからと
いって直接何かが分かるわけではありませんが、後でベクトル空間につ
いて一般的に成り立つ性質(それこそが「線形代数」ということです
が)を何か学んだとき、それがこの方程式にも適用できることが直ちに
分かるわけです。またこの方程式の性質を考えるとき、線形代数の結果
が直ちに適用できることを知っていれば役立つでしょう。そういった意
味で、「線形微分方程式の解→ベクトル空間」と念仏のごとく(表現が古
…いな )頭に入れておくことは無意味ではありません。
- 9. ● 8. という演算を
1. 複素共役を取る
2.加算
3.スカラー倍
の3ステップに分解して図示してみます。
いずれのステップでも、→の出発点が解であれば、行き先も
解になるというのが補足で説明した内容です(加算のところ
は入力2本、出力一本の三股で一つの→と考えます)。各ス
テップでこれが成り立つので、全体を合成したものも解を解
に写す操作であるということです。
複素共役
加算
スカラー倍
- 11. ● 9. おっしゃる通り、間違っていました。Reは全体にかかりま
す。TeX …は括弧が入り組んでくると見づらいですな
● 10. そうです、別物です。プログラムにおけるローカル変数の
使いまわしと似たようなものとお考え下さい。
● 11. Re(x(t)) = x(t)が「x(t)が実数である」ことの式による表現
であることはいいでしょうか。7、8の説明とも関係しますが、
要は「運動方程式からだけでは自動的に出てこない、xは実数
であるという制限を物理的要請として課す」ということです。
言い回しとしては、
– x(t) = Re(x(t))
– x(t) ←Re(x(t))
– 演算子Q(x(t)) := x(t) - x*(t)を定義して、解の空間をQ(x(t)) = 0を満たす
ものに制限する。
などがありえますが、言っていることはどれも同じです。「モ
デル化」の手続きの一部と考えて下さい。